模型D01 斜中半（原卷版）

中點(diǎn)問題一--斜中半 中點(diǎn)問題一--斜中半模型講解【定理：斜中半】已知：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC的中線，則：BC＝2AD．【證明】：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接CE，∵AD是斜邊BC的中線∴BD＝CD∵∠ADB＝∠EDC，AD＝DE∴△ADB≌△EDC（SAS）∴AB＝CE，∠B＝∠DCE∴AB∥CE∴∠BAC+∠ACE＝180°∵∠BAC＝90°∴∠ACE＝90°∵AB＝CE，∠BAC＝∠ECA＝90°，AC＝CA∴△ABC≌△CEA（SAS）∴BC＝EA∵AE＝2AD∴BC＝2AD．【逆定理】如圖，CD是△ABC的中線，CD＝AB．則△ABC為直角三角形．【證明】：∵CD是△ABC的中線∴AD＝BD＝AB，∵CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠DCB，在△ABC中，∠A+∠B+∠ACD+∠DCB＝180°∴∠A+∠B+∠A+∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠ACB＝∠ACD+∠DCB＝90°，∴△ABC為直角三角形．【模型一】在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接DM和BM．若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖，求證：，且．則：（1）BM＝DM（2）BM⊥DM【證明】：∵∠ABC＝∠ADE＝90°，∴∠EDC＝90°，∵點(diǎn)M是CE的中點(diǎn)，∴BM＝CE，DM＝CE，∴BM＝DM，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠BME＝∠1+∠2，∠EMD＝∠3+∠4，∴∠BMD＝2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA＝45°，∴∠BMD＝90°，∴BM＝DM且BM⊥DM．【模型二】已知：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，且AB的長(zhǎng)度恒定，CD是斜邊AB的中線，P為平面內(nèi)一定點(diǎn)（在C運(yùn)動(dòng)軌跡之外），連接PC，則：PC+CD的最小值為PD．【證明】：∵AD是斜邊BC的中線∴BD＝CD=AD，且長(zhǎng)度一定∴C的運(yùn)動(dòng)軌跡為：以D為圓心，CD為半徑的圓上。∵當(dāng)P、C、D三點(diǎn)不共線時(shí)，PC+CD＞PD∴當(dāng)P、C、D三點(diǎn)共線時(shí)，PC+CD=PD∴PC+CD的最小值=PD例題演練例題演練1．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是AC，BD的中點(diǎn)，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°【解答】解：連接AH，CH，∵在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，H是BD的中點(diǎn)，∴AH＝CH＝BD．∵點(diǎn)G時(shí)AC的中點(diǎn)，∴HG是線段AC的垂直平分線，∴∠EGH＝90°．∵∠BEC＝80°，∴∠GEH＝∠BEC＝80°，∴∠GHE＝90°﹣80°＝10°．故選：B．2．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是邊AB上的中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿著CD翻折，得到△ECD，CE與AB交于點(diǎn)F，連接AE．若AB＝6，CD＝4，AE＝2，則點(diǎn)C到AB的距離為（）A． B．4 C． D．2【解答】解：連接BE，延長(zhǎng)CD交BE于點(diǎn)G，作CH⊥AB于點(diǎn)H，如圖所示，由折疊的性質(zhì)可得：BD＝DE，CB＝CE，則CG為BE的中垂線，故BG＝，∵D為AB中點(diǎn)，∴BD＝AD，S△CBD＝S△CAD，AD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∠DEA＝∠DAE，∵∠EDA+∠DEA+∠DAE＝180°，即2∠DEB+2∠DEA＝180°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，即∠BEA＝90°，在直角三角形AEB中，由勾股定理可得：BE＝＝＝，∴BG＝，∵S△ABC＝2S△BDC，∴2×＝，∴CH＝＝＝．故選：C．3．如圖，在等邊△ABC中，AB＝6，∠AFB＝90°，則CF的最小值為（）A．3 B． C．6﹣3 D．3﹣3【解答】解：如圖取AB的中點(diǎn)E，連接EF、EC．∵△ABC是等邊三角形，AE＝EB，∴AB＝BC＝6，∠CBE＝60°，∴CE＝BC?sin60°＝3，∵∠AFB＝90°，AE＝EB，∴EF＝AB＝3，∴CF≥EC﹣EF，∴當(dāng)E、F、C共線時(shí)，F(xiàn)C的值最小，最小值為3﹣3，故選：D．強(qiáng)化訓(xùn)練強(qiáng)化訓(xùn)練1．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，∠DBE＝30°，BD＝2，則BC的長(zhǎng)為．2．如圖，在△ABC中，AB＝6，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且DF＝3FE，當(dāng)AF⊥BF時(shí)，BC的長(zhǎng)是．二．選擇題（共6小題）3．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于點(diǎn)E，點(diǎn)G，H分別是AC，BD的中點(diǎn)，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5° B．10° C．20° D．30°4．如圖，△ABC中，BC＝18，若BD⊥AC于D點(diǎn)，CE⊥AB于E點(diǎn)，F(xiàn)，G分別為BC、DE的中點(diǎn)，若ED＝10，則FG的長(zhǎng)為（）A．2B． C．8 D．9如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE＝CF，連接EF，BF，EF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)O，且BE＝BF，∠BEF＝2∠BAC，F(xiàn)C＝2，則AB的長(zhǎng)為（）A．8 B．8 C．4 D．66．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝2，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)B到原點(diǎn)的最大距離是（）A．2+2 B．2 C．2 D．67．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，BC＝6，D為AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），△AED為等邊三角形，過D點(diǎn)作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任一點(diǎn)，G為EF的中點(diǎn)，則線段BG長(zhǎng)的最小值是（）A．6 B．9 C．3 D．68．如圖，⊙M的半徑為2，圓心M的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)P是⊙M上的任意一點(diǎn)，PA⊥PB，且PA、PB與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，則AB的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．69．如圖，Rt△ABC中，∠CAB＝90°，∠ACB＝30°，D是AB上一點(diǎn)（不與A、B重合），DE⊥BC于E，若P是CD的中點(diǎn)，請(qǐng)判斷△PAE的形狀，并說明理由．10．已知：在Rt△ABC中，AB＝BC；在Rt△ADE中，AD＝DE；連接EC，取EC的中點(diǎn)M，連接DM和BM．（1）若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖（1），求證：BM＝DM，且BM⊥DM；（2）如果將圖（1）中的△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45°的角，如圖（2），那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給出證明．1．（2020?重慶中考真題）△ABC為等邊三角形，AB＝8，AD⊥BC于點(diǎn)D，E為線段AD上一點(diǎn)，AE＝2．以AE為邊在直線AD右側(cè)構(gòu)造等邊三角形AEF，連接CE，N為CE的中點(diǎn)．（1）如圖1，EF