勾股定理(全課時)教案 2022-2023學(xué)年人教版數(shù)學(xué)八年級下冊

17.1勾股定理全本教案（共3課時）

第1課時

一、教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

L了解勾股定理的文化背景，了解利用拼圖驗證勾股定理的方

法.

2.能說出勾股定理,并能應(yīng)用其進(jìn)行簡單的計算.

【過程與方法】

1.在勾股定理的探索過程中，經(jīng)歷觀察一一猜想一一歸納一一驗

證的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程.

2.發(fā)展合情推理的能力,體會數(shù)形結(jié)合思想、由特殊到一般的數(shù)

學(xué)思想、分類討論思想.

【情感態(tài)度與價值觀】

通過對勾股定理歷史的了解和實例應(yīng)用，體會勾股定理的文化價

值;通過獲得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷,增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激

發(fā)學(xué)生的民族自豪感和愛國情懷.

二、課型

新授課

三、課時

第1課時共3課時

四、教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

探索和驗證勾股定理,并能應(yīng)用其進(jìn)行簡單的計算.

【教學(xué)難點】

用拼圖的方法驗證勾股定理.

五、課前準(zhǔn)備

教師：課件、三角尺、直尺、方格紙、三角模型等.

學(xué)生：三角尺、鉛筆、練習(xí)本、方格紙、三角模型.

六、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）

引導(dǎo)學(xué)生觀察勾股定理相關(guān)圖片，引出本節(jié)要學(xué)知識

（二）探索新知

1.出示課件4-10,探究勾股定理的認(rèn)識與證明

相傳兩千五百年前，一次畢達(dá)哥拉斯去朋友家做客，發(fā)現(xiàn)朋友家

用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學(xué)們，我們

也來觀察一下圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系？

學(xué)生1回答：直角三角形的兩條直角邊和斜邊都是正方形的邊

學(xué)生2回答：斜邊正方形的邊長最大.

教師問：三個正方形A,B,C的面積有什么關(guān)系？

教師依次展示下列問題:

看圖完成下面的題目:

(1)A中含有一個小方格，即A的面積是個單位面積.

(2)B的面積是個單位面積.

(3)C的面積是個單位面積.

學(xué)生1回答：(1)A中含有9個小方格，即A的面積是9個單位

面積.

學(xué)生2回答：（2）B的面積是2個單位面積.

學(xué)生3回答：（3）C的面積是四個單位面積.

教師問：三個正方形A,B,C的面積有什么關(guān)系？

學(xué)生回答：圖1中三個正方形A,B,C的面積之間的數(shù)量關(guān)系

是:SA+SB=SC

教師問：SA+SB=SC在圖2中還成立嗎？

學(xué)生討論后回答：仍然成立.

教師問：你是如何得到結(jié)果的呢？

學(xué)生回答:A的面積是16個單位面積.B的面積是9個單位面積.C

的面積是25個單位面積.

教師問：你是怎樣得到正方形C的面積的？與同伴交流交流.

學(xué)生回答：如下圖所示:

教師問：至此，我們在網(wǎng)格中驗證了：直角三角形兩條直角邊上

的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，即SA+SB=SC.去掉網(wǎng)格結(jié)

論會改變嗎？

學(xué)生回答：不會.

教師問：式子SA+SB=SC能用直角三角形的三邊Q、b、C來表示嗎？

師生一起解答：如圖所示：

教師問：去掉正方形結(jié)論會改變嗎?

學(xué)生回答：不會.

教師問：那么直角三角形三邊。、b、C之間的關(guān)系式是什么呢?

學(xué)生回答：?2+b2=c2

教師：如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b,斜邊長為C,

那么t/2+b2=c2.

如何利用拼圖證明呢？

師生一起看數(shù)學(xué)家的證明：

是不是所有的直角三角形都具有這樣的結(jié)論呢？光靠實驗和猜

想還不能把問題徹底搞清楚.

這就需要我們對一般的直角三角形進(jìn)行證明.下面我們就一起來

探究，看一看我國古代數(shù)學(xué)家趙爽是怎樣證明這個命題的.

教師依次展示各種證明方法：

(1)趙爽拼圖證明法：

以直角三角形的兩條直角邊a、b為邊作兩個正方形，把兩個正

方形如圖1連在一起，通過剪、拼把它拼成圖2的樣子.你能做到嗎？

試試看.

小組活動：仿照課本中趙爽的思路，只剪兩刀，將兩個連體正方

形，拼成一個新的正方形.

剪、拼過程展示：(出示課件11)

教師問：如何進(jìn)行證明呢？

師生共同討論后解答如下：

證明：大正方形=c2，S小正方形=(b-加；

二?S大正方形=4#S三角形+S小正方形，

.\c2=4X-a/7+(b-Q)2=6f2+b2

2

(2)畢達(dá)哥拉斯證法：請先用手中的四個全等的直角三角形按圖

示進(jìn)行拼圖，然后分析其面積關(guān)系后證明吧.(出示課件13)

教師問：觀看拼圖過程演示后，你能證明嗎？

師生共同討論后解答如下：

證明：

***s大正方形二(a+b)二。2+￡+2出),

S大正方形=4S宜角三角形+S小正方形

=4X-ab+c2

2

=c?+2ab,

Q-+b2+2ab=c?+2ab，

a2+b2=c2.

(3)美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”.

如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：tz2+b2=c2.

b

教師問：你能證明上邊的問題嗎?

學(xué)生討論后回答：

證明：

,.'S梯形(a+b)(a+b),

S?jf^=-tzb+-?b+-c2,

/.a2+b2=c2.

教師總結(jié)歸納；(出示課件16)

勾股定理

如果直角三角形兩直角邊分別為。、b,斜邊為C,那么"+b2=c2.

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

公式變形

勾股定理給出了直角三角形三邊之間的關(guān)系，即兩直角邊的平方

和等于斜邊的平方.

出示課件18,學(xué)生口答，教師訂正。

考點1:利用勾股定理求直角三角形的邊長

如圖，在RtZ^ABC中，NC=90°.（出示課件19）

(1)若a=b=5,求c;

(2)若a-1,c=2,求b.

師生共同討論解答如下：

解：(1)據(jù)勾股定理得

c=Jk+6。=<5+5，==5v2;

(2)據(jù)勾股定理得

5二-a2—Jj2

出示課件20,學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.

考點2：勾股定理和方程相結(jié)合求直角三角形的邊長

在RtaABC中，ZC=90°.(出示課件21)

(1)若a：b=l：2,c=5,求a;

(2)若b=15,NA=30°,求a,c.

學(xué)生獨立思考后，師生共同解答.

解：(1)設(shè)斫x,b=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得X2+(2X)2=52,

解得(舍去)=B

⑵Z.A—30°力=15,c=2a.

因此設(shè)行x,c=2x,根據(jù)勾股定理建立方程得（2x）2-x2=E,

解得、?二〉&（舍去）

,T=-5X/3

:.a=5+,c=IOA/J.

總結(jié)點撥：（出示課件21）

已知直角三角形兩邊關(guān)系和第三邊的長求未知兩邊時，要運(yùn)用方

程思想設(shè)未知數(shù)，根據(jù)勾股定理列方程求解.

出示課件22,學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.

教師：學(xué)了前面的知識，接下來做幾道練習(xí)題看看你掌握的怎么

樣吧。

（三）課堂練習(xí)（出示課件23-27）

練習(xí)課件第23-27頁題目，約用時20分鐘.

（四）課堂小結(jié)（出示課件28）

內(nèi)容

如果直角三角形的兩直角邊長分別為mb,斜邊

勾股定理

長為c,那么a2+b2=c2.

1.在直角三角形中

注意2.看清哪個角是直角

3.已知兩邊沒有指明是直角邊還是斜邊時一定要

分類討論

（五）課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)下節(jié)課（17.1第2課時）的相關(guān)內(nèi)容.

會用勾股定理解決實際問題.

七、課后作業(yè)

教材第24頁練習(xí)第1,2題.

八、板書設(shè)計

勾股定理第1課時

1.探索勾股定理

2.勾股定理的證明

考點1考點2

3.例題講解

九、教學(xué)反思

成功之處：本節(jié)課從知識與方法、能力與素質(zhì)的層面確定了相應(yīng)

的教學(xué)目標(biāo).把學(xué)生的探索和驗證活動放在首位，一方面要求學(xué)生在

老師的引導(dǎo)下自主探索，合作交流，另一方面要求學(xué)生對探究過程中

用到的數(shù)學(xué)思想方法有一定的領(lǐng)悟和認(rèn)識，達(dá)到培養(yǎng)能力的目的.整

節(jié)課以“問題情境一一分析探究一一得出猜想一一實踐驗證一一總結(jié)

升華”為主線，使學(xué)生親身體驗勾股定理的探索和驗證過程,努力做到

由傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂向?qū)嶒炚n堂轉(zhuǎn)變.

不足之處：在教學(xué)過程中，高估了學(xué)生證明勾股定理的能力,主要

困難在于一些學(xué)生不能對圖形進(jìn)行正確的割補(bǔ).對圖形的割補(bǔ)過程沒

有給學(xué)生詳細(xì)的呈現(xiàn).

補(bǔ)救措施：適當(dāng)增加學(xué)生拼圖的時間，通過實踐操作，畫圖分析,

獨立分析證明思路,正確完成證明過程.

17.1勾股定理

第2課時

一、教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.能應(yīng)用勾股定理計算直角三角形的邊長.

2.能應(yīng)用勾股定理解決簡單的實際問題.

3.能說出勾股定理,能運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實世界的

實際問題.

【過程與方法】

1.通過從實際問題中抽象出直角三角形這一模型，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化思想,

培養(yǎng)學(xué)生解決現(xiàn)實問題的意識和能力.

2.經(jīng)歷探究勾股定理在實際問題中的應(yīng)用過程,進(jìn)一步體會勾股

定理的應(yīng)用方法.

【情感態(tài)度與價值觀】

在例題分析和解決過程中，讓學(xué)生感受勾股定理在實際生活中的

應(yīng)用.同時在學(xué)習(xí)過程中體會獲得成功的喜悅，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

興趣和信心.

二、課型

新授課

三、課時

第2課時共3課時

15/32

四、教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

運(yùn)用勾股定理解決實際問題.

【教學(xué)難點】

勾股定理的靈活運(yùn)用.

五、課前準(zhǔn)備

教師：課件、三角尺、直尺等.

學(xué)生：三角尺、鉛筆、直尺、練習(xí)本、三角形模型.

六、教學(xué)過程

（-）導(dǎo)入新課（出示課件2）

波平如鏡一湖面，3尺高處出紅蓮.

亭亭多姿湖中立，突遭狂風(fēng)吹一邊.

離開原處6尺遠(yuǎn)，花貼湖面像睡蓮.

請君動腦想一想，湖水在此深幾尺？

示意圖見課件，就是求AD的長

教師：這節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)用勾股定理解決實際問題，學(xué)完本節(jié)

課知識后，自己再想想怎么計算此題吧！

（二）探索新知

1.出示課件4-6,探究勾股定理解決線段長度問題

教師問：一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m,寬2.2m的長方

16/32

形薄木板能否從門框內(nèi)通過？為什么？

學(xué)生答：不能，因為木板的長3m大于2m,寬2.2m大于1m.

教師問：木板能橫著或豎著從門框通過嗎？

學(xué)生答：不能.

教師問：這個門框能通過的最大長度是多少？

學(xué)生討論后回答：如圖所示，小于線段AC的長度才可以.

m

17/32

教師問：怎樣判定這塊木板能否通過木框？

學(xué)生回答：求出斜邊AC的長，與木板的寬比較.

師生一起解答：

解：在RtZ\ABC中，根據(jù)勾股定理，

AC2=AB2+BC2=l2+22=5.

AC=V5^2.24.

因為AC大于木板的寬2.2m,所以木板能從門框內(nèi)通過.

出示課件7,學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.

2.出示課件8-9,探究勾股定理解決線段移動問題

教師問：如圖，一架2.6米長的梯子AB斜靠在一豎直的墻A0上,

這時A0為2.4米.求梯子的底端B距墻角0多少米？

學(xué)生回答：

解：(1)在RtZ\AOB中，根據(jù)勾股定理,

0B2=AB-0A2=2.6-2.42=1.

OB=1.

18/32

答：梯子的底端B距墻角。為1米.

教師問：如果梯子的頂端A沿墻下滑0.5米，那么梯子底端B也

外移0.5米嗎？

學(xué)生回答：在Rt^COD中，根據(jù)勾股定理，

0D2=CD-0C2=2.6-（2.4-0.5）2=3.15.

0D=V3J5^1.77.BD=OD-OB^1.77-1=0.77

答：梯子底端B也外移約0.77米.

出示課件10,學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.

教師：學(xué)了前面的知識，接下來做幾道練習(xí)題看看你掌握的怎么

樣吧。

（三）課堂練習(xí)（出示課件12-19）

練習(xí)課件第12-19頁題目，約用時20分鐘.

（四）課堂小結(jié)（出示課件20）

用勾股定理計算時,要先畫好圖形,并標(biāo)好圖形,理清各邊之間的

關(guān)系,再靈活運(yùn)用勾股定理計算.在利用勾股定理進(jìn)行有關(guān)計算和證

明時,要注意運(yùn)用方程的思想;求直角三角形有關(guān)線段的長,有時還要

運(yùn)用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,或利用添加輔助線的方法構(gòu)造直角三角形,再

運(yùn)用勾股定理求解.

（五）課前預(yù)習(xí)

預(yù)習(xí)下節(jié)課（17.1第3課時）的相關(guān)內(nèi)容.

知道如何在數(shù)軸上標(biāo)出無理數(shù)及構(gòu)造直角三角形表示出無理數(shù).

19/32

七、課后作業(yè)

教材第26頁練習(xí)第1,2題.

八、板書設(shè)計

勾股定理第2課時

1.解決線段長度問題

2.解決線段移動問題

3.例題講解

九、教學(xué)反思

成功之處：本節(jié)課運(yùn)用勾股定理解決實際問題,整節(jié)課注重基礎(chǔ),

通過分類探索，由淺入深,注重講練結(jié)合，引導(dǎo)學(xué)生獨立分析，自主學(xué)

習(xí)，提高學(xué)生運(yùn)用勾股定理解決簡單問題的能力.雖然只是勾股定理

的實際應(yīng)用這一知識點，但是涉及生產(chǎn)生活的各個方面，受時間約束

無法一一列舉,本課中的三個例子缺乏開放性.

補(bǔ)救措施：在問題設(shè)計上，進(jìn)一步注意層次性、開放性，并增加每

一類題目的變式訓(xùn)練題,提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力.同時,

在后續(xù)學(xué)習(xí)中加強(qiáng)與勾股定理的綜合運(yùn)用訓(xùn)練.

20/32

17.1勾股定理

第3課時

一、教學(xué)目標(biāo)

【知識與技能】

1.利用勾股定理,能在數(shù)軸上找到表示無理數(shù)的點.

2.進(jìn)一步學(xué)習(xí)將實際問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的數(shù)學(xué)模型，并能用

勾股定理解決簡單的實際問題.

【過程與方法】

1.經(jīng)歷在數(shù)軸上尋找表示無理數(shù)的點的過程,發(fā)展學(xué)生靈活運(yùn)用

勾股定理解決問題的能力.

2.在用勾股定理解決實際問題的過程中，體驗解決問題的策略，

發(fā)展學(xué)生的動手操作能力和創(chuàng)新精神.

3.在解決實際問題的過程中，學(xué)會與人合作,并能與他人交流思

維過程和結(jié)果,形成反思的意識.

【情感態(tài)度與價值觀】

1.在利用勾股定理尋找數(shù)軸上表示無理數(shù)的點的過程中，體會勾

股定理的重要作用，并從中獲得成功的體驗，鍛煉克服困難的意志,建

立自信心.

2.在解決實際問題的過程中，形成實事求是的態(tài)度以及進(jìn)行質(zhì)疑

和獨立思考的習(xí)慣.

二、課型

新授課

21/32

三、課時

第3課時共3課時

四、教學(xué)重難點

【教學(xué)重點】

能利用勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù).

【教學(xué)難點】

利用勾股定理尋找直角三角形中長度為無理數(shù)的線段.

五、課前準(zhǔn)備

教師：課件、三角尺、直尺、圓規(guī)等.

學(xué)生：復(fù)習(xí)尺規(guī)作圖的有關(guān)知識,準(zhǔn)備三角板、直尺、圓規(guī)、鉛

筆.

六、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（出示課件2）

欣賞課件中海螺的圖片：

在數(shù)學(xué)中也有這樣一幅美麗的“海螺型”圖案，如第七屆國際數(shù)

學(xué)教育大會的會徽.

這個圖是怎樣繪制出來的呢？這就是今天我們探究的問題.

（二）探索新知

22/32

1.出示課件4-5,探究證明“HL”

教師問：在八年級上冊中，我們曾經(jīng)通過畫圖得到結(jié)論：斜邊和

一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等.學(xué)習(xí)了勾股定理后，你

能證明這一結(jié)論嗎？

教師展示問題：

已知：如圖，在RtZkABC和RtZkA'B'C中，NC=NC'=90°，

AB=A'B',AC=A'C.

求證：Z^ABC絲AA'B'C'.

學(xué)生討論后回答：

證明：在Rt^ABC和Rt^A'B,C'中，ZC=ZCZ=90°,根據(jù)

22

JZB，-A,C/.

VAB=A/B',

AC=A'C,

.,.BC=B'C.

.,.△ABC^AA7B'C(SSS).

2.出示課件6-8,探究利用勾股定理在數(shù)軸上確定無理數(shù)

23/32

教師問：你能在數(shù)軸上表示出魚的點嗎？呢？

師生一起解答：（出示課件6）放幻燈片，展示作圖過程.

教師問：用同樣的方法作V4,V5,V6,呢？

學(xué)生答：如下圖所示（放映幻燈片，展示作圖過程）

總結(jié)點撥：可以構(gòu)造直角三角形作出邊長為無理數(shù)的邊，就能在

數(shù)軸上畫出表示該無理數(shù)的點.

教師問：長為VII的線段是直角邊的長都為正整數(shù)的直角三角形

的斜邊嗎？

教師依次展示學(xué)生的解答如下：

學(xué)生1解答：

月/?

/卜皈=243

1

學(xué)生2解答：

24/32

學(xué)生3解答:

教師總結(jié)如下，其中后兩種符合要求.

教師問：根據(jù)上面問題你能在數(shù)軸上畫出表示的點嗎？

師生總結(jié)如下：

步驟：

1.在數(shù)軸上找到點A,使0A=3;

2.作直線1J_OA,在1上取一點B,使AB=2;

3.以原點。為圓心，以0B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于C點，則

點C即為表示后的點.

25/32

總結(jié)點撥(出示課件9)

利用勾股定理表示無理數(shù)的方法：

(1)利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正數(shù)的直

角三角形的斜邊.

(2)以原點為圓心，以無理數(shù)斜邊長為半徑畫弧與數(shù)軸存在交

點，在原點左邊的點表示是負(fù)無理數(shù)，在原點右邊的點表示是正無理

數(shù).

考點1：利用勾股定理在數(shù)軸上確定無理數(shù)的點

在數(shù)軸上作出表示g的點.(出示課件10)

師生共同討論解答如下：

解：作法：

(1)在數(shù)軸上找到點A,使0A=l；

(2)過點A作直線垂直于0A,在直線上取點B,使AB=4,那么

0B=V17;

(3)以原點。為圓心，以0B為半徑作弧，弧與數(shù)軸交于點C,

則0C="7.

如圖，在數(shù)軸上，點C為表示舊的點.

26/32

出示課件11,學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.

3.出示課件12-13,探究利用勾股定理在網(wǎng)格上做長度為無理數(shù)

的線段

教師問：在5X5的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1,

請在給定網(wǎng)格中以A出發(fā)分別畫出長度為魚，遍，遮的線段AB.

教師展示答案如下：

學(xué)生1回答：

加=拒

學(xué)生2解答:

27/32

.484

學(xué)生3解答:

加=店

教師追問：如圖為4X4的正方形網(wǎng)格，以格點與點A為端點，你

能畫出幾條邊長為國的線段？

學(xué)生討論后回答：如圖所示:

總結(jié)點撥：（出示課件13）

勾股定理與網(wǎng)格的綜合求線段長時，通常是把線段放在與網(wǎng)格構(gòu)

成的直角三角形中，利用勾股定理求其長度.

考點1：利用勾股定理在網(wǎng)格上作線段

如圖是由4個邊長為1的正方形構(gòu)成的田字格，只用沒有刻度的

直尺在這個田字格中最多可以作出多少條長度為遙的線段？（出示

28/32

課件14）

學(xué)生獨立思考后，師生共同解答.

解：如圖所不，有8條.

總結(jié)點撥：（出示課件14）

一個點一個點地找，不要漏解.

出示課件15,學(xué)生自主練習(xí)后口答，教師訂正.

4.利用勾股定理在折疊問題中求線段的長度

如圖，四邊形ABCD是邊長為9的正方形紙片，將其沿MN折疊,

使點B落在CD邊上的夕處，點A的對應(yīng)點為A',且夕C=3,求

AM的長.（出示課件16）

學(xué)生獨立思考后，師生共同解答.

解：連接BM,MB'.設(shè)AM=x,

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在Rt^ABM中，AB2+AM2=BM2.

在RtZ\MDB'中，MD2+DB/2=MB