直線與圓、圓與圓的位置關系 高三數(shù)學一輪復習

直線與圓、圓與圓的

位置關系鄰水縣九龍中學秦文軒考點要求1．能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關系；能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關系.2．能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題.3．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想．知識點一直線與圓的位置關系方法位置關系幾何法代數(shù)法相交______Δ>0相切d＝r_______相離d>rΔ<0Δ＝0d<r直線與圓的位置關系的常用結論(1)當直線與圓相交時，由弦心距(圓心到直線的距離)，弦長的一半及半徑長所表示的線段構成一個直角三角形．知識點二圓與圓的位置關系位置關系相離外切相交內切內含幾何特征d>R＋rd＝R＋rR－r<d<R＋rd＝R－rd<R－r代數(shù)特征無實數(shù)解一組實數(shù)解兩組實數(shù)解一組實數(shù)解無實數(shù)解公切線條數(shù)4___2___0(注：代數(shù)特征指兩圓的方程所組成的方程組有幾組實數(shù)解)31設兩個圓的半徑分別為R，r，R>r，圓心距為d，則兩圓的位置關系可用下表來表示：兩圓相交時公共弦的方程求法：設圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.考點一

直線與圓的位置關系A[例1]

(1)在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，則圓C：x2＋y2＝1與直線l：ax＋by＋c＝0的位置關系是(

)A．相切 B．相交C．相離 D．不確定B(2)直線(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)與圓x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置關系是(

)A．相切 B．相交C．相離 D．不確定[解析]

x2＋y2－2x＋2y－7＝0化為圓的標準方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圓心坐標為(1，－1)，半徑r＝3，由直線方程可得直線恒過點(－1，－1)，因為該點與圓心的距離d＝1－(－1)＝2<r，故該點在圓內，故直線與圓相交．方法技巧幾何法圓心到直線的距離與圓的半徑比較大小，即可判斷直線與圓的位置關系．這種方法的特點是計算量較小代數(shù)法將直線方程與圓方程聯(lián)立方程組，再將二次方程組轉化為一元二次方程，該方程解的情況即對應直線與圓的位置關系．這種方法具有一般性，適合于判斷直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線與圓的位置關系的一般方法C1．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關系為(

)A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能解析：直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(1，－2)，因為12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，所以點(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內，直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．D2．已知直線l過點A(a，0)且斜率為1，若圓x2＋y2＝4上恰有3個點到l的距離為1，則實數(shù)a的值為(

)考點二

圓與圓的位置關系B[例2]

(1)已知圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，則下列選項所對應的圖形中，與圓C相切的是(

)A．x2＋y2＝1 B．(x－4)2＋(y－5)2＝16C．x＋y＝1 D．x－y＝2C(2)已知⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－a)2＋y2＝r2(a>0)相交于A，B兩點，若兩圓在A點處的切線互相垂直，且|AB|＝4，則⊙O1的方程為(

)A．(x－4)2＋y2＝20 B．(x－4)2＋y2＝50C．(x－5)2＋y2＝20 D(x－5)2＋y2＝50方法技巧與判斷直線與圓的位置關系一樣，利用幾何方法判定兩圓的位置關系比用代數(shù)方法要簡捷些.其具體方法是：利用圓的方程及兩點間距離公式求出兩圓圓心距d和兩圓的半徑R和r，再根據(jù)d與R＋r，d與R－r的大小關系來判定.已知圓C1：x2＋y2＋2x＋8y－8＝0，圓C2：x2＋y2－4x－4y－2＝0，試判斷圓C1與圓C2的位置關系．把上式代入①，并整理，得x2－2x－3＝0.④方程④的根的判別式Δ＝(－2)2－4×1×(－3)＝16>0，所以，方程④有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2，把x1，x2分別代入方程③，得到y(tǒng)1，y2.因此圓C1與圓C2有兩個公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，這兩個圓相交．考點三

直線與圓位置關系的應用A弦長問題D(2)已知直線y＝ax與圓C：x2＋y2－6y＋6＝0相交于A，B兩點，C為圓心．若△ABC為等邊三角形，則a的值為(

)A．1 B．±1方法技巧求直線與圓相交弦長的常用方法D1．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，則直線ax＋by＋c＝0被圓x2＋y2＝1所截得的弦長為(

)D2．直線l過點P(1，3)且與圓(x－2)2＋y2＝4交于A，B兩點．若|AB|＝2，則直線l的方程為(

)A．4x＋3y－13＝0B.3x＋4y－15＝0C．3x＋4y－15＝0或x＝1D.4x＋3y－13＝0或x＝1切線問題(2)過點M的圓C的切線方程，并求出切線長．[解]由題意得圓心C(1，2)，半徑r＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴點M在圓C外部．當過點M的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，即x－3＝0.又點C(1，2)到直線x－3＝0的距離d＝3－1＝2＝r，即此時滿足題意，所以直線x＝3是圓的切線．當切線的斜率存在時，設切線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0，方法技巧圓的切線方程的求法(1)幾何法：當k存在時，設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進而求出k.當k不存在時，設x＝x0，并驗證是否符合題意．(2)代數(shù)法：當k存在時，設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進而求得k.當k不存在時，設x＝x0，并驗證是否符合題意．B1．在平面直角坐標系中，過點P(1，4)向圓C：(x－m)2＋y2＝