專(zhuān)題3.11 勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（分層練習(xí)）（提升篇）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專(zhuān)題3.11勾股定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用（分層練習(xí)）（提升篇）一、單選題1．一架長(zhǎng)的梯子斜靠在墻上，梯子底端到墻的距離為．若梯子頂端下滑，那么梯子底端在水平方向上滑動(dòng)了（

）A． B．小于 C．大于 D．無(wú)法確定2．小剛想測(cè)量教學(xué)樓的高度，他用一根繩子從樓頂垂下，發(fā)現(xiàn)繩子垂到地面后還多了，當(dāng)他把繩子的下端拉開(kāi)后，發(fā)現(xiàn)繩子下端剛好接觸地面，則教學(xué)樓的高度是（）A． B． C． D．3．兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝正北方向挖，每分鐘挖8cm，另一只朝正東方向挖，每分鐘挖6cm，10分鐘之后兩只小鼴鼠相距（

）A．50cm B．120cm C．140cm D．100cm4．“折竹抵地”問(wèn)題源自《九章算術(shù)》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，問(wèn)折者高幾何？意思是一根竹子，原高1丈（1丈=10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部4尺遠(yuǎn)，則折斷處離地面的高度為（

）A．5.8尺 B．4.2尺 C．3尺 D．7尺5．將一根長(zhǎng)25cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，設(shè)筷子露出在杯子外面長(zhǎng)為hcm，則h的取值范圍是（

）A．0≤h≤13 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．13≤h≤256．一艘輪船和一艘漁船同時(shí)沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達(dá)點(diǎn)M處，同一時(shí)刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點(diǎn)N處，若M、N兩點(diǎn)相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°7．為了求出湖兩岸的A、B兩點(diǎn)之間的距離，一個(gè)觀測(cè)者在點(diǎn)C設(shè)樁，使三角形ABC恰好為直角三角形．如圖，通過(guò)測(cè)量，得到AC長(zhǎng)160m，BC長(zhǎng)128m，則從點(diǎn)A穿過(guò)湖到點(diǎn)B的距離是(

)A．48m B．90m C．96m D．69m8．如圖所示：是一段樓梯，高BC是3m，斜邊AC是5m，如果在樓梯上鋪地毯，那么至少需要地毯（）A．5m B．6m C．7m D．8m9．如圖，鐵路MN和公路PQ在點(diǎn)O處交匯，∠QON＝30°．公路PQ上A處距O點(diǎn)240米．如果火車(chē)行駛時(shí)，周?chē)?00米以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響．那么火車(chē)在鐵路MN上沿ON方向以72千米/時(shí)的速度行駛時(shí)，A處受噪音影響的時(shí)間為（）A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．10．圓柱形杯子的高為18cm，底面周長(zhǎng)為24cm，已知螞蟻在外壁A處（距杯子上沿2cm）發(fā)現(xiàn)一滴蜂蜜在杯子內(nèi)（距杯子下沿4cm），則螞蟻從A處爬到B處的最短距離為（

）A．10 B．28 C．20 D．24二、填空題11．某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時(shí)，梯子A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的是樣子離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動(dòng)，將梯子斜塞在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m，則這兩面直立墻壁之間的安全道的寬BE為_(kāi)_________m．12．如圖，校園內(nèi)有兩棵樹(shù)，相距12米，一棵樹(shù)高13米，另一棵樹(shù)高8米，一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端，小鳥(niǎo)至少要飛___米．13．在一棵樹(shù)的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹(shù)跑到A處（離樹(shù)20米）的池塘邊．另一只爬到樹(shù)頂D后直接躍到A處，距離以直線計(jì)算，如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，則這棵樹(shù)高_(dá)_米．14．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問(wèn)題：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，問(wèn)折高者幾何？意思是一根竹子，原高兩丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹稍恰好抵地，抵地處離竹子底部9尺遠(yuǎn)，問(wèn)折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為_(kāi)______．15．將一根24cm的筷子，置于底面直徑為5cm、高為12cm的圓柱體中，如圖，設(shè)筷子露出在杯子外面長(zhǎng)為hcm，則h的最小值__，h的最大值__．16．如圖，有三條兩兩相交的公路，從地測(cè)得公路的走向是北偏東48°，從地測(cè)得公路的走向是北偏西42°，若、、的長(zhǎng)分別為12千米，5千米、13千米．如果點(diǎn)是公路上任意一點(diǎn)，則線段的最小值為_(kāi)_______________.17．如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，則該河流的寬度為_(kāi)______m.18．如圖，矩形中，，，點(diǎn)、分別、邊上的點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．三、解答題19．“三農(nóng)”問(wèn)題是關(guān)系國(guó)計(jì)民生的根本問(wèn)題，實(shí)施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略是建設(shè)美麗中國(guó)的關(guān)鍵舉措．如圖，公路上兩點(diǎn)相距50km，為兩村莊，于，于，已知，，現(xiàn)在要在公路上建一個(gè)土特產(chǎn)品市場(chǎng)，使得兩村莊到市場(chǎng)的距離相等，則市場(chǎng)應(yīng)建在距多少千米處?并判斷此時(shí)的形狀，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．如圖，在傾斜角為（即）的山坡上有一棵樹(shù)，由于大風(fēng)，該樹(shù)從點(diǎn)E處折斷，其樹(shù)頂B恰好落在另一棵樹(shù)的根部C處，已知，．(1)求這兩棵樹(shù)的水平距離；(2)求樹(shù)的高度．21．如圖，A城氣象臺(tái)測(cè)得臺(tái)風(fēng)中心在A城正西方向320km的B處，以每小時(shí)40km的速度向北偏東60°的方向移動(dòng)，距離臺(tái)風(fēng)中心200km的范圍內(nèi)是受臺(tái)風(fēng)影響的區(qū)域．(1)A城是否受到這次臺(tái)風(fēng)的影響？為什么？(2)若A城受到這次臺(tái)風(fēng)影響，則A城遭受這次臺(tái)風(fēng)影響有多長(zhǎng)時(shí)間？22．某城市規(guī)定小汽車(chē)在街道上的行駛速度不得超過(guò)70千米/時(shí)，一輛小汽車(chē)在一條城市街道上直行，某一時(shí)刻剛好行駛到路對(duì)面“車(chē)速檢測(cè)儀A”正前方30米C處，過(guò)了2秒后，測(cè)得小汽車(chē)位置B與“車(chē)速檢測(cè)儀A”之間的距離為50米，這輛小汽車(chē)超速了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．23．如圖，A，B兩個(gè)村莊在河CD的同側(cè)，兩村莊的距離為a千米，，它們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個(gè)村莊的飲水問(wèn)題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A，B兩村輸送水．(1)在圖上作出向A，B兩村鋪設(shè)水管所用材料最省時(shí)的水廠位置M．（只需作圖，不需要證明）(2)經(jīng)預(yù)算，修建水廠需20萬(wàn)元，鋪設(shè)水管的所有費(fèi)用平均每千米為3萬(wàn)元，其他費(fèi)用需5萬(wàn)元，求完成這項(xiàng)工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬(wàn)元．24．太原的五一廣場(chǎng)視野開(kāi)闊，是一處設(shè)計(jì)別致，造型美麗的廣場(chǎng)園林，成為不少市民放風(fēng)箏的最佳場(chǎng)所，某校八年級(jí)（1）班的小明和小亮同學(xué)學(xué)習(xí)了“勾股定理”之后，為了測(cè)得圖中風(fēng)箏的高度，他們進(jìn)行了如下操作：①測(cè)得的長(zhǎng)為15米（注：）；②根據(jù)手中剩余線的長(zhǎng)度計(jì)算出風(fēng)箏線的長(zhǎng)為25米；③牽線放風(fēng)箏的小明身高1.7米．(1)求風(fēng)箏的高度．(2)過(guò)點(diǎn)D作，垂足為H，求的長(zhǎng)度．參考答案1．A【分析】根據(jù)題意作圖，利用勾股定理即可求解．解：根據(jù)題意作圖如下，由題意知，，，，，，，梯子底端在水平方向上滑動(dòng)的距離是．故選A．【點(diǎn)撥】本題主要考查勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作圖分析求解．2．D【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算即可．解：如圖，為教學(xué)樓的高度，為繩子的長(zhǎng)度，則，，∵，∴根據(jù)勾股定理得，∴，解得：，即教學(xué)樓的高度為8米．故選：D．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確理解題意，畫(huà)出簡(jiǎn)圖是解題關(guān)鍵．3．D【分析】畫(huà)出圖形，利用勾股定理即可求解．解：如圖，cm，cm，∴在中，cm，故選：D【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，理解題意，畫(huà)出圖形是解題的關(guān)鍵．4．B【分析】竹子折斷后剛好構(gòu)成一直角三角形，設(shè)竹子折斷處離地面x尺，則斜邊為（10?x）尺，利用勾股定理解題即可．解：設(shè)竹子折斷處離地面的高度為尺，則斜邊長(zhǎng)為尺．根據(jù)勾股定理，得，解得，∴折斷處離地面的高度為4.2尺．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用題目信息構(gòu)造直角三角形，從而運(yùn)用勾股定理解題．5．B【分析】根據(jù)杯子內(nèi)筷子長(zhǎng)度的取值范圍得出杯子外面筷子長(zhǎng)度的取值范圍，即可得出答案．解：∵將一根長(zhǎng)為25cm的筷子，置于底面直徑為5cm，高為12cm的圓柱形水杯中，∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最長(zhǎng)是等于以杯子高和底面直徑為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，∴當(dāng)杯子中筷子最短是等于杯子的高時(shí)長(zhǎng)度為12cm，最長(zhǎng)時(shí)等于以杯子高和底面直徑為直角邊的直角三角形的斜邊長(zhǎng)度是：，∴h的取值范圍是：25?13?h?25?12，即12?h?13，故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出杯子內(nèi)筷子的取值范圍是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．C解：∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°．故選C．【點(diǎn)撥】本題考查直角三角形的判定，掌握方位角的定義及勾股定理逆定理是本題的解題關(guān)鍵．7．C【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB即可得出答案．解：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理得，AB2+BC2=AC2，∴AB2=AC2-BC2，=1602-1282=9216，∴AB=96（m），故選C．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．8．C解：樓梯豎面高度之和等于BC的長(zhǎng)，橫面寬度之和等于AB的長(zhǎng)．由于，所以至少需要地毯長(zhǎng)4＋3＝7（m）．故選C9．B【分析】過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)與200m相比較，發(fā)現(xiàn)受到影響，然后過(guò)點(diǎn)A作AD=AB=200m，求出BD的長(zhǎng)即可得出居民樓受噪音影響的時(shí)間．解：如圖：過(guò)點(diǎn)A作AC⊥ON，AB=AD=200米，∵∠QON=30°，OA=240米，∴AC=120米，當(dāng)火車(chē)到B點(diǎn)時(shí)對(duì)A處產(chǎn)生噪音影響，此時(shí)AB=200米，∵AB=200米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，∵72千米/小時(shí)=20米/秒，∴影響時(shí)間應(yīng)是：320÷20=16秒．故選B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，根據(jù)火車(chē)行駛的方向，速度，以及它在以A為圓心，200米為半徑的圓內(nèi)行駛的BD的弦長(zhǎng)，求出對(duì)A處產(chǎn)生噪音的時(shí)間，解題關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理求BD的長(zhǎng).．10．C解：分析：將杯子側(cè)面展開(kāi)，建立A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知A′B的長(zhǎng)度即為所求．詳解：如圖所示，將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B=(cm)．故選：C．點(diǎn)睛：本題考查了勾股定理、最短路徑等知識(shí)．將圓柱側(cè)面展開(kāi)，化曲面為平面并作出A關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)A′是解題的關(guān)鍵．11．2.7【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，同理可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，AE=0.7米，DE=2.4米，∴AD2=0.72+2.42=6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC=90°，BC=1.5米，AB2+BC2=AC2，∴AB2+1.52=6.25，∴AB2=4．∵AB＞0，∴AB=2米．∴BE=AE+AB=0.7+2=2.7米．故答案為2.7．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．12．13【分析】如圖，AB，CD為樹(shù)，且AB=13，CD=8，BD為兩樹(shù)距離12米，過(guò)C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中利用勾股定理即可求出AC．解：如圖所示，AB，CD為樹(shù)，且AB=13，CD=8，BD為兩樹(shù)距離12米，過(guò)C作CE⊥AB于E，則CE=BD=12，AE=AB-CD=5，在直角三角形AEC中，，則小鳥(niǎo)至少要飛13米．故答案為：13．【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是從實(shí)際問(wèn)題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)知識(shí)，然后利用直角三角形的性質(zhì)解題．13．15解：試題解析：如圖，設(shè)樹(shù)的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202=[30-（x-10）]2，解得x=15m．故這棵樹(shù)高15m．【點(diǎn)撥】根據(jù)兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等，將兩只猴子所走的路程表示出來(lái)，根據(jù)勾股定理列出方程求解．14．【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，再利用勾股定理列出方程即可．解：如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則尺，尺，在中，，即．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫(huà)出準(zhǔn)確的示意圖，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．15．11cm12cm【分析】根據(jù)筷子的擺放方式得到：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，利用勾股定理計(jì)算即可．解：當(dāng)筷子與杯底垂直時(shí)h最大，h最大=24﹣12=12（cm）．當(dāng)筷子與杯底及杯高構(gòu)成直角三角形時(shí)h最小，此時(shí)，在杯子內(nèi)的長(zhǎng)度==13（cm），故h=24﹣13=11（cm）．故h的取值范圍是11≤h≤12cm．故答案為：11cm；12cm．【點(diǎn)撥】此題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意、掌握勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．16．【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，依據(jù)∠ABC=90°，可得Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，進(jìn)而得出BD=，代入數(shù)值求解即可．解：如圖，過(guò)B作BD⊥AC于D，由題可得，AE∥BF，∠BAE=48°，∠CBF=42°，∴∠ABC=180°-48°-42°=90°，∴Rt△ABC中，AB×BC=×AC×BD，∴BD==，即線段BP的最小值為，故答案為．【點(diǎn)撥】此題是一道方向角問(wèn)題，結(jié)合生活中的實(shí)際問(wèn)題，將解三角形的相關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)應(yīng)用于實(shí)際生活的思想．17．480解：分析：本題考查的是利用勾股定理求出直角邊的長(zhǎng).解析：根據(jù)題意，故答案為480.18．4【分析】因?yàn)?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出，所以是以為圓心，以為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，交以為圓心，以為半徑的圓于，此時(shí)的值最小，最小值為的長(zhǎng)；根據(jù)勾股定理求得，即可求得，從而得出的最小值；解：，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，是以為圓心，以為半徑的圓弧上的點(diǎn)，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于，交以為圓心，以為半徑的圓于，此時(shí)的值最小，最小值為的長(zhǎng)；，，，，，；的最小值為；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了軸對(duì)稱最短路線問(wèn)題，判斷出點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．19．市場(chǎng)應(yīng)建在距的20千米處；是等腰直角三角形，理由見(jiàn)分析．【分析】可以設(shè)，則，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，在直角中根據(jù)勾股定理可以求得，根據(jù)可以求得x的值，即可求得的值．解：設(shè)，則，在直角中，，在直角中，，，解得：，即；市場(chǎng)應(yīng)建在距的20千米處；，，在和中，可得，∴，又，∴，∴又，是等腰直角三角形．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，本題中根據(jù)和求x的值是解題的關(guān)鍵．20．(1)3m；(2)6m【分析】（1）根據(jù)平行的性質(zhì)，證得，根據(jù)勾股定理即可求得．（2）在中，根據(jù)勾股定理即可解得．解：（1）由題可知，

∴，∴

在中，，∴，∴（m）．即這兩棵樹(shù)的水平距離為3m．（2）在中，

∴，∴（m）．即樹(shù)的高度為6m．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟悉勾股定理的實(shí)際應(yīng)用．21．(1)要，理由見(jiàn)分析；(2)【分析】（1）由A點(diǎn)向作垂線，垂足為C，根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，與200比較即可得結(jié)論；（2）上分別取D、G，則是等腰三角形，由，則C是的中點(diǎn)，在中，解出的長(zhǎng)，則可求長(zhǎng)，在長(zhǎng)的范圍內(nèi)都是受臺(tái)風(fēng)影響，再根據(jù)速度與距離的關(guān)系則可求時(shí)間．（1）解：由A點(diǎn)向作垂線，垂足為C，在中，，，則，因?yàn)?，所以A城要受臺(tái)風(fēng)影響；（2）設(shè)