測量誤差及數(shù)據(jù)處理方法

測量誤差

及

數(shù)據(jù)處理方法南京理工大學(xué)物理實驗中心編輯課件§1.1測量與誤差概念 測量是物理實驗的根底。 測量就是用一定的測量工具或儀器，通過一定的方法，直接或間接地得到所需要的量值。

1測量依照測量方法的不同可將測量分為兩大類：〔1〕

直接測量〔2〕

間接測量

問題：我們接觸過哪些測量？哪些是直接測量？哪些是間接測量？§

1.1測量與誤差概念編輯課件2誤差

1、誤差的定義： 測量誤差=測量值-真值 即ΔN=N測－N真

這個誤差的定義反映了測量值偏離真實值的大小和方向。

§

1.1測量與誤差概念編輯課件2、誤差來源§

1.1測量與誤差概念〔1〕

儀器誤差〔2〕

環(huán)境誤差〔4〕

人員誤差〔3〕

測量方法誤差編輯課件3誤差分類及其消除方法〔1〕系統(tǒng)誤差a.定義：系統(tǒng)誤差是指在同一被測量的屢次測量過程中，保持恒定或以可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量。 系統(tǒng)誤差的特點是其確定性。 b.產(chǎn)生原因：測量儀器、測量方法、環(huán)境因素

§

1.1測量與誤差概念編輯課件c.減小系統(tǒng)誤差的方法： .對測量結(jié)果引入修正值； .選擇適當?shù)臏y量方法，使系統(tǒng)誤差能夠抵消而不會帶入測量值中。 ①已定系統(tǒng)誤差：必須修正

例如電表、螺旋測微計的零位誤差；

②未定系統(tǒng)誤差：要估計出分布范圍

如：螺旋測微計制造時的螺紋公差等。

§

1.1測量與誤差概念注意：屢次測量求平均并不能消除系統(tǒng)誤差。因為在測量條件不變時，其有確定的大小和符號。編輯課件§

1.1測量與誤差概念〔2〕隨機誤差

a.隨機誤差是指在同一量的屢次測量過程中，其大小與符號以不可預(yù)知方式變化的測量誤差的分量。 隨機誤差的特征是隨機性。b.產(chǎn)生原因：實驗條件和環(huán)境因素?zé)o規(guī)那么的起伏變化，引起測量值圍繞真值發(fā)生漲落的變化。例如：實驗時溫度的隨機波動、螺旋測微計測力在一定范圍內(nèi)隨機變化、讀數(shù)時的視差影響。

編輯課件

c.消除方法：使用統(tǒng)計方法隨機誤差的特點：大量的隨機誤差服從正態(tài)分布。①單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的概率比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率大。②對稱性：屢次測量時分布對稱，即絕對值相等的正負誤差出現(xiàn)的概率相同。因此取屢次測量的平均值有利于消減隨機誤差。③有界性：在一定的測量條件下，誤差的絕對值不超過一定的界限。σ小σ大δP0§

1.1測量與誤差概念編輯課件§

1.1測量與誤差概念〔3〕粗大誤差a.定義：明顯超出規(guī)定條件下預(yù)期的誤差。b.產(chǎn)生原因：錯誤讀數(shù)、儀器有缺陷、環(huán)境干擾等。 c.應(yīng)防止出現(xiàn)粗大誤差。如出現(xiàn)粗大誤差，應(yīng)分析粗大誤差產(chǎn)生的原因。處理數(shù)據(jù)時，剔除異常數(shù)據(jù)。編輯課件精密度、正確度與準確度〔又稱精確度〕

這三個名詞分別用來反映隨機誤差、系統(tǒng)誤差和綜合誤差的大小。§

1.1測量與誤差概念編輯課件4測量結(jié)果表示〔1〕絕對誤差：

測量結(jié)果：(單位)〔2〕相對誤差：

§

1.1測量與誤差概念編輯課件§1.2

測量結(jié)果誤差估

算及評定方法

§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法對測量結(jié)果評定的三種方法：〔1〕算術(shù)平均偏差〔2〕標準偏差〔均方根偏差〕〔3〕不確定度編輯課件根據(jù)統(tǒng)計理論，我們將屢次測量的算術(shù)平均值作為真值的最正確近似。

在對測量結(jié)果進行評定時，我們約定系統(tǒng)誤差和粗大誤差已經(jīng)消除、修正或可以忽略，只考慮隨機誤差，其服從正態(tài)分布。§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件1算術(shù)平均偏差對某一物理量N進行K次測量，得N1，N2，…，Ni，……，Nk，那么算術(shù)平均值為算術(shù)平均偏差為§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件2標準偏差〔均方根差〕標準偏差是一個描述測量結(jié)果離散程度的參量。用它來評定隨機誤差有以下優(yōu)點： 1〕穩(wěn)定性，σ值隨K(測量次數(shù))變化較小。 2〕它以平方計值，與個別誤差的符號無 關(guān)，能反映數(shù)據(jù)的離散程度。 3〕與最小二乘法吻合?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件〔1〕測量列的實驗標準差〔2〕平均值的標準偏差算術(shù)平均值的標準偏差反映了算術(shù)平均值在真值附近漲落的大小?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件 范圍 置信概率〔真值落在確定 范圍內(nèi)的概率〕—68.3% —95.4%—99.7%通常將稱為隨機誤差的極限誤差?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法δP0編輯課件3不確定度3.1定義：它是對測量結(jié)果可信賴程度的評定。它表示了被測量的真值以一定概率落在某個量值范圍內(nèi)〔，〕?！?/p>

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法不確定度小，表示誤差的可能值小，測量的可信賴程度就高；不確定度大，表示誤差的可能值大，測量的可信賴程度降低。編輯課件3.2不確定度的分類和估算不確定度分為兩類。A類分量：用統(tǒng)計方法求出，即σ(N)或σ(N)。B類分量：用其他方法得出。物理實驗中通常使用儀器的極限誤差除以相應(yīng)的置信系數(shù)K。注意：在我們的實驗中一般取K≈1，即§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件不確定度的合成〔方和根合成法〕§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法請記住這一公式！編輯課件3.3用不確定度表示測量結(jié)果相對不確定度測量結(jié)果約定：在我們的實驗中u取一位有效數(shù)字。注意：的末位和u對齊。例：§

1.2測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件§1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定 如果對某一物理量只測量一次，那么常以測量儀器誤差來評定測量結(jié)果的誤差。例1：用直尺測桌子長度，L＝1200.00.5mm例2：用50分度游標卡尺測工件長度， L＝10.000.02mm例3：用量程為10μA，精度等級為0.5的電流表，單次測量某一電流3.10μA，那么 μj＝ΔI＝10μA×0.5％＝0.05μA1單次測量誤差估算及評定

§

1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件 有以上例題可見，儀器誤差一般用如下方法確定：

1〕儀器已經(jīng)標明了誤差，如千分尺。 2〕未標明時，可取儀器及表盤上最小刻度的一半作為單次測量的允許誤差，如例1。 3〕電學(xué)儀器§

1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件2屢次測量結(jié)果的誤差估算及評定處理步驟：1、求平均值。2、求σ和u。3、表示結(jié)果：

〔單位〕§

1.3直接測量結(jié)果誤差估算及評定方法編輯課件§1.4間接測量結(jié)果誤差的估算及評定1

一般的誤差傳遞公式

假設(shè)N=f(x,y,z)，那么假設(shè)對N=f(x,y,z)取對數(shù)，那么可得到§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定編輯課件2標準偏差的傳遞公式§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定編輯課件3不確定度的傳遞公式§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定以上兩公式應(yīng)牢記，并注意應(yīng)用技巧編輯課件4間接測量結(jié)果和不確定度評定的根本步驟

〔1〕計算各直接測量物理量的值和它們的不確定度；即N＝f(x,y,z)中的x,y,z和ux,uy,uz。

〔2〕根據(jù)不確定度的傳遞公式計算間接測量量的不確定度。uN或uN/N，保存1位。

〔3〕求出間接測量量N＝f(x,y,z)，N的末位與不確定度所在位對齊； 〔4〕寫出結(jié)果

§

1.4間接測量結(jié)果誤差估算及評定編輯課件§1.5有效數(shù)字及其運算1有效數(shù)字的含義 有效數(shù)字是由準確數(shù)字〔假設(shè)干位〕和可疑數(shù)字〔一位〕構(gòu)成，這樣就能夠正確而有效地表示測量結(jié)果?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算編輯課件注意：表示小數(shù)位數(shù)的“0〞不是有效數(shù)字；數(shù)字中間和尾部的“0〞是有效數(shù)字；數(shù)字尾部的“0〞不能隨意舍棄或添加；有效數(shù)字位數(shù)與十進制單位的變換無關(guān)；推薦用科學(xué)記數(shù)法：K×10n，1≤K＜10。§

1.5有效數(shù)字及其運算編輯課件2有效數(shù)字運算規(guī)那么１、加減運算

尾數(shù)對齊：在小數(shù)點后所應(yīng)保存的位數(shù)與諸量中小數(shù)點后位數(shù)最少的一個相同?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算例：33.2+3.22=36.4

12.567-1.23=11.34

1.2345+5.11-2.141=4.20編輯課件２、乘除運算

位數(shù)取齊：諸量相乘除，結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)，一般與各個量中有效數(shù)字位數(shù)最少的一個相同?！?/p>

1.5有效數(shù)字及其運算例：1.11×2.0=2.2

3.248÷1.61=2.02

編輯課件3、某些常見函數(shù)運算的有效位數(shù)〔1〕對數(shù)函數(shù)y=lnx,y=logx 計算結(jié)果尾數(shù)的位數(shù)取得與真數(shù)的位數(shù)相同；〔2〕指數(shù)函數(shù)y=ax 結(jié)果的有效數(shù)字，可與指數(shù)的小數(shù)點后的位數(shù)相同；〔3〕三角函數(shù)按角度的有效位數(shù)來定；〔4〕常數(shù)的有效位數(shù)可以認為是無限的，運算中應(yīng)多取1位；§

1.5有效數(shù)字及其運算編輯課件4、混合運算規(guī)那么 當進行加減乘除混合運算時，應(yīng)按加減規(guī)那么、乘除規(guī)那么和函數(shù)運算規(guī)那么逐步計算，最后得到計算結(jié)果。§

1.5有效數(shù)字及其運算編輯課件3不確定度和測量結(jié)果

的數(shù)字化整規(guī)那么〔1〕不確定度的有效位數(shù)1~2位

本書約定不確定度只保存1位。

相對不確定度1~2位。

尾數(shù)采用四舍六入五湊偶〔2〕最正確值或測量值末位與不確定度對齊。§

1.5有效數(shù)字及其運算編輯課件§1.6常用數(shù)據(jù)處理方法1.列表法2.作圖法3.數(shù)學(xué)方法〔逐差法、最小二乘法等〕§

1.6數(shù)據(jù)處理方法數(shù)據(jù)處理是一個對數(shù)據(jù)進行加工的過程。常用的數(shù)據(jù)處理方法有以下三類：編輯課件▲列表法§

1.6數(shù)據(jù)處理方法例：用讀書顯微鏡測量圓環(huán)直徑測量圓環(huán)直徑D儀器：讀數(shù)顯微鏡Δins=0.004mm測量次序i左讀數(shù)/mm右讀數(shù)/mm直徑Di/mm112.76418.7625.998210.84316.8385.995311.98717.9785.996411.58817.5845.996512.34618.3385.992611.01517.0105.994712.34118.3355.994直徑平均值D/mm5.995

標題：說明表格內(nèi)容附加說明：實驗儀器、條件等各個欄目標明名稱和單位原始數(shù)據(jù)注意數(shù)據(jù)紀錄的順序計算的中間結(jié)果數(shù)據(jù)編輯課件例題：伏安法測電阻實驗數(shù)據(jù)表§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲作圖法優(yōu)點：能形象直觀地顯示物理量之間的函數(shù)關(guān)系編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00I(mA)U(V)1.選擇適宜的坐標紙3.標實驗點4.連成圖線5.標出圖名及注解電阻伏安特性曲線作圖法步驟：一般選用直角坐標紙。選擇圖紙時以不損失實驗數(shù)據(jù)的有效位數(shù)并能包括所有實驗點為限度。2.確定坐標軸，選擇適宜的坐標分度值注意：坐標分度時，忌用3、7等進行分度；坐標分度可不從零開始；盡可能使圖線充滿圖紙。注意：連線時應(yīng)該使用相應(yīng)的工具；通常連線是平滑的；要注意剔除錯誤的數(shù)據(jù)點；直線盡量通過（x,y）這一點。編輯課件▲圖解法

利用已做好的圖線，我們可以定量地求得待測量或得到經(jīng)驗公式。§

1.6數(shù)據(jù)處理方法從圖中取兩點可以計算出直線的斜率和截距，從而也就可以得到經(jīng)驗公式。如本例，由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：編輯課件I(mA)U(V)8.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.0002.004.006.008.0010.001.003.005.007.009.00電阻伏安特性曲線A(1.00,2.76)B(7.00,18.58)§

1.6數(shù)據(jù)處理方法由圖上A、B兩點可得被測電阻R為：編輯課件不當圖例展示：§

1.6數(shù)據(jù)處理方法nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖曲線太粗，不均勻，不光滑。應(yīng)該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法nλ(nm)1.6500500.0700.01.67001.66001.70001.69001.6800600.0400.0玻璃材料色散曲線圖改正為：編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法I(mA)U(V)02.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.001.003.00電學(xué)元件伏安特性曲線橫軸坐標分度選取不當。橫軸以3cm

代表1V，使作圖和讀圖都很困難。實際在選擇坐標分度值時，應(yīng)既滿足有效數(shù)字的要求又便于作圖和讀圖，一般以1mm代表的量值是10的整數(shù)次冪或是其2倍或5倍。編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法I(mA)U(V)o1.002.003.004.008.004.0020.0016.0012.0018.0014.0010.006.002.00電學(xué)元件伏安特性曲線改正為：編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強～溫度曲線1.20001.60000.80000.4000圖3P(×105Pa)t(℃)60.00140.00100.00o120.0080.0040.0020.00圖紙使用不當。實際作圖時，坐標原點的讀數(shù)可以不從零開始。編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法定容氣體壓強～溫度曲線1.00001.15001.20001.10001.0500

P(×105Pa)50.0090.0070.0020.0080.0060.0040.0030.00t(℃)改正為：編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲逐差法逐差法是對等間距測量的有序數(shù)據(jù)，進行逐項或相等間隔相減得到結(jié)果。它計算簡便，并可充分利用數(shù)據(jù)，及時發(fā)現(xiàn)過失，總結(jié)規(guī)律，是物理實驗中常用的一種數(shù)據(jù)處理方法。使用條件：〔1〕自變量x是等間距變化〔2〕被測物理量之間函數(shù)形式可以寫成x的多項式：分類：逐差法逐項逐差（用于驗證被測量之間是否存在多項式函數(shù)關(guān)系）分組逐差（用于求多項式的系數(shù)）編輯課件應(yīng)用舉例〔拉伸法測彈簧的倔強系數(shù)〕設(shè)實驗中，等間隔的在彈簧下加砝碼〔如每次加一克〕，共加9次，分別記下對應(yīng)的彈簧下端點的位置L0L1L2‥‥‥L9，那么可用逐差法進行以下處理〔1〕驗證函數(shù)形式是線性關(guān)系看⊿L1⊿L2‥‥‥⊿L9是否根本相等.當⊿Li根本相等時,就驗證了外力與彈簧的伸長量之間的函數(shù)關(guān)系是線性的，即F=k⊿L用此法可檢查測量結(jié)果是否正確，但注意的是必須用逐項逐差（1.6—1）把所得的數(shù)據(jù)逐項相減編輯課件(2)求物理量數(shù)值現(xiàn)計算每加一克砝碼時彈簧的平均伸長量從上式可看出用逐項逐差，中間的測量值全部抵消了，只有始末二次測量起作用，與一次加九克砝碼的測量完全等價。若用逐項逐差（1.6—1）得到：再求平均編輯課件為了保證屢次測量的優(yōu)點，只要在數(shù)據(jù)處理方法上作些組合，仍能到達屢次測量減小誤差的目的。所以我們采用分組逐差。通?？蓪⒌乳g隔所測的值分成前后兩組，前一組為L0L1L2L3L4

后一組為L5L6L7L8

L9

前后兩組對應(yīng)項相減再取平均值由此可見，分組逐差和逐項逐差不同，這時每個數(shù)據(jù)都用上了，有利于減小誤差。但注意：這里的是增加五克時彈簧的平均伸長量。編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法▲數(shù)據(jù)的直線擬合(最小二乘法)用作圖法進行擬合帶有相當大的主觀隨意性，用最小二乘法進行直線擬合優(yōu)于作圖法。最小二乘法的原理：如果能找到一條最正確的擬合直線，那么這條擬合直線上各個相應(yīng)點的值與測量值之差的平方和在所有擬合直線中是最小的。編輯課件最正確經(jīng)驗公式y(tǒng)=a0+a1x中a0、a1的求解:通過實驗，等精度地測得一組互相獨立的實驗數(shù)據(jù)〔xi，yi，i=1，2…k〕，設(shè)此兩物理量x、y滿足線性關(guān)系，且假定實驗誤差主要出現(xiàn)在yi上，設(shè)擬合直線公式為y=f(x)=a0+a1x。那么測量值和最正確值〔回歸直線上對應(yīng)坐標〕的偏差§

1.6數(shù)據(jù)處理方法按最小二乘法原理，應(yīng)使下式最小編輯課件S取極小值必要的條件是即:整理后得:編輯課件解得：式中:編輯課件§

1.6數(shù)據(jù)處理方法相關(guān)系數(shù)r：最小二乘法處理數(shù)據(jù)除給出a、b外，還應(yīng)給出相關(guān)系數(shù)r，r定義為

r表示兩變量之間的函數(shù)關(guān)系與線性的符合程度，r[-1，1]。|r|1，x、y間線性關(guān)系好，|r|0，x、y間無線性關(guān)系，擬合無意義。物理實驗中一般要求r絕對值到達0.999以上(3個9以上)。其中編輯課件a、