類型三-與全等三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用(解析版)

第二步大題奪高分類型三與全等三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用1、如圖所示，公園里有一條“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好為BC的中點(diǎn)，且E、F、M在同一直線上，在BE道路上停放著一排小汽車(chē)，從而無(wú)法直接測(cè)量B、E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請(qǐng)說(shuō)明其中的道理．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)SAS判定△BEM≌△CFM，從而得出CF=BE，即測(cè)量BE之間的距離相當(dāng)于測(cè)量CF之間的距離．【解析】解：能．證明：連接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（兩線平行內(nèi)錯(cuò)角相等）．∵M(jìn)是BC中點(diǎn)∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（對(duì)應(yīng)邊相等）．2、為了測(cè)量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點(diǎn)P．測(cè)得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=38°，測(cè)樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=52°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于8米，量得旗桿與樓之間距離為DB=33米，計(jì)算樓高AB是多少米？【思路點(diǎn)撥】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），進(jìn)而得出AB的長(zhǎng)．【解析】解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=52°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=33，PB=8，∴AB=33﹣8=25（m），答：樓高AB是25米．3．在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無(wú)法直接度量A、B兩點(diǎn)間的距離．請(qǐng)你用學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)按以下要求設(shè)計(jì)一測(cè)量方案．（1）畫(huà)出測(cè)量圖案；（2）寫(xiě)出測(cè)量步驟（測(cè)量數(shù)據(jù)用字母表示）；（3）計(jì)算AB的距離（寫(xiě)出求解或推理過(guò)程，結(jié)果用字母表示）．【解析】解：（1）見(jiàn)圖：（2）在湖岸上選一點(diǎn)O，連接BO并延長(zhǎng)到C使BO=OC，連接AO并延長(zhǎng)到點(diǎn)D使OD=AO，連接CD，則AB=CD．測(cè)量DC的長(zhǎng)度即為AB的長(zhǎng)度；（3）設(shè)DC=m∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD=m．4、如圖為紫舞公園中的攬?jiān)潞F(xiàn)在測(cè)量攬?jiān)潞膳訟、B兩棵大樹(shù)間的距離（不得直接量得）．請(qǐng)你根據(jù)三角形全等的知識(shí)，用幾根足夠長(zhǎng)的繩子及標(biāo)桿為工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案．要求：（1）畫(huà)出設(shè)計(jì)的測(cè)量示意圖；（2）寫(xiě)出測(cè)量方案的理由．【思路點(diǎn)撥】（1）本題屬于主觀性試題，有多種方案，我們可以構(gòu)造8字形的全等三角形來(lái)測(cè)得攬?jiān)潞拈L(zhǎng)度（如下圖）；（2）根據(jù)三角形全等的證明得出對(duì)應(yīng)邊相等即可得出答案．【答案與解析】解：（1）如圖所示；分別以點(diǎn)A、點(diǎn)B為端點(diǎn)，作AQ、BP，使其相交于點(diǎn)C，使得CP=CB，CQ=CA，連接PQ，測(cè)得PQ即可得出AB的長(zhǎng)度．（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，又∠PCQ=∠BCA，∴在△PCQ與△BCA中，，∴△PCQ≌△BCA（SAS），∴AB=PQ．5.有一座小山，現(xiàn)要在小山A、B的兩端開(kāi)一條隧道，施工隊(duì)要知道A、B兩端的距離，于是先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D，使CD=CA，連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長(zhǎng)，就是A、B的距離，你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？【解析】解：在△ABC和△CED中，AC=CD，∠ACB=∠ECD（對(duì)頂角），EC=BC，∴△ABC≌△DEC，∴AB=ED，即量出DE的長(zhǎng)，就是A、B的距離.6.如圖，小葉和小麗兩家分別位于A、B兩處隔河相望，要測(cè)得兩家之間的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)出測(cè)量方案．【答案】本題的測(cè)量方案實(shí)際上是利用三角形全等的知識(shí)構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，是一個(gè)三角形在河岸的同一邊，通過(guò)測(cè)量這個(gè)三角形中與AB相等的線段的長(zhǎng)，從而得知兩家的距離．解：在點(diǎn)B所在的河岸上取點(diǎn)C，連結(jié)BC，使CD=CB，利用測(cè)角儀器使得∠B=∠D，且A、C、E三點(diǎn)在同一直線上，測(cè)量出DE的長(zhǎng)，就是AB的長(zhǎng)．在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【總結(jié)升華】對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，首先要能將它化成數(shù)學(xué)模型，再根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)去解決．由已知易證△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以測(cè)得DE的長(zhǎng)也就知道兩家的距離是多少．7．如圖所示，要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A、B的距離，因無(wú)法直接量出A、B兩點(diǎn)的距離，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種方案，求出A、B的距離，并說(shuō)明理由．【答案】：在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上，這時(shí)測(cè)得的DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)．作出的圖形如圖所示：∵AB⊥BFED⊥BF∴∠ABC=∠EDC=90°又∵CD=BC∠ACB=∠ECD∴△ACB≌△ECD，∴AB=DE．【解析】：解答：【答案】處有解答過(guò)程分析：根據(jù)題中垂直可得到一組角相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等，已知一組邊相等，得到三角形全等的三個(gè)條件，于是根據(jù)ASA可得到三角形全等，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得結(jié)論．8．為在池塘兩側(cè)的A，B兩處架橋，要想測(cè)量A，B兩點(diǎn)的距離，如圖所示，找一處看得見(jiàn)A，B的點(diǎn)P，連接AP并延長(zhǎng)到D，使PA=PD，連接BP并延長(zhǎng)到C，使．測(cè)得CD=35m，就確定了AB也是35m，說(shuō)明其中的理由；（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．【答案】：∵PA=PDPC=PB又∠APB=∠CPD∴△APB≌△DPC，∴AB=CD=35m．【解析】：解答：答案處有解答過(guò)程分析：根據(jù)題中條件可以直接得到兩組邊對(duì)應(yīng)相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等得到三角形全等的第三個(gè)條件，于是根據(jù)SAS可得到三角形全等，全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，得結(jié)論．9．如圖所示，小王想測(cè)量小口瓶下半部的內(nèi)徑，他把兩根長(zhǎng)度相等的鋼條AA′，BB′的中點(diǎn)連在一起，A，B兩點(diǎn)可活動(dòng)，使M，N卡在瓶口的內(nèi)壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的長(zhǎng)度，就可量出小口瓶下半部的內(nèi)徑，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】：∵AA′，BB′的中點(diǎn)為O∴OA＝OA′，OB＝OB′又∠AOB＝∠A′OB′∴△A′OB′≌△AOB，∴AB=A′B′．【解析】：解答：答案處有解答過(guò)程分析：根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，得到兩組邊對(duì)應(yīng)相等，再根據(jù)對(duì)頂角相等得到三角形全等的第三個(gè)條件，于是得到三角形全等。10．在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個(gè)碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過(guò)河測(cè)量又沒(méi)有任何測(cè)量工具的情況下，如何測(cè)得距離？一位戰(zhàn)士的測(cè)量方法是：面向碉堡的方向站好，然后調(diào)整帽子，使視線通過(guò)帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，保持剛才的姿勢(shì)，這時(shí)視線落在了自己所在岸的某一點(diǎn)上；接著，他用步測(cè)的辦法量出自己與那個(gè)點(diǎn)的距離，這個(gè)距離就是他與碉堡的距離。這是為什么呢？【答案】：理由