高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)33 空間向量與立體幾何

考點(diǎn)33空間向量與立體幾何

1.空間向量及其運(yùn)算

（1）了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.

（2）掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.

（3）掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能運(yùn)用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直.

2.空間向量的應(yīng)用

（1）理解直線的方向向量與平面的法向量.

（2）能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.

（3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）.

（4）能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立

體幾何問題中的應(yīng)用.

一、空間直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念

1.空間直角坐標(biāo)系

坐標(biāo)原點(diǎn)點(diǎn)。

以空間一點(diǎn)。為原點(diǎn)，具有相同的單位長度，給定正方

坐標(biāo)軸x軸、y軸、Z軸

定義向，建立兩兩垂直的數(shù)軸：X軸、y軸、Z軸，建立了一

個空間直角坐標(biāo)系。-qZ通過每兩個坐標(biāo)軸

坐標(biāo)平面

的平面

在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向），軸的正方向，如果中指指向z軸的正

方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系，如圖所示.

2.空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)

（1）空間一點(diǎn)例的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）來表示，記作M（x,y,z）,其中x叫做點(diǎn)M的橫坐

標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo).

（2）建立了空間直角坐標(biāo)系后，空間中的點(diǎn)M與有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）可建立一一對應(yīng)的關(guān)系.

3.空間兩點(diǎn)間的距離公式、中點(diǎn)公式

（1）距離公式

①設(shè)點(diǎn)A（X］，X，Z|）,8（々,%，22）為空間兩點(diǎn)，

則A,B兩點(diǎn)間的距離|AB1=依-"+⑶-%）2+（Z「Z2）2.

②設(shè)點(diǎn)P（x,y,z）,

則點(diǎn)P（X,y,Z）與坐標(biāo)原點(diǎn)。之間的距離為I。尸|=G+y2+z2

（2）中點(diǎn)公式

工

2

設(shè)點(diǎn)P（x,y,z）為4（X］，x，Z1）,.（孫，2,22）的中點(diǎn)，則.y=y+%.

2

4.空間向量的有關(guān)概念

名稱定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

單位向量長度（或模）為1的向量

零向量長度（或模）為0的向量

相等向量方向相同且模相等的向量

二、空間向量的有關(guān)定理及運(yùn)算

1.共線向量定理

對空間任意兩個向量”，仇厚0）,?！?的充要條件是存在實(shí)數(shù)人使得”=助.

牢記兩個推論：

（1）對空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)P在直線AB上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t,使OP=（1-f）OA+rOB或

OP=xOA+yOB（其中x+y=l）.

（2）如果/為經(jīng)過已知點(diǎn)4且平行于已知非零向量a的直線，那么對空間任意一點(diǎn)。，點(diǎn)尸在直線/上

的充要條件是存在實(shí)數(shù)r,使OP=QA+s，其中向量。叫做直線/的方向向量，該式稱為直線方程的

向量表示式.

2.共面向量定理

如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a,6共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x,y),使

p-xa+yb.

牢記推論：空間一點(diǎn)P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(x,y),使=+或

對空間任意一點(diǎn)0,有0P=0A+xA8+yAC.

3.空間向量基本定理

如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p,存在有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=xa+yb+

zc.其中，｛a,b,c｝叫做空間的一個基底，a,b,c都叫做基向量.

注意：(1)空間任意三個不共面的向量都可構(gòu)成基底.

(2)基底選定后，空間的所有向量均可由基底唯一表示.

(3)0不能作為基向量.

4.空間向量的運(yùn)算

(1)空間向量的加法、減法、數(shù)乘及數(shù)量積運(yùn)算都可類比平面向量.

夾角土“5-*，1乙AOB稱為向植a與

八"》1/，b的夾角.記作,〈，?/>〉

U

理+10W如“〉W7T特第朧如“〉=費(fèi)0。"

fllllil——------------------=--------

處良小b1a||bW'Q")

①結(jié)合律八mb

?至mit=a?(-b)=入(a?b)

?②交換律:a-b=b-a

3；分配律:a?(b+c)

=a?b+a?c

(2)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

設(shè)a=(4，。2，。3)，辦=(4，4/3)，則a±〃=(q±4，g土〃2,%±4)，

Aa=(%q,Aa2,Aa3)(AeR),ab=%1入+a2b2+a3b3,

ab<=>b=Aa<=>b1-Aa^b2-Aa2,h3-Aa3(2GR),

a-Lba-b=a]h]+a2h2+a3b3=0,

同=4c^=4a；+a；+a；,

rns/?M=-=她+%>+%」

<'?|刑&:+a；+d荷+片+不

三、利用空間向量解決立體幾何問題

1.直線的方向向量和平面的法向量

(1)直線的方向向量就是指和這條直線平行(或共線)的向量，記作/,顯然一條直線的方向向量可以有

無數(shù)個.

(2)若直線/_La,則該直線/的方向向量即為該平面的法向量,平面的法向量記作,，有無數(shù)多個，任

意兩個都是共線向量.

平面法向量的求法：設(shè)平面的法向量為■=(%,',z).在平面內(nèi)找出(或求出)兩個不共線的向量

■a=0

。=(%，4，4),分=(4，/也)，根據(jù)定義建立方程組，得到—通過賦值，取其中一組解，得

到平面的法向量.

2.利用空間向量表示空間線面平行、垂直

設(shè)直線的方向向量分別為1,，〃，平面a,￡的法向量分別為■.

(1)線線平行：若/〃加，則/mI=eR)；

線面平行：若"/a,貝I"_L?H^=0；

面面平行：若a〃夕，則

(2)線線垂直：若1-Lm,則，_L=/-“z=0；

線面垂直：若/la,則/

面面垂直：若a_L￡,則=

3.利用空間向量求空間角

設(shè)直線/,加的方向向量分別為1,/〃，平面a,￡的法向量分別為〃1,%.

(1)直線］,團(tuán)所成的角為。，則04。(四，計算方法：cos6?=t^);

2I帆

兀IZ-w,I

(2)直線/與平面a所成的角為8,則—,計算方法：sine=M;；

214間

(3)平面a,萬所成的二面角為8,則0＜。＜兀，

如圖①，AB,CD是二面角a―/一4的兩個面內(nèi)與棱/垂直的直線，則二面角的大小。=〈A3,C。).

如圖②③，外,%分別是二面角a-1-fi的兩個半平面a,4的法向量，則二面角的大小。滿足|cosd|=

，二面角的平面角大小是向量用與?2的夾角(或其補(bǔ)角).

阿㈣

4.利用空間向量求距離

（1）兩點(diǎn)間的距離

設(shè)點(diǎn)A（X|，X，Z|）,8（*2,%，Z2）為空間兩點(diǎn)，

則A,B兩點(diǎn)間的距離|AB1=1AB1=｛（內(nèi)一々）2+（四一%）2+（4—22）2.

（2）點(diǎn)到平面的距離

如圖所示，已知A8為平面a的一條斜線段,"為平面a的法向量，則8到平面a的距離為|B。|='''

|〃|

考向一空間直角坐標(biāo)系

對于空間幾何問題，可以通過建立空間直角坐標(biāo)系，把空間中的點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組（即坐標(biāo)）表示出來，通過坐標(biāo)

的代數(shù)運(yùn)算解決空間幾何問題，實(shí)現(xiàn)了幾何問題（形）與代數(shù)問題（數(shù)）的結(jié)合.

典例1如圖，以長方體ABC。-AgG"的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過。的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，若。片的坐標(biāo)為（4,3,2）,則的坐標(biāo)為.

【答案】（-4,3,2）

【解析】如圖所示，以長方體A5CD-4與G。的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過。的三條棱所在直線為坐標(biāo)軸,

建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)榭沼玫淖鴺?biāo)為（4,3,2）,所以4（4,0,0）,G（0,3,2）,所以4G=（—4,3,2）.

1.如圖所示，在長方體ABC。-4B1CQ中，\AB\=\AD\=3,|44i|=2,點(diǎn)M在4G上，\MCi\=2\AiM\,

N在。C上且為。iC中點(diǎn)，求M、N兩點(diǎn)間的距離.

考向二共線、共面向量定理的應(yīng)用

1.判斷兩非零向量區(qū)。平行，就是判斷。=2。是否成立，若成立則共線，若不成立則不共線.

2.證明空間三點(diǎn)P、4、8共線的方法：

①PA=/lPB(/iGR);

②對空間任一點(diǎn)O,OP=OA+tAB(reR)；

③對空間任一點(diǎn)。，OP-xOA+yAB{x+y=1).

3.證明空間四點(diǎn)P、M、A、8共面的方法：

①M(fèi)P=xM4+yM8；

②對空間任一點(diǎn)。，OP=0M+xMA+yMB；

③對空間任一點(diǎn)0,0P=x0M+y0A+z08(x+y+z=l)；

④PM〃AB（或PA//MB或PB//AM）-

典例2如圖所示，在正方體A8CC-A出JCQI中，E在上，且A1E=2EDi，尸在體對角線4c上，且

2

4/=—bC.求證：￡尸,8三點(diǎn)共線.

3

【解析】^AB=aAD=b.AA^=c.

___>___>2

'：A1E=2EDl,A]F=-FC,

___,2___,2-2八2―.——、2—，—>——222

??A^E=-/4尸=14。=~(AC-AAy)=—(AB+AD-AA{)=--a+—b--c.

-424222

:.EF=A]f—Aj￡=—a--h--c=—(a--b-c).

515553

―>—?—―?22

又EB=EA1+A^A+AB^—b-c+a=a--b-c,

/.EF^-EB.

5

...E,尸,8三點(diǎn)共線.

2.如圖，已知。、a、B、。、D、E、F、G、H為空間中的9個點(diǎn)，且OE=ZQA，OF=kOB，

OH=kOD，AC=AD+mAB>EG=EH+mEF，k手0,w^O.

求證：（1）.、B、C、

⑵AC//EG；

⑶OG=kOC

考向三利用向量法證明平行問題

1.證明線線平行：證明兩條直線的方向向量平行.

2.證明線面平行：

（1）該直線的方向向量與平面的某一法向量垂直；

（2）證明該直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行；

（3）證明該直線的方向向量可以用平面內(nèi)的兩個不共線的向量線性表示.

3.證明面面平行：兩個平面的法向量平行.

典例3如圖，已知長方體48皿一4出。。|中,E、M、N分別是8C、AE、的中點(diǎn)AD=44i=a,A8=2a.

求證：MN〃平面ADQAi.

???M、N分別為AE、CA的中點(diǎn)，

3???，…，3Ca、

A7(—a,a,O),N(O,a,—).MN=(a,0,—).

4242

取”=(0,1,0),顯然平面4GD4,且方力尸。,

A/WVln.

又MNU平面ADDIAI,〃平面AOOiAi.

3.已知正方體ABC。-的棱長為2,E,尸分別是?？诘闹悬c(diǎn)，求證：

(1)FG〃平面ADE：

(2)平面AOE〃平面BiGF.

考向四利用向量法證明垂直問題

1.線線垂直：證明兩直線所在的方向向量互相垂直，即證它們的數(shù)量積為零.

2.線面垂直：證明直線的方向向量與平面的法向量共線，或?qū)⒕€面垂直的判定定理用向量表示.

3.面面垂直：證明兩個平面的法向量垂直，或?qū)⒚婷娲怪钡呐卸ǘɡ碛孟蛄勘硎?

典例4如圖,已知正四棱錐V-ABC。中,E是VC的中點(diǎn)，正四棱錐的側(cè)面VBC為正三角形.求證:平面

平面EBD.

【解析】如圖，以V在底面ABCD內(nèi)的射影0為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,

設(shè)VB=VC=BC=2a,^.RtAVOC^,VO=JcV2-CO2=J4a2-2a=必，

...”0,0,、2。）工（必,0,0）,（?（-@,0,0）,8（0,必,0）,。（0,-5,0）,E（—注a,0,注a）,

_r歷___>

則DE=（—芋a,也a,券a）,BD=（0「2Pa,0）,VC=（-也a,Q,-也a）.

,/DF-VC^i2+O-a2^OjD-7f=0,

???DEIVC.BDIVC.BPDE^VC,BDLVC.

'：DEHBD=D,

：.UC_L平面EBD.

又VCu平面VAC,

平面VACJ_平面EBD.

典例5如圖所示，在四棱錐P-ABCD中,PAL底面A8CDAB，4O,ACJ_CQ,NABC=6()o,PA=AB=8C,E是PC

的中點(diǎn).

B

求證：(1)AE±CD;

(2)PCJ_平面A8E.

【解析】（1）易知尸兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)PA=AB=BC=lM4(0,0,0),8(1,0,0)1(0,0,1).

ZABC=60°,

△4BC為正三角形,

1J3161

.-.C(-,2<2.,0),￡(-,22-).

22442

設(shè)。（0,州,0）,由ACJ_C￡>,得正帶0,即（L,（））?（-■!■,州一走,0）=0,解得州=述,

22223

.,.而=（-！，且0）.

26

■■AECD=-^xxf+0=0,

2464

.?.荏，①即AE1CD.

（2）方法一：由（1）知所=（0,述,-1）,

二AE-麗=0+—x氈+1x（-1）=0,

432

二方，而即PDLAE.

,??荏=（1,0,0）,，而荏=0,

/.PD1.AB.

又ABHAE=A,

力_L平面ABE.

方法二:由⑴知4B=（l,0,0）,4E=（：，2=）.

442

x=0

設(shè)平面ABE的法向量為〃=（x,y,z）,則nAB=^AE=0^<

y+—z=0

2

令尸2,則2=-、同，

.?.平面ABE的一個法向量為"=（02-邪）.

?；pp=（o.巫1）,顯然方=

33

：.~PD//n,

.?.而J■平面4BE,即POJ_平面ABE.

4.如圖，正方體ABC?！?用GQ中，E,F,〃分別為A4,Bg,Cq的中點(diǎn).

（1）證明：BE1AH；

（2）在棱上是否存在一點(diǎn)G,使得AG〃平面8EF?若存在，求出點(diǎn)G的位置；若不存在，請

說明理由.

考向五用向量法求空間角

1.用向量法求異面直線所成的角

（1）建立空間直角坐標(biāo)系；

（2）求出兩條直線的方向向量；

（3）代入公式求解，一般地，異面直線AC,的夾角￡的余弦值為cos￡=

\AC\\BD\

2.用向量法求直線與平面所成的角

（1）分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個方向向量的夾角（或其補(bǔ)角）；

（2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平

面所成的角.

3.用向量法求二面角

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾

角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

典例6如圖，在五棱錐P-ABCDE中,PAL平面ABCDE,PA=AB=AE=2BC=2DE=2,ZDEA^

NEAB=/ABC=90°.

E

（1）求二面角P—OE—A的大小；

（2）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值.

【解析】由題可知，以AB、AE、AP分別為x軸,），軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則A(0,0,0),E(0,2,0),0(1,2,0),P(0,0,2),C(2,1,0).

設(shè)平面PDE的法向量為n=(x,y,z)，又前=(1,0,0),在(0,-2,2).

n-ED=x=0fx=O/、

由〈，得《，令尸1,得〃=(0,1,1).

n-EP=-2v+2z=01y=z

⑴由于PAL平面ABCDE,則平面ADE的一個法向量為據(jù)(0,0,2),

—.n-AP2、5

于由。s<〃,AP>=j^=F=E'

所以<”,語=45。，

則二面角「一DE-A的大小為45°.

(2)由于裕(2,1,-2),

一PCn2x0+lxl+(-2)xlJ?

所以cos<PC,n>=II..=---------廣------=---.

|「?？凇▅3xV26

故PC與平面PDE所成角的正弦值為注.

6

典例7如圖，在五面體A8CCEF中，E4_L平面ABC。，AD//BC//FE,ABLAD,M為EC的中點(diǎn)，AF=

(1)求異面直線B尸與。E所成角的大小;

(2)證明：平面AM￡>_L平面C￡>E；

(3)求二面角A—CQ—E的余弦值.

【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一盯2

設(shè)48=1,依題意得3(1,0,0),C(l,l,0),￡>(0,2,0),E(0,l,l),F(0,0,D，M(-,1,-).

22

(1)Q=(-l,0,l)，痂=(o，—1,1)，

_,_.BFDE0+0+11

于是cosDE>=^pi=-^T=5'

所以異面直線BF與OE所成角的大小為60°.

(2)由前=(［，1，［),屈=(一1。1)，而=(020),可得麗麗=0,CEAD=0.

22

因此，CEVAM,CE±AD.

又A￡)nAM=A,

故CE_L平面AMD

而CEu平面CDE,

所以平面平面CDE.

〃CE=0-x+z-0

(3)設(shè)平面CDE的法向量為“=(x,y,z),則*,于是

u-DE=0_y+z=0，

令x=l,可得"=(1,1,1).

又由題設(shè)，可知平面AC。的一個法向量為y=(0Ql).

U-V0+0+16

所以cos(u,v)

|u||v|6x13

因?yàn)槎娼茿-CQ-E為銳角,

所以其余弦值為@.

3

5.如圖，在斜三棱柱中，底面ABC是邊長為2的正三角形，BB]=3,Ag=Jid,

NCBB]=60.

(1)求證：平面ABC,平面BCC/i；

(2)求二面角8—C的正弦值.

考向六用向量法求空間距離

1.空間中兩點(diǎn)間的距離的求法

兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的向量的模.因此，要求兩點(diǎn)間的距離除使用距離公式外，還可轉(zhuǎn)化為

求向量的模.

2.求點(diǎn)P到平面a的距離的三個步驟：

(1)在平面a內(nèi)取一點(diǎn)A,確定向量PA的坐標(biāo).

(2)確定平面a的法向量”.

\PA-n\

(3)代入公式d求解.

典例8如圖，已知長方體ABCfMiBCQi中,44=5,48=12,則直線B\C\到平面A\BCD\的距離是

A.5

C.竺

D.8

13

【答案】C

【解析】?:B\C\〃BC,且4GZ平面A\BCD\,BCU平面A\BCD\,.'.B]C]//平面A\BCD\,從而點(diǎn)B\到平面

A山C9的距離為所求距離.

方法一：過點(diǎn)Bi作BiElAiB于點(diǎn)E：BC_L平面AiAB即且BiEu平面AiABBi,：.BC±BiE.

AB.xB.B12x560

又BCn48=8,；.8EJ_平面A山C￡h.在RtAA4B.B中,BC=>J=-/,—,

V52+12213

直線BiCi到平面AiBCA的距離為竺.

13

方法二：以。為坐標(biāo)原點(diǎn),D4DC,DDI的方向分別為x,y,z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

C(0,12,0),Di(0,0,5),

設(shè)B(x』2,0)B(x,12,5)(#0),平面AiBCDi的法向量為n=(a,b,c),

_,___._,___.5

由/I_LBC,"_LCD1，得“?BK”力,c)?(-x,0,0)=-ax=0,a=0,n-CDj=(a力,c>(0,-12,5)=-12h+5c=0,b--c,令

c=12,則6=5,5,12)為平面A8C。的一個法向量.

又B]B=(0,0,-5),.?.點(diǎn)Bi到平面AxBCDy的距離內(nèi)60

?13

典例9如圖，直三棱柱ABC-AMG中,4C=BC=1,/L4i=3,乙4cB=90。，。為CG上的點(diǎn)，二面角A-A1—。

的余弦值為-@

6

(1)求證:CD=2;

(2)求點(diǎn)A到平面A3。的距離.

【解析】(1)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以CA、CB、CG所在直線為x軸、)軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz,

則A(l,0,0)、8(0,1,0)、A(1,0,3).設(shè)0(0,0,a).

川=(1,1,0)是平面4/18的一個法向量,設(shè)〃=(%,%2)是平面48。的法向量.

西=(1,0,3"),礪=(0,1,-a),由〃=0,麗."=0,得x+(3-a)z=0,y-az=0,

取x=3—。,得＞=—a,z=—1,即〃=(3—0,—47,-1).

由題設(shè)，知|cos(帆,n)|=gjW=―—J32,===1-恪|=夠，解得a=2或a=],

1|^||?|V2x7(3-?)2+a2+l66

所以。C=2或QC=1.

但當(dāng)。C=1時，顯然二面角A-48-。為銳角，故舍去.

綜上QC=2.

(2)由(1),知"=(1,2-1)為平面AB。的一個法向量，

又441=(0,0,3),所以點(diǎn)A到平面\BD的距離kI：l=g

同2

6.如圖，在四棱錐。-Z8CQ中，底面A8CD是邊長為2的正方形，。4，底面43?！?gt;,OA=2,M,N,R

分別為OA,BC,AO的中點(diǎn)，求直線MN與平面OCD的距離及平面MVR與平面OCD的距離.

7.如圖，在四棱錐P—ABC。中，底面A8CD為正方形，PB=PO=J5,AB=1,AP=2,。是CD中點(diǎn).

(1)求點(diǎn)C到平面BPQ的距離；

(2)求二面角A—P。一8的余弦值.

考向七用向量法求立體幾何中的探索性問題

1.通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對象存在(或結(jié)論成立)，然后在這個前提下進(jìn)行邏輯推理，若能推導(dǎo)出與條件吻合的

數(shù)據(jù)或事實(shí)，說明假設(shè)成立，即存在，并可進(jìn)一步證明；若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論，則說

明假設(shè)不成立，即不存在.

2.探索線段上是否存在點(diǎn)時，注意三點(diǎn)共線條件的應(yīng)用，這樣可減少坐標(biāo)未知量.

典例10如下圖所示,三棱柱ABC-4B1G中,44」平面ABC,BC_LAC,8C=AC=2A4i=3,Z)為AC的中點(diǎn).

D

AA

（1）求二面角G-BO-C的余弦值；

（2）在側(cè)棱A4i上是否存在點(diǎn)P,使得CPL平面BDG?并證明你的結(jié)論.

【解析】（1）建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則G(0,0,0),2(0,3,2),C(0,3,0)4(2,3,0),0(1,3,0),所以于=(0,3,2),萃=(1,3,0).

\n-C-iB—0

設(shè)/i=(xi,yi,zi)是平面BDC\的法向量，則萬不_門

IfltCyU—v

3yl+2z.=011

所以《、c，令xi=l,得〃=（L-一,一）是平面的一個法向量,

Xi+3y=032

易知錄=（0,3,0）是平面ABC的一個法向量，

n,C|C—12

：

所以cos<〃，彳>=|?|.|C1C|=%=;，

2

而二面角G-BDC為銳角，故其余弦值為一.

7

（2）假設(shè)側(cè)棱A4i上存在一點(diǎn)P（2,y,0）（0然3）,使得CPL平面BDCx.

因?yàn)辂?（2,廣3,0）,

（CP-C?B=0]3(y-3)=o7

[2+353)=0,得產(chǎn)3且

切所以［-C-P?—C—?=0

所以方程組無解.

則假設(shè)不成立，即側(cè)棱A4i上不存在點(diǎn)P,使CPL平面BDCx.

典例11已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，AB//DC,ADAH=90°,PD1底面/1BCC,且

PD=DA=CD=2AB=2,M點(diǎn)為PC的中點(diǎn).

（1）求證：BM〃平面240.

（2）在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)N,使MN1平面PBD.

【解析】（1）因?yàn)榈酌鍭BCD,CD〃4B,CD_LA￡>,所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。-孫z（如

圖所示）.

由于PD=CD=ZM=2AB=2,所以。(0,0,0),8(2,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),M(0,1,1),

所以商=（-2,0,1）,DC=（0,2,0）.

因?yàn)榛?，平面PAC,

所以比是平面PAD的法向量,

又因?yàn)榉?兩=0,

所以前〃平面PAD,

所以3M//平面PAD.

(2)設(shè)N(x,0,z)是平面PAD內(nèi)一點(diǎn)，

則而=(%,-l,z-1),DP=(0,0,2),DF=(2,1,0),

'M/V-DP=0

若MN,平面PBR則麗麗=0,

i

x=—

所以〈2,

2mz—1

（\\

所以在平面PAO內(nèi)存在點(diǎn)N彳,0,1,使得MN,平面尸BD

\2）

8.如圖，在四棱錐產(chǎn)一ABC。中，平面平面ABC。，PA±PD,PA=PD,ABLAD,AB=\,

AD=2,AC=CD=y/5.

p

(1)求直線PB與平面PC。所成角的正弦值.

(2)在棱PA上是否存在點(diǎn)“，使得8M〃平面PC。？若存在，求4”的值；若不存在，說明理由.

AP

1.向量a=(1,1,0),6=(0,1,1),c=(1,0,1),d=(l,0,-l)中，共面的三個向量是

A.a,b,cB.b,c,d

C.c,d,aD.d,a,b

2.已知向量a=(2,4,5),6=(3,尤,y)分別是直線4,4的方向向量，若I"I〉則

A.x=6,y=15B.x=3,y=—

C.x=3,y=15D.x=6,y=￡

3.已知兩平面的法向量分別為，"=(0,1,0),"=(0,1,1),則兩平面所成的二面角的大小為

A.45°B.135°

C.45°或135°D.90°

4.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱,CA=CC,=2C3,則直線BG與直線AB夾角的余

弦值為

V5V5

B.

.丁3

2753

D.

,5

5.如圖所示，在直二面角D-A8-E中，四邊形ABC。是邊長為2的正方形，AAEB是等腰直角三角形，其

中NAEB=90。,則點(diǎn)D到平面ACE的距離d為

A.2

3

c.V3

6.已知正四棱柱A2C￡>-4BiGDi中,A4i=2AB,則CD與平面BDCi所成角的正弦值等于

2

A.

3

V2_1_

C.D.

V3

7.已知向量。=(1,0,-1),8=(-1,2,1),且切+8與2a-3?；ハ啻怪?，則攵的值是.

8.如圖所示，在直三棱柱A8C-4BG中，底面是以NA8C為直角的等腰三角形,AC=2a,8B=3a,￡>是4G的中

點(diǎn)，點(diǎn)E在棱A4i上，要使CEJ_平面8QE,則AE=.

9.如圖，在直三棱柱ABC-48G中，N54C=90。，AB=AC=AAt=2,點(diǎn)G與E分別是A向和CG的中點(diǎn),

點(diǎn)。與尸分別是AC和AB上的動點(diǎn).若GDVEF,則線段DF長度的最小值為

10.在如圖所示的幾何體中，四邊形4BCO為平行四邊形，平面力EC1平面/BCO,^ACB=90°,EF//BC,

1

EF=—BC>AC=BC=2,AE=EC.

(1)求證：AF=CF.

（2）當(dāng)二面角A-EC-D的平面角的余弦值為正時，求三棱錐EFC的體積.

3

11.如圖，在四棱錐P-ABCQ中，底面A8C。是矩形，平面A8CQ,PA=AD=4,AB=2.若M,N分別

為梭PD,PC上的點(diǎn)，。為AC的中點(diǎn)，且AC=2OM=2ON.

(1)求證：平面4BM_L平面PCD；

(2)求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值;

(3)求點(diǎn)N到平面ACM的距離.

12.如圖所示,四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形,PA_L底面ABCD,A4=AB=A￡>=1,點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)，點(diǎn)E

在邊BC上移動.

(1)求證:無論點(diǎn)E在BC邊的何處，都有PELAF;

(2)BC(包括端點(diǎn)8,0上是否存在一點(diǎn)E,使尸?！ㄆ矫?EF?若存在，求出點(diǎn)E的位置;若不存在,請說明

理由.

13.如圖，矩形ABCZ)所在的平面和直角梯形COE尸所在的平面成60。的二面角

DE入D=2,EF=3也,CF=6,NCFE=45°.

(1)求證〃平面4DE;

⑵在線段CF上求一點(diǎn)G,使銳二面角B-EG-D的余弦值為:.

14.如圖，在多面體ABCQEF中，四邊形ABC。是正方形，8尸_L平面A5CD,。￡，平面43。。,

8/=￡）￡,點(diǎn)M為棱AE的中點(diǎn).

（1）求證：平面8Mo〃平面EFC；

（2）若DE=2AB,求直線AE與平面30M所成的角的正弦值.

1.（2018新課標(biāo)全國H理科）在長方體ABC?！狝旦G。中，AB=BC=\,AA=G，則異面直線A"

與所成角的余弦值為

1RV5

A.-

56

「V5

L?--------D,也

52

2.（2018新課標(biāo)全國I理科）如圖，四邊形A38為正方形，E,尸分別為A。,3c的中點(diǎn)，以。尸為折

痕把折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFLBF.

（1）證明：平面PEFJ_平面ABFO；

（2）求DP與平面ABED所成角的正弦值.

3.（2018新課標(biāo)全國n理科）如圖，在三棱錐P-ABC中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,O

為AC的中點(diǎn).

（1）證明：PO1平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且二面角M-PA-C為30。，求PC與平面PAM所成角的正弦值.

4.(2018新課標(biāo)全國HI理科)如圖，邊長為2的正方形A3。所在的平面與半圓弧CO所在平面垂直，M

是CO上異于c，。的點(diǎn).

(1)證明：平面AMD_L平面BA/C；

(2)當(dāng)三棱錐例-ABC體積最大時，求面也48與面MC。所成二面角的正弦值.

5.(2018江蘇卷)如圖，在正三棱柱ABC-4BC1中，A8=44=2,點(diǎn)P,。分別為BC的中點(diǎn).

(1)求異面直線8P與AG所成角的余弦值；

(2)求直線CG與平面42G所成角的正弦值.

6.(2018北京理科)如圖，在三棱柱ABC-44G中，CG，平面ABC,D,E,F,G分別為A4,,AC,4G,

明的中點(diǎn)，AB=BC=^,AC=M=2.

(1)求證：AC_L平面8EF；

(2)求二面角B-CD-G的余弦值；

(3)證明：直線FG與平面BCD相交.

7.（2018天津理科）如圖，AO〃5c且AD=28C,AOJ,CO,且EG=AO,CD〃FG且CD=2FG,

OGL平面A8CO,DA=DC=DG=2.

(1)若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面COE；

(2)求二面角E-BC—F的正弦值；學(xué)#

(3)若點(diǎn)P在線段DG上，且直線8P與平面AOGE所成的角為60。，求線段OP的長.

8.(2017新課標(biāo)全國I理科)如圖，在四棱錐P-48C。中，AB//CD,且N8AP=NCDP=90.

(1)證明：平面以8,平面鞏。；

(2)若B4=PD=A8=DC,ZAPD=90，求二面角A-PB-C的余弦值.

1.【解析】如圖所示，分別以劉、AD.441所在的直線為X軸、1軸、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

由題意可知C(3,3,0),以030),

,.,|fl!Di|=|CCi|=|A4i|=2,

.,.Ci(3,3,2),5(032).

?.?N為Cd的中點(diǎn)，

3

：.N(-,3,I).

2

???”是4c的三分之一分點(diǎn)且靠近4點(diǎn),

1,2).

由兩點(diǎn)間距離公式，得—1)+(3-1)2+(1-2)2=??

【名師點(diǎn)睛】木題考查空間直角坐標(biāo)系的建立、點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及距離公式，建系時注意要利用兩兩垂

直的三條線建系，由線段比例求坐標(biāo)時，注意由坐標(biāo)特征求，不要直接乘比例系數(shù)求坐標(biāo).建立空間直角

坐標(biāo)系，分別由比例關(guān)系求出點(diǎn)M、點(diǎn)N的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)間的距離公式求出線段長度，即可得到結(jié)果.

2.［解析］(1)AC=AD+mAB，物h0，

AC,AD,AB共面，即A、B、C、。四點(diǎn)共面.

VEG=EH+mEF-w*0)

EG,E",EF共面，即E、F、G、”四點(diǎn)共面.

(2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB-k(AD+mAB)-kAC.

AC//EG-

(3)OG^OE+EG^kOA+kAC=k(OA+AC)=kOC.

3.【解析】如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系z,則有。(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),C1(0,2,

2),E(2,2,1),F(0,0,1),Bi(2,2,2),

所以FG=(021),0A=(2,0,0),A石=(0,2,1).

B

n,-DA=2x,=0,

(1)設(shè)小=(笛，”，z。是平面AOE的法向量，則〃nt±AE,即＜得

nfAE=2y1+4=0,

x=0,

令zI=2,則「=一1,

匕=-2網(wǎng)，

所以“1=(0,-1,2).

因?yàn)槭?。［?-2+2=0,

所以斤

又因?yàn)槭珿U平面血,

所以尸G"平面ADE

(2)易得。圈=(2,0,0),

M；FCi=2y2+z2=0,

設(shè)敝=(X1,yi,g)是平面BiCi尸的一個法向蚩，則生-FCi,叱—C遙,即＜

n2GBi=2為=0,

X")=0,

得*_令Z2=2,得二二一1,

Zn=12l'r.

所以?2=(0,—2),

因?yàn)閚i=m,

所以平面ADEH平面BiCiF.

4.【解析】⑴建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-型，設(shè)AB=1,則A(l,0,0),3(1,1,0),E\1,rT

L@網(wǎng)