彈性力學(xué)試題及答案

彈性力學(xué)與有限元分析復(fù)習(xí)題及其答案一、填空題1、 彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。2、 在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長(zhǎng)時(shí)為正,縮短時(shí)為負(fù),與正應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。3、 在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時(shí)為正,變大時(shí)為負(fù),與切應(yīng)力的正負(fù)號(hào)規(guī)定相適應(yīng)。4、 物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力,它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方1句和切線方1句的分量，也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力及其分量的量綱是匚業(yè)箜。5、 彈性力學(xué)的基本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性。6、 平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。7、 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量q=100MPa,o\=50MPa,rvv=10V50MPa,則主應(yīng)力(7,=15()MPa,cr2=0MPa,a=35s16fo8、 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，o-x=200MPa,b、=OMPa,r.v?=-400MPa,則主應(yīng)力o-,=512MPa,b,=-312MPa,q=-37°57’°19、 已知一點(diǎn)處的應(yīng)力分量，cta=-2000MPa,=1000MPa,'=-400MPa,則主應(yīng)力?=1052MPa,巳=-2052MPa,《=-82°32’。1()、在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件,分別建立三套方程。11、 表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。12、 邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。13、 按應(yīng)力求解平面問題時(shí)常采用逆解法和半逆解法。14、 有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu),然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)行求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩部分。15、 每個(gè)單元的位移一般總是包含著兩部分：一部分是由本單元的形變引起的，另一部分是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。16、 每個(gè)單元的應(yīng)變一般總是包含著兩部分：一部分是與該單元中各點(diǎn)的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點(diǎn)不相同的，即所謂變量應(yīng)變;另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點(diǎn)相同的，即所謂常量應(yīng)變。17、 為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的型體位移和常量應(yīng)變,還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。18、 為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù),為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們?cè)诠步Y(jié)點(diǎn)處具有相同的位移時(shí),也能在整個(gè)公共邊界上具有相同的位移。19、 在有限單元法中，單元的形函數(shù)況在i結(jié)點(diǎn)在其他結(jié)點(diǎn)時(shí)及￡州=￡20、 為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小,以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項(xiàng)的位移模式,使位移和應(yīng)力的精度提高。二、判斷題（請(qǐng)?jiān)谡_命題后的括號(hào)內(nèi)打“/”，在錯(cuò)誤命題后的括號(hào)內(nèi)打1、連續(xù)性假定是指整個(gè)物體的體積都被組成這個(gè)物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙。（/）5、 如果某一問題中，b,=G=T,=0,只存在平面應(yīng)力分量b、.，txy,且它們不沿Z方向變化，僅為X,尸的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)力問題。（/）6、 如果某一問題中，上=心=乙'=。，只存在平面應(yīng)變分量孔，勺.，Yxy,且它們不沿z方命變化，僅為x,尸的函數(shù)，此問題是平面應(yīng)變問題。（/）9、當(dāng)物體的形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻不能完全確定。（V7）1（）、當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。（vO14、 在有限單元法中，結(jié)點(diǎn)力是指結(jié)點(diǎn)對(duì)單元的作用力。（/）<15、 在平面三結(jié)點(diǎn)三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。（J）三、分析計(jì)算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應(yīng)力分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)力分量是否可能在彈性體中存在。（1） a=A.x+By,cr、=Cx+Dv,r=Ex+Fy:（2） a=A（x2+y2）,cr=B（x2+y2）,rx=Cxy；其中，A,B,C,D,E,月為常數(shù)。解：應(yīng)力分量存在的必要條件是必須滿足下列條件：（1）在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方程:: ；（2）在區(qū)域內(nèi)的相容方程二+當(dāng)（"7、.）=0;（3） 1 =uOydx在邊界上的應(yīng)力邊界條件(4)對(duì)于多連體的位移單值條[(〃&+/%)=/,?)件。此組應(yīng)力分量滿足相容方程。為了滿足平衡微分方程，必須A=-F,牛-瓦此外還應(yīng)滿足應(yīng)力邊界條件。為了滿足相容方程，其系數(shù)必須滿足刃+月0；為了滿足平衡微分方程，其系數(shù)必須滿足A=B=-C/2O上兩式是矛盾的，因此，此組應(yīng)力分量不可能存在。O2、已知應(yīng)力分量0\=-四。+中3,ay=-^C2xy2,rx=-C2yz-Czx2y，體力不計(jì)，Q為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)G,G,Go解：將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程dxdy+3C】r-3C頊-。盤=0-3C2xy-2Gxy=0即「（3G-G）P-（0+3G）y2=o＜（3C2+2C3）Ay=0由x,尹的任意性，得K-g=o<Q+3G=03C「+2G=0由此解得，,g=-與，G=go 5 z3、 已知應(yīng)力分量a=-q,b,=—q,rvy=0,判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。解：將已知應(yīng)力分量四=-0,by=F,&=0,代入平衡微分方程——+—+x=odxdy9F>d(yvdr...一+—^+丫=0印dx可知，已知應(yīng)力分量cr=~q,b廣—q,rn,=0一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計(jì)時(shí)才滿足。按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程：TOC\o"1-5"\h\zd2 d2 &J—(CTr-VCTv)+-^(<7v-V<7v)=2(1+V)—-舍 dx oxdy將已知應(yīng)力分量(rx=-q,b、=—q,玲=0代入上式，可知滿足相容方程。按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程：d2z v 、d~zu、2京T(b廠L?.汁 (/.一廠？ -S 1-vdx1-v 1-v將已知應(yīng)力分量(rx=-q,b、=—q,玲=0代入上式，可知滿足相容方程。《4、 試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮下列平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。^.v=Avy,q=W,yx=C-Dy2；q=A)「，s=Bjcy,yxy=Cxy；￡=0,￡,=0,yx=Cxy；其中，A,B,C,〃為常數(shù)。解：應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即""*I /— ?dy2dx2dxdy^將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知：相容。2A+2B.v=C(1分)；這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：3=(),2/1=Co[0=G這組應(yīng)力分量若存在，則須滿足：C=(),則孔=0,5產(chǎn)0,yx=0(1分)。5、證明應(yīng)力函數(shù)什如￡能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題(體力不計(jì)，舞0)。h/2h/2h/21y解:將應(yīng)力函數(shù)什如2代入相容方程oxoxcyoyI可知，所給應(yīng)力函數(shù)什如'能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為d2（p”廿（P八 ^~（P八a=—=2b,（7=—=0,T= =0'笏、dx2xydxdy對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件,上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：上邊，），=-?,/=0, 兀=-（膈）、」=0,無=_0.）,=旦=0；TOC\o"1-5"\h\z1 ）_三 ）一m下邊，），=§, /=0,ml, 7＞（\、.）/=0, 7＞（b,）v=q；左邊，X=~,/=-1,ni=0,fx=-（as）t=-2b,/v=-（rn.）,=0；/ A--— , A--—匕 2 2右邊，x=~＞/=i,w=o,￡=（bj7=2/?,￡=（如）/=oo2 V=2 ■V=2可見，上下兩邊沒有面力，而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2切因此，應(yīng)力函數(shù)什如2能解決矩形板在X方向受均布拉力（方＞0）和均布?jí)毫ΓP(guān)0）的問題。6、證明應(yīng)力函數(shù)午林y能滿足相容方程，并考察在如圖所示的矩形板和坐標(biāo)系中能解決什么問題（體力不計(jì)，心0）。04/1/204/1/211/2一1/21/2一1y解：將應(yīng)力函數(shù)午林y代入相容方程呼2呼2忌點(diǎn)=。oxoyoydx可知，所給應(yīng)力函數(shù)小林y能滿足相容方程。由于不計(jì)體力，對(duì)應(yīng)的應(yīng)力分量為d2(p=一——=-axydxdy?*d2(pd2(p=一——=-axydxdy?*^x=~df='“產(chǎn)^7"對(duì)于圖示的矩形板和坐標(biāo)系，當(dāng)板內(nèi)發(fā)生上述應(yīng)力時(shí)，根據(jù)邊界條件,上下左右四個(gè)邊上的面力分別為：/? 上邊，y="—>1=。,〃?=一1,￡=—(「”)h=a>￡=—(%)”=0;TOC\o"1-5"\h\z2 ,汽-三 )=三下邊，)，=§,/=o,局,兀=(&)』=一。，7>(b、)v="=o；左邊，X=~,/=-1,IJ1=O,￡=-(b\) /=0,人=一(%)i=ci；) A=-— A=-—匕 2 2右邊，x=~>/=i,，￡=(°\)」=。，￡'=(&)_/。

可見，在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力2,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力因此，應(yīng)力函數(shù)—能解決矩形板受均布剪力的問題。7、如圖所示的矩形截面的長(zhǎng)堅(jiān)柱，密度為在一邊側(cè)面上受均布剪力,試求應(yīng)力分量。解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)和受力情況，可以假定縱例纖維互不擠壓，即設(shè)（7=0o由此可知將上式對(duì)尸積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程則可得，療十k￡(x)_odx4dx4這是/的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解（全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它），可見它的系數(shù)和自由項(xiàng)都應(yīng)該等于零，即r/4/iW_r/4/iW_0F~，dx4這兩個(gè)方程要求/x/x(x)=Ax5+Bx2+Cx+1,f2(x)=Dx3+Ex2+Jx+K代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式,并略去對(duì)應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式,并略去對(duì)應(yīng)力分量無影響的一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)后，便(p=y{Ax^+Bx2+Cx)+Dx^+Ex2對(duì)應(yīng)應(yīng)力分量為d'(pcrv=—=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-pgy泌?^-=-3Ax2-2Bx-Cdxdy以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。左邊，，v=0,/=-1,ni=O,沿尹方向無面力，所以有-(，xy)x=O=C=0右邊，x=b,1=1,nt=O,沿尹方向的面力為g,所以有頃"=-3AbF^q上邊，)'=0,/=0, 1,沒有水平面力，這就要求J在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即J：(1)、="x=。將上?的表達(dá)式代入，并考慮到(=0,則有^(-3AA2-2Bx)dx=-AA-s-Bx2^=-Ab5-Bb2=0而￡《,),=。.0弘=。自然滿足。又由于在這部分邊界上沒有垂直面力，這就要求在這部分邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即]《([)v=°dx=0,f(o\)、.=oxdx=Q將b,的表達(dá)式代入，則有

f(6Zh+2E)dx=3Zh二+2位節(jié)=3班2+2Eb=0^(6Dx+lE)xdx=?.Dx3+Ex2\^=2Dbi+Eb2=0由此可得A=-4t,B=%,C=0,D=0,E=0lrb應(yīng)力分量為q=0,貝=2q打1—3.)—Qgy,口產(chǎn)磋］3—2)b\b) b{bJ雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處。=0)的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離JU()處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。8、證明：如果體力分量雖然不是常量，但卻是有勢(shì)的力，即體力分量可以表示為人=-？，人=-9，其中V是勢(shì)函數(shù)，則應(yīng)力分量亦可用應(yīng)力函dxdy數(shù)表示為，父=竺+/,貝.=典+/,寫=-竺，試導(dǎo)出相應(yīng)的相容方程。世. dr dxdy證明：在體力為有勢(shì)力的情況下，按應(yīng)力求解應(yīng)力邊界問題時(shí)，應(yīng)力分量"以應(yīng)當(dāng)滿足平衡微分方程河gdVn―+—_——=0（1分）dx 伽 （1分）6"禮沙dy dxdy還應(yīng)滿足相容方程S斜(對(duì)于平面服問題)備+備我備+*〕(對(duì)于平面應(yīng)變問題)并在邊界上滿足應(yīng)力邊界條件（1分）。對(duì)于多連體，有時(shí)還必須考慮位移單值條件。首先考察平衡微分方程。將其改寫為嚕=0ox cy嚕=。oy ox這是一個(gè)齊次微分方程組。為了求得通解，將其中第一個(gè)方程改寫為根據(jù)微分方程理論，一定存在某一函數(shù)月（x,y）,使得“ -r旦xdyyxox同樣，將第二個(gè)方程改寫為號(hào)(f(f)(1分)可見也一定存在某一函數(shù)方（X,尹），使得1ZdB dB^y~V=—， -rv.t=-T-dx dy由此得dA=dBdx舍因而又一定存在某一函數(shù)風(fēng)3，），使得代入以上各式，得應(yīng)力分量

d2(puSep1Z Sep"芽+'y=~d7+'L疝為了使上述應(yīng)力分量能同量滿足相容方程，應(yīng)力函數(shù)猶3，）必須滿足一定的方程，將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)力問題的相容方程，得馬乏便心58廠方-人時(shí)dx2廠送1斜牛送1斜牛*V人傳-J[AM""d2d2dx21dy2>簡(jiǎn)寫為V4^=-(1-//)V2V將上述應(yīng)力分量代入平面應(yīng)變問題的相容方程，得1仁d2l-p{dx29TVWd2

dx21dy2V(d2d2\d2(pd2(p\=-28-0-_LV+1p2尸)[dx2'dy-[dy-1dx2i*苛J1一〃&dy2)簡(jiǎn)寫為VV4(p=-hhL\72V1一〃9、如圖所示三角形懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為月，試用純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)求解。解：純?nèi)蔚膽?yīng)力函數(shù)為（p=ax^+bx2y+cxy2+dy5相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為\b]=%^-xf.\=2cx+6dy,貝.=翌一yfv=6ax+2by-pgy,tx=^^-=-2bx-2cy含. % oxdy這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。上邊，），=0,1=0,ni=-l,沒有水平面力，所以有-（%）、.=0=28=。對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見b=0同時(shí)，該邊界上沒有豎直面力，所以有-（b、）,=°=6g0對(duì)上端面的任意x值都應(yīng)成立，可見因此，應(yīng)力分量可以簡(jiǎn)化為a=2cx+6dy,(J=-pgy,rx=-2cy?/一■斜面,y=xtana,/=cos-—+a=-sma,m=cos(-a)=cosa,沒有面力，所以(/o;+mvJ=0'人 zy=Atana(〃酒v+/j)、=0r，巧/.Vftas由第一個(gè)方程，得-(2cx+6dxtana)shia-2cxtanocosq=-4cxsin。一6dxtanoshia=0對(duì)斜面的任意X值都應(yīng)成立，這就要求-4c：-6f/taiia=0由第二個(gè)方程，得2cxtanasina-/jgxianacosa=2cxianas]na-pgxsina=()對(duì)斜面的任意X值都應(yīng)成立，這就要求2ctamz-使=0（1分）由此解得c=?使cokz（1分），d=~pgCQX1a從而應(yīng)力分量為ax=pgxcota-2pgycoea,b、=—pgy,rxy=-pgycota設(shè)三角形懸臂梁的長(zhǎng)為/,高為①則tan^=|o根據(jù)力的平衡，固定端對(duì)梁的約束反力沿x方向的分量為0,沿/方1句的分量為~pglho因此，所求q在這部分邊界上合成的主矢應(yīng)為零，八〉.應(yīng)當(dāng)合成為反力-:聞h°COt26Z=0g(o\)dy=^p^lcQXa-lpgycQX~a\ly=p^lhcoxa-pgh2￡(上)=/dy=J：(-pgycota)dy=Sh2cota=—：pglhCOt26Z=010、設(shè)有楔形體如圖所示，左面鉛直，右面與鉛直面成角下端作為無限長(zhǎng)，承受重力及液體壓力，楔形體的密度為0,液體的密度為心，試求應(yīng)力分量。蘭°解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與Rg蘭°解：采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如圖所示。在楔形體的任意一點(diǎn)，每一個(gè)應(yīng)力分量都將由兩部分組成：一部分由重力引起，應(yīng)當(dāng)與Rg成正比（g是重力加速度）；另一部分由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與qg成正比。此外，每一部分還與a,x,尸有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L'MT2,Qig和?g的量綱是L°MT\a是量綱一的量，而x和尸的量綱是L,因此，如果應(yīng)力分量具有多項(xiàng)式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是ARgx,BRgy,Cpq,彩可）'四項(xiàng)的組合，而其中的B,G〃是量綱一的量，只與。有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和尸的純一次式。其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長(zhǎng)度量綱高二次，應(yīng)該是X和尸純?nèi)问?，因此，假設(shè)(p=ax^+bx2y+cxy2+dy5相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為"|￡礦=2*6如十笑項(xiàng)、=6心+2如*件上=-囂=-2*-2。，這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。現(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個(gè)系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。左面，，v=0,/=-1,nt=O,作用有水平面力p2gy,所以有一(1)村0=—63)=心舞對(duì)左面的任