2023北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二（上）期中數(shù)學(xué)試卷含答案

2023北京北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二(上)期中1.本試卷共12頁(yè)，共29道小題，分A卷和B卷，答題紙共3頁(yè).考試時(shí)間100分鐘.4.在答題卡上，選擇題須用2B鉛筆將選中項(xiàng)涂黑涂滿，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.A卷一、選擇題(本大題共10道小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)最符合題意.每小題3分，共30分)1.現(xiàn)實(shí)生活中，對(duì)稱現(xiàn)象無處不在，中國(guó)的漢字中有些也具有對(duì)稱性，下列漢字是軸對(duì)稱圖形的是()3.已知：如圖，∠1=∠2,則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是()4.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，這個(gè)多邊形是()A.三角形B.四邊形C.五邊形D.六邊形C.△ABC三條中線的交點(diǎn)6.下列各式從左到右的變形中，因式分解正確的是()A.x2+2xy-y2=(x-y)2B.(3m+1)(n-2)+2(n-2)=(3m+3)(n-2)D.x2-9=(x+3)(x-3)7.如圖，在△ABC中，AB=AC,D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)D與B,C不重合),△ABD和△ACD的面積分別表示為S?和S?,下列條件不能說明AD是△ABC角平分線的是()A.BD=CDB.∠ADB=∠ADCC.S?=S?A.2B.3EH+CH=DH.所有正確的結(jié)論是()A.①②B.①③④C.①②④D.①②③④標(biāo)軸上求作一點(diǎn)P,使得。PAB是等腰三角形，則符合A.5B.6C.7二、填空題(本大題共8道小題，每小題2分，共16分)11.等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6,則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為對(duì)角線BD平分∠ABC,則△BCD的面斜邊AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交16.若x2-mx+25可三、解答題(本題共8道小題，第19、20題4分，第25題6分，第22題7分，第21、23、24題8分，第26題9分，共54分)A(-2,0),B(2,2),C(-1,4).(1)畫出△ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的A'B'C',并寫出點(diǎn)B',C'的坐標(biāo)；(2)在x軸上畫出一點(diǎn)P使得PB+PC最小(保留作圖痕跡).23.如圖，已知∠AOB和線段MN,點(diǎn)M,N在射線OA,OB上，(1)尺規(guī)作圖：作∠AOB的角平分線和線段MN的垂直平分線，交于點(diǎn)P,保留作圖痕跡，不寫作圖步(2)連接MP、NP,過P作PC⊥OA,PD⊥OB,補(bǔ)全下列證明.∴MP=NP,(請(qǐng)補(bǔ)全后續(xù)證明.24.如圖，在ABC中，∠A=95°,∠ABC=50°,BDDE=AD,連接EC.(2)猜想線段BC與AB+CE的數(shù)量關(guān)系為_,并給出證明.25.對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)(1)寫出圖②中所表示的數(shù)學(xué)公式(2)利用(1)中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知a+b+c=10,a2+b2+c2=64,求ab+ac+bc的值.(3)圖③中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片，若干個(gè)長(zhǎng)為b,寬為a的長(zhǎng)方形紙片，利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖，使得計(jì)算它的面積能得到數(shù)學(xué)公式(2a+b)(3a+2b)=6a2+7ab+2b2.26.(1)如圖①,在邊長(zhǎng)為5的等邊ABC中，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，BD=2,過D作DELAB,垂足為E,點(diǎn)P是線段AE上一動(dòng)點(diǎn)，以PD為邊向右作等邊△PDF.(ii)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，求點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).BE=1,F為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作頂角∠FEG=45°的等腰△FEG,連接CG,求CG的最小值.(提示：等腰直角三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c滿足a:b:c=1:1:√2)四、探究題(本題共3道小題，第27題4分，第28題8分，第29題8分，共20分)(n=0,1,2,3,4,5,6)的展開式(按a的次數(shù)由大到小順序排列)的系數(shù)規(guī)律.例如，第三行的三我們來舉個(gè)例子對(duì)比多項(xiàng)式除法和整數(shù)除法，如下左式中，13579除以112,商為121,余數(shù)為27:而如下右式中，多項(xiàng)式x?+3x3+5x2+7x+9除以x2+x+2,商式為x2+2x+1,余式為2x+7.(1)多項(xiàng)式2x?+3x2-x+2除以x2-2x+3,請(qǐng)補(bǔ)全下面的計(jì)算式所以，2x?+3x2-x+2除以x2-2x+3所得的商式為,余式為.,雙變換圖形，且變換后所得圖形記為F,直接寫出所有圖形F所覆蓋的區(qū)域的面積為參考答案題3分，共30分)【分析】根據(jù)如果一個(gè)圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線叫做對(duì)稱軸進(jìn)行分析即可.【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的定義，熟記軸對(duì)稱圖形的定義是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變可直接得到答案.【詳解】點(diǎn)(5,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(-5,-3),【點(diǎn)睛】此題考查了關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)的坐標(biāo)的變化規(guī)律.【分析】利用全等三角形判定定理ASA,SAS,AAS對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可得出答案.【分析】任意多邊形的外角和為360°,然后利用多邊形的內(nèi)角和公式計(jì)算即可.【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)確定加油站的位置.【詳解】解：∵加油站到點(diǎn)A,B,C的距離相等，∴加油站為AB、BC、AC的垂直平分線的交點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì).熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.【分析】分別對(duì)各項(xiàng)因式分解，再逐一判斷即可.B.(3m+1)(n-2)+2(n-2)=(n-2)(3m+1+2)=(3m+3)(n-2)=3(m+【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析即可.【詳解】在△ABC中，AB=AC,如果D是BC中點(diǎn)或AD⊥BC,那么AD是△ABC角平分線.因?yàn)椤螦DB=∠ADC,∠ADB+∠ADC=180“,所以∠ADB=∠ADC=90°,所以AD⊥BC,那么AD是△ABC角平分線.因?yàn)镾?=S?.,所以AD是BC上的中線，所以AD是△ABC角平分線.如果,不一定能保證D是BC中點(diǎn)或AD⊥BC,故不能保證AD是△ABC角平分線.【分析】由三角形中線的性質(zhì)可得：△ABD與△ACD,△BEF與△BCF,△ABE與△BDE,△ACD與△DCE是等底同高的三角形，利用等底同高的三角形的面積相等即可解答.,,【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積及三角形面積的等積變換，三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS可證明VACD≌VBCE,可判斷①;過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)G,CM⊥BE于點(diǎn)H,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CM=CN,即可判斷②;證明。CDG≌CEF,得出CG=CF,證明△CGF為等邊三角形，得出∠CFG=60°,得出∠ACB=∠CFG,可判斷③;在CH上截取DI=EH,證明。CDI≌△CEH,得出CI=CH,∠DCI=∠ECH,證明。HCI為等邊三角形，得出HI=CH,可判斷④.即∠ACD=∠BCE,過點(diǎn)C作CN⊥AD于點(diǎn)N,CM⊥BE于點(diǎn)M,如圖所示：∴DH=DI+HI=EH+CH,故④正確，綜上所述，正確的有①②③④.【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的判定，三角形的面積等知識(shí)，本題綜合性較強(qiáng)，難度較大.【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求得AB=2OB=2,再分類討論：以AB為腰，以AB為底，分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理求點(diǎn)P坐標(biāo)即可.【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、解一元一次方【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)分別是多少，再求出周長(zhǎng).【詳解】解：若3是底邊長(zhǎng)，6是腰長(zhǎng)，三邊長(zhǎng)為3,6,6,構(gòu)成等腰三角形，則等腰三角形的周長(zhǎng)為3+6+6=15;若6是底邊長(zhǎng)，3是腰長(zhǎng)，則等腰三角形三邊長(zhǎng)為3,3,6,∵3+3=6不能構(gòu)成等腰三角形，∴此種情況不存在，∴等腰三角形的周長(zhǎng)為15.故答案為：15.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的定義，在討論底邊長(zhǎng)和腰長(zhǎng)時(shí)需要注意三邊長(zhǎng)要滿足構(gòu)成三角形的條件.【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得BC=BD=12,AB=EB=5,即可求解.【詳解】解：∵△ABD≌△EBC,故答案為：7.【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【分析】過D作DE⊥BC于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出DE=AD=3,再根據(jù)三角形的面積公式求解即可.【詳解】解：過D作DE⊥BC于E,故答案為：12.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積和角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵.線的性質(zhì)可得BE=2CE,再利用勾股定理即可求解.【詳解】解：連接BE,如圖：在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得：AB2=AC2+BC2,即：4BC2=122+BC2,又∵DE是AB的垂直平分線，在Rt?BCE中，根據(jù)勾股定理得：BE2=BC2+CE2,即：4CE2=CE2+48,解得：CE=4或-4(舍去),故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、直角三角形的特征及垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.公式及平方根定義求出x-y的值即可.【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵.【分析】利用完全平方公式求解即可.【詳解】解：∵x2-mx+25可以用完全平方公式進(jìn)行因式分解，當(dāng)x2-mx+25=x2-mx+52=(x+5)2=x2+故答案為：±10【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，熟記完全平方公式是解題的關(guān)鍵.把x2-4x=2代入得，原式=3×2+2=8,故答案為：8.【點(diǎn)睛】本題考查代數(shù)式求值，整式的化簡(jiǎn)求值，利用整體代入的思想是解題的關(guān)鍵.【分析】作E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,作E點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交AB于D點(diǎn)，交AC于F點(diǎn)，連接AG,AH,AE,當(dāng)AE⊥B【詳解】如圖，作E點(diǎn)關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)G,作E點(diǎn)關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)H,連接GH,交AB于D點(diǎn)，交AC于F點(diǎn)，連接AG,AH,AE,由對(duì)稱性可知GD=DE,EF=FH,AG=AE∴DEF的周長(zhǎng)=DE+DF+EF=GD+DF+FH=GH,∵BC=4,△ABC的面積14,∴△DEF的周長(zhǎng)最小值為7,故答案為：7.【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱求線段和的最值，熟練掌握軸對(duì)稱求最短值的方法，等邊三、解答題(本題共8道小題，第19、20題4分，第25題6分，第22題7分，第21、23、【分析】根據(jù)積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握積的乘方，冪的乘方和同底數(shù)冪除法運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.【分析】根據(jù)整式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.=-x2-16x+14.【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握整式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算.【分析】(1)先提公因式，然后再用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；(2)先提公因式，然后再用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可.【小問1詳解】【小問2詳解】【點(diǎn)睛】本題主要考查了因式分解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握因式分解的方法，準(zhǔn)確計(jì)算.(2)作圖見解析【分析】(1)分別找出點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)A'、B'、C',即可作圖，再由坐標(biāo)軸得出點(diǎn)(2)找出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再根據(jù)點(diǎn)C、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，PB+PC的值最小即可求解.【小問1詳解】B(-2,2),C(1,4);【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對(duì)稱、軸對(duì)稱的性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)23.【答案】(1)見解析(2)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；角平分線上的點(diǎn)到角【分析】(1)根據(jù)垂直平分線和角平分線的基本作圖方法進(jìn)行作圖即可；(2)根據(jù)HL證明Rt?PCM≌RtPDN即可.【小問1詳解】解：∠AOB的角平分線和線段MN的垂直平分線，如圖所示.【小問2詳解】∴MP=NP,(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等)∴PC=PD,(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等),故答案為：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等.【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線和角平分線基本作圖，角平分線判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明RtPCM≌RtPDN.【分析】(1)先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ACB,再利用角平分線的定義求出∠DBC,即可利用三角形外角的性質(zhì)求出∠CDE;(2)如圖所示，在BC上取一點(diǎn)F使得BF=AB,連接DF,證明△ABD≌△FBD,得到∠ADB=∠FDB,AD=DF,進(jìn)一步證明△CDE≌△CDF(SAS),得到CE=CF,即可證明BC=AB+CE.【小問1詳解】解：∵在ABC中，∠A=95°,∠ABC=50°,故答案為：60.【小問2詳解】如圖所示，在BC上取一點(diǎn)F使得BF=AB,連接DF,在△ABD和FBD中，【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等等，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.(2)18(3)作圖見解析【分析】(1)根據(jù)圖形的面積求解即可；(3)根據(jù)數(shù)學(xué)公式可得用6個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形、7個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的長(zhǎng)方形、2個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為2a+b和3a+2b的長(zhǎng)方形即可求解.【小問1詳解】解：由圖可得，大正方形的面積為：(a+b+c)(a+b+c),又∵大正方形的面積為a2+2ab+2ac+b2+2bc+c2,(a+b+c)(a+b+c)=a2+2ab+2a【小問2詳解】【小問3詳解】解：如圖，b【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式分整體與部分兩種方法列等式是解題的關(guān)鍵.26.【答案】(1)(i)見解析；(ii)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4;(2)3.【分析】(1)(i)證明VPED≌VDGF,可得PE=DG;(ii)以DE為一邊向右作等邊三角形DEI連接AD,以AD為一邊向右作等邊三角形ADH,連接HI,證明VHDI≌VADE,則∠HID=∠AED=90°,HI=AE=4,再說明FG//DI,且FG=DI,則點(diǎn)F在線段HI上運(yùn)動(dòng)，即可求出點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4;(2)將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EL,作射線LG,連接DE交CG于點(diǎn)K,證明VELG≌VEBF,得∠L=∠B=90°,說明點(diǎn)G在以點(diǎn)L為端點(diǎn)且與ED平行的射線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CG⊥LG時(shí)，線段CG最短，求出此時(shí)CG的長(zhǎng)即可.∵△ABC是邊長(zhǎng)為5等邊三角形，∴VPED≌VDGF(AAS),②如圖①乙，以DE為一邊向右作等邊三角形DEI,即DE=DI,∴連接AD,以AD為一邊向右作等邊三角由(1)得FG=DE,∵當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，則點(diǎn)F與點(diǎn)I重合；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合，∴點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為4.(2)如圖②,將線段EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°到EL,作射線LG,連接DE交CG于點(diǎn)K,∴VELG≌VEBF(SAS),∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)L為端點(diǎn)且與ED平行的射線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)CG⊥LG時(shí)，線段CG最短，∴CG