測(cè)量學(xué)-5測(cè)量誤差的基本知識(shí)

第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)5-1概述

一、測(cè)量誤差的來(lái)源測(cè)量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測(cè)者的技術(shù)水平和儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測(cè)量誤差的產(chǎn)生。通常把測(cè)量?jī)x器、觀測(cè)者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測(cè)量誤差的根本原因。通常把觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)，稱為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不同的各次觀測(cè)，稱為不等精度觀測(cè)。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)具體來(lái)說(shuō)，測(cè)量誤差主要來(lái)自以下三個(gè)方面：(1)外界條件主要指觀測(cè)環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果中帶有誤差。(2)儀器條件儀器在加工和裝配等工藝過(guò)程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測(cè)量帶來(lái)誤差。(3)觀測(cè)者的自身?xiàng)l件由于觀測(cè)者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對(duì)中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。測(cè)量誤差按其對(duì)測(cè)量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)二、系統(tǒng)誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善。例如，用一把名義長(zhǎng)度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實(shí)際長(zhǎng)度為50.005m，那么每量尺，就帶有+0.005m的誤差(“+〞表示在所量距離值中應(yīng)加上)，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)再如，在水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，當(dāng)視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行而產(chǎn)生夾角時(shí)，對(duì)水準(zhǔn)尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差為l*i″/ρ″〔ρ″=206265″，是一弧度對(duì)應(yīng)的秒值)，它與水準(zhǔn)儀至水準(zhǔn)尺之間的距離l成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)三、偶然誤差在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均不一定，那么這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。例如，用經(jīng)緯儀測(cè)角時(shí)的照準(zhǔn)誤差，鋼尺量距時(shí)的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。偶然誤差，就其個(gè)別值而言，在觀測(cè)前我們確實(shí)不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。但假設(shè)在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行屢次觀測(cè)，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而且，隨著觀測(cè)次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)偶然誤差具有如下四個(gè)特征：①在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值(本例為1.6″)；②絕對(duì)值小的誤差比絕對(duì)值大的誤差出現(xiàn)的時(shí)機(jī)多(或概率大)；③絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的時(shí)機(jī)相等；④在相同條件下，同一量的等精度觀測(cè)，其偶然誤差的算術(shù)平均值，隨著觀測(cè)次數(shù)的無(wú)限增大而趨于零，

編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí) 第一個(gè)特性說(shuō)明偶然誤差的“有界性〞。它說(shuō)明偶然誤差的絕對(duì)值有個(gè)限值，假設(shè)超過(guò)這個(gè)限值，說(shuō)明觀測(cè)條件不正常或有粗差存在；第二個(gè)特性反映了偶然誤差的“密集性〞，即越是靠近0″，誤差分布越密集；第三個(gè)特性反映了偶然誤差的對(duì)稱性，即在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個(gè)數(shù)相等或極為接近；第四個(gè)特性反映了偶然誤差的“抵償性〞，它可由第三特性導(dǎo)出，即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵消的特征。因此，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零。

編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)5-2衡量精度的指標(biāo)測(cè)量成果中都不可防止地含有誤差，在測(cè)量工作中，使用“精度〞來(lái)判斷觀測(cè)成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。一、中誤差及其計(jì)算1中誤差的定義在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)同一未知量進(jìn)行n次觀測(cè)，所得各個(gè)真誤差平方的平均值，再取其平方根，稱為中誤差，用m表示，即：式中［ΔΔ］為真誤差Δ的平方和，n為觀測(cè)次數(shù)。

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一組觀測(cè)中的每一個(gè)觀測(cè)值，都具有相同的精度。也就是說(shuō)，中誤差僅是一組真誤差的代表值，代表了這一組測(cè)量中任一個(gè)觀測(cè)值的精度。所以，通常把m稱為觀測(cè)值中誤差或一次觀測(cè)值中誤差。2用真誤差計(jì)算中誤差有時(shí)，我們可以知道某些量的真值，這樣，就可很容易地求得觀測(cè)值的真誤差。例如，三角形內(nèi)角和的真值為180°，通過(guò)觀測(cè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，就可以求得三角形內(nèi)角和的真誤差(即三角形的閉合差)，據(jù)此，就可以利用上式計(jì)算中誤差。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)3用改正數(shù)計(jì)算中誤差利用“改正數(shù)〞來(lái)求中誤差。所謂改正數(shù)，就是最或是值與觀測(cè)值之差，用v表示，即：v=x-l式中v為觀測(cè)值的改正數(shù)；l為觀測(cè)值；x為觀測(cè)值的最或是值。設(shè)對(duì)某個(gè)量進(jìn)行n次觀測(cè)，觀測(cè)值為li〔i=1,2…n)，那么它的最或是值就是n個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值，即于是改正數(shù)為vi＝x－lI〔i＝１，２…n〕根據(jù)誤差理論的推導(dǎo)(此處從略)，可得白塞爾公式：上式求得的為一次觀測(cè)值的中誤差。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)二、相對(duì)誤差中誤差和真誤差都是絕對(duì)誤差，誤差的大小與觀測(cè)量的大小無(wú)關(guān)。然而，有些量如長(zhǎng)度，絕對(duì)誤差不能全面反映觀測(cè)精度，因?yàn)殚L(zhǎng)度丈量的誤差與長(zhǎng)度大小有關(guān)。例如，分別丈量了兩段不同長(zhǎng)度的距離，一段為100m，另一段為200m，但中誤差皆為±0.02m。顯然不能認(rèn)為這兩段距離觀測(cè)成果的精度相同。為此，需要引入“相對(duì)誤差〞的概念，以便能更客觀地反映實(shí)際測(cè)量精度。相對(duì)誤差的定義為：中誤差的絕對(duì)值與相應(yīng)觀測(cè)值之比，用K表示。相對(duì)誤差習(xí)慣于用分子為1的分?jǐn)?shù)形式表示，分母愈大，表示相對(duì)誤差愈小，精度也就愈高。

編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)三、極限誤差根據(jù)偶然誤差的第一個(gè)特性，在一定的觀測(cè)條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過(guò)一定的限值，這個(gè)限值就是極限誤差，簡(jiǎn)稱限差。限差是偶然誤差的限制值，用作觀測(cè)成果取舍的標(biāo)準(zhǔn)。如果觀測(cè)值的偶然誤差超過(guò)限差，那么認(rèn)為該觀測(cè)值不合格，應(yīng)舍去不用。因此，測(cè)量上常取三倍中誤差作為極限誤差Δ限，也稱允許誤差，即：Δ限=3m編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)5-3誤差傳播定律對(duì)于能直接觀測(cè)的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過(guò)屢次觀測(cè)后，便可通過(guò)真誤差或改正數(shù)計(jì)算出觀測(cè)值的中誤差，作為評(píng)定觀測(cè)值精度的標(biāo)準(zhǔn)。但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測(cè)，而需要由另一些直接觀測(cè)量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)，這些未知量即為觀測(cè)值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測(cè)量中，兩點(diǎn)間的高差h=a-b，那么h是直接觀測(cè)值a和b的函數(shù)；在三角高程測(cè)量的計(jì)算公式中，如果覘標(biāo)高v等于儀器高i，那么h=ltanδ，這時(shí)，高差h就是觀測(cè)值l和δ的函數(shù)，等等。本節(jié)所要討論的就是在觀測(cè)值中誤差為的情況下，如何求觀測(cè)值函數(shù)中誤差的問(wèn)題。闡述觀測(cè)值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)一、線性函數(shù)1倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=Kx式中x為直接觀測(cè)值，其中誤差為mx；Ｋ為常數(shù)；Z為觀測(cè)值x的函數(shù)。假設(shè)對(duì)x作n次同精度觀測(cè)，那么有：mＺ2＝Ｋ2mx2或mＺ＝Ｋmx上式說(shuō)明：對(duì)于倍數(shù)函數(shù)，函數(shù)的中誤差等于觀測(cè)值中誤差的K倍。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)2和、差函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=x±y式中，x、y為兩個(gè)相互獨(dú)立的觀測(cè)值，均作了n次觀測(cè)，其中誤差分別為mx和my。用同樣的方法可推導(dǎo)出:3一般線性函數(shù)設(shè)有函數(shù)Z=K１x１±K2x２±…±Knxn式中，K１、K２…Kn為常數(shù);x１、x２…xn為獨(dú)立觀測(cè)值，其相應(yīng)的中誤差分別為m１、m２…mn。根據(jù)倍數(shù)函數(shù)與和差函數(shù)的中誤差公式，可列出求一般線性函數(shù)中誤差的公式為：mＺ2＝〔Ｋ１m１〕２＋〔Ｋ２m２〕２＋…＋〔Ｋnmn〕２編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)二、非線性函數(shù)設(shè)有非線性函數(shù)Z=f(x１，x２…xn〕式中，x１，x２…xn為獨(dú)立觀測(cè)值，其相應(yīng)的中誤差分別為m１、m２…mn。那么有上式是誤差傳播定律的一般形式，其他形式的函數(shù)都是它的特例，所以該式具有普遍意義。編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí)5-4算術(shù)平均值及其中誤差在相同的觀測(cè)條件下對(duì)某未知量進(jìn)行了一組等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l１、l２、…、ln，觀測(cè)值的真值為X，那么觀測(cè)值的真誤差為：Δ１＝l１－Ｘ,Δ２＝l２－Ｘ,…………,Δn＝ln－Ｘ，將等式兩邊取和并除以觀測(cè)次數(shù)n,得：[Δ]/n＝[l]/n-X式中［l］/n稱為算術(shù)平均值，習(xí)慣上以x表示；當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，根據(jù)偶然誤差的第四特性，式中［Δ］/n趨于零。于是有：x=X。

編輯課件第五章測(cè)量誤差的根本知識(shí) 上式說(shuō)明，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，各個(gè)觀測(cè)值的算術(shù)平均值趨近于未知量的真值。當(dāng)n為有限值時(shí)，通常取算術(shù)平均值為最可靠值(最或是值)，并以它作為測(cè)量的最后成果。算術(shù)平均值的一般表達(dá)式為：x=〔l１＋l２＋…＋ln〕/n＝[l]/n由于觀測(cè)值li的真誤差Δi一般是不知道的，所以實(shí)際工作中常采用觀測(cè)值的改正數(shù)vi來(lái)計(jì)算中誤差。各觀測(cè)值的改正數(shù)：v１＝x－l１，v２＝x－l２，……………vn＝x－ln，將上式兩邊求和，有:［v］=nx-［l］因x=[l]/n，所以［v］=0。此式可作為改正數(shù)計(jì)算正確性的檢