第十一講相關(guān)分析

第十一講相關(guān)系數(shù)第一節(jié)相關(guān)概述第二節(jié)積差相關(guān)系數(shù)第三節(jié)其他相關(guān)系數(shù)第一節(jié)相關(guān)概述一、相關(guān)的含義 客觀現(xiàn)象之間的數(shù)量聯(lián)系存在著函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系。當一個或幾個變量取定值時，另一個變量有確定的值與之對應，稱為函數(shù)關(guān)系，可用Y=f(X)表示。圖5-0(a)函數(shù)關(guān)系

所謂相關(guān)就是指事物或隨機現(xiàn)象之間的相互關(guān)系。事物之間在數(shù)量上的變化關(guān)系有的是屬于因果關(guān)系（一種現(xiàn)象是另一種現(xiàn)象的原因，另一種現(xiàn)象是這種現(xiàn)象的結(jié)果），有的卻不能直接作出因果關(guān)系的解釋。當一個或幾個相互聯(lián)系的變量取一定數(shù)值時，與之相對應的另一個變量的值雖然不確定，但它仍然按某種規(guī)律在一定范圍內(nèi)變化，變量間的這種關(guān)系，被稱為相關(guān)關(guān)系，如圖5-0（b）。圖5-0（b）二、相關(guān)的種類 （一）從變化方向上劃分1、正相關(guān)。兩個變量中，一個變量增大，另一個變量對應值也隨之增大；或一個變量值減小，另一個變量對應值也隨之減小，兩列變量變化方向相同。如學生的學習成績與智商之間的關(guān)系；教師工作積極性與學校民主管理程度之間的相關(guān)，學校辦學經(jīng)費與教學設施之間的相關(guān)等。 2、負相關(guān)：兩個變量中，一個變量增大，另一個變量對應值也隨之減少；或一個變量值減小，另一個變量對應值也隨之增大，兩列變量變化方向相反。如學生學習能力水平與其解題時間的關(guān)系；運動員賽跑與所用時間之間的相關(guān)；學生學習能力與識記所用時間之間的相關(guān)等。 3、零相關(guān)。兩變量值的變化方向無規(guī)律。如學生的身高與學生成績的變化關(guān)系。（二）從變量的個數(shù)上劃分

1、簡相關(guān)。兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系。如在一定年齡階段，兒童身高與年齡的關(guān)系。本課所研究的都是簡相關(guān)。

2、復相關(guān)。一個變量與兩個或兩個以上變量間的相關(guān)關(guān)系。如教師教學的成效與教師思維能力、教學方法、學生的學習準備情況之間的關(guān)系。

（三）從變量相互關(guān)系的程度上劃分

1、高度相關(guān)。即兩個變量相互聯(lián)系非常密切。如大學生的學習成績和智商的關(guān)系。當兩個變量變化關(guān)系達到一一對應的密切程度時，數(shù)量變化就是確定性關(guān)系了，則稱為完全相關(guān)。

2、低度相關(guān)。即兩變量存在相互聯(lián)系，但其關(guān)系并不密切。三、相關(guān)散布圖 它是表示兩種事物之間的相關(guān)性及聯(lián)系的模式。以直角坐標的橫軸表示x列變量，縱軸表示y列變量，在相關(guān)的兩變量對應值的垂直相交處畫點，構(gòu)成相關(guān)散布圖。如圖5-1。圖5-1散布圖

相關(guān)散布圖的用途：

1、判斷相關(guān)是否直線式。 當兩變量之間呈曲線趨勢，其相關(guān)散布圖呈彎月狀，說明兩變量之間是非線性關(guān)系，如圖5-2(a)。圖5-2(a)曲線相關(guān)

當兩變量間呈線性趨勢，其相關(guān)散布圖是橢圓形，說明兩變量之間是線性關(guān)系，稱為直線相關(guān)，如圖5-2(b)。圖5-2(b)直線相關(guān)

2、判斷相關(guān)密切程度高低 相關(guān)散布圖的形狀和疏密，反映著相關(guān)程度的高低。如圖5-3（a），散布圖的橢圓形狀較狹長，稱為高度相關(guān)。圖5-3（a）高度相關(guān)

如果散布圖的橢圓形狀比較粗，稱為低度相關(guān)。如圖5-3（b）。圖5-3b低度相關(guān)

3、判斷相關(guān)變化方向 正相關(guān)：散布點主要位于一、三象限。如圖5-4（a）,即一個變量增加（或減少），另一個變量也增加（或減少）。圖5-4（a）正相關(guān)

負相關(guān)：若散布點主要位于二、四象限，如圖5-4（b）,即一個變量增加（或減少），另一個變量也減少（或增加）。圖5-4（b）負相關(guān)

零相關(guān)：散布點的變化無一定規(guī)律。如圖5-4（c）。圖5-4（c）零相關(guān)四、相關(guān)系數(shù) 通過相關(guān)散布圖的形狀，我們大概可以判斷變量之間相關(guān)程度的強弱、方向和性質(zhì)，但并不能得知其相關(guān)的確切程度。為精確了解變量間的相關(guān)程度，還需作進一步統(tǒng)計分析，求出描述變量間相關(guān)程度與變化方向的量數(shù)，即相關(guān)系數(shù)。總體相關(guān)系數(shù)用ρ（讀“柔”）表示，樣本相關(guān)系數(shù)用r表示。

相關(guān)系數(shù)r的取值范圍是-1≤r≤1，一般取小數(shù)點后兩位。r的正負號表明兩變量間變化的方向；|r|表明兩變量間相關(guān)的程度，r>0表示正相關(guān)，r<0表示負相關(guān)，r=0表示零相關(guān)。|r|越接近于1，表明兩變量相關(guān)程度越高，它們之間的關(guān)系越密切。相關(guān)系數(shù)取值︱r︱=1完全相關(guān)0.7≦︱r︱﹤1高相關(guān)0.4≦︱r︱﹤0.7中等相關(guān)0.2≦︱r︱﹤0.4低相關(guān)︱r︱﹤0.2極低相關(guān)請判斷下列相關(guān)的強弱-0.90.60.2-0.8-0.70.5

附加說明： （1）兩變量間存在相關(guān)，僅意味著變量間有關(guān)聯(lián)，并不一定是因果關(guān)系。 （2）相關(guān)系數(shù)不是等距的測量單位。

r是一個比值，不是由相等單位度量而來，不能進行加、減、乘、除運算。如r1=0.25,r2=0.5,r3=0.75，不能認為r1=r3-r2

或r2=2r1。 （3）相關(guān)系數(shù)受變量取值區(qū)間大小及觀測值個數(shù)的影響較大。

變量的取值區(qū)間越大，觀測值個數(shù)越多，相關(guān)系數(shù)受抽樣誤差的影響越小，結(jié)果就越可靠，如果數(shù)據(jù)較少，本不相關(guān)的兩列變量，計算的結(jié)果可能相關(guān)，如學生的身高與學習成績。本書所舉例題，數(shù)據(jù)較少，僅為說明計算方法時較方便。 （4）相關(guān)系數(shù)在特定情況下使用才具有意義。 如高中生身高與體重的相關(guān)系數(shù)用在兒童身上就沒有意義。

（5）通過實際觀測值計算的相關(guān)系數(shù)，須經(jīng)過顯著性檢驗確定其是否有意義。

|r|的取值范圍|r|的意義0.00-0.19極低相關(guān)0.20-0.39低度相關(guān)0.40-0.69中度相關(guān)0.70-0.89高度相關(guān)0.90-1.00極高相關(guān)表5-0|r|的取值與相關(guān)程度 *如何判斷兩個變量的相關(guān)性 （1）找出兩個變量的正確相應數(shù)據(jù)。 （2）畫出它們的散布圖（散點圖）。 （3）通過散布圖判斷它們的相關(guān)性。 （4）給出相關(guān)（r）的解答。 （5）對結(jié)果進行評價和檢驗。第二節(jié)積差相關(guān)系數(shù)一、概念及適用條件 （一）概念 積差相關(guān)，又稱積矩相關(guān)（或皮爾遜（英國）相關(guān)）。公式為(5.1)

（二）適用條件

1、兩變量均應由測量得到的連續(xù)變量。

2、兩變量所來自的總體都應是正態(tài)分布，或接近正態(tài)的單峰對稱分布。

3、變量必須是成對的數(shù)據(jù)。

4、兩變量間為線性關(guān)系。二、計算方法 （一）基本公式計算法 步驟：

學生序號X（政治）Y（語文）174822717538081485895768267789777888688497480107487

例1某學校為調(diào)查學生學習各科目之間的能力遷移問題，隨機抽取10名學生的政治與語文成績見表5-1，請計算其相關(guān)程度。學生序號X（政治）Y（語文）xy17482-1.6-1.727175-4.6-8.7380814.4-2.7485899.45.3576820.4-1.7677891.45.3777881.44.386884-7.60.397480-1.6-3.7107487-1.63.3

例1某學校為調(diào)查學生學習各科目之間的能力遷移問題，隨機抽取10名學生的政治與語文成績見表5-1，請計算其相關(guān)程度。學生序號X（政治）Y（語文）xyxy17482-1.6-1.72.7227175-4.6-8.740.02380814.4-2.7-11.88485899.45.349.82576820.4-1.7-0.68677891.45.37.42777881.44.36.0286884-7.60.3-2.2897480-1.6-3.75.92107487-1.63.3-5.28

75.683.7

4.4542114.33705

91.8

例1某學校為調(diào)查學生學習各科目之間的能力遷移問題，隨機抽取10名學生的政治與語文成績見表5-1，請計算其相關(guān)程度。

解：依表5-1的資料，計算結(jié)果為

即10名學生的政治與語文成績的相關(guān)程度為0.475。

（二）原始數(shù)據(jù)計算法課后練習：用原始數(shù)據(jù)計算法計算例5-1。第三節(jié)其他相關(guān)系數(shù)一、等級相關(guān)系數(shù) （一）斯皮爾曼等級相關(guān)

1、概念及適用條件 （1）概念兩變量是等級測量數(shù)據(jù)，且總體不一定呈正態(tài)分布，樣本容量也不一定大于30，這樣兩變量的相關(guān)，稱為等級相關(guān)（斯皮爾曼相關(guān)）

（2）適用條件 ①兩變量的資料為等級測量數(shù)據(jù)，且具有線性關(guān)系。②連續(xù)變量的測量數(shù)據(jù)，按其大小排成等級，亦可用等級相關(guān)計算。 ③不要求總體呈正態(tài)分布。

2、計算方法

式中：D為兩變量每對數(shù)據(jù)的等級之差；N表示樣本容量。(5.4)

計算步驟： （1）計算兩變量等級之差D； （2）計算D2； （3）計算∑D2； （4）代入公式（5.4）,求得rR

例3求10名學生的語文成績與閱讀能力成績之間的等級相關(guān)系數(shù)。序號X（語文等級）Y（閱讀等級）188267354432521645776891091310109

表5-310名學生的語文成績與閱讀能力成績相關(guān)計算表序號X（語文等級）Y（閱讀等級）D1880267-1354143215211645-177618910-1913-2101091

表5-310名學生的語文成績與閱讀能力成績相關(guān)計算表序號X（語文等級）Y（閱讀等級）DD218800267-11354114321152111645-11776118910-11913-241010911∑

12表5-310名學生的語文成績與閱讀能力成績相關(guān)計算表

解：將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式（5.4）得

如果求相關(guān)的是連續(xù)變量，計算時先把兩組數(shù)據(jù)分別按大小排成等級，最大值取為1等，其它類推。若出現(xiàn)相同的等級分數(shù)時，可用它們所占等級位置的平均數(shù)作為它們的等級。例4某校為了研究學生自學能力與學業(yè)成績之間的關(guān)系，隨機抽取10名學生的自學能力和學科成績，見表5-4，自學能力與學科成績?yōu)榉钦龖B(tài)分布，求其相關(guān)系數(shù)。序號X（能力）Y（成績）1908828580370804857959095680707857581009898780109292∑

表5-410名學生的自學能力和學科成績相關(guān)計算表

例4某校為了研究學生自學能力與學業(yè)成績之間的關(guān)系，隨機抽取10名學生的自學能力和學科成績，見表5-4，自學能力與學科成績?yōu)榉钦龖B(tài)分布，求其相關(guān)系數(shù)。序號X（能力）等級Y（成績）等級1903.588428578063701080648577985903.595268097010785775981001981987580610922923

表5-410名學生的自學能力和學科成績相關(guān)計算表

例4某校為了研究學生自學能力與學業(yè)成績之間的關(guān)系，隨機抽取10名學生的自學能力和學科成績，見表5-4，自學能力與學科成績?yōu)榉钦龖B(tài)分布，求其相關(guān)系數(shù)。序號X（能力）等級Y（成績）等級DD21903.5884-0.50.25285780611370108064164857798-115903.59521.52.2568097010-117857759-2481001981009875806-1110922923-11∑

27.5表5-410名學生的自學能力和學科成績相關(guān)計算表

解：即學生的自學能力與學習成績的相關(guān)程度為0.85。

（二）肯德爾和諧系數(shù)

1、概念及適用條件 （1）概念 當多個變量值以等級順序表示時，這幾個變量之間的一致性程度，稱為肯德爾和諧系數(shù)或肯德爾W系數(shù)。 （2）適用條件 適用于兩列以上等級變量。如了解幾個評定者對同一組學生成績等級評定的一致性程度等。 2、計算方法 它以符號W表示，公式為

計算步驟：略 例5某評價小組7人依據(jù)已確定的4項內(nèi)容對某教師打分，將分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級后的結(jié)果見表5-5，求這7人對該教師評價意見的一致性程度。

一二三四

12.542.5123.53.51.51.532.52.514442225341.51.56123472422表5-57人評價某教師意見資料表

計算步驟：略 例5某評價小組7人依據(jù)已確定的4項內(nèi)容對某教師打分，將分數(shù)轉(zhuǎn)換為等級后的結(jié)果見表5-5，求這7人對該教師評價意見的一致性程度。

一二三四

12.542.5123.53.51.51.532.52.514442225341.51.56123472422R18.52213.516∑=70R2342.25484182.25256∑R2=1264.5表5-57人評價某教師意見資料表解：將上述數(shù)據(jù)代入公式（5.5）中得

實際上，當出現(xiàn)相同等級時，應校正W系數(shù)，其校正公式為例5中第一個人評的有2個等級相同，第二個人評的有2個3.5和2個1.5等級…所以∑C為二、點二列相關(guān) （一）概念及適用條件

1、概念 兩列變量一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量，描述這兩個變量之間的相關(guān)，稱為點二列相關(guān)。

2、適用條件 一列是正態(tài)連續(xù)變量，另一列是二分變量（如男與女，對與錯等）。

（二）計算方法 點二列相關(guān)系數(shù)以表示rpb，公式為

式中：p為二分變量中某一項所占比例；q為二分變量中另一項所占比例，p+q=1;為二分變量中比例為p部分所對應的連續(xù)變量的平均數(shù)；為二分變量中比例為q部分所對應的連續(xù)變量的平均數(shù).σx為連續(xù)變量的標準差。

例6隨機抽取某區(qū)初二數(shù)學期末考試卷15份，試計算第二題的得分與總分相一致的程度（即試題的區(qū)分度，它是衡量試題鑒別能力的指標值）。數(shù)據(jù)見表5-6。學生序號123456789101112131415第二題得分101000110111111總分697179868787818981929193929393表5-6數(shù)據(jù)表

解：（1）求答對第二題的比率p和答錯的比率q：

p=10/15=0.67 q=1-p=0.33 (2)求和，分別為答對和答錯第二題學生成績的平均數(shù)：

(3)求σx,所有考生的總分的標準差：

σx=7.597(分)

將上述數(shù)據(jù)代入公式（5.7）,可得即該試卷第二題的區(qū)分度為0.297。4.4質(zhì)與量相關(guān)質(zhì)與量相關(guān)指一列變量為數(shù)值型（等距、等比）數(shù)據(jù)，另一列變量為類別變量，求兩列變量的直線相關(guān)，稱為質(zhì)與量相關(guān)。包括：點二列相關(guān)、二列相關(guān)和多系列相關(guān)。1、點二列相關(guān)（1）適用資料兩列變量中一列為等距或等比的測量數(shù)據(jù)而且總體分布為正態(tài)，另一列變量為類別（名義）變量，分為兩類。

點二列相關(guān)多用于編制是非測驗題評價測驗內(nèi)部一致性等問題。每個題目（二分名義變量）與總分（數(shù)值）變量的相關(guān)，稱為每個題目的區(qū)分度。相關(guān)高說明該題答對答錯與總分的一致性高，即區(qū)分度高。（2）計算公式其中，--與一個二分變量值對應的連續(xù)變量的平均值；

--與另一個二分變量值對應的連續(xù)變量的平均值；

p，q二分變量兩個值各自所占的比率，p+q=1；

St--連續(xù)變量的標準差；

rpb[0，1]（3）例4.4有一是非選擇測驗，共有50題，每題選對得2分，滿分為100分?，F(xiàn)有20人的總成績及對第5題的選答情況，問第5題與總分的相關(guān)程度如何？n=20，Xt=81.6,St=8.66,答對人數(shù)10,答錯人數(shù)10,p=答對學生的比率=10/20=0.5,q=1-p=0.5,Xp=88.4,Xq=74