專題4.8 一次函數(shù)章末九大題型總結（培優(yōu)篇）（北師大版）（解析版）

專題4.8一次函數(shù)章末九大題型總結（培優(yōu)篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)一次函數(shù)的性質求參數(shù)】 1【題型2根據(jù)一次函數(shù)性質確定參數(shù)取值范圍】 4【題型3確定一次函數(shù)經過的象限】 7【題型4根據(jù)一次函數(shù)的性質比較大小】 8【題型5根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷結論正誤】 11【題型6一次函數(shù)的平移】 14【題型7確定一次函數(shù)解析式】 20【題型8一次函數(shù)中的新定義問題】 25【題型9一次函數(shù)的規(guī)律探究】 31【題型1根據(jù)一次函數(shù)的性質求參數(shù)】【例1】（2023春·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）直線y=kx+b經過點3,-2，當-1≤x≤5時，y的最大值為6，則k的值為．【答案】4或-2【分析】先根據(jù)直線y=kx+b經過點3,-2得到3k+b=-2①，再分k=0，k>0，k<0三種情況結合當-1≤x≤5時，y的最大值為6【詳解】解：∵直線y=kx+b經過點3,-2，∴3k+b=-2①當k=0時，則b=-2，則直線y=kx+b即為直線y=-2，又∵當-1≤x≤5時，y的最大值為6，∴此種情況不成立；當k>0時，則y隨x增大而增大，∴當x=5時，y=6，∴5k+b=6②聯(lián)立①②得：k=4b=14當k<0時，則y隨x增大而減小，∴當x=-1時，y=6，∴-k+b=6③聯(lián)立①③得：k=-2b=4綜上所述，k=4或k=-2，故答案為：4或-2．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的增減性，一次函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知一次函數(shù)的相關知識是解題的關鍵．【變式1-1】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)圖像經過點1,2，4,-4，m,3，求m的值．【答案】見解析【分析】設這個一次函數(shù)解析式為y=kx+bk≠0【詳解】解：設這個一次函數(shù)解析式為y=kx+b∵一次函數(shù)圖像過點1,2和4,-4∴k+b=24k+b=-4解得k=-2b=4∴y=-2x+4∵直線y=-2x+4過點m,3∴-2m+4=3，∴m=1【點睛】本題考查了一次函數(shù)的解析式及其求值，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關鍵．【變式1-2】（2023春·北京海淀·八年級?？计谥校┮阎淮魏瘮?shù)y=kx+1，當自變量的取值范圍是k≤x≤3時，相應的函數(shù)值的范圍是a≤y≤7，則a=．【答案】5或-36【分析】根據(jù)題意，分別求得當x=k，x=3時的函數(shù)值，分k<0,k>0根據(jù)一次函數(shù)的性質，即可求解．【詳解】當x=k時，y=k當x=3時，y=3k+1，∵k≤x≤3，當k>0時，∴k2∴k2+1=a解得：k=2，a=2當k<0時，k2則k2+1=7，解得:k=-6∴a=3k+1=-36綜上所述，a=5或-36故答案為：a=5或-36【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，熟練掌握一次函數(shù)的性質，分類討論是解題的關鍵．【變式1-3】（2023春·重慶榮昌·八年級統(tǒng)考期末）數(shù)k使關于x的方程1x-2+kx-12-x=1的解是整數(shù)，且k使一次函數(shù)y=【答案】-2【分析】根據(jù)關于x的方程1x-2+kx-12-x=1解是整數(shù)，且一次函數(shù)y=【詳解】解：由分式方程1x-2+kx-1∵分式方程程1x-2∴4k+1是整數(shù)且不等于∵一次函數(shù)y=k-3∴k-3<0解得：-2≤k<3，∵4k+1是整數(shù)且不等于∴k=-2，0，∵-2∴滿足條件的所有整數(shù)k的值的和是-2，故答案為：-2．【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質、分式方程的解，解答本題的關鍵是明確題意，求出滿足條件的k的值，利用一次函數(shù)的性質和分式方程的知識解答．【題型2根據(jù)一次函數(shù)性質確定參數(shù)取值范圍】【例2】（2023春·湖北襄陽·八年級校聯(lián)考期中）已知直線y=kx+b經過第一、二、三象限，且點3,1在該直線上，設m=3k-b，則m的取值范圍是（

）A．0<m<1 B．-1<m<1 C．1<m<2 D．-1<m<2【答案】B【分析】先利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到b=-3k+1，再利用一次函數(shù)與系數(shù)的關系得到k>0，b>0，則k的范圍為0<k<13，接著用k表示m，然后根據(jù)一次函數(shù)的性質求【詳解】解：把(3,1)代入y=kx+b得3k+b=1，b=-3k+1，因為直線y=kx+b經過第一、二、三象限，所以k>0，b>0，即-3k+1>0，所以k的范圍為0<k<1因為m=3k-b=3k-(-3k+1)=6k-1，所以m的范圍為-1<m<1．故選：B．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與系數(shù)的關系：對于y=kx+b與y軸交于(0,b)，當b>0時，(0,b)在y軸的正半軸上，直線與y軸交于正半軸；當b<0時，(0,b)在y軸的負半軸，直線與y軸交于負半軸；當k>0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、三象限；k>0，b<0?y=kx+b的圖象在一、三、四象限；k<0，b>0?y=kx+b的圖象在一、二、四象限；k<0，b<0?y=kx+b的圖象在二、三、四象限．解決本題的關鍵是用k表示出m．【變式2-1】（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）一次函數(shù)y=kx+3k+1的圖象與x軸交于正半軸，則k的取值范圍為（

）A．k>-13 B．-13<k<0 C．k<0或k>【答案】B【分析】先求得一次函數(shù)圖象與x軸的交點橫坐標，利用橫坐標大于0得到不等式求解即可．【詳解】解：令y=0，由kx+3k+1=0得x=-3-1∵一次函數(shù)y=kx+3k+1的圖象與x軸交于正半軸，∴-3-1當k>0時，k<-1當k<0時，k>-13∴-1故選：B．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題、不等式的性質，正確求得圖象與x軸的交點橫坐標，并分類討論求解是解答的關鍵．【變式2-2】（2023春·貴州·八年級統(tǒng)考期末）已知關于x的一次函數(shù)y=(2a-3)x+a+2，其圖象在-2≤x≤1的一段都在x軸上方，則a【答案】32<a<【分析】由一次函數(shù)的定義得2a-3≠0得a≠3【詳解】解：∵y=(2a-3)x+a+2是y關于x的一次函數(shù)，∴2a-3≠0，∴a≠3∴分兩種情況討論如下：①當2a-3>0時，即a>3此時y隨x的增大而增大，當x=-2時，y=-4a+6+a+2=-3a+8，∵該函數(shù)圖象在-2≤x<1的一段都在x軸上方，∴-3a+8>0，解得：a<8∴a的取值范圍是：32②當2a-3<0時，即a<3此時y隨x的增大而減小，當x=1時，y=2a-3+a+2=3a-1，∵該函數(shù)圖象在-2≤x<1的一段都在x軸上方，∴3a-1>0，解得：a>1∴a的取值范圍是：13綜上所述：a的取值范圍是32<a<8故答案為：32<a<8【點睛】此題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式組，解答此題的關鍵是分類討論思想在解題中的應用．【變式2-3】（2023秋·陜西西安·八年級校考期末）在平面直角坐標系xOy中，已知直線l經過二、三、四象限，且還經過點0,m，2,n，p,1和3,-2，則下列判斷正確的是(

)A．m<n B．m<-3 C．n<-2 D．p<-1.5【答案】D【分析】設直線l的解析式為y=kx+bk≠0，根據(jù)直線l過點(0，m)，(2，n)，p,1和(3【詳解】解：如圖，設直線l的解析式為y=kx+bk≠0∵直線l經過二、三、四象限，∴k<0，b<0，A選項，∵0<2，y隨x的增大而減小，∴m>nB選項，∵0<3，y隨x的增大而減小，∴m>-2，故該選項不符合題意；C選項，∵2<3，y隨x的增大而減小，∴n>-2，故該選項不符合題意；D選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關系，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結合找出m，n的取值范圍是解題的關鍵．【題型3確定一次函數(shù)經過的象限】【例3】（2023秋·浙江杭州·八年級杭州市安吉路實驗學校校考期中）一次函數(shù)y=(m+1)x-2m+3的圖象一定經過第象限．【答案】一【分析】由一次函數(shù)的定義可知m+1≠0，故可分類討論：當m+1>0和m+1<0時，分別求出-2m+3的取值范圍，結合一次函數(shù)的圖象與性質即可解答．【詳解】解：∵該函數(shù)為一次函數(shù)，∴m+1≠0，即m≠-1分類討論：①當m+1>0，即m>-1時，∴-2m+3<5，∴此時該函數(shù)圖象必經過第一、三象限．當0<-2m+3<5時，經過第二象限，當-2m+3<0時，經過第四象限；②當m+1<0，即m<-1時，∴-2m+3>7，∴此時該函數(shù)圖象經過第一、二、四象限，綜上可知，該函數(shù)圖象必經過第一象限．故答案為：一．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象和性質．掌握一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)，當k>0，b>0時，其圖象經過第一、二、三象限；當k>0，b<0時，其圖象經過第一、三、四象限；當【變式3-1】（2023秋·河南周口·八年級?？计谥校┮阎本€ykxb經過第一、三、四象限，那么直線ybxk一定不經過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)直線y=kx+b經過第一，三，四象限，可以判斷k、b的正負，根據(jù)一次函數(shù)圖象的性質，從而可以判斷直線y=bx+k經過哪幾個象限，不經過哪個象限．【詳解】解：∵直線y=kx+b經過第一，三，四象限，∴k>0，b<0，∴直線y=bx+k經過第一、二、四象限，不經過第三象限，故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)的性質，明確題意，熟練掌握并靈活運用一次函數(shù)的性質是解題的關鍵．【變式3-2】（2023春·內蒙古呼和浩特·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)經過(-1,-1)，(1,-3)兩點，則其函數(shù)圖象不經過第象限．【答案】一【分析】用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)解析式確定經過的象限．【詳解】將(-1,-1)，(1,-3)代入y=kx+b(k≠0)得，-1=-k+b-3=k+b解得k=-1b=-2故函數(shù)解析式為y=-x-2，函數(shù)經過二、三、四象限．故答案為：一．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象和性質，求出函數(shù)的解析式是解題的關鍵．【變式3-3】（2023春·全國·八年級期末）如果直線y=2m+1x-2+m經過第一、三、四象限，那么則m的取值范圍是【答案】-【分析】根據(jù)該直線經過第一、三、四象限可得2m+1>0，-2+m<0，即可求解．【詳解】解：∵直線y=2m+1∴2m+1>0，解得：m>-1∵直線y=2m+1∴-2+m<0，解得：m<2，綜上：m的取值范圍是-1故答案為：-1【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的圖象和性質，解一元一次不等式，解題的關鍵是掌握一次函數(shù)y=kx+b當k>0時，經過一、三象限，反之經過二、四象限．【題型4根據(jù)一次函數(shù)的性質比較大小】【例4】（2023春·山東菏澤·八年級統(tǒng)考期末）已知x1,y1，x2,y2，x3,A．y1y2>0 B．y1y【答案】A【分析】根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷即可．【詳解】解：∵直線y=-2x+3，∴y隨x的增大而減小，當y=0時，x=1.5，∵x1,y1，x2,y2，∴x2<0，∴x1∴y1，y2同時為正，0<x<1.5時，y3為正，x>1.5∴y1y2>0，y2故選：A．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關鍵是明確題意，利用一次函數(shù)的性質解答．【變式4-1】（2023春·安徽蕪湖·八年級校聯(lián)考期末）直線y=3x+b上有三個點-2.3，y1A．y1>y2>y3 B．y【答案】C【分析】由解析式y(tǒng)=3x+b可得y隨x增大而增大，根據(jù)三個點的橫坐標大小可判斷函數(shù)值的大小關系．【詳解】解：∵y=3x+b，∴y隨x增大而增大，∵-2.3<-1.3<2.7，∴y1故選：C．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，牢記“k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x的增大而減小”是解題的關鍵．【變式4-2】（2023春·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）已知直線y=ax+b（其中a，b是常數(shù)，ab<0），點Am2，n2，BA．y1>y2 B．y1<y【答案】A【分析】由ab<0可知a<0，b>0或a>0，b<0，然后分情況討論，根據(jù)點A，B的坐標得出a>0，b<0時符合題意，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性得出答案．【詳解】解：∵ab<0，∴a<0，b>0或a>0，b<0，①當a<0，b>0時，y隨x增大而減小，∵點Am2，n2，B∴y隨x增大而增大，與題意矛盾，此情況舍去；②當a>0，b<0時，y隨x減小而減小，∵點Am2，n2，B∴符合題意，∴a>0，b<0，∴a>0>b，又∵點Pa，y∴y1故選：A．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)的性質，熟知一次函數(shù)y=ax+b中，當a>0時，y隨x增大而增大；當a<0時，y隨x增大而減小是解題的關鍵．【變式4-3】（2023春·重慶開州·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y=-2x+1的圖象經過Ax1,-1，Bx2,1，則x1x2（填“＞【答案】＞【分析】根據(jù)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=-2x+1得出y隨x的增大而減小，即可得出答案．【詳解】解：y=-2x+1，∵k=-2<0，∴y隨x的增大而減小，∵-1<1，∴x1故答案為：＞．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的性質，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征的應用，能理解一次函數(shù)的性質是解此題的關鍵．【題型5根據(jù)一次函數(shù)的性質判斷結論正誤】【例5】（2023秋·江蘇宿遷·八年級統(tǒng)考期末）已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則下列說法：①k<0，b>0；②x=m是方程kx+b=0的解；③若點A(x1，y1)、B(x2，y2)是這個函數(shù)的圖象上的點，且y1-y2>0【答案】①②③④【分析】圖象過第一，二，四象限，可得k<0，b>0，可判定①；根據(jù)增減性，可判斷③④，由圖象與x軸的交點可判定②．【詳解】解：∵圖象過第一，二，四象限，∴k<0，b>0；故①正確由圖象知，該直線與x軸的交點坐標是(m,0)，則x=m是方程kx+b=0的解，故②正確；∴y隨x增大而減小，∵y∴y∴x∴x1-當-3≤x≤1時，2≤y≤6，∴當x=-3時，y=6；x=1時，y=2，代入y=kx+b得-3k+b=6k+b=2解得b=3；故④正確故答案為：①②③④．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)圖象的性質，關鍵是靈活運用一次函數(shù)圖象的性質．【變式5-1】（2023秋·江蘇·八年級期末）在下列敘述中，正確的個數(shù)有（

）①正比例函數(shù)y=2x的圖象經過二、四象限；②一次函數(shù)y=2x-3中，y隨x的增大而增大；③函數(shù)y=3x+1中，當x=-1④一次函數(shù)y=x+1圖象與x軸交點為-1,0．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)y=2x中k=2＞0，可知函數(shù)圖象經過第一、三象限；②根據(jù)y=2x-3中k=2＞0，可知y隨x的增大而增大；③當x=-1時，y=3x+1=3×-1+1=-2；④y=x+1中，當x=-【詳解】解：①∵正比例函數(shù)y=2x中，k=2＞∴有該函數(shù)圖象經過第一、三象限，故錯誤；②∵一次函數(shù)y=2x-3中，k=2＞∴y隨x的增大而增大，故正確；③∵x=∴y=3x+1中，y=3×-1故正確；④∵一次函數(shù)y=x+1中，x=y=0，∴一次函數(shù)y=x+1圖象與x軸交點為-1,0，故正確．∴綜上所述：正確的敘述是3個．故選：C．【點睛】本題主要考查一次函數(shù)的圖象和性質，熟練掌握由一次函數(shù)的圖象特征判定函數(shù)性質，由解析式的系數(shù)特征判定函數(shù)圖象特征，點和圖象位置關系的判定，是解題的關鍵．【變式5-2】（2023秋·河南周口·八年級?？计谥校╆P于自變量x的函數(shù)y＝（k－3）x＋2k，下列結論：①當k≠3時，此函數(shù)是一次函數(shù)；②無論k取什么值，函數(shù)圖象必經過點（－2，6）；③若函數(shù)經過二、三、四象限，則k的取值范圍是k＜0；④若函數(shù)圖象與x軸的交點始終在正半軸，則k的取值范圍是k＜3其中結論正確的序號是．【答案】①②③【分析】根據(jù)一次函數(shù)的定義，函數(shù)圖像和系數(shù)的關系逐一判斷選項即可.【詳解】解：①當k≠3時，函數(shù)是一次函數(shù)；故①符合題意；②y＝（k﹣3）x+2k＝k（x+2）﹣3x，當x＝﹣2時，y＝6，過函數(shù)過點（﹣2，6），故②符合題意；③函數(shù)y＝（k﹣3）x+2k經過二，三，四象限，則k-3<02k<0，解得：k＜0，故③④當k﹣3＝0時，y＝6，與x軸無交點；當k≠3時，函數(shù)圖象與x軸的交點始終在正半軸，即﹣2kk-3>0，解得：0＜k＜3，故故答案為：①②③．【點睛】本題考查根據(jù)一次函數(shù)的定義，一次函數(shù)圖象的性質，一次函數(shù)與x軸交點問題，交點坐標確定解析式字母系數(shù)的取值及分類討論思想的運用，掌握一次函數(shù)圖象的性質是解題的關鍵．【變式5-3】（2023春·內蒙古包頭·八年級包頭市第二十九中學?？计谥校┮淮魏瘮?shù)y1=ax+b與y2=cx+d①對于函數(shù)y=ax+b來說，y隨x的增大而減??；②函數(shù)y=ax+d的圖象不經過第一象限；③a-c=d-b④d<a+b-c

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】①根據(jù)函數(shù)圖像直接得到結論；②根據(jù)a、d的符號即可判斷；③當x=3時，y1=y2；④當x=1和x=-1時，根據(jù)圖像得不等式．【詳解】解：由圖像可得：對于函數(shù)y1=ax+b來說，y隨x的增大而減小，故由于a<0，d<0，所以函數(shù)y=ax+d的圖像經過第二，三，四象限，不經過第一象限，故②正確；∵一次函數(shù)y1=ax+b與y2∴3a+b=3c+d，∴3a-3c=d-b，∴a-c=d-b3，故當x=1時，y1當x=-1時，y2由圖像可知y1∴a+b>-c+d，∴d<a+b+c，故④不正確；綜上，①②③正確，故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式，一次函數(shù)的圖像與性質，利用數(shù)形結合是解題的關鍵．【題型6一次函數(shù)的平移】【例6】（2023春·河北廊坊·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像由函數(shù)y=-x的圖像平移得到，且經過點1,1．(1)求這個一次函數(shù)的表達式；(2)當x<1時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx-1m≠0的值小于一次函數(shù)y=kx+b的值，直接寫出m【答案】(1)y=-x+2(2)-1≤m≤2且m≠0【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)圖像平移時的k值相等求得k值，再將點1,1代入y=kx+b求解b值即可求解；（2）將1,1代入y=mx-1中，求得m=2，再結合一次函數(shù)的圖像與性質求解即可．【詳解】（1）解：∵一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖像由函數(shù)y=-x的圖像平移得到的，∴k=-1．將點1,1代入y=kx+b，得b=2，∴一次函數(shù)的表達式是y=-x+2；（2）解：將1,1代入y=mx-1中，解得m=2，如圖，∵當x<1時，對于x的每一個值，函數(shù)y=mx-1m≠0的值小于一次函數(shù)y=-x+2的值，∴-1≤m≤2且m≠0．【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖像與性質、一次函數(shù)的平移、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法和數(shù)形結合思想求解是解答的關鍵．【變式6-1】（2023春·北京海淀·八年級期末）已知直線l:y=kx+b(k≠0)，將直線l向上平移5個單位后經過點(3,7)，將直線l向下平移5個單位后經過點(7,7)，那么直線l向（填“左”或“右”）平移個單位后過點(1,7)．【答案】左4【分析】結合已知條件，根據(jù)一次函數(shù)的圖象平移性質列得關于k,b的二元一次方程組，從而求得直線l的解析式，然后設它向左平移m個單位后過點(1,7)，列得關于【詳解】已知直線l:y=kx+b則該直線向上平移5個單位后對應的解析式為y=kx+b+5∵它過點(∴3k+b+5=7原直線向下平移5個單位后對應的解析式為y=kx+b-5∵它過點(∴7k+b-5=7解方程組3k+b+5=77k+b-5=7得k=∴y=設它向左平移m個單位后過點(y=52即5解得：m=4即直線向左平移4個單位后過點(1,7故答案為：左，4．【點睛】本題考查一次函數(shù)圖像的平移，掌握“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律是解題的關鍵．【變式6-2】（2023春·湖北武漢·八年級武漢市糧道街中學校聯(lián)考期中）已知點A3，4，B-1，-2，將線段AB平移到線段CD，若點A的對應點C落在x軸上，點B的對應點D落在y軸上，則線段AB與【答案】1【分析】先求得直線AB的解析式，得到線段AB與y軸的交點P的坐標，再根據(jù)點A的對應點C在x軸上得出縱坐標變化的規(guī)律，根據(jù)點B對應點D在y軸上得出橫坐標變化的規(guī)律，再根據(jù)平移規(guī)律解答即可．【詳解】解：設直線AB的解析式為y=kx+b，且點A3，4則3k+b=4-k+b=-2，解得k=∴直線AB的解析式為y=3令x=0，則y=-1∴線段AB與y軸的交點P的坐標為0∵點A3，4，B-1，-2，將線段AB平移到線段CD，若點A的對應點C落在x軸上，點∴點A的縱坐標減4，點B的橫坐標加1，∴點P的對應點的坐標是0+1，-1故答案為：1，【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標與圖形變化-平移，在平面直角坐標系中，圖形的平移與圖形上某點的平移相同．平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．【變式6-3】（2023春·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系中點A（m?3，3m+3），點B（m，m+4）和D（0，?5），且點B在第二象限．（1）點B向平移單位，再向下平移（用含m的式子表達）單位可以與點A重合；（2）若點B向下移動3個單位，則移動后的點B和點A的縱坐標相等，且有點C（m?2，0）．①則此時點A、B、C坐標分別為、、．②將線段AB沿y軸負方向平移n個單位，若平移后的線段AB與線段CD有公共點，求n的取值范圍．③當m<?1式，連接AD，若線段AD沿直線AB方向平移得到線段BE，連接DE與直線y=?2交于點F，則點F坐標為．（用含m的式子表達）【答案】（1）左；3；(1-2m)；（2）①（-4，0）；（-1，0）（-3，0）；②當平移后的線段AB與線段CD有公共點時，1≤n≤193；③F【分析】(1)根據(jù)平面直角坐標系中點的平移計算方法即可得解(2)①根據(jù)B點向下平移后，點B和點A的縱坐標相等得到等量關系，可求出m的值，從而求出A、B、C三點坐標；②過C作CK垂直x軸交AB于K點過B做BM垂直x軸于M點，設出K點坐標，作KH⊥BM與H點，表示出H點坐標，然后利用面積關系SΔABM=SΔAKM+SΔBKM求出距離；當B'在線段CD上時，BB'交x軸于M點，過B'做B'E⊥OD，利用S△CODS△OB'CS△OB'D，求出n的值，從而求出n的取值范圍；③通過坐標平移法用m表示出E點的坐標，利用D、E兩點坐標表示出直線DE的函數(shù)關系式，令y=【詳解】解：（1）根據(jù)平移規(guī)律可得：B向左平移；m－（m－1）=3，所以平移3個單位；m+4－（3m+3）=1－2m，所以再向下平移(1-2m)個單位；故答案為：左；3；(1-2m)（2）①點B向下移動3個單位得：B（m，m+1）∵移動后的點B和點A的縱坐標相等∴m+1=3m+3∴m=﹣1∴A（-4,0）；B（-1,0）；C（-3,0）；②如圖1，過C作CK垂直x軸交AB于K點過B做BM垂直x軸于M點，設K點坐標為（-3，a）M點坐標為（-1,0）作KH⊥BM與H點，H點坐標為（-1，a）AM=3,BM=3,KC=a,KH=2∵S∴AM×BM∴3×3解得：a=1，∴當線段AB向下平移1個單位時，線段AB和CD開始有交點，∴n1，當B'在線段CD上時，如圖2BB'交x軸于M點，過B'做B'E⊥OD,B'M=n-3,B'E=1,OD=5,OC=3∵S△CODS△OB'CS△OB'D∴CO×OD∴3×5解得：n=19綜上所述，當平移后的線段AB與線段CD有公共點時，1≤n≤19③∵A（m?3，3m+3），B（m，m+4）D（0，?5）且AD沿直線AB方向平移得到線段BE，∴E點橫坐標為：3E點縱坐標為：﹣5+m+4－（3m+3）=﹣4－2m∴E（3，﹣4－2m），設DE：y=kx+b，把D（0，﹣5），E（3，﹣4－2m）代入y=kx+b∴3k+b=﹣4－∴y=1－2把y=﹣2代入解析式得：﹣2=1－x=91－∴F(9【點睛】本題考查平面直角坐標系中點的平移計算及一次函數(shù)解析式求法，解題關鍵在于理解掌握平面直角坐標系中點平移計算方法以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式方法的應用．【題型7確定一次函數(shù)解析式】【例7】（2023春·福建福州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象分別與x軸和y軸相交于C、A0，

(1)求一次函數(shù)的解析式；(2)當y1>y(3)點D是一次函數(shù)y1圖象上一點，若S△OCD=2【答案】(1)一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+6(2)x>-2(3)D點的坐標為2，8【分析】（1）將x=-2代入y2=-2x，求出m為4，再將點A0，6（2）當x>-2時，直線y1=kx+bk≠0（3）根據(jù)S△OCD=2S△OCB，利用三角形面積公式即可求出|y【詳解】（1）解：把B-2，m代入y=-2x∴B(-2，把A0，6、B(-2，4)解得k=1b=6∴一次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x+6；（2）解：觀察圖象可知，當y1>y（3）解：由S△OCD=1∵S∴|y∴y代入y=x+6得x=2或x=-14，∴D點的坐標為2，8或【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)與不等式的關系，數(shù)形結合是解題的關鍵．【變式7-1】（2023春·福建漳州·八年級統(tǒng)考期中）已知一次函數(shù)y1(1)若點(2,-1)在y1的圖象上，求k(2)當-5≤x≤3時，若函數(shù)的最大值3，求y1(3)對于一次函數(shù)y2=(a+3)(x-1)-4，若對一切實數(shù)x，y1>y2都成立，求【答案】(1)k=(2)當k>1時，y1=25(3)k=a+4，k>-23【分析】（1）直接將點代入函數(shù)表達式中求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的增減性，分k-1>0和k-1<0兩種情況求解即可；（3）整理y2=a+3x-a-7，將對一切實數(shù)x，y1>y2都成立轉化為y1【詳解】（1）解：∵點(2,-1)在y1∴2k-1+2k-1=-1，解得（2）解：當k-1>0即k>1時，函數(shù)y隨x的增大而增大，∴當x=3時，y有最大值為3，由3k-1+2k-1=3得∴y1當k-1<0即k<1時，函數(shù)y隨x的增大而減小，∴當x=-5時，y有最大值為3，由-5k-1+2k-1=3得∴y1（3）解：整理y2得y∵對一切實數(shù)x，y1∴y1∥y2，且直線∴k-1=a+3，且2k-1>-a-7，∴k=a+4，且2k-1>-k+4-7，解得k>-23，又∴k的取值范圍為k>-23且【點睛】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質、一次函數(shù)與一元一次不等式的關系，熟練掌握一次函數(shù)的性質，（2）注意分類討論思想的運用，（3）得到y(tǒng)1∥y2，且直線【變式7-2】（2023秋·安徽·八年級期末）八個邊長為1的正方形如圖擺放在平面直角坐標系中，經過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，設直線l和八個正方形的最上面交點為A，則直線l的解析式是.【答案】y=【分析】如圖，利用正方形的性質得到B(0,3)，由于直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，則SΔAOB=5，然后根據(jù)三角形面積公式計算出AB的長，從而可得A點坐標．再由待定系數(shù)法求出直線l【詳解】解：如圖，∵經過原點的一條直線l將這八個正方形分成面積相等的兩部分，∴S而OB=3，∴12∴AB=10∴A點坐標為(103，設直線l的解析式為y=kx，∴103k=3，解得∴直線l的解析式為y=故答案為y=9【點睛】本題考查了坐標與圖形性質和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式．由割補法得SΔAOB=5求分割點A【變式7-3】（2023秋·廣東深圳·八年級校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象與x軸交于點A5,0，與一次函數(shù)y(1)求一次函數(shù)y1=kx+b(2)C為x軸上點A右側一個動點，過點C作y軸的平行線，與一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的圖象交于點D，與一次函數(shù)y2=23x+2(3)直線y=kx-k經過定點1,0，當直線與線段AB（含端點）有交點時k的正整數(shù)值是.【答案】(1)y(2)DE=8(3)k=1或2【分析】（1）先求得點B的坐標，再運用待定系數(shù)法即可得到一次函數(shù)y1=kx+b（2）設點C的橫坐標為m，點D、E分別在y1、y2上，則Dm,-2m+10，Em,23m+2），由（3）由圖可知，將點B和點A代入直線y=kx-k，可確定k的范圍，參考題意k取正整數(shù)值．【詳解】（1）當x=3時，y2∴B點坐標為3,4，直線y1=kx+b經過A5,0則5k+b=03k+b=4解得：k=-2b=10∴一次函數(shù)y1=kx+bk≠0的解析式為（2）設點C的橫坐標為m，則Dm,-2m+10，E∴CE=23m+2∵CE=3CD，∴23m+2=32m-10∴D6,-2，E∴DE=8．（3）∵3k-k≤45k-k≥0∴解得0≤k≤2，∵k取正整數(shù)值，∴k=1或2．【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，函數(shù)圖象上點的坐標特征，一次函數(shù)與一元一次不等式，兩點的距離等知識，靈活運用這些知識解決問題是本題的關鍵．【題型8一次函數(shù)中的新定義問題】【例8】（2023春·吉林長春·八年級?？计谥校┤鐖D，在平面直角坐標系中，已知點A(-2,0)，B(-2,2)，C(2,0)，D(2,4)，給出定義：若直線l與線段AB，CD都有公共點，則稱直線l是線段AB，CD的“友好直線”．若直線y=12x+b是線段AB，CD的“友好直線”，則b【答案】1≤b≤3【分析】分別作直線BD∥l，AE∥BD，求得yBD=12【詳解】連接BD，∵直線y=12x+b設直線BD的解析式為：yBD將B(-2,2)代入上式可得：2=1解得：m=3，∴直線BD的解析式為：yBD又yBD=1∴當b≤3時，y=12x+b是線段AB，CD的“作AE∥BD交CD于點E，可設yAE要使yAE=12x+n需要將點A(-2,0)代入上式可得：0=1解得：n=1，∴yAE∴b≥1時，y=12x+b是線段AB，CD的“∴1≤b≤3，故答案為：1≤b≤3．【點睛】本題考查用待定系數(shù)法求解析式以及一次函數(shù)圖象上的坐標特征，解題的關鍵是理解題意，作出符合題意的函數(shù)圖象，利用數(shù)形結合的數(shù)學思想．【變式8-1】（2023春·四川成都·八年級成都嘉祥外國語學校?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺讼抵校阎叫蜲ABC，其中點A(-4,0)，B(-4,4)，C(0,4)．給出如下定義：若點P向上平移2個單位，再向左平移3個單位后得到P'，點P'在正方形OABC的內部或邊上，則稱點P為正方形OABC的“和諧點”，若在直線y=kx+6上存在點Q，使得點Q是正方形OABC的“和諧點”，則k的取值范圍是【答案】k≥4或k≤-【分析】由在直線y=kx+6上存在點Q，使得點Q是正方形OABC的“和諧點”，可知Q'在直線y=k(x+3)+8上，求得直線經過點B和C時的k的值，即可求得k【詳解】解：直線y=kx+6向上平移2個單位，再向左平移3個單位后得到y(tǒng)=k(x+3)+8，把B(-4,4)代入得-k+8=4，解得k=4，把C(0,4)代入得3k+8=4，解得k=-4∴k≥4或k≤-4故答案為：k≥4或k≤-4【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象和系數(shù)的關系，一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，坐標與圖形變化-平移，能夠理解題意是解題的關鍵．【變式8-2】（2023春·江西撫州·八年級統(tǒng)考期末）定義運算min{a，b}，當a≥b時，min{a，b}＝b；當a＜b時，min{a，b}＝a；如：min{4，0}＝0；min{2，2}＝2；min{﹣3，﹣1}＝﹣3．根據(jù)該定義運算完成下列問題：(1)min{﹣3，2}＝，當x≤2時，min{x，2}＝；(2)如圖，已知直線y1＝x+m與y2＝kx﹣2相交于點P（﹣2，1），若min{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，結合圖象，直接寫出x的取值范圍是．(3)在（2）的基礎上，直線y1＝x+m交x軸于點C，交y軸于點A，直線y2＝kx﹣2交x軸于點B，求△ABP的面積．【答案】(1)－3，x(2)x≥-2(3)5【分析】（1）根據(jù)min{a，b}的定義，即可求解；（2）根據(jù)圖象，結合min{a，b}的定義即可；（3）由P（-2，1）在函數(shù)y1=x+m圖象上，可求出y1和y2的解析式，進而可得點A、B、C的坐標，由S△ABP=S△ABC－S△PBC即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)定義，得min{?3，2}＝?3，當x≤2時，min{x，2}＝x，故答案為：?3，x；（2）解：∵{x+m，kx﹣2）＝kx﹣2，根據(jù)圖象，可得x的取值范圍：x≥?2，故答案為：x≥?2；（3）解：∵P（-2，1）在函數(shù)y1=x+m圖象上，∴－2+m=1，解得m=3，∴y1=x+3，當x=0時，y=3，∴A（0，3），當y=0時，x=-3，∴C（-3，0），同理得y2=-32x－當y=0時，x=-4∴B（-43，∴S△ABP=S△ABC－S△PBC=12BC?yA-【點睛】本題考查了一次函數(shù)與新定義的綜合和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式.理解新定義的含義，并靈活運用到一次函數(shù)中是解決本題的關鍵．【變式8-3】（2023春·湖南懷化·八年級統(tǒng)考期末）在平面直角坐標系xOy中，對于任意兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)的“非常距離”，給出如下定義：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|y1﹣y2|．例如：點P1(1，2)，點P1(3，5)，因為|1﹣3|＜|2﹣5|，所以點P1與點P2的“非常距離”為|2﹣5|=3，也就是圖1中線段P1Q與線段P2Q長度的較大值（點Q為垂直于y軸的直線P1Q與垂直于x軸的直線P2Q的交點）．(1)已知點A(﹣12,0)，B為①若點A與點B的“非常距離”為2，寫出滿足條件的點B的坐標；②直接寫出點A與點B的“非常距離”的最小值；(2)如圖2，已知C是直線y=34x+3上的一個動點，點D的坐標是(0，1)，求點C與點D的“非常距離”【答案】(1)①(0,2))或(0,?2)；②1(2)87，【分析】(1)①根據(jù)點B位于y軸上，可以設點B的坐標為(0,y)，由“非常距離”的定義可以確定|0?y|=2，據(jù)此可以求得y的值；②設點B的坐標為(0,y)，-12-0≥0-y，據(jù)此即可求得點A與點B(2)設點C的坐標為x0,34x0+3，根據(jù)材料：若|x1?x2|?|y1?y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1?x2|知，C、D兩點的“非常距離”的最小值為?x0=【詳解】（1）解：①∵B為y軸上的一個動點，∴設點B的坐標為(0,y)，∵-1∴|0?y|=2，解得y=2或y=?2；∴點B的坐標是(0,2))或(0,?2)；②點A與點B的“非常距離”的最小值為12（2）解：如圖2，取點C與點D的“非常距離”的最小值時，根據(jù)運算定義“若|x1?x2|?|y1?y2|，則點P1與點P2的“非常距離”為|x1?x2|”知：|x1?x2|=|y1?y2|，即AC=AD，∵C是直線y=34x+3上的一個動點，點D的坐標是(0,1)∴設點C的坐標為x0∴?x0=34x0+2此時，x0=?87∴點C與點D的“非常距離”的最小值為：|x0|=87此時C-【點睛】本題考查了新定義的運算方法，求一次函數(shù)圖象上點的坐標，對于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件，理解本題中的“非常距離”的定義是正確解題的關鍵．【題型9一次函數(shù)的規(guī)律探究】【例9】（2023春·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標系中，點A11,1在直線y=x圖象上，過A1點作y軸平行線，交直線y=-x于點B1，以線段A1B1為邊在右側作正方形A1B1C1D1，C1D1【答案】2×【分析】通過計算可得第一個正方形的邊長為2，第二個正方形的邊長為6，……，通過探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題即可．【詳解】解：由題意，A1(1,1)，∴A∴第一個正方形的邊