高等數(shù)學(xué)第三章課后習(xí)題答案

第三章中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1.驗(yàn)證拉格朗日中值定理對函數(shù)/(x)=lnx在區(qū)間［l,e］上的正確性。

解：函數(shù)/(x)=lnx在區(qū)間［l,e］上連續(xù)，在區(qū)間(l,e)內(nèi)可導(dǎo)，故/(幻在［l,e］上滿意拉格朗日

中值定理的條件。又((x)=L解方程廣(J=‘⑻一:⑴，即!=」-,得看=e—1G(1,e)。

xe-1ge-\

因此，拉格朗日中值定理對函數(shù)/(x)=lnx在區(qū)間［l,e］上是正確的。

2.不求函數(shù)/(x)=(x-l)(x-2)(x-3)(x-4)的導(dǎo)數(shù)，說明方程f(x)=0有幾個(gè)實(shí)根,并指出

它們所在的區(qū)間。

解：函數(shù)/a)分別在區(qū)間［1,2］」2,3］,［3,4］上連續(xù)，在區(qū)間(1,2),(2,3),(3,4)上可導(dǎo)，

且/⑴=/(2)=/(3)=/(4)=0。由羅爾定理知，至少存在。e(1,2),虞€(2,3),

々e(3,4),使(?)=0(i=1,2,3),即方程/(x)=0有至少三個(gè)實(shí)根。又因方程r(x)=0為三次方

程，故它至多有三個(gè)實(shí)根。因此，方程/(x)=0有且只有三個(gè)實(shí)根，分別位于區(qū)間

(1,2),(2,3),(3,4)內(nèi)。

3.若方程+…+%*=0有一個(gè)正根面,證明：

方程即心"|+%("-l)x"2+…+a,i=0必有一個(gè)小于%的正根。

解：取函數(shù)/(x)=4x"+a|X"T+.+a,TX。/(x)在［0,%］上連續(xù)，在(0,%)內(nèi)可導(dǎo)，且

/(0)=/*0)=0，由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)4€(0,%)使/4)=0,即方程

Mn-2

annx"~'+(-l)x++a“_|=0必有一個(gè)小于毛的正根。

4.設(shè)-求證不等式：|arcsina-arcsinZ?|

證明：取函數(shù)/(x)=arcsinx,/(x)在口上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，

由拉格朗日中值定理知,至少存在一點(diǎn)。G(a,力,,使/⑷-/(。)=/C)(a-切，

BParcsina-arcsinb-?1.........(a—b),

故|arcsin?-arcsin/?|=1|tz-Z?|>|tz-b\.

一片

5.設(shè)/(x)在句(0<“<方)上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，證明存在《e(a,》)，使

y嬖

證明：取函數(shù)g(x)=d,則g(x)在［a刈(0<a<6)上連續(xù)，在(“力)內(nèi)可導(dǎo)，由柯西中值定理

f⑻一記)

知，存在Je(a,b),使

b3-a3-3

即空產(chǎn)32)詈。

6.證明恒等式：arctanx+arccotx=—

2

11

證明：取函數(shù),f(x)=arctanx+arccot冗，則/'(%)==0,則/(x)=c(c為常數(shù)).因?yàn)?/p>

1+x21+x2

/(I)=arctan1+arccot1=,故/⑴=/(%)=1。

x

7.證明：若函數(shù)f(x)在(-00,4-00)內(nèi)滿意關(guān)系式/'(%)=/(X),且/(0)=1,則f(x)=e.

F(x)=

證明：取產(chǎn)(幻=也，因=0,故尸(x)=C,又

ex

F(0)=1,故b(x)=1,即=1,故5(x)=ex.

8.用洛必達(dá)法則求下列極限

、x'n-am

(1)lim-——

f，xn-a"

解：limHL-(o).

xn-an=Hm〃x"T=na'a)

(2)lim工■土

I。X

解：lim&-b=nm"E""E'=lna-lnb

x-?0xx->0J

/ox..Insinx

(3)lim------r

x->-(萬一2x)-

2

南刀■.Insinx..cotx..-esc2x1

解：lim------------=hm---------------=hm-----------=——

XT￡(X-2X)2XT四一4(萬一2X)XT%88

222

(4)lim%"」(q〉l,a〉0)

XT4<?X。

解：lim-rt-=lim"加￡=lim---------=0

z+8x->+?)axa\naxa

/l、i.In(tanlx)

(5)lim------

f。ln(tan2x)

.r、——-sec27x-7-^-sec27x-7

的ln(tan7x)tan7xlx

解：hm-------------=hm--------------=livm---------------

XTMln(tan2x)*->鈉1XT+O1

sec22x-2——sec22x-2

tan2x2x

(6)limxcot2x

版1?.C，?xk1,?cos2x1

解：limxcot2x=lim--------=lim-----；——=lim----------=—

iotan2xx-*02sec2x“一。22

(7)lim(—-----—)

IInxx-\

1-1

解：lim(—----------)=lim—~-=lim----------------

x-1Inx(x-l)l(x_1Rlnx

x

x-1..11

=lim------------------=lim-----------------=—

(x-l)+xlnx312

'/l+x—+lnx

x

(8)lima-

解：因?yàn)閊""一"=6"’"，而lim————=lim-------=lim-------=1.

xXXx

X—X)ln(e-1)XT+OXEXT+OE+xe

所以lim/d)=e

x->+0

(9)lim嚴(yán)，

?1討X

1

ianxinxnX

解：因?yàn)?‘嚴(yán)”=e-,而lim—tanxlnx=—lim*=lim―%—=lim‘加"

XXT+OOx->+oocotxXT+8CSCXxf+8x

所以，1皿己嚴(yán),=1.

XT+0X

9.驗(yàn)證lim”它存在，但是不能用洛必達(dá)法則求出。

XT00X

解：由于］im空空立=Iim里更不存在，故不能運(yùn)用洛必達(dá)法則來求此極限，但不表

XT0°(X)*XT8J

示此極限不存在，此極限可如下求得：limX+SinX=liml+^=l+0=lo

XT8*X->00%

10.當(dāng)/=-1時(shí)，求函數(shù)/(x)=L的〃階泰勒公式。

X

解：因?yàn)?(")(力=與*/")(-1)=一〃!，

故！=/（-i）+/j）（x+i）+z4Ax+iy+

+

X/:

其中4介于X與-1之間.

11.求函數(shù)/(x)=xe”的〃階麥克勞林公式。

解：因?yàn)?+/(")(())=〃,故

其中/介于x與0之間。

12.確定函數(shù)y=3L—的單調(diào)區(qū)間。

4x3-9x2+6x

解：函數(shù)除x=O外到處可導(dǎo)，且

令，=0,得駐點(diǎn)玉=；,々=1?這兩個(gè)駐點(diǎn)與點(diǎn)*=0把區(qū)間(―，內(nèi))分成四個(gè)部分區(qū)間

當(dāng)工?-<?,0)40,；卜(1,+8)時(shí)，j'<0,因此函數(shù)在(-00⑼,(0,，,U,+oo)內(nèi)單調(diào)削減。

當(dāng)儀別時(shí)，j'>o,因此函數(shù)在曰］內(nèi)單調(diào)增加。

13.證明不等式：當(dāng)x〉0時(shí)，l+xln(x+Jl+x?)>Jl+>2.

證明：取函數(shù)/(f)=1+fln(f+Jl+『)-&+『,te［0,x］.

因此，函數(shù)在［0,幻上單調(diào)增加，故當(dāng)x>0時(shí)，/(r)>/(O),即

亦即，當(dāng)x>0n寸，1+xln(x+J1+x?)>Jl+x?.

14.設(shè)/(x)=alnx+6x2+x在*=1,%2=2時(shí)都取得極值，試確定a,b的值，并推斷了(x)在

*,尢2是取得極大值還是微小值？

解：f'[x)=a—+2bx+l,/(X)在a=1,芍=2取得極值，則/'(l)=a+28+1=0,

121

f*(2)=a—+46+1=0,故0=—,b=—?

236

又因/”(x)=—a馬+2人故/“(2)=-a；+2Z>=：—g=—：<0,所以/(x)在x2=2時(shí)取得極

大值；/"(l)=-?+2fe=^-i=^>0,所以/(X)在X］=1時(shí)取得微小值。

15.求函數(shù)/(x)=(x-1)位在閉區(qū)間［-1,1］上的最大值與最小值。

解：函數(shù)除x=0外到處可導(dǎo)，/'(x)=|x^(x-l)+3V7.^/(x)'=0,得駐點(diǎn)x=|.又因

/(一1)=一2,"1)=0,

故，最小值為-2,最大值為0。

16.某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓。截面的面積為5〃/.問底寬x為多少時(shí),

才能使截面的周長最小，從而使建立時(shí)所用的材料最??？

解：設(shè)界面周長為/，己知/=x+2y+絲與孫+%f土丫=&即y=3一絲.

22{2Jx8

令，=0,得駐點(diǎn)*=、4?由廣E=一知》=\普為微小值點(diǎn)。

又因?yàn)轳v點(diǎn)唯一，故微小值點(diǎn)就是最小值點(diǎn)。所以，當(dāng)截面的底寬為x=\片時(shí)，才能

N4+兀

使截面的周長最小，從而使建立時(shí)所用的材料最省。

17.求函數(shù)曠=31+/)圖形的拐點(diǎn)與凹或凸的區(qū)間。

2(1+X2)-2X.2X-2(X-1)(X+1)

(1+x2)(1+X2)

令y”=0,得X[=-1,々=1。

當(dāng)xe(-oo,-l)時(shí)，j"<0,因此函數(shù)在(-00,-1］內(nèi)是凸的；

當(dāng)xw(-M)時(shí)，j">0,因此函數(shù)在［-1,1］內(nèi)是凹的；

當(dāng)時(shí)，j"<0,因此函數(shù)在［1,+oo)內(nèi)是凸的。

曲線有兩個(gè)拐點(diǎn)，分別為(-I,ln2),(l,ln2).

18.利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明：g(x"+y")>(莒上)(x>0,y>0,XNy,”>1).

證明：取函數(shù)/(，)=〃,te(o,4<?).貝iJ/qOM/zri./YOn/is—DriwGiO,4oo).

當(dāng)”>i時(shí)，/(/)">O,/G(O,+OO),故函數(shù)在(o,y)上是凹的，故對任何%>0,了>0,》中了，恒

有;"(x)+f(y)]>/(號),

即;+(x>O,j>O,x*j,n>l).

19.試確定曲線y=ax3+"2+cx+d中的”也c,“，使x=-2為駐點(diǎn)，(1,-10)為拐

點(diǎn)，且通過(-2,44).

yz=44一8。+4Z?-2c+d=44

yi=T0a+O+c+d=-10

解:由題設(shè)知

)'L-2=0\2a-4b+c=0

yi=°6a+2b=0

解得a=1,Z?=—3,c=—24,J=16.

20.描繪函數(shù)/(x)=￡、/的圖形。

解：(1)定義域(-81)。(1,+8)；

(2)r(x)

(3)列表如下:

(-g,o)

(-00,--)0(0,1)1(1,+00)

X~2

不存

f'(x)——-0+-

在

/"(X)

—0+++不存+