不定積分的概念和性質(zhì)

不定積分的概念和性質(zhì)前面我們已經(jīng)研究了一元函數(shù)微分學(xué)。但在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域中，還會(huì)遇到與此相反的問(wèn)題：即尋求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使其導(dǎo)數(shù)等于一個(gè)函數(shù)。從而產(chǎn)生了一元函數(shù)積分學(xué)。積分學(xué)分為不定積分和定積分兩局部。本章我們先從導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算引出不定積分的概念然后介紹其性質(zhì)，最后著重系統(tǒng)地介紹積分方法。編輯課件重點(diǎn)原函數(shù)與不定積分的概念根本積分公式換元積分法分部積分法有理函數(shù)積分難點(diǎn)換元積分分部積分有理函數(shù)積分編輯課件根本要求①正確理解原函數(shù)和不定積分概念②熟記根本積分公式③熟練地運(yùn)用換元積分法和分部積分法④會(huì)用待定系數(shù)法求有理函數(shù)積分⑤會(huì)用萬(wàn)能代換和三角代換求三角有理式積分⑥會(huì)求簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分編輯課件例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念編輯課件對(duì)原函數(shù)的研究須討論解決以下兩個(gè)問(wèn)題(1)是否任何一個(gè)函數(shù)都存在原函數(shù)？考察如下的例子若存在可導(dǎo)函數(shù)則由的定義關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：編輯課件〔左、右極限存在且相等〕而已知矛盾這說(shuō)明沒(méi)有原函數(shù)既然不是每一個(gè)函數(shù)都有原函數(shù)，那么我們自然要問(wèn)：具備什么條件的函數(shù)才有原函數(shù)？對(duì)此我們給出如下的結(jié)論：原函數(shù)存在定理：編輯課件簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).〔證明待下章給出〕〔2〕原函數(shù)是否唯一？假設(shè)不唯一，它們之間有什么聯(lián)系？①若，則對(duì)于任意常數(shù)，②若和都是的原函數(shù)，那么（為任意常數(shù)）證（為任意常數(shù)）編輯課件任意常數(shù)積分號(hào)被積函數(shù)不定積分的定義：被積表達(dá)式積分變量為求不定積分，只須求出被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)再加上積分常數(shù)即可編輯課件例1求解解例2求編輯課件例3設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)〔1，2〕，且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過(guò)點(diǎn)〔1，2〕所求曲線方程為編輯課件顯然，求不定積分得到一積分曲線族.由不定積分的定義，可知結(jié)論：微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.編輯課件實(shí)例啟示能否根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式？結(jié)論既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的，因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.二、根本積分表編輯課件根本積分表

是常數(shù));說(shuō)明：簡(jiǎn)寫(xiě)為編輯課件編輯課件以上15個(gè)公式是求不定積分的根底，稱為根本積分表，必須熟練掌握。編輯課件例4求積分解根據(jù)積分公式〔2〕編輯課件證等式成立.此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況三、不定積分的性質(zhì)編輯課件證明只須驗(yàn)證右端的導(dǎo)數(shù)等于左端的被積函數(shù)（1）+（2）即線性組合的不定積分等于不定積分的線性組合這說(shuō)明不定積分具有線性運(yùn)算性質(zhì)注意到上式中有n個(gè)積分號(hào)，形式上含有n個(gè)任意常數(shù),但由于任意常數(shù)的線性組合仍是任意常數(shù)，故實(shí)際上只含有一個(gè)任意常數(shù)——分項(xiàng)積分法編輯課件例5求積分解注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)編輯課件例6求積分解例7求積分解編輯課件例8求積分解編輯課件例9解例10解編輯課件例11解說(shuō)明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能使用根本積分表.編輯課件解所求曲線方程為編輯課件例13求解故編輯課件因被積函數(shù)連續(xù)，故原函數(shù)可導(dǎo)，進(jìn)而原函數(shù)連續(xù)于是有編輯課件說(shuō)明①求不定積分時(shí)一定要加上積分常數(shù)，它說(shuō)明一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)，即要求的是全體原函數(shù)，假設(shè)不加積分常數(shù)那么表示只求出了一個(gè)原函數(shù)②寫(xiě)成分項(xiàng)積分后，積分常數(shù)可以只寫(xiě)一個(gè)③積分的結(jié)果在形式上可能有所不同，但實(shí)質(zhì)上只相差一個(gè)常數(shù)編輯課件根本積分表(1)不定積分的性質(zhì)原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系四、小結(jié)編輯課件思考題符號(hào)函數(shù)在內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？編輯課件思考題