高等數(shù)學(xué)作業(yè)(高升專)答案

《大學(xué)數(shù)學(xué)》

（高起專）

學(xué)習(xí)中心：_______________

專業(yè)：_______________

學(xué)號(hào)：_______________

姓名：_______________

完成時(shí)間：

第一章函數(shù)作業(yè)(練習(xí)一)

一、填空題

1.函數(shù)/(X)=------+y/5-X的定義域是___________。

ln(x-2)

解：對(duì)函數(shù)的第一項(xiàng)，要求％-2>0月.In(x-2)WO,即x>2且x，3；對(duì)函數(shù)的第

二項(xiàng)，要求5-xNO,UPx<5o取公共部分，得函數(shù)定義域?yàn)?2,3)U(3,5]。

ylx2-9

2.函數(shù)y=?J的定義域?yàn)椤?/p>

解：要使y=3二2有意義,必須滿足/一920且*一3>0,即J'成立，解

x-3[%>3

x>3或x<-3

不等式方程組，得出1一一一,故得出函數(shù)的定義域?yàn)?_8,-3]2(3,+8)。

x>3

3.已知/(e*—1)=丁+1,則/*)的定義域?yàn)?/p>

解.令e*-l="，貝ijx=ln(l+〃)，.,./(〃)=In?(1+〃)+1,即二/(x)=In?(1+x)+1,.

故/(x)的定義域?yàn)?—1,+8)

4.函數(shù)y=J/-4+，■r的定義域是.

解.(—8,-2]U[2,+8)。

5.若函數(shù)/(3+1)=/+2》-5,則/(x)=.

解.X2-6

二、單項(xiàng)選擇題

1.若函數(shù)y=/(x)的定義域是[0,1],則/(Inx)的定義域是().

A.(0,+oo)B.[1,+8)C.[1,e]D.[0,1]

解：C

2.函數(shù)y=lHsinm；|的值域是().

A.[-1,1]B.[0,1]C.(-oo,0)D.(-oo,0]

解：D_

3.設(shè)函數(shù)/(x)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則函數(shù)/(x)-/(—》)是().

A.單調(diào)減函數(shù)；B.有界函數(shù)；

C.偶函數(shù)；D.周期函數(shù)

解：A,B,D三個(gè)選項(xiàng)都不一定滿足。

設(shè)尸(x)=/(x)-/(一X),則對(duì)任意x有

F(-x)=/(-%)-/(-(-x))=/(-x)-/W=fM-/(-x)=F(x)

即E(x)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確。

ax-1

4.函數(shù)/(x)=x---(a>0,aHl)()

ax+1

A.是奇函數(shù)；B.是偶函數(shù)：

C.既奇函數(shù)又是偶函數(shù)；D.是非奇非偶函數(shù)。

解：利用奇偶函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證。

a'(1—Q')a'—1

-x---------=x----=-fM

「(1+/)ax+1

所以B正確。

11

5.若函數(shù)/(x+—)=0、2+二，則/(x)=()

XX

A.；B.x~—2；C.(x-1)~；D.x*--1o

)1)11011o

解：因?yàn)閺S-l——=x~4-24—--2=(xH—)~-2,所以—)=(xH—)~—2

XXXX

則/(x)=——2,故選項(xiàng)B正確。

6.設(shè)〃x)=x+i，則r(/a)+i)=().

A.xB.x+1C.x+2D.x+3

解由于/(x)=x+l,得f(f(x)+1)=(f(x)+1)+1=f(x)+2

將fM=x+1代入,得/(/(%)+1)=(x+1)+2=x+3

正確答案：D

7.下列函數(shù)中，()不是基本初等函數(shù).

A.y=(—)'Bc.y=ln1x2-C-.y=--s-i-n--x-D.y=V?

ecosx

解因?yàn)閥=ln/是由）,=in〃，〃=/復(fù)合組成的，所以它不是基本初等函數(shù).

正確答案：B

cosx,x<04

8.設(shè)函數(shù)/(1)=<，則/(一一)=().

0,x>04

兀兀

A./(--)=/(-)B./(0)=/(24)

44

C.以0)=于(-2兀)D.嚀=夸

解因?yàn)椤?〃<0,故/(—2乃)=cos(—2萬)=1

且/(0)=1,所以/(0)=/(-2萬)

正確答案：C

9.若函數(shù)/(e')=x+l,則/(x)=().

A.ex4-1B?x+1C.lnx+1D.In(x+1)

解：C

10.下列函數(shù)中y=()是偶函數(shù).

A.|/(x)|B./(|x|)C./2(x)D./(x)-/(-x)

解：B

三、解答題

x0<x<1

1.設(shè)/(%)=<|，求：(1)/(X)的定義域；(2)/(0),/(I),/(2)o

Inx1<x<e

解(1)分段函數(shù)的定義域是各區(qū)間段之和，故的定義域?yàn)?/p>

[0,1]U(1,e)=[0,e)

(2)???0<xWl時(shí)，/(x)=x.?./(())=0,/(1)=1

???l<x<e時(shí)，/(x)=Inx/./(2)=ln2

-x-1,x<0fx,x<0一

2.設(shè)/(x)=<，g(x)=12n求復(fù)合函數(shù)/(g(x)),g(/(x))。

xx>()[-X,X>()

.—x—1,—1WxW0

解：/(g(x))=[2g(/(x))=，(l+x『，x<-l

x-l,x>0i

1[-x2,x>0

3.(1)f(x)^a'+a'x(o>0)；

解：???/(-x)=a*+a~x=/(x).\f[x)=ax+“-*為偶函數(shù).

1—X

(2)/(x)=ln-一；

1+x

解：f(-x)-In=-In---=-/(x),/./(x)=ln-~^為奇函數(shù).

1—x1+x1+x

(3)/(x)=ln(x+71+x2)

解：*.?/(-x)=ln(-x+A/1+x2)=In----:,=-ln(x+71+x2)=-/(x),

f(x)=In0+Jl+x?)為奇函數(shù).

4.已知/(x)=sinx,/(^9(x))=1-x2,求夕(工)的定義域

解.v=sin(p[x)=1-x2,(p[x)=arcsin(l-x2),故(p[x｝的定義域?yàn)?/p>

—V2WxW5/2

第二章極限與連續(xù)作業(yè)（練習(xí)二）

一、填空題

18X

答案：1

十班"八+>-x—sinxsinx.,,,sinx,八,

正確解法：lim-------=lim(Z1l------)=liml-hm----=1-0=1

X->8XXT8XX->8%—>8X

x2+ax+b與?.,

2.已知hm—；------=2,則ra=_____,b=____。

7x-x-2

由所給極限存在知，4+2a+h=0,得b=-2a-4,又由

x~+ax+bx+a+2a+4-,八，門

hm-.......=hm--------=-----=2,知a=2,6=—8

12x2-x-212X+13

3.已知lim---------=oo,貝ij〃=____,b-

io(x-a)(x-l)

ex-h(x-tz)(x-1)a?」1

vhm------------=8,即nnhvm^-----------=----=0,:.a=0,bW1

io(x_q)(x-1)3ex-b1-b

4.函數(shù)/(》)=<心血嚏”<°的間斷點(diǎn)是％=

x+1x>0

解：由/(x)是分段函數(shù)，8=0是/(幻的分段點(diǎn)，考慮函數(shù)在x=0處的連續(xù)性。

因?yàn)閘imxsin—=0lim(x+1)=1/(O)-1

XT。-Xx->0+

所以函數(shù)/(x)在x=0處是間斷的，

又/(x)在(-8,0)和(0,+8)都是連續(xù)的，故函數(shù)/(x)的間斷點(diǎn)是x=0。

5.極限limxsin'=.

X

解因?yàn)楫?dāng)x~0時(shí)，x是無窮小量，sin，是有界變量.

X

故當(dāng)X—?0時(shí)，xsin—仍然是無窮小量.所以limxsin—=0.

X3X

x+1x>0

6.當(dāng)A時(shí)，/(%)=<在x=0處僅僅是左連續(xù).

------[x2+k尤<0

解因?yàn)楹瘮?shù)是左連續(xù)的，即

/(0-)=lim(x+1)=1=/(0)

XT(F

若/((T)=lim(x2+6=k=l

x-?0+

即當(dāng)女=1時(shí)，/(x)在x=0不僅是左連續(xù)，而且是連續(xù)的.

所以，只有當(dāng)時(shí)，/(X)在X=0僅僅是左連續(xù)的.

7.要使=t在x=0處連續(xù)，應(yīng)該補(bǔ)充定義/(。)=

X

解：2.lim±*^=lim吧4=0,補(bǔ)充定義/(())=0

X—>0*X—?0]

二、單項(xiàng)選擇題

X

1.已知lim(-----ax-b)=0,其中。力是常數(shù)，則()

f°尤+1

(A)a=l,b=l,(B)a=-\.b=1

(C)(2=1,Z?=-1(D)a=-l.b=-1

癡i?/廠1\v—-(。+。卜一。

解.vlim(------ax-b)=lim--------------------=0n,

18X+1I+X+1

/.1—?=0,(24-/?=0,/.a=1,Z?=—1答案：C

2.下列函數(shù)在指定的變化過程中，()是無窮小量。

/、sinx、

A.ex,(x78)；B.----,(x—>oo)；

x

C.ln(l+x),(x―>1)；(xT0)

解：無窮小量乘以有界變量仍為無窮小量，所以

*T8X

而A,C,D三個(gè)選項(xiàng)中的極限都不為0,故選項(xiàng)B正確。

3.下列函數(shù)中，在給定趨勢(shì)下是無界變量且為無窮大的函數(shù)是()

(A)y=xsin—(x—>oo)；(B)y=〃(一,—8);

x

(C)y=\nx(x4-0)；(D)y=—cos—(x0)

xx

解.vlimXsin-=limsin-/-=1，故不選(A).取m=2k+\

則

?38xXT8x!X

lim〃(T)'=lim」一=0,故不選(B).取x“=--—,則lim」-cos」-=0,故不選

“T8ATOO2女+1兀XX

〃刀?十—nn

2

(D).答案：C

1

\—0PX

4./(x)=---.

1+e；

3)可去間斷點(diǎn)(8)跳躍間斷點(diǎn)

(C)無窮間斷點(diǎn)(〃)振蕩間斷點(diǎn)

1-2/1-0

解：/(0-0)=lim-----arctanx=----0=0,

XT0-11+0

l+ex

1-2exex-20-2

/(04-0)=lim----—?arctanx=lim—：----arctanx=-----0=0,

XT。-1XT。--10+1

1+e'ev4-1

W(0-0)=/(0+0),X=0為可去間斷點(diǎn)，應(yīng)選(A).

p-a

5.若/(x)=----------,x=0為無窮間斷點(diǎn)，x=l為可去間斷點(diǎn)，則a=().

x(x-1)

(/)1(8)0(C)e(〃)e'

解：由于為無窮間斷點(diǎn)，所以故若則尤=也是無窮

x=0lx=0H0,aHl.a=0,1

間斷點(diǎn).由x=1為可去間斷點(diǎn)得a=e.故選(。.

三、計(jì)算應(yīng)用題

1.計(jì)算下列極限：

二；八、sin(x-l),、j9+sin3x-3

(1)lim(W(2)lim—------(3)lim------------------

XTO

?38X+3-six+x-2X

x~_5x+4(1-2X)5(3X2+X+2)

(4)hm—：--------(-5-)——);(6)hm-------------------------

6

34x--x-12x-1f(x-l)(2x-3)

解：(1)lim(-)A+2

XT8x+3

x-1x+34

..x+31?尤一1(x+3)~.

hm—=hm------~~—=-4

X—>81X—>8-1

x+2(x+2>

lim(—)f+2=eT

x—8x+3

/.、..sin(x-l)..sin(x-1)

(2)lim—------=lim-------.......-

一廠+x_2I(x-l)(x+2)

..sin(x-l)1

=lim-----------lvim-------

xTX-1—x+2

(3)解對(duì)分子進(jìn)行有理化，即分子、分母同乘j9+sin3x+3,然后利用第一重要

極限和四則運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.即

79+sin3x-3(79+sin3x-3)(j9+sin3x+3)

lim------------------=lim--------------/--------------

?2。X1。x(J9+sin3x+3)

..sin3x..1~11

=lim-------x1101-1=——=3x-二—

XTOxj9+sin3x+362

(4)解將分子、分母中的二次多項(xiàng)式分解因式，然后消去零因子，再四則運(yùn)算法則

和連續(xù)函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算.即

..x~—5x+4.(x-4)(x-1)

lim-...............=lim------------------

—廠―工_12I(x-4)(x-3)

=.3=乂=3

14(x-3)4-3

(5)解先通分，然后消去零因子，再四則運(yùn)算法則和連續(xù)函數(shù)定義進(jìn)行計(jì)算.即

3-x1

x~-1x—I

=lim—=-l

—X+1

：-2)"3+；+福)_(?x3=3

(6)lim。二紂給口”2,)=.

61a)小o

(x-1)(2%-3)(1——)(2——)622

XX

2.設(shè)函數(shù)

?1,

xsin—+/?x<0

x

fM=<ax=0

sinx

x>0

x

問(1)a,b為何值時(shí)，/(x)在x=0處有極限存在？

(2)〃力為何值時(shí)，/(x)在x=0處連續(xù)？

解：(1)要了(X)在x=0處有極限存在，即要lim/(x)=lim/(x)成立。

X—(FXTO*

因?yàn)閘im/(x)=lim(xsin—+/?)=h

XT。-X->0-X

,./?/、i?sinx.

limj(x)=lim------=1

x->0*XTO+x

所以，當(dāng)b=l時(shí)，有l(wèi)im/(x)=lim/(x)成立，即6=1時(shí)，函數(shù)在x=O處有極限

.20-XT0+

存在，又因?yàn)楹瘮?shù)在某點(diǎn)處有極限與在該點(diǎn)處是否有定義無關(guān)，所以此時(shí)?？梢匀∪我庵?。

(2)依函數(shù)連續(xù)的定義知，函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)的充要條件是

lim/(x)=lim/(x)=f(x0)

x-?xoXTXo

于是有b=1=/(O)=a,即a=/?=1時(shí)函數(shù)在x=0處連續(xù)。

X+(IX-4-/?

3.已知lim=8,試確定。和b的值

X—2

解.vlimx+ax+b=8,lim(x3+ax2+百=8+4。+/?=0,即6=—8—4。

12X—2s2

x3+ax2+b/+〃/_4^_gr(八.1

lim-----------=lim----------------=hmx2+(a+2)x+2oa+4=4Aa+1t2=o8,

x->2X—2x—2X—212

a=-1,故b=—4

e*+11

4.求lim—；-arctan—

x->01Y

ex-I

II

解.???lime*=+8,limex=0,

\__\_

ex+\11+CX17T

lim-...arctan—=lim------limarctan—,

XTO+xx7°+—x7o+x2

ex-11-ex

_LJ.1

ex+11「e'+1「1n-e*+11n

lim-arctan—=lim—limarctan—=—,/.lim-arctan—=—

.r—o--x1。--io-x21。-x2

ex-1ex-1ex-1

5.設(shè)/(x)=?p'T,x>0,求/(x)的間斷點(diǎn)，并說明間斷點(diǎn)的所屬類型

ln(l+%),-1<x<0

ii

解./(x)在(一l,O),(O』),(l,+8)內(nèi)連續(xù)，limekngJimeHnO,/(0)=0,因此,

Xf+

X=1是/(X)的第二類無窮間斷點(diǎn)；lim/(x)=lim內(nèi)=e-1,

lim/(x)=limln(l+x)=O,因此x=0是/(x)的第一類跳躍間斷點(diǎn).

XT。-XT(r

x+x~etix

6.討論/(x)=lim的連續(xù)性。

281+*

2人

x,x>0

解./(x)=lim正立1

0,x=0,因此/(x)在(—8,0),(0,+8)內(nèi)連續(xù)，又

nx

"T001+e

x,x<0

lim/(x)=/(0)=0,.\/(犬)在(-8,+8)上連續(xù).

x-?0

第三章微分學(xué)基本理論作業(yè)(練習(xí)三)

一、填空題

1.設(shè)/(九)=(14-cosx)A+1sin(x2一3x),則/'(0)=.

解：因?yàn)?(0)=0,sin(x2-3x)-x2-3x(x—>0),則

(0)=lim1(x)T⑼=lim-嚴(yán)sin(/-3x)=21im%2"3x

r=-6.

ktOx

XT°X-010X

//⑴一加玉))

2.lim---------------------=

XT/X-Xo

解.原式=lim/[/⑺二/Go"一〃x。)(x一/)=x0/M。)-/(x。)

XTX。X-XQ

3.已知f[/口3)]=,，貝丫'(x)=。

axx

解???K^3)]=f^3)-3x2=-,/./z(x3)=-L,即/(x)=，

axx3x3x

4.設(shè)y=x(x—l)(x—2).(x—”)，則y("+"=(〃+l)!

5.fM=x2,則/(/'(x)+l)=

答案：(2x+1)~或4x~+4x+1

Q4x-y?

6.函數(shù)Z=的定義域?yàn)?/p>

ln(l-x2-y2)

解：函數(shù)z的定義域?yàn)闈M足卜.列不等式的點(diǎn)集。

4x-y2>0y2<4xy2<4x

1-x2-y2>0=><x2+y2<1=><0<x2+y2<1

I—x2—y2#]x2+y2^0

nz的定義域?yàn)椋翰?y)IO<x2+y2<1且y2?4x}

7已知/(x+y,x->)=/)，+盯2,則/*,〉，)=

解令x+y=〃，x-y=n,則x="；,y=彳,f(x+y)(x-y)=xy(x+y)

、u+vu-vUU2八X7

/r(zw,v)=-........--=-(wz-一「)，/(x,y)=-(x2-/)7

8?設(shè)于(x,y)=xy+?=；廁fx(0,1)=-----------。f(0,1)=----------------

x2+y2

;”0,1)=0+0=0

.Ax

廣(0,1)=加/心/)-/(。,1)=即一=2

AVTOA,AX-?OAr

/；(o/)=]im3止3=Hm空=。。

Ay->()勺]Ay-?O

9.由方程xyz+Jx?+)二+Z?=后確定的函數(shù)z=z(x,y)，在點(diǎn)(1,0,-1)處的全微分

dz=o

解F(X9y,z)=xyz+舊+[+z?-V2=0

x

yz+i=t--------------

dz__￡_y/x2+y2+z2_yzG+V+z2+x_1

dxF；孫+z盯J/+y2+z2+z

“qX?+y2

dz__乜_雙正+/+z2+y__近

力Fzxyylx2+y2+z2+z

dz=dx-y[ldy

10.設(shè)z=，+siny,x=cosf,y=/，則生=o

dr

a7

解空=-2xsinf+3/cosy

dt-

二、選擇題

1.下列命題正確的是(D)

，,

(A)/(x0)=[/(x0)];

(B)￡(x())=limf\x);

XT%

(C)lhn生巫?r(x)

機(jī)T°Ax

(D)/(/)=0表示曲線〉=/(x)在點(diǎn)(與"(/))處的切線與x軸平行

解y(x)=x忖，八1)=1//⑴]'=0,故不選(A)

八叫,門0時(shí)，/，(x)=.

/(x)=<2xsin--cos-,x^0；《⑼二。，但

0,x=00,x=0

/(x-Ax)一—(X)

lim/'（x）不存在，故不選（B）；而lim-f\x),故不選(C)o

XT0+Ar—0Ar

.1八

xsin—,x>0

2.設(shè)/(x)=,x，則/（x）在x=0處（）

x,x<0

A.連續(xù)且可導(dǎo)B.連續(xù)但不可導(dǎo)

C.不連續(xù)但可導(dǎo)D.既不連續(xù)又不可導(dǎo)

解：（B）

lim/(x)=limxsinl=O,/(0)=0

lim/(x)=limx=0,A

x->(TXT。-

因此/（x）在x=0處連續(xù)

1八

?x_rZQXxsin—0]

/；(0)=limZJ匕二=iim----i-=limsin此極限不存在

2。+X—02O+X—0XT°+X

從而￡（o）不存在，故/'（0）不存在

3.曲線＞=/一元在點(diǎn)（1,0）處的切線是（）.

A.y=2x-2B.y=-2x4-2

C.y=2x+2D.y=-2x-2

解由導(dǎo)數(shù)的定義和它的幾何意義可知，

y'⑴=(--切=(3x2-1)|=2

x=\x=\

是曲線y=/—x在點(diǎn)(i,0)處的切線斜率，故切線方程是

y-0=2(x-1),即y=2x—2

正確答案：A

4.已知y=則y〃=().

A.%3B.3x2C.6xD.6

解直接利用導(dǎo)數(shù)的公式計(jì)算:

y-(—x4)z=x3,y"=(x3y=3x2

4

正確答案：B

5.若/(一)=%,則/'(1)=()。

x

11「11

A.-B.——C.------D.-

xxxx

答案：D先求出/(x),再求其導(dǎo)數(shù)。

6.Z=lnJ/-y2的定義域?yàn)?).

A./…1B.-220c.一2〉］D,x2-/>0

解Z的定義域?yàn)椋?*,〉)卜2-丫2>0｝個(gè)，選D。

7.下列極限存在的是()

(A)lim—-—(B)所!(C).x-(D)limxsin—!—

W+y;*+)，的+y*+y

解A.當(dāng)P沿x=0時(shí)，lim/(0,y)=0,當(dāng)P沿直線y=0時(shí)，lim/(x,0)=1,故lim

yTOXTOXTO

y—0

?2

—不存在；B.lim-------=8,不存在；C.如判斷題中1題可知lim—二不存在；D.

x+yiox+yXT。x+y

y—?0y->0

因?yàn)閘imxsin-------<Iimx=0,所以limxsin---=0,選D

?sox+y.r->0'1iox+y

)TOVTOv->0

8./（x,y）在（xo,yo）處理，變均存在是/（x,y）在（/，孔）處連續(xù)的（）條件。

dxdy

（A）充分（B）必要（C）充分必要（D）既不充分也不必要

解因?yàn)閷W(xué)，學(xué)存在，〃x,y）在（％,先）處不一定連續(xù)，所以非充分條件。

oxdv

J工2+2H0

例如：/（x,y）=/+丁’，由偏導(dǎo)數(shù)的定義知道。

0,x2+y2=0

mv.o)-/(o,o)o-o

爾0,0)=lim=|im=o,同理可得力（0,0）=0,但1所）口不存在,

Ax->0ArAs。Ax+y

所以在（0,0）不連續(xù)，若〃x,y）在（%,%）處連續(xù)，雪冬在（面,％）也不一定

X'+yoxdy

存在，所以非必要。

例如f（x,y）=lxl+lyl。它在點(diǎn)（0,0）點(diǎn)處連續(xù)，但更，且不存在。選D。

Hxdy

9.設(shè)“=xyf(X+)J”)可微，且滿足/半_y22=〃G(X,y)則G(x,y)=().

孫dxdy

(A)x+y(B)x-y(C)x2-y2(D)(x+y)2

m、x23uy2du

解G(x,y)=—-------—

Moxudy

x2//、xy-(x+y)y、y2..xy-(x+y)jc

=-(xf+xyf)---(xf+xyf?「

ux'yMx'y

22

uxuy

=型士當(dāng)=x-y

u

選B

10.肯定不是某個(gè)二元函數(shù)的全微分的為（）

（A）ydx+xdy（B）ydx-xdy（C）xdx+ydx（D）xdx-ydx

2222

解A（孫），C（三上），D（二二二）都是某個(gè)二元函數(shù)的全微方，只有B不是，選

-22

B。

三、求解下列各題

1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）/（x）=lgx

解：/'（x）=Jge

xlnlOx

(2)y=ln(x4-Vl+x2)

解：/=—J,(X+Vi+%2y

(X+Jl+尤2)

=----r——ra+。+**)’)

(x+Jl+x~)2\1+x~

1/12x、

=-----------(1+.I------0

U+Vl1+x2)2V1+X2

_1X+J1+Y_1

(%+Ji+Y)7i+x271+%2

(3)u=xy

解：半=亦

—=xyInx-zyz"[=zxy'yz'[Inx

oy

—=xy'Inx-yz=xyyzIny

次

(4)F(x,y)=p/(s)ds+，e*dx

解藍(lán)="孫)>

^-=xf(xy)-f(y)

oy

2.求曲線y=lnx在(1,0)點(diǎn)處的切線方程。

k=/'(l)=!=1,于是,

解：fXx)=~,曲線y=InX在(1,0)點(diǎn)處的切線方程為:

X

,一0=4.。-1),即y=x-l。

3.下列各方程中y是x的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)xy-ex4-ey=1,求y'

解：方程兩邊對(duì)自變量x求導(dǎo)，視y為中間變量，即

(孫)-ey+d

y+盯'—e"+evy,=0

(x+e)')y，=e'-y

re”-y

整理得y=

x+ev

(2)設(shè)丁=5山。+))),求生，

dxdx

解：y'=cos(x+y)?(1+y'))■，=cos(：+))

l-cos(x+y)

y"=-sin(x+y)-(l+/)2+cos(x+y)?y”,

?sin(x+y)-y

y=-----------------=----------------

[l-cos(x+y)]3[l-cos(x+y)]3

、92z

(3)設(shè)z=z(x,y)由方程z+x=e-r所確定，求〈丁.

oyox

解：設(shè)尸(x,y,z)=eZ7-z-x,

z

工=-1,Fy=-e-\￡=ec-l,

dz_1dz_e?！痏1

加―e。,-]，石―――l-ei

d2z丹/1、-e>rdze"

dydxdxl-ev-z(l-ey-J)2dx(l-ey-z)3

4.求下列極限

..1-xy1-0

解lim—~個(gè)=----

x2+y21+0

(7)..l-COsJ/+y2

Dlim----------召；-------

ry->0x+Jy

-久,次+/2

1-cosJx2+y22(sin---------)

解lim-----、———-lim------~-----

通/+y,x+y2

(3)lim--X--

解lim—不存在。

iox+y

)TO

?.?當(dāng)P沿著直線x=O時(shí)，lim--=O

y->0X+y

當(dāng)P沿著直線y=H(%為任意數(shù))，lim」>=lim>^=」一w0

iox+ysox+kx1+k

y—?O)TO

5.討論f(x,y)在(0,0)

(1).偏導(dǎo)數(shù)是否存在。(2).是否可微。

(1)解：取。,。)=lim32kg=.-=。

Ar->0AxAXTOAX

同理可得力(0,0)=0,偏導(dǎo)數(shù)存在。

(2)若函數(shù)/在原點(diǎn)可微，則

Az-Jz=/(O+Ax,0+Ay)-/(0,0)-fx(O,O)^x-力'(O,O)Ay=

■JAx2+Ay2

應(yīng)是較P高階的無窮小量，為此，考察極限四三二班。。)親箸,由前面

所知，此極限不存在，因而函數(shù)/在原點(diǎn)不可微。

_1_1

6.設(shè)2=6”‘。求證：/電■+/生=2z

dxdy

11ii)、_1_1

證：—=exyo—,—=e>o—,所以X—+y—=2e)=2z

oxxoyydxdy

第四章微分學(xué)應(yīng)用作業(yè)(練習(xí)四)

一、填空題

1.函數(shù)y=3(x-l)2的駐點(diǎn)是，單調(diào)增加區(qū)間是,單調(diào)減少區(qū)間

是,極值點(diǎn)是,它是極—值點(diǎn).

解：X=1,(1,+8),(-8,1),X=1,小

2.函數(shù)y=卜|在x=處達(dá)到最小值，y的駐點(diǎn).

解：0,不存在

3.若/(x)在(a,。)內(nèi)滿足/'(x)<0,則/(x)在(a,與內(nèi)是.

解：單調(diào)減少的

4.函數(shù)/(x,y)=xy-xy2-x2y的可能極值點(diǎn)為和。

1

2x=—

fx=y-y-2xy=y(\-2x-y)=0[x=0x=0x=1

解3

f=x-2xy—x2=x(l—x-2y)=0y=0y=1y=01

yy=-

3

-2yl-2y-2xX

九=-2y，fxy=\-2y-2x,fyy=-2x,H=

1—2y—2x—2x7

0-2-1

(0,0)H=不是，(0,1)H=不是

-10

0

(1,0)H=不是

-2/3-1/3

負(fù)定，極大值

-1/3-2/3

22

5.設(shè)f(x,y)=xsiny+(x-1)JlxyI則f'y(1,0)=

解：因?yàn)?(l,y)=siny,故f：O,O)=cosM、=0=1

二、選擇題

1.設(shè)/(x)在[0,+8)內(nèi)可導(dǎo)，尸(x)>0,/(0)<0,則/(x)在(0,+8)內(nèi)().

(A)只有一點(diǎn)X1,使/(匹)=0；(8)至少一點(diǎn)X1,使/(尤])=0：

(C)沒有一點(diǎn)無],使/(匹)=0；(0不能確定是否有X],使/(X])=0.

解：選⑶.

2.當(dāng)x>0時(shí)，曲線y=xsin，().

x

(A)有且僅有水平漸近線；(8)有且僅有鉛直漸近線；

(O既有水平漸近線也有鉛直漸近線；(￡>)既無水平漸近線也無鉛直漸近線.

解:選(/).

3.設(shè)/(x)在x=0的某個(gè)鄰域內(nèi)連續(xù),且"0)=0,lim=1,則在點(diǎn)x=0處

2sin2—

2

/U)().

(4)不可導(dǎo)(6)可導(dǎo)，且/'(0)H0(O取得極大值(〃)取得極小