材料表面與界面三章

第三章第三章晶間界面的結(jié)構(gòu)與模3.1.緒論晶間界面是這些相同或不同結(jié)構(gòu)晶體的連接處。廣義的晶間界面還包含晶體材（（例如導(dǎo)電性電化學(xué)性能（如抗腐蝕或抗應(yīng)力腐蝕性（如強(qiáng)度，塑性和斷中界面的產(chǎn)生和遷移而形成的，因此關(guān)于界面的深入認(rèn)識(shí)對(duì)科學(xué)理解組織演化和科學(xué)調(diào)控材料組織是十分重要的?？傊缑娴闹R(shí)是從科學(xué)上優(yōu)化材料設(shè)（反映兩側(cè)晶體的結(jié)構(gòu)是如何過(guò)渡的（包括界面附近相對(duì)于晶內(nèi)的成分偏聚和界面不同區(qū)域的原子分布不均勻（體系由于界面的存在所發(fā)生的能量改變（特別是微觀的原子或電子遷移性質(zhì)和相關(guān)的物理、化學(xué)性質(zhì)些不同方面的知識(shí)是彼此相關(guān)的，比如界面附近的成分分布會(huì)隨界面結(jié)構(gòu)的改變而改變，界面成分的改變也會(huì)引起不同界面的結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。界面能量是理解這些關(guān)系的基礎(chǔ)，許多材料中的實(shí)際界面結(jié)構(gòu)主要受界面能局域最小支配。第二章中已經(jīng)介紹了界面結(jié)構(gòu)與能量的基本關(guān)系。定量聯(lián)系界面不同方面知識(shí)的深入理論尚在不斷發(fā)展。對(duì)實(shí)際應(yīng)用的材料來(lái)說(shuō)，計(jì)算和測(cè)試晶間界面成分、界面能和界面性質(zhì)仍是十分有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。同表面物理和化學(xué)相比，晶間界面的物理和化學(xué)要復(fù)雜得多，因此理論也更不成熟。相對(duì)來(lái)說(shuō)，界面結(jié)構(gòu)的定量研究卻比較容易：前人已經(jīng)積累了豐富的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并建立和驗(yàn)證了一些理論模型。正如材料的性能取決于材料組織一樣，界面的性能也取決于界面的結(jié)構(gòu)。合理的界面結(jié)構(gòu)描述有助于解釋不同界面的成分、能量和性質(zhì)的差異，因結(jié)構(gòu)的O點(diǎn)陣模型，以及描述規(guī)則共格界面的重位點(diǎn)陣模型與結(jié)構(gòu)單元模型。[1-3[4,5。Sutton和luiInterfacesincrystallineaterials”6，HoweInterfacesinmaterials7]以及Bollmann著的“Crystaldefectsandcrystallineinterfacesytlttices,rfs,ms,9集（例[10]）或會(huì)議論文集（例定期召開(kāi)的heInternationalConferenceonIntegranuarandIntrphaseoundariesinMaterials(iib)前沿的豐富結(jié)果。此外，在一些材料科學(xué)或固態(tài)物理涉及領(lǐng)域更廣的學(xué)術(shù)著作中也包含了有關(guān)界面知識(shí)的章節(jié)，例如Christian著的“heTheoryofransformationinMetalsandAlloyPolycrystallineAggregates[1]和PondDislocationsinsolidsineDefectsinInterfaces[12界面結(jié)構(gòu)有相當(dāng)深入的描述。中文參考書(shū)中除了與書(shū)名直接包含界面的書(shū)籍[1317]之外，也有不少相關(guān)專(zhuān)題的學(xué)術(shù)著作中包含了較深入描述界面結(jié)構(gòu)的章[18[19]，熊家炯[20]主編的《材料設(shè)計(jì)》中第五章黃孝瑛撰寫(xiě)的“材料科學(xué)中的界新的研究進(jìn)展，較為系統(tǒng)地介紹界面結(jié)構(gòu)的相關(guān)知識(shí)O點(diǎn)陣?yán)碚摚ǘ灰云渌鼤?shū)中常用的Franck-Bilby理論）為框架來(lái)分析界面位錯(cuò)，有些內(nèi)容會(huì)在一3.2.界面的類(lèi)晶間界面的結(jié)構(gòu)類(lèi)型與許多因素有關(guān)，合理劃分界面類(lèi)型有助于正確理解界面結(jié)構(gòu)和界面性質(zhì)。界面類(lèi)型的劃分方法有許多種，下面主要介紹多數(shù)人習(xí)慣按照兩側(cè)的材料類(lèi)型劃分陶瓷相之間的界半導(dǎo)體相之間的界根據(jù)兩側(cè)晶體的差異劃分異相(Heterophase)界面，又稱(chēng)相界：不同相之異相(Heterophase)界面，又稱(chēng)相界：不同相之間的界同相(Homophase)界面：相同相之間的界小角度晶界(Small-AngleGrainBoundaries)扭轉(zhuǎn)晶界（TwistGrainBoundaries傾轉(zhuǎn)晶界（TiltGrainBoundaries，也有譯為傾斜，傾側(cè)轉(zhuǎn)軸位對(duì)稱(chēng)傾轉(zhuǎn)(Symmetrical-Tilt)晶界：晶界為晶體的等價(jià)晶稱(chēng)非對(duì)稱(chēng)傾轉(zhuǎn)(Asymmetrical-Tilt)晶界：晶界不是等價(jià)晶Boundaries)堆垛層反相疇反演疇(Stacking(InversionDomainBoundaries)按兩側(cè)晶體的尺寸分類(lèi)體內(nèi)界面(BulkInterfaces)：界面兩側(cè)晶體尺寸皆相當(dāng)大，即體材料內(nèi)界半體界面(Semi-BulkInterfaces)：界面一側(cè)晶體尺寸相當(dāng)大另一側(cè)晶基體的界面，又稱(chēng)外延界面（ExpitaxialInterfaces。當(dāng)然還包括其薄膜間界面(ThinFilmInterfaces)：界面兩側(cè)晶體尺寸皆很小，這也包的特殊性，強(qiáng)調(diào)了表面松弛和表面張力對(duì)表面附近薄膜結(jié)構(gòu)的重要影響，例如納米晶(Nanocrystal)材料的內(nèi)界面,會(huì)更接近薄膜間界面而不是體內(nèi)界按界面的銳度劃Sutton和Balluffi[6]以界面結(jié)構(gòu)特征將界面分緩(Diffuse)界指界面兩側(cè)晶體結(jié)構(gòu)及其它特征的過(guò)渡區(qū)域相當(dāng)寬的界面（特別是當(dāng)晶體結(jié)構(gòu)基本不改變，只有其它特征變化的情況，例有序特征或磁性。結(jié)構(gòu)上緩界面往往出現(xiàn)在化學(xué)或機(jī)械不穩(wěn)定的材料系統(tǒng)，例在溶解度間（化學(xué)不穩(wěn)定能相差不大。調(diào)幅分解（SpinodalDecoposition）所得的兩相結(jié)構(gòu)本身互相接近，兩相之間的緩界面結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)了兩相中原子分布（濃度或排列）和結(jié)構(gòu)（晶體常數(shù)）的逐漸過(guò)渡?？赡艽嬖诘慕缑嫒毕菀卜植荚谝?。也就是出現(xiàn)一定厚度的非晶態(tài)層。這主要在不同原子間的鍵差異大、方向[23-會(huì)發(fā)生相反應(yīng)，生成新相。這種情況往往出現(xiàn)在復(fù)合材料中，兩個(gè)接觸銳(Sharp)界限制在很?。?～2原子尺度）的區(qū)域，盡管界面松弛、界面缺陷、界面按界面的奇異性劃 與Balluffi[6]，在按SuttonBalluffi[6]按界面結(jié)構(gòu)的共格程度劃Christian[11]建議將相界面分共格界面（Coherent又稱(chēng)全共格Fully其特征是兩側(cè)晶格的面在界面上是1a半共格(Semicoherent)界的局部區(qū)域維持（3.1b。這些共格區(qū)域由失配位錯(cuò)(Misfit非共格(Incohernt)界關(guān)于共格和半共格的定義是比較清晰DD圖界面結(jié)構(gòu)按共格程度分類(lèi))))格相界[24]常定義的上述三類(lèi)區(qū)分方法不能涵蓋點(diǎn)陣錯(cuò)配較大時(shí)出現(xiàn)的奇異界面。該界(S常定義的上述三類(lèi)區(qū)分方法不能涵蓋點(diǎn)陣錯(cuò)配較大時(shí)出現(xiàn)的奇異界面。該界(SL=CoincidenceeLattice)（342.節(jié)會(huì)重點(diǎn)介紹這種界面結(jié)構(gòu)。近年來(lái)這類(lèi)界面與界面性能和材料織構(gòu)形成的緊密關(guān)系受到許多學(xué)者的關(guān)注，有人 coherent）界錯(cuò)又稱(chēng)一次位錯(cuò)（primarydislocations[9]；半規(guī)則共格界面上位錯(cuò)不能被至少一個(gè)晶體的柏氏矢量表示,這些位錯(cuò)又稱(chēng)二次位錯(cuò)（secondarydislocations）[9]。圖3.1d是一個(gè)具有臺(tái)階結(jié)構(gòu)的規(guī)則半共格界面的示意些共格原子之間仍然存在其它原子的斷鍵或失配圖中格子為DSC點(diǎn)陣，關(guān)于這個(gè)點(diǎn)陣將在3.4.2.節(jié)介紹。后面給出的圖3.2b中也是規(guī)則共格界界面結(jié)構(gòu)的共格程度是區(qū)別界面特征的重要依據(jù)。雖然晶界一般名義上是按位向差分類(lèi)，但是實(shí)質(zhì)上是根據(jù)其結(jié)構(gòu)的共格程度來(lái)區(qū)分。比如：小角格的，甚至是共格的（即共格孿晶界，特殊大角度附近的鄰位晶界往往是按界面結(jié)構(gòu)是否有公度劃分這種界面分類(lèi)是按照界面兩側(cè)的晶格是否有公度(Commensurate)分有公度(Commensurate)界面無(wú)公度(Incommensurate)界面該方法可能是表面結(jié)構(gòu)描述的開(kāi)拓當(dāng)表面層只有一層或幾層原子厚時(shí)，表面結(jié)構(gòu)與基底結(jié)構(gòu)往往存在有公度(Commensurate)的關(guān)系，例如表結(jié)構(gòu)的命名法就是建立在這個(gè)基礎(chǔ)上的[16]。因此，這種命名往度界面包括全規(guī)則共格界面，全共格界面，以及一些特殊半共格界面，這些晶面上位錯(cuò)的周期性可以用兩側(cè)晶格的超晶格表示。而無(wú)公度界面則包括一度界面包括全規(guī)則共格界面，全共格界面，以及一些特殊半共格界面，這些晶面上位錯(cuò)的周期性可以用兩側(cè)晶格的超晶格表示。而無(wú)公度界面則包括一宏觀幾何的兩個(gè)晶體之間位向關(guān)系（orientationrelationship,這里沿用徐祖耀[25]，misorientation；2）（orientation3生。人們注意到平移矢量中界面法線(xiàn)方向的分量是分析界面過(guò)剩自由體積（ExcesFrelume）及界面能量的重要參數(shù)[22]。對(duì)于有錯(cuò)配的系統(tǒng)，界面上原子之間的相對(duì)平移是處處不同的，難以用一個(gè)參數(shù)作為界面平移特征描述。理論上，兩側(cè)晶體的相對(duì)（剛性）平移可以改變位錯(cuò)的具體位置，但并不改變總體界面位錯(cuò)狀態(tài)。而人們主要關(guān)心界面的整體位錯(cuò)的組態(tài)，并不是位錯(cuò)在一個(gè)固定坐標(biāo)系中的位置。在真實(shí)界面上，原子層次的各處原子的位置是由系統(tǒng)或局域能量的狀態(tài)決定，界面的微觀幾何實(shí)際上不能由人為調(diào)整，而宏觀幾何才是可變參數(shù)。給定材料系統(tǒng)和環(huán)境，界面宏觀幾何和界面結(jié)構(gòu)基本是一量又稱(chēng)自由度(DegreesofFreedom,DOFs)。描述界面微觀幾何的參數(shù)約束了界有關(guān)晶界宏觀幾何的描述方法較多[5,22]，而不同的方法往往具有特定的面，否則稱(chēng)無(wú)理界面（12代表）（n1,n2）以及面內(nèi)的轉(zhuǎn)角描述，可以表示為{DOFs}n1,n2,界面的面模式（InterfacePlaneScheme）[22]。這正好滿(mǎn)足界面宏觀幾何的五個(gè)自由度各包含二個(gè)自由度，轉(zhuǎn)角為另一個(gè)自由度。如數(shù)晶體矢量，角可以根據(jù)這一對(duì)矢量的夾角計(jì)算。例如孿晶界的n1與n2相}的軸角對(duì)表達(dá)法(angle–axispairdescription)直觀地描述位向差的轉(zhuǎn)面取向的矢ni也有兩個(gè)自由度，所以總共宏觀幾何有五個(gè)自由度。上述轉(zhuǎn)向關(guān)系確定了，n1和n2中一個(gè)可以通過(guò)另一個(gè)計(jì)算出來(lái)。小角度晶界的n1,n2大范圍改變時(shí)，界面性質(zhì)變化較小，因此在應(yīng)用上人們對(duì)小角度晶n1n2這時(shí){DOFs}可以表示為{r, n1},又稱(chēng)重位點(diǎn)陣位向差模式示，因此產(chǎn)生有限數(shù)量的晶體學(xué)等價(jià)位向關(guān)系的多重描述。對(duì)于晶界，人們往往從所有等價(jià)位向關(guān)系中選取最小轉(zhuǎn)角代表位向差（以disorientation專(zhuān)指最小轉(zhuǎn)角描述[9]。例如，一個(gè)立方系晶界的位向差{r=100],}等價(jià)于{r=[100],}，人們很自然選擇前者標(biāo)識(shí)位向差。因此，fcc孿晶界常以{r//<111>,60o}表示，雖然也可以用{r//<111>,180o}析特殊大角度晶界時(shí)，最小轉(zhuǎn)角可能不是晶體學(xué)最直觀的表示，例如，立方10>，90 >，～62.8}，該角度是立方系的最大轉(zhuǎn)角[26]位向關(guān)系的表示方法還與測(cè)試手段有關(guān)。電子背散射衍射（EBS）方法及相[27位向關(guān)系的表示方法還與測(cè)試手段有關(guān)。電子背散射衍射（EBS）方法及相[27EBSD方法獲得的原始數(shù)據(jù)一般是在一個(gè)參考坐標(biāo)系來(lái)表征的晶體位向，而不是位向差。參考坐標(biāo)系通常是樣品或樣品臺(tái)的特征方向，常用樣品變形特征的幾何(D：rollingdiectionDtransversedirectionND:normaldirection)，RD,TD,NDEBSDulerangles,ND（為與RD與ND,ND與RDD轉(zhuǎn)動(dòng)與DNDD,29]。方法，另一個(gè)是運(yùn)用羅德里格斯矢量（Rodriguesvector）描述轉(zhuǎn)動(dòng)的方法，下面我們先介紹位向關(guān)系矩陣方法。位向關(guān)系矩陣M建立不同點(diǎn)陣（和，設(shè)為立方系）中互相平行的單位矢量（uu）之間的聯(lián)系，即uMu。位位向關(guān)系，即點(diǎn)陣正交基矢之間的轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)線(xiàn)性代數(shù)的知識(shí)可知，如果和所以它具有轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣的性質(zhì)，M-1=M，即上述基之間的變換可以理解為從點(diǎn)參考坐標(biāo)，也就是說(shuō)ai形式。那么經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)后點(diǎn)陣基矢方向在點(diǎn)陣坐標(biāo)系下的表示就是M的三個(gè)列向量或者說(shuō)點(diǎn)陣基矢與在點(diǎn)陣坐標(biāo)系下M個(gè)基矢的矢量形成單位矩陣U，與它們平行的點(diǎn)陣中的三個(gè)矢量可以從下式求得：U=M-1UM,它們正好是M的三個(gè)行向量。同理可得，M矩陣的取向的測(cè)量數(shù)據(jù)都可以用來(lái)計(jì)算位向關(guān)系矩陣張明星及Kelly[30]利用透射-些平行單位矢量可以求出位向關(guān)系矩陣（M=UU，這里U矩陣含測(cè)試的rR=tg(/2)，其中r1840（[26的表達(dá)式，F(xiàn)rank26]特別提倡采用羅德里格斯矢量，因?yàn)檫@個(gè)矢量具有下面要介紹的巧性質(zhì)。近年來(lái)這個(gè)矢量在表述位向關(guān)系上的應(yīng)用逐步受到重視[3133]，因此下面這里稍為詳細(xì)地介紹其特點(diǎn)。該方法的一個(gè)重要特點(diǎn)是疊加轉(zhuǎn)動(dòng)的直線(xiàn)性。也就是說(shuō)，在一個(gè)坐標(biāo)系下，如果一組羅德里格斯矢量終點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)改變參照系之后這些的矢量的終點(diǎn)仍然在一條線(xiàn)上。同理，原坐標(biāo)系下矢量決定的面，轉(zhuǎn)動(dòng)后仍然是面。這個(gè)特殊性質(zhì)是其它方式矢量表示的轉(zhuǎn)動(dòng)所不具備的。由于許多晶體具有轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于同相晶體的每個(gè)位向關(guān)系可以用不同的羅德里格斯矢量來(lái)等價(jià)表示。Frank[26]分析了由于對(duì)稱(chēng)性所形成的羅德里格斯矢量的重復(fù)區(qū)域，剔除等價(jià)的大矢量，選擇接近原點(diǎn)（即轉(zhuǎn)角小的轉(zhuǎn)動(dòng)fundamentalzoneoftheRmap矢量定義的基礎(chǔ)區(qū)被稱(chēng)為RodrguesFran（R-F空間[31-33]的基礎(chǔ)區(qū)為多邊形，如果根據(jù)晶體的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)軸選擇參照坐標(biāo)系，則基礎(chǔ)區(qū)形狀的對(duì)稱(chēng)軸與晶體的旋轉(zhuǎn)軸相關(guān)，但對(duì)稱(chēng)元素未必相等。比如對(duì)于正交系晶2He與Jonas[33uaegroups）能夠封閉的R-F空間基礎(chǔ)區(qū)的規(guī)則多邊形示意圖。andle[31應(yīng)用R-F空間分析奧氏體鋼中奧氏體晶粒之間的位向差數(shù)據(jù)，她根據(jù)立方晶體的對(duì)稱(chēng)性48忽視了轉(zhuǎn)軸的晶體指數(shù)的符號(hào)和順序。不少能夠形成重位點(diǎn)陣關(guān)系的位向差是繞著晶體的低指數(shù)軸以不同轉(zhuǎn)角形成，在R-F空間中同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果都落在一根直線(xiàn)上，因此使具有重位點(diǎn)陣的位向關(guān)系易于辨認(rèn)。而且，滿(mǎn)足重位點(diǎn)陣的位向差以羅德里格斯矢量描述時(shí)形式為整數(shù)比，比以轉(zhuǎn)角表示更能反映角度的特殊性（見(jiàn)表33。此外，小角度晶界也容易分辨，因?yàn)樗鼈兌x短羅德里格斯矢量，這些矢量自然集中在原點(diǎn)附近。如果選擇一對(duì)正交（或立方）的晶體（對(duì)稱(chēng)）軸平行為0度，R-F（例fcc向bcc[32,33R-F是三維的，以二維圖示時(shí)必須采用投影或截面3133]，因此不如在極圖中表示位向關(guān)系的方法簡(jiǎn)便。-F空間主要方便辨認(rèn)有規(guī)律的位向關(guān)系特征，但不太坐標(biāo)系中表示。該方法的特點(diǎn)是新相與母相晶體的位向關(guān)系一目了然。平行關(guān)系有用晶面或者晶向指數(shù)的。例如滲碳體（C）(A)之間的Pitsch位向4坐標(biāo)系中表示。該方法的特點(diǎn)是新相與母相晶體的位向關(guān)系一目了然。平行關(guān)系有用晶面或者晶向指數(shù)的。例如滲碳體（C）(A)之間的Pitsch位向4：(100)C//(5–5(010)C//(11(001)C//(–225)A和Thompson- 位向關(guān)系[35][100]C//[11[010]C//[1–1[001]C//[44–1]A描述位向關(guān)系的另一種常見(jiàn)方法，是根據(jù)位向關(guān)系的低指數(shù)晶面或晶向平行的特征。比如一對(duì)有理晶面平行和一（或二）對(duì)有理晶向平行，最好是用平行（的一對(duì)晶面{n,n}表示,而不一定采用晶胞的基矢。常用的組合是，在平行的g和g面中存在平行的b和bgb//b現(xiàn)或提出者命名。比如金屬材料常見(jiàn)的fcc(面心立方)/bcc(體心立方)系統(tǒng)的K-S[36]和N-W位向關(guān)系[37]就是根據(jù)馬氏體相變機(jī)制研究提出的兩種位向關(guān)系。表3.1列出上述兩種常用位向關(guān)系和簡(jiǎn)單bcc/hcp(密排六方)系統(tǒng)中常見(jiàn)的的Burgers位向關(guān)系[38]（其中下f，b，h分別代表fcc,bcc,hcp。表3.1.簡(jiǎn)單金屬相之間常用位向關(guān)能夠用低指數(shù)方向或面平行定義的位向關(guān)系也稱(chēng)有理(rational)位向關(guān)系，與之相對(duì)應(yīng)的無(wú)理(irrational)位向關(guān)系的特點(diǎn)是位向關(guān)系不能全部由低指數(shù)方向或面平行來(lái)定義。隨著測(cè)試精度的提高，有些早期被認(rèn)為有理位向關(guān)系的相變系統(tǒng)，被重新測(cè)定為無(wú)理位向關(guān)系。如果有一個(gè)有理方向或面仍然平行，而另一組有偏差，則實(shí)際位向關(guān)系仍可以通過(guò)這兩組平行關(guān)系作為起始點(diǎn)采用軸角{，}法來(lái)表達(dá)。即平行方向（或平行面的法線(xiàn)）定義了旋轉(zhuǎn)軸，另一組相{111}f//{11{111}f//{11(001)h//{11<01-1>f//<-11<-110>f//<00<11-20>h//<-11偏轉(zhuǎn)角，例如馬氏體表象理論習(xí)慣用偏轉(zhuǎn)角描述位向關(guān)系偏轉(zhuǎn)角，例如馬氏體表象理論習(xí)慣用偏轉(zhuǎn)角描述位向關(guān)系]。這種方法方便理論和實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)照，同時(shí)便于理解其物理意義，不過(guò)由于往往缺少對(duì)轉(zhuǎn)軸的限定，描述不夠準(zhǔn)確。此外，也可以保持其中一相的晶體指數(shù)，另一相的指數(shù)gbvir上述關(guān)系中下標(biāo)“ir”表示無(wú)理位向。這種方法既提供了精確的結(jié)果，又便于邱冬等[40]運(yùn)用一相嚴(yán)格平行低指數(shù)帶軸條件下的測(cè)試結(jié)果計(jì)算位向關(guān)系矩采用面/位向關(guān)系的不唯一性。一些對(duì)稱(chēng)性高的系統(tǒng)中，同一個(gè)位向關(guān)系可能采用不同的晶面//晶向表述可能意味晶體學(xué)不等價(jià)的位向關(guān)系。前一種情況較為容易理解，后一種情況容易引起誤解。如果對(duì)平行面之一進(jìn)行鏡面對(duì)稱(chēng)操作，面/向結(jié)合的位向關(guān)系的數(shù)學(xué)表述不發(fā)生本質(zhì)改變，但如果這個(gè)操作與晶體的對(duì)稱(chēng)性不一致，位向關(guān)系實(shí)際上會(huì)不一樣。具體說(shuō)，如果平行晶面是其中一個(gè)晶體的鏡面對(duì)稱(chēng)面，那么對(duì)該晶面法向反轉(zhuǎn)不會(huì)造成新的位向關(guān)系。表31中幾個(gè)晶面/晶向位向關(guān)系例子中都包{110b{110}b是bcc-S(111)f孿晶bcc(110b，孿晶兩側(cè)的fcc與bcc不同變體(Varians)。也就是說(shuō)如果對(duì)平行面進(jìn)行鏡面對(duì)稱(chēng)操作，結(jié)果得到的位向關(guān)系是晶體學(xué)等價(jià)的。當(dāng)平行的晶面不是晶體對(duì)稱(chēng)操作的鏡面時(shí)，以面/向結(jié)合表述位向關(guān)系就不是唯一的。比如上述滲碳體和奧氏體之間的Pitsch位向關(guān)系和hopson-oll[010C<1–10{103}C與{111}A近似平行。即使存在嚴(yán)格平行關(guān)系，這一對(duì)晶面/晶向表述，其與位向關(guān)系的研究相比，關(guān)于界面取向的研究結(jié)果要少很多。由于 精確表征尚未得到足夠重視。這一方面是受表征方法的局限。雖然EBSD方法3.4.界面結(jié)構(gòu)的定量描探索界面結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)長(zhǎng)達(dá)一個(gè)世紀(jì)。長(zhǎng)期以來(lái)，人們不斷探索兩個(gè)晶體如何在界面處結(jié)合一起，并且提出不少界面結(jié)構(gòu)模型。由于受當(dāng)時(shí)實(shí)驗(yàn)手段的局限，這些早期模型主要根據(jù)金屬材料中晶界的性能推測(cè)結(jié)構(gòu)，一部分模型以定性描述為主，例如非晶態(tài)薄膜模型，島狀好區(qū)模型，無(wú)序原子群模型等，這些模型對(duì)后期理論發(fā)展有啟發(fā)意義。關(guān)于這些早期模型的回顧可以參閱葛庭燧:晶界弛豫與晶界結(jié)構(gòu)》3]量模型。晶界結(jié)構(gòu)的定量模型的發(fā)展可以劃出兩個(gè)分支：一個(gè)是位錯(cuò)模型。晶界的位錯(cuò)模型大約從30年代末開(kāi)始發(fā)展(引自1，定量計(jì)算的里程碑結(jié)果包括美國(guó)學(xué)者ed和Shockey的位錯(cuò)間距和界面能計(jì)算公式4,英國(guó)學(xué)者Frank（FrankForula3]及ilby[44在這基礎(chǔ)上發(fā)展的位錯(cuò)含量矩陣計(jì)算公式（一般稱(chēng)Frank-Bilby公式，60年代末瑞士物理學(xué)家Bollmann繼承了Frank-ilby公式的長(zhǎng)處創(chuàng)建了O點(diǎn)陣?yán)碚?9]Frank-ilby公式以及O點(diǎn)陣?yán)碚撈者m于晶界和相界上界面位錯(cuò)的計(jì)算。另一個(gè)描述界面結(jié)191Friedel的共用點(diǎn)陣模型（引自5]。經(jīng)大量研究者的貢獻(xiàn)，目前重位點(diǎn)陣模型已經(jīng)成為描述特殊大角度晶界的常用模型。O點(diǎn)陣?yán)碚撌且粋€(gè)集大成的發(fā)展，它包括了小角度晶界和特殊大角度界面結(jié)構(gòu)的描述，被認(rèn)為是最普適的界面結(jié)構(gòu)幾何現(xiàn)代技術(shù)和科學(xué)使直接觀察和測(cè)量界面結(jié)構(gòu)成為可能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，大多3]側(cè)的晶體結(jié)構(gòu)往往盡可能維持到交界處，因此界面附近明顯原子畸變的區(qū)域一般可限于～2層原子厚度。對(duì)于簡(jiǎn)單金屬相（金屬固溶體）晶體而言，當(dāng)錯(cuò)配較小時(shí)，界面原子具有恢復(fù)晶體結(jié)構(gòu)近鄰關(guān)系（共格）的趨勢(shì)。然而，自然典型的共格相界是p（例鈷鎳合金中馬氏體慣習(xí)面。多數(shù)材料的點(diǎn)陣晶體常數(shù)或界面幾何不允許的界面全部由共格結(jié)構(gòu)組forcedcoherent)的體系存在長(zhǎng)程應(yīng)變場(chǎng)。如果界面本身面積較大，而且界面的錯(cuò)配不大，強(qiáng)迫共格仍然可以在界面上足夠大面積上局部維持，這些共格區(qū)域的邊界就是位錯(cuò)。許多金屬材料中小角度晶界和一些沉淀相的慣習(xí)面的實(shí)驗(yàn)觀察結(jié)果支持位Read和Shockley[42]試圖應(yīng)用位錯(cuò)模型描述所有晶界，但是如果計(jì)算出的位錯(cuò)間距非常小，以至于位錯(cuò)芯重疊，那么位錯(cuò)間本來(lái)屬于“不錯(cuò)”的區(qū)域失去物理意義?，F(xiàn)在通常不把這種大錯(cuò)配界面歸為半共格界面，也不以位錯(cuò)模型描述。人們將一般大角度晶界描述為有非共格結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)但難以用定量模型描述。不過(guò)，如果可以確保計(jì)算出來(lái)的小間距位錯(cuò)之間有一個(gè)真正共格點(diǎn)，那么可以期望這種界面的界面能也會(huì)比較低。對(duì)于一些結(jié)構(gòu)的界面，在界面宏觀幾何五維空間中的確存在一些特殊坐標(biāo)值，對(duì)應(yīng)這些坐標(biāo)值的界面上可以計(jì)算出規(guī)則分布的高密度的共格點(diǎn)，即規(guī)則共格結(jié)構(gòu)。有不少自然擇優(yōu)的界面，特別是立方系中的奇異晶界可以用規(guī)則共格結(jié)構(gòu)描述。規(guī)則共格的周期性可以用重位點(diǎn)陣模型描述。當(dāng)點(diǎn)陣晶體常數(shù)或界面幾何不允許的界面全部呈現(xiàn)完全規(guī)則共格結(jié)構(gòu)時(shí)，如果偏離十分小或界面的面積很小，界面可能具有強(qiáng)迫完全規(guī)則共格（forcedregularlycoherent)結(jié)構(gòu)。如果偏離不大，規(guī)則共格可以存在一定尺度面積的區(qū)域中，局銳界面結(jié)構(gòu)的特征通?？梢源致缘胤殖蓛蓚€(gè)層次來(lái)描述，在較粗的層次以界面上的線(xiàn)缺陷來(lái)描述，線(xiàn)缺陷一般指界面失配位錯(cuò)，有時(shí)也包括界面臺(tái)階。在較細(xì)的層次包括原子的具體位置，不同元素原子的分布，界面附近的電子密度等。位錯(cuò)之間原子結(jié)構(gòu)變形的定量描述需要復(fù)雜計(jì)算。onnet及其同事曾經(jīng)采用連續(xù)柏氏矢量(Soiglianadislocation)的計(jì)算模型分析了半共格界面附近錯(cuò)配應(yīng)變場(chǎng)和位錯(cuò)應(yīng)變場(chǎng)的共同作用下在各個(gè)原子位置產(chǎn)生的位移[46]i3Al/Ni3/Nb[47有理界面。對(duì)于一般半共格界面，人們往往更關(guān)心位錯(cuò)組態(tài)；對(duì)于規(guī)則或半規(guī)則共格界面，人們往往更關(guān)心規(guī)則結(jié)構(gòu)，在這基礎(chǔ)上才能分析位錯(cuò)組態(tài)。人們?cè)谠咏Y(jié)構(gòu)的尺度建立了不同模型來(lái)描述界面規(guī)則結(jié)構(gòu)，并試圖建立原子尺度的模型統(tǒng)一描述不同類(lèi)型的界面結(jié)構(gòu)。從較早期模型的推測(cè)到后來(lái)基于能量計(jì)算，這些模型的共同點(diǎn)是以原子結(jié)構(gòu)單元構(gòu)造界面結(jié)構(gòu)。這些模型為在原子層對(duì)于給定體系和界面形成條件（假設(shè)局域平衡，一旦界面的五維空間宏觀幾何是確定的，界面的較粗層次和較細(xì)層次的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)就基本確定。因此可以建立界面宏觀幾何與界面結(jié)構(gòu)特征的關(guān)較細(xì)層次的結(jié)構(gòu)的精確描述（即特征(即位錯(cuò)組態(tài)和結(jié)構(gòu)單元的尺度)與界面宏觀幾何的聯(lián)系可以通過(guò)幾何計(jì)特征(即位錯(cuò)組態(tài)和結(jié)構(gòu)單元的尺度)與界面宏觀幾何的聯(lián)系可以通過(guò)幾何計(jì)科研究生學(xué)習(xí)和應(yīng)用。許多相關(guān)教科書(shū)中介紹了簡(jiǎn)單的界面位錯(cuò)間距隨位向差或錯(cuò)配度改變的計(jì)算公式，但那些常見(jiàn)公式只用于特殊界面，例如特殊取向的[48]般的界面。對(duì)于一般的情況，如何計(jì)算界面錯(cuò)配？如何確定界面位錯(cuò)結(jié)構(gòu)？這O,具描述三維晶間錯(cuò)配場(chǎng)，提供了半共格（和半規(guī)則共格）界面位錯(cuò)分析的簡(jiǎn)潔計(jì)算公式。隨后介紹的重位點(diǎn)陣模型主要用于描述規(guī)則共格界面結(jié)構(gòu)。最后介錯(cuò)配分析和O點(diǎn)陣的基本概念如果界面宏觀幾何允許，界面會(huì)趨于形成盡可能大區(qū)域的低能結(jié)構(gòu)。在O點(diǎn)陣稱(chēng)之為一次擇優(yōu)態(tài)(primarypreferredstate)，其特征是兩側(cè)點(diǎn)陣在界面上完全連續(xù);另一類(lèi)為完全規(guī)則共格的區(qū)，稱(chēng)之為二次擇優(yōu)態(tài)(secondarypreferredstate)，界面（完全共格區(qū)的結(jié)構(gòu)單元與兩側(cè)晶體的結(jié)構(gòu)單元的尺寸相當(dāng)3.2是具有一次和二次擇優(yōu)態(tài)界面結(jié)構(gòu)的示意圖。圖3.2a中的界面是半共格的，圖3.2b3.2.（a）（b）間是規(guī)則共格的（GMZ=goodmatchingzone,即匹配好區(qū)）[49]。矢量未必躺在界面上。O點(diǎn)陣模型對(duì)位錯(cuò)柏氏矢量相對(duì)于位錯(cuò)和界面的取向沒(méi)”陣的平移矢量（或一側(cè)點(diǎn)陣的柏氏矢量，如果另一側(cè)部分原子可通過(guò)微調(diào)（shuffe）實(shí)現(xiàn)界面共格，例如一相是hcp的情況。這種情況下，界面位錯(cuò)的柏氏矢量往往與晶內(nèi)位錯(cuò)的一樣，所以容易理解。同理，如果位錯(cuò)間是二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)，該位錯(cuò)稱(chēng)二次位錯(cuò)9]。要使相鄰區(qū)域重復(fù)實(shí)現(xiàn)二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)，二次位錯(cuò)的柏氏矢量也應(yīng)該來(lái)自特殊的選擇，這將在342.雜的系統(tǒng)可能在不同取向的界面出現(xiàn)不同優(yōu)態(tài)。我們先以一次擇優(yōu)態(tài)為例介紹O點(diǎn)陣?yán)碚摰幕靖拍頪8,9]，這些分析方法及3.3兩個(gè)正方二維點(diǎn)陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)形成的二O個(gè)點(diǎn)陣的晶體常數(shù)和它們的位向關(guān)系。首先，選擇一個(gè)方便的公用坐標(biāo)系，將兩個(gè)點(diǎn)陣按位向關(guān)系擺放，并從各點(diǎn)陣中任選一個(gè)點(diǎn)，在讓它們?cè)谠c(diǎn)重合。假想兩個(gè)點(diǎn)陣的陣點(diǎn)按各自周期在三維空間互相穿插，那么陣點(diǎn)之間的匹配會(huì)在空間中形成一個(gè)變化的分布。圖33實(shí)心和空心圓分別代表不同點(diǎn)陣的陣點(diǎn)。這兩個(gè)點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)相同，但它們之間存O33原點(diǎn)附近區(qū)域中相鄰的實(shí)心和空心圓間的錯(cuò)配（對(duì)不齊）先隨離原點(diǎn)的距離逐漸增大然后減小，在一定方向上交替發(fā)生錯(cuò)配的增加和減少。可以用一個(gè)周期O33中心就是一個(gè)O點(diǎn)（以較大的空心圓表示），其嚴(yán)格定義是錯(cuò)配為零的位置。OO3.3方點(diǎn)陣穿插形成的投影，我們可以想象在空間存在許多層同樣的二維O點(diǎn)陣，OOO圖34在圖3.3在圖3.3中的O點(diǎn)可以看成是O線(xiàn)的投影。一般情況稱(chēng)零錯(cuò)配位置為O單（O-element），它可以是點(diǎn)，線(xiàn)或面。相鄰O單元由大錯(cuò)配區(qū)分開(kāi)(例圖3.3中方型網(wǎng)的位置)，在三維空間這些大錯(cuò)配區(qū)是面，稱(chēng)為O胞壁。以O(shè)單元為中心、由O胞壁包圍區(qū)域稱(chēng)為O胞。每組平行的O胞壁對(duì)應(yīng)一個(gè)特定柏氏矢量，后面會(huì)給定量關(guān)系。圖3.4是一個(gè)O線(xiàn)點(diǎn)陣中O胞壁的三維示意圖。其中每一根O線(xiàn)由井字形的O胞壁圍繞。OO單元和O胞壁構(gòu)成的三維錯(cuò)配分布，考察一個(gè)界面上可能的位錯(cuò)組態(tài)。在數(shù)學(xué)上，根據(jù)三維錯(cuò)配分布可以求出任意一個(gè)截面上的錯(cuò)配。不過(guò)這個(gè)錯(cuò)配分布與界面位錯(cuò)的關(guān)系取決于實(shí)際松弛。O點(diǎn)陣的構(gòu)造在本質(zhì)上是一個(gè)剛性模型，上述錯(cuò)配分析是在界面兩側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)陣保持原有結(jié)構(gòu)下進(jìn)行的。如果讓原子自由松弛，O胞尺寸足夠大使O胞內(nèi)含一定數(shù)量的原子（圖33，在界面上O單元附近相互之間“錯(cuò)開(kāi)”不多的晶格點(diǎn)可以成為一個(gè)共格點(diǎn)，為兩側(cè)晶體分享。于是，在界面上O胞壁跡線(xiàn)包圍的區(qū)內(nèi)，會(huì)OO點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)中錯(cuò)配最大的區(qū)域，自然成為共格區(qū)之間失配位錯(cuò)最可能的位置。按照上述分析，我們可以根據(jù)O點(diǎn)陣被界面截過(guò)的面上的錯(cuò)配分布來(lái)計(jì)算不同柏氏矢量位錯(cuò)組態(tài)。在將O胞壁的跡線(xiàn)計(jì)算為位錯(cuò)關(guān)系中，我們強(qiáng)調(diào)了一個(gè)重要前提：該位錯(cuò)之間必須存在一個(gè)界面截過(guò)一個(gè)O單元作為位錯(cuò)間共格區(qū)的松弛中心。以圖3.4中的O點(diǎn)陣為例。當(dāng)界面垂直于O線(xiàn)時(shí)，界面截O胞壁得到正方3.3OOO一層O胞壁）時(shí)，界面截O胞壁于O線(xiàn)交替分布，這里O胞壁的跡線(xiàn)代表對(duì)稱(chēng)傾轉(zhuǎn)晶界的O面截過(guò)的O線(xiàn)，這里O胞壁的跡線(xiàn)代于底邊的仍為螺位錯(cuò)。早期O點(diǎn)陣模O胞壁的跡線(xiàn)計(jì)算為位錯(cuò)線(xiàn)時(shí)，沒(méi)有強(qiáng)調(diào)跡線(xiàn)之間應(yīng)該存在O單部含O單元與O胞壁跡線(xiàn)交替的界面。例如，在圖3.4O點(diǎn)陣中，如果界有一些跡線(xiàn)不與O線(xiàn)交替分布，這些O胞壁的跡線(xiàn)不能代表位錯(cuò)。可以將這個(gè)界面沿含一組近O線(xiàn)的方式分解，所得的含臺(tái)階的界面O線(xiàn)與兩O胞壁的跡線(xiàn)交替分布，兩種O胞壁的跡線(xiàn)分別代表非對(duì)稱(chēng)傾轉(zhuǎn)晶界上兩種柏氏矢量的O限在共格區(qū)內(nèi)，因此界面不存在長(zhǎng)程應(yīng)變場(chǎng)。一般來(lái)說(shuō)，如果界面只存在少于三組位錯(cuò)，剛性模型的結(jié)果可能與實(shí)際界面位錯(cuò)結(jié)構(gòu)相當(dāng)吻合；如果界面存在三組位錯(cuò)，剛性模型的計(jì)算結(jié)果可以作為討論松弛之后位錯(cuò)組態(tài)的出發(fā)點(diǎn)。雖然幾何做圖法直觀地演示了O點(diǎn)陣的主要概念及其與界面位錯(cuò)的關(guān)系，實(shí)際應(yīng)用中OO點(diǎn)陣計(jì)O-點(diǎn)陣的矩陣運(yùn)算基OO錯(cuò)配應(yīng)變場(chǎng)（isfitstrainfield，簡(jiǎn)稱(chēng)錯(cuò)配場(chǎng)O胞內(nèi)任意矢量之間的錯(cuò)配。那些在共格或半共格界面上能夠成為共格點(diǎn)的位置，在松弛之前的剛性模型中一般對(duì)應(yīng)來(lái)自不同點(diǎn)陣的兩個(gè)位置相近的點(diǎn)，這兩個(gè)相近點(diǎn)之間的偏差就是錯(cuò)配?？梢杂盟鼈冎g的位移表示，這就是錯(cuò)配位從原點(diǎn)出發(fā)，以一對(duì)矢量定義中心O胞內(nèi)相近點(diǎn)的位置。稱(chēng)這對(duì)矢量為相vectors有在中心O胞內(nèi)，由轉(zhuǎn)變矩陣A聯(lián)系的相關(guān)矢量之間的位移是錯(cuò)配位移。盡管如此，下面會(huì)看到，轉(zhuǎn)變矩陣A的建立對(duì)分析空間的錯(cuò)配度的重要出發(fā)點(diǎn)。也可以在測(cè)量或推測(cè)的基礎(chǔ)上根據(jù)擇優(yōu)判（例O線(xiàn)要求加以小角度取曾經(jīng)使OO胞內(nèi)錯(cuò)配近鄰關(guān)系決correspondence因?yàn)樵谥行腛胞內(nèi)相關(guān)關(guān)系總是建立在近鄰點(diǎn)之間，Bollmann[8]建議以最近錯(cuò)配場(chǎng)的建立是將晶體點(diǎn)陣的差異，界面的宏觀幾何，及界面的擇優(yōu)態(tài)，統(tǒng)O個(gè)不共面的相關(guān)矢量，就可以計(jì)算出錯(cuò)配場(chǎng)。如果已知錯(cuò)配場(chǎng)可以計(jì)算，點(diǎn)陣之間中所有相關(guān)矢量。一般中心O胞尺寸至少應(yīng)該是柏氏矢量的若干倍，柏氏矢量一定在中心O胞內(nèi)。在選定坐標(biāo)系下，根據(jù)晶體常數(shù)、位向關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，可以定量表述任何三對(duì)不共面的相關(guān)柏氏矢量。以這些柏氏矢量的下面我們Bollmann給出的黃銅中fcc（）bcc（）紹 點(diǎn)陣的計(jì)算[50]。計(jì)算錯(cuò)配場(chǎng)的三個(gè)已知數(shù)據(jù)為：兩相的晶體常W表f//(110)，[-110]f//[001]b。按照最近鄰法則選擇了三對(duì)不共面的相關(guān)柏氏矢量。將這三對(duì)矢量以列向量分別表達(dá)在兩個(gè)3×3矩陣（公式3.1）F矩陣的列向量為三個(gè)cB矩陣的相應(yīng)列向量是bccF中列向量相關(guān)的102212122122B 1F221121202關(guān)系是fcc/bcc體系著名的Bain關(guān)系的一種表示它們之間由相關(guān)矩陣C聯(lián)系：B=不能用來(lái)計(jì)算錯(cuò)配，因?yàn)樗?lián)系的矢量分別在各自的坐標(biāo)系中表示。只有在公olmnn選擇了圖350]fcc/bcc單胞分別沿y([-110]f//[001]b)，z([111]f//[110]b)S矩陣的列向量B矩陣中的三個(gè)柏氏矢量表示為S66420642060S fcc/bcc單胞分別沿y([-110]f//[001]b)，z([111]f//[110]b)S矩陣的列向量B矩陣中的三個(gè)柏氏矢量表示為S66420642060S 3 003222221202012Sa0 22AS=我們可以根據(jù)公式（3.3.中）的S和S00- A=S 00000- A=S 000為了后面推導(dǎo)方便，對(duì)于一般的情況，我們都規(guī)定轉(zhuǎn)變前點(diǎn)陣為，轉(zhuǎn)變后為AR代表轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。此外，位向關(guān)系的改變也可以通過(guò)疊加轉(zhuǎn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)，即=RA0，這里A0是初始位向關(guān)系下的轉(zhuǎn)變矩陣。疊加轉(zhuǎn)動(dòng)的前提是轉(zhuǎn)角不太大，有了轉(zhuǎn)變矩陣，可以求任意矢量x的相關(guān)矢量xx=Ax在錯(cuò)配被位錯(cuò)完全松弛的半共格界面上，只有在中心O胞范圍內(nèi)，相關(guān)矢量之間的位移才是錯(cuò)配位移。在剛性模型中，當(dāng)相關(guān)矢量超過(guò)這個(gè)范圍時(shí)，相關(guān)矢量聯(lián)系的一對(duì)陣點(diǎn)可能相距很遠(yuǎn)，此時(shí)相關(guān)位移不能解釋為錯(cuò)配位移。然而相關(guān)矢量之間的位移（稱(chēng)之為相關(guān)位移）是分析錯(cuò)配位移的基礎(chǔ)，如果x是任意xxxx這里位移的方向我們采用了O點(diǎn)陣及馬氏體表象理論中的習(xí)慣。當(dāng)描述某一點(diǎn)于是，由矢量x所定義的點(diǎn)（或矢量x本身）的相關(guān)位移為x=x-A-1x=TxT=I–A-1上面TOT1]因此T可以理解為定義錯(cuò)配場(chǎng)的矩陣。作為A的函數(shù)，它同樣由晶體常數(shù)、位向關(guān)系和相倒易空間的相關(guān)位移也可以用位移矩陣T來(lái)計(jì)算根據(jù)正空間和倒易空間換的關(guān)系[11]，我們也可以從點(diǎn)陣的倒易空間的相關(guān)位移也可以用位移矩陣T來(lái)計(jì)算根據(jù)正空間和倒易空間換的關(guān)系[11]，我們也可以從點(diǎn)陣的倒易矢r(A)-1rr=r-rA-r求出其相關(guān)的倒易矢量rT注意在倒易空間中用T計(jì)算時(shí)，采用為名義點(diǎn)陣。只要在應(yīng)用中明確位移的O-點(diǎn)陣的定量描x在中心O胞內(nèi)時(shí)，它的相關(guān)位移才是錯(cuò)配位移。如圖3.6所示（圖3.3.的局部放大），圖3.6.相關(guān)位移和錯(cuò)配位移區(qū)的示意x的長(zhǎng)度超越了中心O胞時(shí)它的相關(guān)矢定義的點(diǎn)不x所定義點(diǎn)的鄰近。設(shè)x點(diǎn)最近的點(diǎn)由xn來(lái)表示，它們之間位移為錯(cuò)配位移，它可以寫(xiě)成xmxxn任何陣點(diǎn)之間的平移都可以由點(diǎn)陣中的柏氏矢量iiL的線(xiàn)性組i表示i為整數(shù)，下標(biāo)i用來(lái)注明某個(gè)特定矢量）。于是，我們可以出n一般的表達(dá)Lxn=x+∑kibi將公式（3.12）帶入公式（3.11）可L=x(x+∑kibixkibLi根據(jù)錯(cuò)配位移的定義， 相關(guān)的最小的位移矢量，即滿(mǎn)xmxmbiL在零錯(cuò)配的條件下，xm=0，式（3.13）可以表達(dá)xTx=∑kibLixTx=∑kibLi點(diǎn)的錯(cuò)配為零。根據(jù)O單元的零錯(cuò)配定義，所有滿(mǎn)足以上條件的位置就構(gòu)成O點(diǎn)陣中O單元。為了直觀起見(jiàn)，在上面的推導(dǎo)以及圖3.6中，我們讓定義了一個(gè)陣點(diǎn)，單元作為數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格的零錯(cuò)配的位置，不一定是晶體點(diǎn)陣的格點(diǎn)（參考或3.6），而往往只是一個(gè)數(shù)學(xué)點(diǎn)。在原子結(jié)構(gòu)的層次上，每個(gè)O單元附近的中的一個(gè)點(diǎn)）作為原點(diǎn)地進(jìn)行計(jì)算，所獲得O點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)完全等價(jià)，所O點(diǎn)比鄰O胞（隔一層O胞壁）O點(diǎn)為原點(diǎn)的計(jì)算，相關(guān)關(guān)系改變了bL（i3.3）移為biL，因此xiO可以表示為：TxiObiL上式就是Bollmann著名的O點(diǎn)陣計(jì)算公式[8]。習(xí)慣上沒(méi)有給以上公式中矢量注下標(biāo)，但是Bollmann強(qiáng)調(diào)了柏氏矢量必須來(lái)自α參照點(diǎn)陣（rferencelattice,（3.6）要也記住xiO是來(lái)自β名義點(diǎn)陣。然而不難證明，不論O點(diǎn)以哪一個(gè)晶體點(diǎn)陣的名義來(lái)考察位移，都具有零錯(cuò)配的性質(zhì)，交換參照點(diǎn)陣所得到的O點(diǎn)陣是一OxiOO（3.15過(guò)三個(gè)不共面biL從下公式求得三個(gè)不共面xiOT-1biLxiO|T-1|O與參照點(diǎn)陣單胞體積比。因此|T-1|的值越大，O胞越大為便于數(shù)值計(jì)算與做圖法構(gòu)造的O點(diǎn)陣相互直觀驗(yàn)證，下面以圖3.3中轉(zhuǎn)動(dòng)OxiOO點(diǎn)陣中標(biāo)出了用以上公O點(diǎn)陣矢量xiO以及描述它們相關(guān)的位移的兩個(gè)biL（參照放大的圖3.6。具體計(jì)算如下。我們隨機(jī)挑選實(shí)心點(diǎn)為點(diǎn)陣，空心biL（參照放大的圖3.6。具體計(jì)算如下。我們隨機(jī)挑選實(shí)心點(diǎn)為點(diǎn)陣，空心3.6，任選點(diǎn)陣中一個(gè)長(zhǎng)度為r、偏x-軸為逆時(shí)針角的矢量x可以表示為xrcos,sin。這里方括號(hào)中代表列向量。x經(jīng)轉(zhuǎn)動(dòng)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)（右手定則）到x，R0通過(guò)下列矩陣公式計(jì)算的x與圖吻合，即xx=Rx=rcos(,sin(下一步將R取代公式（3.8b）中A矩陣計(jì)算T。因?yàn)閦坐標(biāo)方向沒(méi)有位移，為了簡(jiǎn)化運(yùn)算我們直接用2×2矩陣，可得T11cos2sin/2sin/cos/cos/sin/2×2TT-1T1 cos(90/2)sin(90/2)2sin/2sin(90/cos(90/以圖3.6中柏氏矢量b2為例計(jì)算主O點(diǎn)陣矢量xO圖中可見(jiàn)b在y軸方向(b222T-1[0,b]，b=|b2|)b2帶入公式（3.16）Ox2=b[cos(/2),同理我們可以求出xO，從而通過(guò)平移xOxO獲得這個(gè)面上O點(diǎn)陣。我們112 個(gè)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)90/2疊加各向同性伸長(zhǎng)1/(2sin/2)倍的轉(zhuǎn)變。從圖3.6可見(jiàn)xO的方向正好相b順時(shí)針轉(zhuǎn)90/2，圖上還可xO的長(zhǎng)度與O胞壁跡22ib/(2sin/2)得到的O點(diǎn)陣結(jié)構(gòu)是一致的。在上述簡(jiǎn)單情況中，我們選用的計(jì)算O點(diǎn)陣的在上述簡(jiǎn)單情況中，我們選用的計(jì)算O點(diǎn)陣的坐標(biāo)系與點(diǎn)陣晶體坐標(biāo)系一致。但是對(duì)于較復(fù)雜的情況，例如圖3.5中，兩相的晶體坐標(biāo)軸與計(jì)算O點(diǎn)3.5FS中的列向量是相同矢量在不同坐標(biāo)系的表示，它們之間由坐標(biāo)變換矩陣聯(lián)系，即S=QofF。從已知的F和S可QofSF-1fcc表示的bb=Qofbf。同理，我們可以獲得從bcc到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣QobSB-1如果需要把在公用直角坐標(biāo)系下的計(jì)算結(jié)果矢量x轉(zhuǎn)換為晶體點(diǎn)陣的基中，只x=Q-1x，或x= xfbg=(Qof)-1gfg=(Qob)-1gbrf=rb=Qobr在前面轉(zhuǎn)動(dòng)的例子里因?yàn)閦方向沒(méi)有錯(cuò)配所以在三維空間O點(diǎn)陣為平行于z方向的O線(xiàn)。當(dāng)T是滿(mǎn)秩矩陣，存在O點(diǎn)的點(diǎn)陣，公式（3.15）可解。對(duì)應(yīng)T矩陣的秩分別為21的情況，如果公式（3.15）可解，O單元分別為O線(xiàn)和O面。此時(shí)xiO的解并不是唯一，O單元由所有解的集合所定義。一般來(lái)說(shuō)在T為降秩矩陣的情況下，對(duì)于給定biL，公式（3.15）往往可能是三維空間到低維的投影。也就是說(shuō)，位移矢量只存在T規(guī)定的二維或一維空的不變線(xiàn)。可以證明[52]:正空間的位移分布在垂直于倒易空間不變線(xiàn)的平面上；倒易空間的位移分布在垂直于正空間不變線(xiàn)的平面上。當(dāng)T矩陣的秩為1時(shí)，A是一個(gè)具有不變面特時(shí)，A是一個(gè)具有不變面特征的變形，即經(jīng)A作用的結(jié)果，有一個(gè)面上的任何條件biL必須含T矩陣規(guī)定的位移空間里，對(duì)于一般的降秩矩T，位移空間里可能不含任biL，因此可能完全解不出周期性O(shè)單元。距嚴(yán)格相等，但面內(nèi)允許有錯(cuò)配。因此周期性O(shè)線(xiàn)的典型例子往往是來(lái)自轉(zhuǎn)O垂直于密排面的晶界（3.33.4T矩陣的秩1時(shí)，xi有解的條件位移方向平行于一個(gè)biL。這些的三維空間布滿(mǎn)周期性O(shè)線(xiàn)或O面的結(jié)果，對(duì)的兩相系統(tǒng)中極少出現(xiàn)三維周期分布的O單元。在通常相變系統(tǒng)中，當(dāng)T矩陣的秩為1時(shí)，最多只得到一個(gè)O面；當(dāng)T矩陣的秩為2時(shí)，只有一個(gè)biL可能垂直于倒易空間不變線(xiàn)，因此只能得到一組周期分布的O線(xiàn)。為主O點(diǎn)陣面[49,54]。這包括O點(diǎn)的點(diǎn)陣中含兩個(gè)主O點(diǎn)陣矢量的面，O線(xiàn)點(diǎn)陣中含O線(xiàn)的面，以及含O面的面。而不包括與三維分布的O線(xiàn)或O面相奇異特征[49]。于是，所有主O點(diǎn)陣面都是擇優(yōu)界面的候選面，因?yàn)樗鼈儩M(mǎn)足擇優(yōu)界面的奇異性和周期性特征[49]。雖然可通過(guò)主O點(diǎn)陣面所含的兩個(gè)主O點(diǎn)陣矢量求出面法線(xiàn)，但更簡(jiǎn)單的方法是用倒易矢量直接描述主O點(diǎn)陣面。相對(duì)于在公式（3.15）中正空間的O點(diǎn)陣定義，O點(diǎn)陣的倒易矢量xi*O可以表示為[9,11]xi*OT'gi(xi*Ogigi'A-1gIgTgg下標(biāo)I用來(lái)注明g必須聯(lián)系一次擇優(yōu)態(tài)的相關(guān)倒易矢量。上式說(shuō)明O點(diǎn)陣的倒易矢量可以由一對(duì)相關(guān)倒易3.7.g和矢量的位移表示。這意味著，O點(diǎn)陣面可以像晶體的點(diǎn)陣面一樣通過(guò)電子衍射斑點(diǎn)直接測(cè)量，如圖3.7矢量的位移表示。這意味著，O點(diǎn)陣面可以像晶體的點(diǎn)陣面一樣通過(guò)電子衍射斑點(diǎn)直接測(cè)量，如圖3.7所示[55]。定義主O點(diǎn)陣面的倒易矢量又稱(chēng)主gI，或gP-I。gP-L對(duì)應(yīng)的gP-面上必須含有至少兩個(gè)bi足上述條件的gP-面一般是最密排面或次密排面T是滿(mǎn)秩矩陣時(shí)，gP-IgP-gP-O陣面gP-I。從下面的公式可以驗(yàn)證[51]，時(shí)，垂直gP-I面上會(huì)含gP面 bi相關(guān)的主O點(diǎn)陣矢xi（公式（3.15gP-IxiOgP-TxiOgP-biL0因此，當(dāng)界面以gP-I為法向時(shí)，界面上位錯(cuò)的柏氏矢量限制在gP-面上，位錯(cuò)組數(shù)正好等于gP-面上biL數(shù)目O點(diǎn)陣面的數(shù)量與含兩個(gè)柏氏矢量的密排面當(dāng)T不是滿(mǎn)秩矩陣時(shí)，公式（3.29）中位移計(jì)算總是成立的。前面已經(jīng)討論，T的降秩時(shí)，位移空間的維數(shù)隨之減少T的秩是2時(shí)，根據(jù)不變應(yīng)變線(xiàn)的性質(zhì)可以證明[52,56]，凡是含不變線(xiàn)的界面，界面上的位移只在一個(gè)方向。（3.29）式可以開(kāi)拓為下面的廣義關(guān)系gP-IvgPTvgPd0也就是說(shuō)，gPI面上的任一點(diǎn)v的位移d一定在gP面上。如果位移d還含在另一個(gè)g面上，因此gd=0，那么與這個(gè)g相關(guān)的gI也垂直于界面。如果該界面上位移平行于某個(gè)bi，這個(gè)界面會(huì)垂直于一組平行（或反平行）gP-I，L這些gP-I相關(guān)的gP都這個(gè)biL晶帶軸上T的秩是1時(shí)，所有相關(guān)位移只在一個(gè)（正或反）方向[57]，所有g(shù)PI將互相平行（或反平行）O面的法向可以用任何一個(gè)gP-I來(lái)表征。因?yàn)樵谘苌浒咧新?lián)系低指數(shù)的gP-I是容易辨識(shí)，可以運(yùn)用透射電子顯微鏡精確測(cè)量gP-I來(lái)表征界面。當(dāng)界面垂直于一個(gè)gP-I時(shí)，界面含二或三組位錯(cuò)；當(dāng)界面垂直于多個(gè)線(xiàn)性相關(guān)的gP-I時(shí)，界面只含一組位錯(cuò)；當(dāng)界面垂直于三個(gè)非線(xiàn)性相關(guān)的gP-I時(shí)，界面不含位錯(cuò)。表3.2總結(jié)了T的秩、O單元的形狀、位移空間維數(shù)、主O點(diǎn)陣面?zhèn)€數(shù)、法向、及面上的位移的關(guān)系。OOTTOOO3O3gP-⊥gP-2O2gP-Ii&gP-（gP-Ii=gP-//b采用gP-I表示界面除了它方便測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)之外，該矢量還含其它有用信采用gP-I表示界面除了它方便測(cè)量的優(yōu)點(diǎn)之外，該矢量還含其它有用信息。對(duì)于O點(diǎn)的點(diǎn)陣的情況，gP-I的相對(duì)長(zhǎng)度還代表面上的陣點(diǎn)密度。垂直于模較長(zhǎng)gP-I的界面含較低密度O點(diǎn)和圍繞O點(diǎn)的位錯(cuò)，所以可能被擇優(yōu)[54]。不過(guò)當(dāng)位錯(cuò)間距較小時(shí)，一般難以通過(guò)倒易矢量gP-I代表的面有一個(gè)特殊的性質(zhì)，這為Moiré面(或譯為波紋面)，如圖3.8所示。我3.8.O點(diǎn)陣面平行于其相關(guān)兩個(gè)點(diǎn)陣面上一一匹配。的位置。當(dāng)相關(guān)面不平行時(shí)，在由主O點(diǎn)陣面定義的界面上這些相關(guān)面會(huì)一匹配。當(dāng)主O點(diǎn)陣面垂直于多個(gè)gP-I時(shí)，所有與這些gP-I相關(guān)的成對(duì)晶面組，都會(huì)在由主O點(diǎn)陣面定義的界面上一一匹配。這些匹配關(guān)系有助于分析界面的（3.31）轉(zhuǎn)界面的特殊的例子里，界面垂直于O胞壁，所以O(shè)胞壁的距離與位錯(cuò)的距離（O胞壁跡線(xiàn)距離）相等。此外可以證明，對(duì)于旋轉(zhuǎn)二維轉(zhuǎn)變的情況，O胞正好垂直于二維模型給出的主O點(diǎn)陣矢量于是O錯(cuò)間距與主O點(diǎn)陣矢量長(zhǎng)度正好相等：D|x2b/(2sin/2)（公式（3.21。因此，在這個(gè)特殊的例里，以O(shè)胞壁跡線(xiàn)計(jì)算的位錯(cuò)間距與一般教科書(shū)小角度晶界模型計(jì)算結(jié)果是吻合的[48]。在一般情況下O胞壁不一定垂直于主O點(diǎn)陣矢量并且界面不一定垂必須先定量描述O胞壁的幾何。3.9.O由于O胞壁上的錯(cuò)配位移相對(duì)于兩側(cè)的O單元是完全對(duì)稱(chēng)的，可以根據(jù)這所定義）的O胞壁為例考察錯(cuò)配位移。在含原點(diǎn)的O胞內(nèi)任意矢量x錯(cuò)配位gP-Ii&gP---1O1一組（所有位移b所有g(shù)P-0所有g(shù)P-為|Tx||TxbL|；在含Ox為|Tx||TxbL|；在含OxO的O胞內(nèi)矢量x的錯(cuò)配位移為|T(x≤|Tx|（這里恢復(fù)下標(biāo)的使用以澄清位移分析中的名義點(diǎn)陣和參照點(diǎn)陣。落O胞壁的矢xc必須滿(mǎn)足等錯(cuò)配位移條（3.9(a)）：|Txc|＝|T(xcxO)|示為圖3.9(b)中的等腰三角形，圖上可見(jiàn)TxcbL方向的投影關(guān)系：(bL/|bL|)(Txc)＝上公式與Bollmann[8]在一般坐標(biāo)系下的O胞公式是等價(jià)的，但直角坐標(biāo)系下的投影關(guān)系更簡(jiǎn)單。正如Bollmann注意到，xO/2xc的一個(gè)特解[8]O胞壁必須經(jīng)過(guò)xO/2，因?yàn)樗鼘?duì)應(yīng)的錯(cuò)配位移正好為bL/2。一般不以bL/2，而是以bL表征一個(gè)（或平行于它的一組）O胞壁的特征柏氏矢量。以xO相連的O點(diǎn)之O胞壁，與xO的相關(guān)位移相同。當(dāng)界面截過(guò)不同組O胞壁時(shí)，界面上每一根O胞壁的跡線(xiàn)所代表的位錯(cuò)對(duì)應(yīng)該O胞壁的特征柏氏矢量因此在為了方便O胞壁計(jì)算，我們定義點(diǎn)陣的一個(gè)倒易柏氏矢量bi*為L(zhǎng)bi*biL/|bi|該矢量代表點(diǎn)陣的一組垂直于bi的維格納賽茲（Wigner-Seitz）原胞的胞壁L利用上述定義，公式(3.32)可改寫(xiě)bi*Txc=1/2O胞壁的倒易矢量表達(dá)為ciOTbi*1/(2|cO|)，這個(gè)式子意味著所iii滿(mǎn)足于公式(3.32)的xc都落在垂直于ciO1/(2|ciO|)3.9(a)O的方向表示了O向。因?yàn)镺胞壁以原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，1/|ciO|正好是這一組O胞壁的面間距341O的跡線(xiàn)能夠代表位錯(cuò)的條件，即跡線(xiàn)之間必須存在界面截過(guò)的O單元，以確保位錯(cuò)之間有一個(gè)以O(shè)n條件，在計(jì)算位錯(cuò)之前我們需要知道界面截過(guò)哪些O胞壁。如圖34的例子比較簡(jiǎn)單，一般情況下，三維空間中每個(gè)O胞壁的尺寸是有限的。必須用界面實(shí)際上截過(guò)的O胞壁計(jì)算位錯(cuò)組態(tài)。界面截過(guò)的O胞壁可以通過(guò)界面上的xiO來(lái)(n+1/2xiniOOxiO方向時(shí)，界面必截過(guò)相應(yīng)的一組O胞壁。而且界xiO方向時(shí)，界面必截過(guò)相應(yīng)的一組O胞壁。而且界面上O胞壁跡線(xiàn)與被ObiLO個(gè)或三個(gè)xiOxiO對(duì)應(yīng)的一個(gè)biL可以確定用哪些ciO計(jì)算它們法向?yàn)閚的O氏矢量為biL的位錯(cuò)組態(tài)的通用計(jì)算公式i=nciO Di1/|i|公式（3.35-3.37）可統(tǒng)一用于計(jì)算含1，2，或3組位錯(cuò)的位錯(cuò)組態(tài)。在存在O胞壁在一定方向的尺寸可以看成是無(wú)限的（圖3.4，如果可以用曲面方程近k為整數(shù)，聯(lián)合求解得到位錯(cuò)的空間組態(tài)。前面已經(jīng)知道，O點(diǎn)陣的結(jié)構(gòu)是不因參照點(diǎn)陣的選擇而改變[8]。但是，同一，OciO=其中bi*=biL/|biL|2為點(diǎn)陣的倒易柏氏矢量。在一般情況ciO，所ciO=[Tbi*+(AT)bi*]/2比較公式（3.10）和（3.35）可以注意到，ciObi*的相關(guān)位移。雖和bi是相關(guān)柏氏矢量，但是bi*和bi*未必是倒易空間的相關(guān)矢量。不過(guò)，當(dāng)界面含一組或兩組位錯(cuò)時(shí)，位錯(cuò)計(jì)算結(jié)果不受名義點(diǎn)陣的影響[58]組位錯(cuò)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)時(shí)，界面松弛結(jié)果可能使位錯(cuò)的方向偏離以任一個(gè)名義點(diǎn)陣計(jì)算O胞壁跡線(xiàn)，這種情況下進(jìn)行看似更準(zhǔn)確但又較復(fù)雜的名義點(diǎn)陣校正沒(méi)有太OOi（按O。當(dāng)兩個(gè)點(diǎn)陣由一些特殊轉(zhuǎn)變聯(lián)系時(shí)，bi*bi*O胞結(jié)ciObi*bi*bi*計(jì)算對(duì)于這些ciObi*bi*bi*計(jì)算對(duì)于這些特殊錯(cuò)配場(chǎng)及其疊加O胞壁可以用矢量形式(公式(3.40))計(jì)算。如果界面正好與O胞壁垂直，位錯(cuò)的間距就由以下簡(jiǎn)單式子表示Di1/|bi*|biLDLLLLLDi= /[(bαi)+(bβi)–其中為bαiL和bi之間的夾角，bαi=|bαi =|bi|。對(duì)于扭轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ(chēng)傾 小角度()晶界上的位錯(cuò)間距(bαiLbiL)，可利用了bαiL，biL，bαibi構(gòu)成 等腰三角形，直接從公式（3.41）得到Di＝(bαiL)2/|bαibi|＝bαi Di＝bαi/L 0)，從公式（3.41）也可直接LLDi＝1/|1/bαiL1/bi|＝|bαi其中是相對(duì)點(diǎn)陣的錯(cuò)配度，由下式定義bibi)/bi上述對(duì)于簡(jiǎn)單界面的位錯(cuò)間距公式與教科書(shū)上的結(jié)果是一致的[48]，這可以看成對(duì)O胞壁計(jì)算方法的一個(gè)驗(yàn)證。這些界面的錯(cuò)配場(chǎng)簡(jiǎn)單，人們可以對(duì)具體界面分別進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何分析，得到位錯(cuò)間距的結(jié)果。而O胞壁跡線(xiàn)方法是普適的，該方法的優(yōu)勢(shì)主要在于可以計(jì)算更復(fù)雜的錯(cuò)配場(chǎng)條件下的位錯(cuò)結(jié)構(gòu)。即使對(duì)于簡(jiǎn)單錯(cuò)配場(chǎng)的界面，由于特殊條件允許的簡(jiǎn)化，根據(jù)O胞壁簡(jiǎn)化的表達(dá)3411）一般界面上位錯(cuò)的組OOOOO線(xiàn)一定滿(mǎn)足代表性條件?？墒牵诖硇詶l件不滿(mǎn)足的一般界面上，位錯(cuò)組態(tài)如何計(jì)算？假設(shè)存在OOOO（即沿該界面的階梯。臺(tái)階的單元高度為主O點(diǎn)陣面間距（1/|g沿該界面的階梯。臺(tái)階的單元高度為主O點(diǎn)陣面間距（1/|g|。即使只有一個(gè)1/g-I|單元高度的連續(xù)臺(tái)階，也是一個(gè)窄的主O點(diǎn)陣面9。于是，相應(yīng)主O點(diǎn)陣面上的位錯(cuò)結(jié)構(gòu)，提供了不同部位刻面或臺(tái)階上失配位錯(cuò)的位置及其柏氏矢量，這些結(jié)構(gòu)的組合就大致給出了一般界面整體位錯(cuò)結(jié)構(gòu)的描述。當(dāng)存在OOOO單元OOO自然滿(mǎn)足代表性條件。在含不變線(xiàn)但不含O線(xiàn)的界面上，O胞壁跡線(xiàn)不滿(mǎn)足代表性條件，同樣可以將這個(gè)界面分解為沿不同主OLLT不是滿(mǎn)秩矩陣的情況下（3.15）式求O單元卻未必可解，但（3.35）式等O胞壁計(jì)算公式總是成立如果所計(jì)算的O（假設(shè)仍然稱(chēng)之為O胞壁）之間不存在O單元，任何界面上O胞壁的跡線(xiàn)就不能代表位錯(cuò)。由于實(shí)際材料晶體常數(shù)的限制，一般兩相系統(tǒng)中只可能存在一個(gè)含周期性O(shè)線(xiàn)或O面。這種情況下，除了上述的那個(gè)面外，其它所有面上O胞壁跡線(xiàn)之間都沒(méi)有O單元。下界面松弛的結(jié)果仍然可能實(shí)現(xiàn)局部共格區(qū)。比如一個(gè)含不變線(xiàn)但不含O線(xiàn)的小時(shí)，這種雙重周期不一定被觀察到[40,61]。這種雙重周期界面結(jié)構(gòu)的計(jì)算不能直接應(yīng)用O點(diǎn)陣方法分析，但可以用近重位點(diǎn)位置的作圖方法[62]，或錯(cuò)配位移分析或面錯(cuò)配分析法計(jì)算[61,63]。因?yàn)檫@種情況較為復(fù)雜，這里不作詳細(xì)2）關(guān)于錯(cuò)配場(chǎng)度量的不唯一關(guān)位移。如果改變名義點(diǎn)陣，得到的錯(cuò)配場(chǎng)大小會(huì)有差異，但是O點(diǎn)陣的構(gòu)（3.44）計(jì)算位錯(cuò)間距時(shí)，錯(cuò)配度是針對(duì)名義點(diǎn)陣。當(dāng)錯(cuò)配度較大時(shí)，名義分別為和，結(jié)果和同理，有人認(rèn)為采用一個(gè)參照點(diǎn)陣描述柏氏矢量不合理，建議用bibi)/2表示柏氏矢量。但是將這些貌似更合理的參數(shù)用于計(jì)算D就未必方便。從以下形式表達(dá)bibi/bibi|的D可見(jiàn)兩個(gè)點(diǎn)陣互換并不影響D的結(jié)果相反如果刻意將D表達(dá)成bibi)/2的函數(shù)，不但是舍簡(jiǎn)就繁，而且可能由于不正確的取識(shí)，用哪一個(gè)點(diǎn)陣或平均點(diǎn)陣都不影響可比性。因?yàn)镺點(diǎn)陣不受名義點(diǎn)陣選擇的影響，計(jì)算中往往用某一個(gè)點(diǎn)陣簡(jiǎn)潔方便33）小O點(diǎn)陣?yán)碚撌欠治鼍w間錯(cuò)配分布和界面位錯(cuò)結(jié)構(gòu)的普適工具將兩套晶體點(diǎn)陣虛擬穿插之后，可能形成空間中錯(cuò)配變化的分布，O單元作為零錯(cuò)配的位置是低錯(cuò)配區(qū)的中心。位移矩陣T是描述錯(cuò)配場(chǎng)和計(jì)算O點(diǎn)陣的關(guān)鍵矩陣，它取決于界面兩側(cè)晶體的晶體常數(shù)、位向關(guān)系、以及錯(cuò)配相關(guān)關(guān)系。對(duì)應(yīng)T的秩為3，2，1，所計(jì)算的O單元可能為O點(diǎn)、O線(xiàn)和O面。在一次擇優(yōu)態(tài)下，O點(diǎn)陣又稱(chēng)一次O點(diǎn)陣其物理意義在于界面上的O單元可以代表半共格界面上共格區(qū)的中心界面上O單元兩側(cè)的O胞壁跡線(xiàn)的位置代表了共格區(qū)兩旁失配位錯(cuò)的位置在存在O點(diǎn)的點(diǎn)陣情況下可以讓界面分解為沿主O點(diǎn)陣面延續(xù)，根據(jù)每個(gè)局部主O點(diǎn)陣面上的周期性位錯(cuò)結(jié)構(gòu)，獲得界面上全方位位錯(cuò)網(wǎng)結(jié)構(gòu)的整體描述。在存在O線(xiàn)和O面單元的情況，一般不能得到三維O點(diǎn)陣，界面上全方位位錯(cuò)結(jié)構(gòu)的描述需要一些更深入的計(jì)算[61,63]。3.4.2.重位點(diǎn)陣模模型和重位點(diǎn)陣模型。上節(jié)介紹基于O點(diǎn)陣?yán)碚摰慕缑嫖诲e(cuò)計(jì)算方法。位錯(cuò)模尺度，共格區(qū)不能成片維持，位錯(cuò)模型失去意義。但是，O點(diǎn)陣模型仍然可以應(yīng)用。設(shè)想如果此時(shí)每個(gè)O點(diǎn)是一個(gè)共格點(diǎn)，界面上仍然存在可以由O點(diǎn)陣描述的錯(cuò)配變化，這就是一次O點(diǎn)陣方法與下面介紹重位點(diǎn)陣模型的一個(gè)關(guān)系，人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)界面上存在規(guī)則分布的、較密的共格點(diǎn)（重位點(diǎn)）時(shí)界面能也會(huì)比較低，這就是ollmann9]所稱(chēng)的二次擇優(yōu)態(tài)。這是一次擇優(yōu)態(tài)的共格區(qū)不能在足夠大的面積上形成時(shí)的自然擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，因此它存在于晶格（或原子之間錯(cuò)配較大的系統(tǒng)。對(duì)于同相系統(tǒng)它出現(xiàn)于大角度晶界上，對(duì)于異相系統(tǒng)它往往出現(xiàn)于兩相晶格常數(shù)相差很大的界面上。重位點(diǎn)陣模型建立了界面宏觀幾何與空間或界面上重位點(diǎn)密集度和分布之間的關(guān)系。它主要發(fā)展于早期對(duì)大角度晶界的研究，特別是關(guān)于立方晶系金屬材料中的晶界，后來(lái)開(kāi)拓到其它規(guī)則含大面積二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)的規(guī)則共格界面的性能，往往會(huì)有很不同于只存在隨機(jī)分布的共格點(diǎn)的非共格界面的性能。當(dāng)大角度晶界具有特殊性能時(shí)，它們時(shí)常被稱(chēng)為特殊大角度晶界。因?yàn)樵缙谶@個(gè)稱(chēng)呼是基于界面性能的，它們與界面結(jié)構(gòu)和能量的一對(duì)一的關(guān)系尚不能充分確定，因此在學(xué)術(shù)研究上，后來(lái)更6的特殊性及其的特殊性及其工程應(yīng)用意義,此種類(lèi)型的界面倍受研究者的重視[41,64]。下面我們先以同相界面的二維模型介紹重位點(diǎn)陣的基本計(jì)算方法。第一步是計(jì)算什么位向關(guān)系能夠滿(mǎn)足獲得較高密度的重位點(diǎn)。類(lèi)似O點(diǎn)陣的構(gòu)造方法先讓兩個(gè)點(diǎn)陣穿插，并各自取一個(gè)陣點(diǎn)在原點(diǎn)重合（為了與前面的討論連續(xù)，這里仍然稱(chēng)和點(diǎn)陣，有人沿用對(duì)稱(chēng)群理論中采用的顏色對(duì)稱(chēng)性操作，稱(chēng)兩個(gè)點(diǎn)陣為白黑點(diǎn)陣，稱(chēng)穿插結(jié)果的圖像為雙色圖（dichromaticpattern）1]。所謂重位點(diǎn)就是兩個(gè)點(diǎn)陣的陣點(diǎn)重復(fù)的位置，因此原點(diǎn)是一個(gè)重位點(diǎn)。只有在特殊指數(shù)方向。舉最簡(jiǎn)單的簡(jiǎn)單立方的轉(zhuǎn)軸為例，經(jīng)一個(gè)非對(duì)稱(chēng)性旋轉(zhuǎn)（否則點(diǎn)陣不變，只要將點(diǎn)陣中某個(gè)晶體平移矢量（例[mn0]，m和n為整數(shù)，因mn0]，就獲得一個(gè)重位點(diǎn)。這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)果同時(shí)使點(diǎn)陣的[n-m0]與點(diǎn)陣的[-n-m0]相重。因?yàn)檫@兩組矢量相互垂直，正好可以得到一個(gè)四方形的格子。這些重合的矢量就定義了一個(gè)重位點(diǎn)陣的平移矢量（但不一定是最小矢量。由于這個(gè)面上[100[010為對(duì)角線(xiàn)的矩形來(lái)認(rèn)識(shí)它們轉(zhuǎn)動(dòng)。這個(gè)矩形可以看成由001n個(gè)正方形單胞為單元組合而成。在轉(zhuǎn)動(dòng)之前，點(diǎn)陣與點(diǎn)陣夾角為0，在兩個(gè)矩形x-軸鏡面對(duì)稱(chēng)，對(duì)角線(xiàn)原來(lái)交x-軸的夾角為tg(/n)，將2tg-1(n/m)圖中較粗的虛線(xiàn)示意兩個(gè)矩形對(duì)角線(xiàn)重合性，表征位向差的轉(zhuǎn)動(dòng)是不唯一的。由于（）也是滿(mǎn)足重位點(diǎn)形成的實(shí)可以直接通過(guò)m=2，n=1求出改變m和n的值可以計(jì)算出以這個(gè)轉(zhuǎn)2相對(duì)水平取向的晶格136.87，CSL單胞體CSL單胞體如果簡(jiǎn)單立方二維模型的例子延到三維，因?yàn)橹匚稽c(diǎn)陣和晶體點(diǎn)陣在垂直于等于面上重位單胞與晶體點(diǎn)陣單胞面積之比。讓晶+n2，不過(guò)體點(diǎn)陣單胞面積為1，重合矢量作為邊長(zhǎng)得到的正方形面積個(gè)面積未必是重位點(diǎn)陣單胞的面積。當(dāng)這個(gè)面積的值為偶數(shù)時(shí)，面積的中心一個(gè)重位點(diǎn)，所得的面積不是重位點(diǎn)陣的單胞面積。前人發(fā)現(xiàn)立方系只能是數(shù)，所以如m2n2為奇數(shù)則m2+n2，否則=(m2+n2)/2k（k為正整數(shù)[65]。根據(jù)這些關(guān)系，可得到3.10例子中的重位點(diǎn)陣對(duì)應(yīng)=5，或直接寫(xiě)5。這表明點(diǎn)陣中每5個(gè)陣點(diǎn)中有一個(gè)與點(diǎn)陣的陣點(diǎn)重合，顯然點(diǎn)陣中也含1/5的重位點(diǎn)。立方系5晶界是最常用來(lái)介紹的重位點(diǎn)陣模型的例子。根據(jù)上述在（001）面上以正方形格子為單元的分析（Frank的講座Ranganathan[65]推導(dǎo)了在立方系中，轉(zhuǎn)軸垂直于一般有理面（hkl）上的可能 l-k]和[-(k2l2)hk的矩形，兩邊長(zhǎng)度比例為h2k2l2。取上述小矩形為單元，分別以mn個(gè)2tg-1(nh2k2l2=(m2(h2k2l2)n2)/2k和除以2的倍數(shù)得到。從以上的計(jì)算公式可見(jiàn)，獲得低值重位點(diǎn)陣的前提是轉(zhuǎn)軸平行于低指數(shù)m<10rR正好可以表示為<hkl>n/m，因?yàn)檗D(zhuǎn)軸的單位矢量r<hkl>/h2k2l2和組合矩形的構(gòu)造幾何。表3.3給出立方系的重位點(diǎn)陣位向差的羅德里格斯矢量描述及轉(zhuǎn)角值,這里正好所有和組合矩形的構(gòu)造幾何。表3.3給出立方系的重位點(diǎn)陣位向差的羅德里格斯矢量描述及轉(zhuǎn)角值,這里正好所有n=1，更高值的重位點(diǎn)陣要用到n>1?？梢?jiàn)絕大多數(shù)低值的重位點(diǎn)陣以<100>,<110>,<111>為轉(zhuǎn)軸R-F空間中這些同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)自然位于同一直線(xiàn)上。如果將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在R-F空間表示，上述表 Warrington和Bufalini[66]認(rèn)為上述低指數(shù)轉(zhuǎn)軸的計(jì)算方法會(huì)遺漏一些低值的系中滿(mǎn)足重位點(diǎn)陣的位向關(guān)系可以由下列形式的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣描述，即R=(ri)/，該矩陣的組元必須是整數(shù)，而且沒(méi)有公約數(shù)。R的三個(gè)列向量是單位矢,ri,ri3<ri,ri,rin2n2r2r2r2。當(dāng)r,r,r為互質(zhì)的整數(shù)時(shí)，n。以可能的低及2 r2+r2關(guān)系可以方便地建立轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣。比如5的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣三個(gè)列向量分別為 00]，[043]，[034]。可以通過(guò)常規(guī)幾何公式從轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣求轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角。根據(jù)為多少才稱(chēng)為低值是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)估計(jì)。從前面的討論已知，高密度重位點(diǎn)的存在是形成二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)的前提，也是重位點(diǎn)陣模型應(yīng)用于解釋奇異界面的3579為特殊界面分析材料中特殊界面對(duì)性能的影響。他們能夠通過(guò)控制藝，獲得很高比例的特殊界面，并因此獲得材料的優(yōu)異性能，成功證明了晶界工以作為一個(gè)初步判據(jù)，小周期重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)才是低能界面的結(jié)構(gòu)特征。這與既然所有重位點(diǎn)陣點(diǎn)是零錯(cuò)配的點(diǎn)（O點(diǎn)是和點(diǎn)陣內(nèi)坐標(biāo)重合的點(diǎn)位點(diǎn)陣應(yīng)該是一次O點(diǎn)陣的亞點(diǎn)陣。在求出滿(mǎn)足重位點(diǎn)陣的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣之后，可以通過(guò)解一次主O點(diǎn)陣矢量的方法計(jì)算描述重位點(diǎn)陣的基矢。不過(guò)只有在晶體點(diǎn)陣位置上的O點(diǎn)才能定義重位點(diǎn)陣的格點(diǎn)。通過(guò)對(duì)主O點(diǎn)陣矢量進(jìn)行線(xiàn)性組合，得到最短的、以整數(shù)指數(shù)描述的O點(diǎn)陣矢量，就是重位點(diǎn)陣的基矢9]?？梢岳脇-|是O值推導(dǎo)出重位點(diǎn)占O點(diǎn)的比例，并以之驗(yàn)證所獲得的重位點(diǎn)陣基矢。根據(jù)這個(gè)計(jì)算，Bollmann[9]列HP當(dāng)界面上二次擇優(yōu)態(tài)由某高密度重位點(diǎn)陣面代表時(shí)，只有特定位向關(guān)系和特定取向的界面可以完全含理想的二次擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，即獲得完全規(guī)則共格。實(shí)際材料中，當(dāng)晶體常數(shù)或位向關(guān)系稍微偏離形成重位點(diǎn)陣的嚴(yán)格要求，或界面稍微偏離高密度重位點(diǎn)陣面取向時(shí)，二次擇優(yōu)態(tài)仍然可以在一定面積內(nèi)維持，這些DSC為了定量描述二次位錯(cuò)的柏氏矢量，必須引入另一個(gè)重要點(diǎn)陣，即SC點(diǎn)olmnn9]CopletePatternShiftLattice完整圖形平移點(diǎn)陣，前人曾經(jīng)將之譯為完整型位移點(diǎn)陣或全同位移點(diǎn)陣，因?yàn)殡y以用簡(jiǎn)短詞將意思準(zhǔn)確翻譯，我們直接使用DSC點(diǎn)陣（這與葛庭燧3]的選擇一樣DSC點(diǎn)陣的點(diǎn)陣平移矢量由界面兩側(cè)點(diǎn)陣（和的陣點(diǎn)間位移構(gòu)3.115DSC短平移矢量連接最近鄰的點(diǎn)陣和DSC點(diǎn)陣的平移矢量（簡(jiǎn)稱(chēng)DSCL矢量）平移，重位點(diǎn)陣的圖形保持不變（即原始名稱(chēng)中的維持完整圖形平移的特征）。如果將311(a)中由空心圓代表的點(diǎn)陣按某L矢量（箭號(hào)所指）點(diǎn)成為新的重位點(diǎn)3.11(b)點(diǎn)成為新的重位點(diǎn)3.11(b)，而原以非DSCL矢量相對(duì)移動(dòng)，其結(jié)不論實(shí)際二次擇優(yōu)態(tài)是否呈現(xiàn)重位點(diǎn)陣描述的圖形，只要是界面結(jié)構(gòu)以同一種低能結(jié)構(gòu)重3.11DSC點(diǎn)陣的示意圖。圖中實(shí)心點(diǎn)和空心點(diǎn)分實(shí)心圓之間相對(duì)移動(dòng)了一個(gè)DSCL（箭號(hào)所指構(gòu)一致，這兩個(gè)區(qū)域之間的二次位錯(cuò)的柏氏矢量就必須來(lái)自DSCL矢量。因此正確構(gòu)造C點(diǎn)陣對(duì)于分析界面上的二次位錯(cuò)是很重要的。DSCimmer[69SC點(diǎn)陣之間的倒易關(guān)系。當(dāng)重位點(diǎn)陣存在于正空間時(shí)，自然也存在于倒易空間。它們SC點(diǎn)陣互為倒易關(guān)系，正空間的DSC點(diǎn)陣與倒易空間的重位點(diǎn)陣互為倒易關(guān)系。人們往往更關(guān)心正空間的重位點(diǎn)陣和SC點(diǎn)陣，上述倒易關(guān)系可以用來(lái)計(jì)算或驗(yàn)證正空間的SC點(diǎn)陣，避免由于二維構(gòu)圖時(shí)產(chǎn)生的誤判。人們習(xí)慣第一步先計(jì)算正空間的重位點(diǎn)陣，根據(jù)已知*L關(guān)系=I可以解出正空間的DSC點(diǎn)陣，即矩陣VDSCL中的列向量。應(yīng)上述方法，Bollmann[9]計(jì)算了對(duì)應(yīng)不同重位點(diǎn)陣的DSC點(diǎn)陣的基矢，并與低值），因?yàn)檎臻g與倒易空間結(jié)構(gòu)等價(jià)，所以正空間中重位點(diǎn)陣和SC點(diǎn)陣的SCDSC和SC(sublattice)；而和點(diǎn)陣包含所有重位點(diǎn)的陣點(diǎn)，所以重位點(diǎn)陣是和DSCDSC9重位點(diǎn)密度。從倒易點(diǎn)陣的性質(zhì)已知，倒易矢量長(zhǎng)度與陣點(diǎn)面密度呈反比關(guān)系，那么求含高密度重位點(diǎn)界面就可以通過(guò)考察倒易空間DSCL矢量（g）的長(zhǎng)度進(jìn)行判斷[70]。垂直于最小的g的界面上重位點(diǎn)密度最高。在倒易空間一個(gè)重位點(diǎn)陣單胞內(nèi)可以求得所有短DSLg都垂直于低指數(shù)面正好對(duì)應(yīng)較短的g，其中最短的g正好垂直于{113}孿晶界[70]。實(shí)際材料中晶粒之間的位向差不一定精確滿(mǎn)足嚴(yán)格重位點(diǎn)陣要求理論值（如表33中的特殊的轉(zhuǎn)角），這里有測(cè)試誤差的影響，也有實(shí)際位向差的偏離。那么界面位向差在一個(gè)值理論位向關(guān)系的什么偏差范圍內(nèi)，才可以算為具有該值界面的性質(zhì)？晶界研究中廣泛采用的是以下randon提出的最大偏差角度判2：max-式中是小角度晶界的上限判據(jù)一般取15°歸類(lèi)為（半）規(guī)則共格界面，或晶界工程領(lǐng)域所稱(chēng)的特殊界面，并可以用重位次位錯(cuò)是否出現(xiàn)作為界面保持二次擇優(yōu)態(tài)的一二次位錯(cuò)觀察的一個(gè)重要研究結(jié)果來(lái)自BabcockBalluffi[76]對(duì)金和銀的（001）扭轉(zhuǎn)圖3.12.金的（）扭轉(zhuǎn)晶界上位錯(cuò)窮。3.12圖驗(yàn)證了以低值重位點(diǎn)陣代表的擇優(yōu)態(tài)（這里包括1，5，13，17，25，29，些位錯(cuò)的間距與其柏氏矢量和偏離角之間的關(guān)系與根據(jù)公式（3）畫(huà)的實(shí)線(xiàn)吻合得很好。這些二次位錯(cuò)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果有力證明了低值重位點(diǎn)陣代表的擇優(yōu)態(tài)。不過(guò)二次位錯(cuò)的柏氏矢量小，而位錯(cuò)芯可能寬，因此在電鏡下襯度可能較弱，是否看見(jiàn)位錯(cuò)可能與電鏡的質(zhì)量和操作者的技能有關(guān)。隨著二次位錯(cuò)距離識(shí)如果將可測(cè)到位錯(cuò)距離的偏差角范圍，作為維持相應(yīng)max識(shí)如果將可測(cè)到位錯(cuò)距離的偏差角范圍，作為維持相應(yīng)max，從圖3.12看，max的確是隨值的增加而減少，這與Brandon判據(jù)[72]是一致的。不過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的max較小，比如偏差最大的max3°，而根據(jù)公式（3.48）計(jì)算max約為6.5°。我們以下面的分析粗略推導(dǎo)max的關(guān)系。根據(jù)簡(jiǎn)化的位錯(cuò)間距公式b/D=(公式（3.43b）)，偏差角CSL與二次這里bII必須是一個(gè)DSCL矢量（可能為基矢），一般DSCL基矢可以用某個(gè)體平移矢量|vL|的分?jǐn)?shù)表示：|vL|/（例如bII為<210>/5，見(jiàn)圖DD所以|vL|/(DIICSL。另一方面，可以把小角度晶界角度上限判據(jù)b/D<D粗略看成是位錯(cuò)之間結(jié)構(gòu)單元個(gè)數(shù)判據(jù)D/b1/（對(duì)應(yīng)15°，D4b） L|（C3.11），C>4，即二次擇優(yōu)態(tài)區(qū)域至少存在個(gè)好區(qū)結(jié)構(gòu)單元）。我們=|vL|/作為的下限帶入位錯(cuò)間距的表達(dá)式，可以獲得最大的偏差角： max|vL|/(|vL|，或（|vL|/|vL|）。如果以立方系考慮DC 位點(diǎn)陣矢量和DSCL，對(duì)于（100）面上扭轉(zhuǎn)晶界，max/，應(yīng)用于晶界的max約為3°?？梢?jiàn)這個(gè)基于簡(jiǎn)單推導(dǎo)結(jié)果與的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更吻合該結(jié)果與早和Mclean[77]的分析結(jié)果一致LL過(guò)這里定量關(guān)系更嚴(yán)密。對(duì)于一般轉(zhuǎn)軸，|vD|通常大于|vC|[9]，故。因統(tǒng)計(jì)的來(lái)看max/Palumbo和Aust[73]L|是晶DC柏氏矢量的倍成比例，得出max，但是忽略了系數(shù)的討論，結(jié)果也是max稍大于/，并獲得實(shí)驗(yàn)結(jié)果的支持。陣的偏離不僅有位向關(guān)系還有晶體常數(shù)方面的影響也如HCP晶體材料中的晶稱(chēng)強(qiáng)制重位點(diǎn)陣(constrainedCSL)。構(gòu)造合適的強(qiáng)制重位點(diǎn)陣是建模的關(guān)鍵，什二次位錯(cuò)的出現(xiàn)有下列兩種典型的情況。第一種情況出現(xiàn)在系統(tǒng)偏離重位點(diǎn)陣的位向關(guān)系要求時(shí)。第二種情況出現(xiàn)在系統(tǒng)滿(mǎn)足重位點(diǎn)陣的位向關(guān)系要求，第一種情況下，二次位錯(cuò)與一次失配位錯(cuò)的功能一樣?？梢杂肙點(diǎn)陣計(jì)算類(lèi)似公式（3.5）就解出了AII，并且可計(jì)算描述二次錯(cuò)配場(chǎng)的二次位移矩陣，TII=IAII)-1。前面已經(jīng)介紹，二次位錯(cuò)的柏氏矢量必須來(lái)自DSC點(diǎn)陣。可以根據(jù)倒易關(guān)系，從倒易空間建立的強(qiáng)制重位點(diǎn)陣計(jì)算正空間的DSC點(diǎn)陣。正如一次O點(diǎn)陣計(jì)算，參照點(diǎn)陣的柏氏矢量與其相關(guān)矢量是不同的，二次II=II。以TIIbII取代公式（3.15）TbLO- O可逆，可以解出對(duì)應(yīng)每個(gè)bII（biII）的二次主點(diǎn)陣矢量（xiO-II=(TII)-1biII）。如是降秩矩陣，也可以應(yīng)用一次O周期性二次位錯(cuò)的界面必須平行于二次主O點(diǎn)陣面二次主O點(diǎn)陣面同樣由倒易矢量gP-II代表，同一次主O點(diǎn)陣面類(lèi)似，與gP-II相關(guān)的g所定義的面上必須含二次主O點(diǎn)陣面上位錯(cuò)的柏氏矢量。界面垂直的gP-II為0，1，2，3（線(xiàn)2氏矢量共面10。要注意二次主O點(diǎn)陣面與含高密度強(qiáng)制重位點(diǎn)的面不一定平行。此外，即使含所需要的柏氏矢量的強(qiáng)制DSC點(diǎn)陣面與含高密度強(qiáng)制重況下的界面結(jié)構(gòu)在系統(tǒng)滿(mǎn)足重位點(diǎn)陣的位向關(guān)系的情況下，如果在系統(tǒng)滿(mǎn)足重位點(diǎn)陣的位向關(guān)系的情況下，如果界面取向偏離面。3.13a是11bcc晶界的示意圖，這個(gè)著名例子來(lái)Brandon[72]早期重位點(diǎn)陣對(duì)大角度晶界的應(yīng)這個(gè)臺(tái)階與以O(shè)點(diǎn)陣面作為臺(tái)面的臺(tái)階類(lèi)似，但是連接以O(shè)點(diǎn)陣3.13bcc晶界上臺(tái)階結(jié)構(gòu)（a）純（c）引入二次位錯(cuò)的臺(tái)階結(jié)構(gòu)的臺(tái)面上不可能具有等價(jià)的重位點(diǎn)結(jié)構(gòu)，如圖3.13b所示。為了實(shí)現(xiàn)臺(tái)階兩側(cè)的整體平移例圖3.13c中虛線(xiàn)畫(huà)的方框內(nèi)原子移動(dòng)整體這個(gè)位移正好等于圖這是一個(gè)DSCL矢量。這種局部位移引起的不連續(xù)性同與晶體內(nèi)部產(chǎn)生一個(gè)位如果存在位向關(guān)系或晶體常數(shù)的偏差，使得無(wú)法定義理想的重位點(diǎn)陣，那么如果存在位向關(guān)系或晶體常數(shù)的偏差，使得無(wú)法定義理想的重位點(diǎn)陣，那么就可能不存在不帶長(zhǎng)程應(yīng)變的純臺(tái)階。如果系統(tǒng)的確存在平行于某個(gè)面的二次擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，同時(shí)又存在晶體常數(shù)的偏差和界面位置的偏差，對(duì)這樣的系統(tǒng)不妨假設(shè)沒(méi)有長(zhǎng)程應(yīng)變場(chǎng)，則可以統(tǒng)一應(yīng)用二次O點(diǎn)陣計(jì)算可能的界面二次位錯(cuò)。在特殊位向關(guān)系和界面條件下，所有二次失配位錯(cuò)可以與界面臺(tái)階重合，并且使臺(tái)階處二次位錯(cuò)的位移正好抵消臺(tái)面的錯(cuò)配。這種特殊臺(tái)階結(jié)構(gòu)存在于一些相界面體系（例滲碳體/奧氏體等兩相晶格常數(shù)相差很大的系統(tǒng)中自然擇優(yōu)慣[24,79]1位點(diǎn)陣面與主二次O點(diǎn)陣面不同取向[24]