【高中數(shù)學】拋物線的簡單幾何性質課件 2023-2024學年高二上人教A版（2019）選擇性必修第一冊

(一)圓錐曲線的統(tǒng)一定義

平面內(nèi)，到定點F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e的點的軌跡,當0<e<1時，是橢圓；(定點F不在定直線l上)當e=1時，是拋物線.復習引入(二)四種形式拋物線的標準方程：圖形方程焦點準線lFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）lFyxO根據(jù)上表中拋物線的標準方程的不同形式與圖形、焦點坐標、準線方程對應關系如何判斷拋物線的焦點位置，開口方向？第一，一次項的變量如為x,則x軸為拋物線的對稱軸，焦點就在對稱軸x軸上.一次項的變量如為y,則y軸為拋物線的對稱軸，焦點就在對稱軸Y軸上. 第二，一次變量的系數(shù)正負決定了開口方向課堂探究思考：類比橢圓、雙曲線的幾何性質，你認為應該研究拋物線y2=2px（p>0）的哪些幾何性質？如何研究這些性質。第三章圓錐曲線的方程3.3.2拋物線的簡單幾何性質思一思：P(x,y)一、拋物線的幾何性質拋物線在y軸的右側，當x的值增大時，︱y︱也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸。1、范圍由拋物線y2=2px（p>0）而所以拋物線的范圍為關于x軸對稱

由于點也滿足，故拋物線(p>0)關于x軸對稱.y2=2pxy2=2px2、對稱性P(x,y)定義：拋物線和它的軸的交點稱為拋物線的頂點。P(x,y)由y2=2px

（p>0）當y=0時,x=0,

因此拋物線的頂點就是坐標原點（0，0）。注:這與橢圓有四個頂點,雙曲線有兩個頂點不同。３、頂點4、離心率P(x,y)

拋物線上的點與焦點的距離和它到準線的距離之比，叫做拋物線的離心率，由拋物線的定義，可知e=1。

下面請大家得出其余三種標準方程拋物線的幾何性質。5、開口方向P(x,y)拋物線y2=2px（p>0）的開口方向向右。+X，x軸正半軸，向右-X，x軸負半軸，向左+y，y軸正半軸，向上-y，y軸負半軸，向下思考：拋物線標準方程中的p對拋物線開口的影響.P(x,y)xyOFABy2=2px2p過焦點而垂直于對稱軸的弦AB，稱為拋物線的通徑，利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準確畫出反映拋物線基本特征的草圖.|AB|=2p通徑6、2p越大，拋物線張口越大.P越大,開口越開闊（二）歸納：拋物線的幾何性質圖形方程焦點準線范圍頂點對稱軸elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p>0）y2=-2px（p>0）x2=2py（p>0）x2=-2py（p>0）x≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤

0x∈R(0,0)x軸y軸1（三）圓錐曲線的幾何性質對比：

例１：已知拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，經(jīng)過點M（２，），求它的標準方程，

因為拋物線關于x軸對稱，它的頂點在坐標原點，并且經(jīng)過點M（２，），解：所以設方程為：又因為點M在拋物線上：所以：因此所求拋物線標準方程為：（三）、例題講解：變式題１：求并頂點在坐標原點，對稱軸為坐標軸，并且經(jīng)過點M（２，），拋物線的標準方程。（三）、例題講解：例2斜率為1的直線

l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長。法二:設而不求,運用韋達定理,計算弦長法一:直接求兩點坐標,計算弦長法三:設而不求,運用焦點弦公式,計算弦長例題解析聯(lián)立方程組例題解析連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑。|PF|=x0+p/2焦半徑公式：焦半徑7、xyOFPx0p/2焦半徑及焦半徑公式拋物線上一點到焦點的距離P(x0，y0)在y2=2px上，P(x0，y0)在y2=-2px上,P(x0，y0)在x2=2py上,P(x0，y0)在x2=-2py上,方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）x≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈R關于x軸對稱

關于x軸對稱

關于y軸對稱

關于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）重要！課堂探究思考

如果直線不經(jīng)過焦點，的長還等于嗎？分析：如圖，設，．由拋物線的定義可知，

，同理得

，由三角形性質

．例題解析

練習：

直線與拋物線相交于，兩點，求線段的長．練習鞏固

解：的直線方程為①，將方程①代入拋物線方程，化簡得到．根據(jù)根與系數(shù)的關系，，所以．因為，，所以．

所以．練習鞏固

練習：

直線與拋物線相交于，兩點，求線段的長．1.知識總結:思考：本節(jié)課我學到了哪些知識，了解到哪些解決問題的思想方法？本堂小結方程圖形范圍對稱性頂點焦半徑焦點弦的長度

y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）x≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈R關于x軸對稱

關于x軸對稱

關于y軸對稱

關于y軸對稱（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）2.數(shù)學方法:掌握利用曲線方程研究曲線性質的重要方法——解析法（坐標法），這是我們這節(jié)課研究拋物線幾何性質的方法.它體現(xiàn)了解析幾何的核心思想，也是研究其他曲線的思維模式.注意研究過程中體會數(shù)形結合、分類討論、類比學習的思想。思考：本節(jié)課我學到了哪些知識，了解到哪些解決問題的思想方法？本堂小結例1過拋物線y2=2px的焦點F任作一條直線m，交這拋物線于A,B兩點，求證：以AB為直徑的圓和這拋物線的準線相切．分析：運用拋物線的定義和平面幾何知識來證比較簡捷．證明：如圖．

所以EH是以AB為直徑的圓E的半徑，且EH⊥l，因而圓E和準線l相切．設AB的中點為E，過A,E,B分別向準線l引垂線AD，EH，BC，垂足為D,H,C