專題2.5 勾股定理與線段長（壓軸題專項(xiàng)講練）（浙教版）（解析版）

專題2.5勾股定理與線段長【典例1】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點(diǎn)E、F．（1）如圖1，若AB＝13，BC＝10，求AF的長度；（2）如圖2，若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．【思路點(diǎn)撥】（1）先根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得BD＝5，由勾股定理計算可得AD的長，由等腰直角三角形性質(zhì)得DF＝5，最后由線段的差可得結(jié)論；（2）如圖2，作輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代換可得結(jié)論．【解題過程】解：（1）如圖1，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵BC＝10，∴BD＝5，Rt△ABD中，∵AB＝13，∴AD=ABRt△BDF中，∵∠CBE＝45°，∴△BDF是等腰直角三角形，∴DF＝BD＝5，∴AF＝AD﹣DF＝12﹣5＝7；（2）證明：如圖2，在BF上取一點(diǎn)H，使BH＝EF，連接CF、CH，在△CHB和△AEF中，∵BH=EF∠CBH=∠AFE=45°∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，F(xiàn)D⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．1．（2021秋?泗陽縣期末）已知直角三角形的兩條邊長分別是3和4，那么這個三角形的第三條邊的長為（）A．5 B．25 C．7 D．5或7【思路點(diǎn)撥】分兩種情況：當(dāng)3和4都是直角邊時；當(dāng)4是斜邊長時；分別利用勾股定理計算出第三邊長即可．【解題過程】解：當(dāng)3和4都是直角邊時，第三邊長為：32當(dāng)4是斜邊長時，第三邊長為：42故選：D．2．（2021秋?蘇州期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣1，點(diǎn)B表示的數(shù)是1，BC＝1，∠ABC＝90°，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，與數(shù)軸交于原點(diǎn)右側(cè)的點(diǎn)P，則點(diǎn)P表示的數(shù)是（）A．5-1 B．5-2 C．3-1 【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)勾股定理求出AC長，再根據(jù)圓的半徑相等可知AP＝AC，即可得出答案．【解題過程】解：∵BC⊥AB，∴∠ABC＝90°，∴AC=1∵以A為圓心，AC為半徑作弧交數(shù)軸于點(diǎn)P，∴AP＝AC=5∴點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣1+5故選：A．3．（2021秋?蓮池區(qū)期末）如圖，作Rt△ABC，∠C＝90°，BC＝2AC；以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交斜邊AB于點(diǎn)D；以B為圓心，以BD長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)E．若BC＝6，則CE＝（）A．9﹣35 B．35-6 C．35-3 D．3【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意勾股定理求出AB的長，由AD＝AC得出BD，再根據(jù)BE＝BD，即可求出CE的長．【解題過程】解：∵BC＝2AC，BC＝6，∴AC＝3，由勾股定理得AB=AC2∵AC＝AD，∴BD＝AB﹣AD＝35-3∵BE＝BD，∴CE＝BC﹣BE＝6﹣（35-3）＝9﹣35故選：A．4．（2021秋?鹽田區(qū)校級期末）如圖，在2×2的網(wǎng)格中，有一個格點(diǎn)△ABC，若每個小正方形的邊長為1，則△ABC的邊AB上的高為（）A．22 B．55 C．510 【思路點(diǎn)撥】如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，首先利用勾股定理求得AB的長度，然后利用等面積法求得CD的長度．【解題過程】解：如圖，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，在直角△ABE中，∠AEB＝90°，AE＝1，BE＝2，則由勾股定理知，AB=A由12AE?BC=12AB?CD知，故選：B．5．（2021秋?渝中區(qū)校級期末）在△ABC中，AB＝10，AC＝17，BC邊上的高AD＝8，則△ABC的面積為（）A．72 B．84 C．36或84 D．72或84【思路點(diǎn)撥】由勾股定理分別求出BD和CD，分AD在三角形的內(nèi)部和AD在三角形的外部兩種情況，由三角形面積公式計算即可．【解題過程】解：在Rt△ABD中，由勾股定理得：BD=AB在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD=AC分兩種情況：①如圖1，當(dāng)AD在△ABC的內(nèi)部時，BC＝15+6＝21，則△ABC的面積=12BC×AD=12②如圖2，當(dāng)AD在△ABC的外部時，BC＝15﹣6＝9，則△ABC的面積=12BC×AD=12綜上所述，△ABC的面積為36或84，故選：C．6．（2021秋?南京期末）如圖，在△ABC中，AB＝20，AC＝15，BC＝7，則點(diǎn)A到BC的距離是．【思路點(diǎn)撥】過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解題過程】解：過A作AD⊥BC交BC的延長線于D，∴∠D＝90°，∴AB2﹣BD2＝AD2＝AC2﹣CD2，∵AB＝20，AC＝15，BC＝7，∴202﹣（7+CD）2＝152﹣CD2，∴CD＝9，∴AD=AC∴點(diǎn)A到BC的距離是12，故答案為：12．7．（2021秋?乾縣期末）如圖，四邊形ABCD中，AC⊥BD于O，AB＝6，BC＝8，CD＝10，則AD＝．【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理得到：AO2+BO2＝62，CO2+BO2＝82，DO2+CO2＝102，將三個等式相加，求得AO2+DO2的值即可．【解題過程】解：∵AC⊥BD，∴由勾股定理得到：AO2+BO2＝62①，CO2+BO2＝82②，DO2+CO2＝102③，由①+②+③得：AO2+DO2+2（CO2+BO2）＝62+82+102，即AO2+DO2+2×82＝62+82+102，∴AO2+DO2＝72，∴AD2＝72，∴AD＝62．故答案為：62．8．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，△ABC的兩條角平分線AD、BE相交于點(diǎn)O，連接CO，則CO的長為．【思路點(diǎn)撥】過O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，根據(jù)角平分線的想知道的OM＝ON，推出OC平分∠ACB，得到△OCM是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解題過程】解：過O作OM⊥BC于M，OP⊥AB于P，ON⊥AC于N，∵AD和BE是△ABC的角平分線，∴OP＝OM，ON＝OP，∴OM＝ON，∴OC平分∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO＝∠BCO＝45°，∴△OCM是等腰直角三角形，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB=AC∴S△ABC=12AC?BC=12×（AB+AC+∴6×8＝（10+6+8）×OM，∴OM＝2，∴OC=OM2故答案為：22．9．（2021秋?徐匯區(qū)期末）如果三角形有一邊上的中線長恰好等于這邊的長，那么稱這個三角形為“好玩三角形”，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，若Rt△ABC是“好玩三角形”，則AB＝．【思路點(diǎn)撥】分兩種情形：分別是AC上的中線BD＝AC，BC上的中線AE＝BC，分別畫出圖形，利用勾股定理解決問題即可．【解題過程】解：如圖，當(dāng)AC上的中線BD＝AC時，∵AC＝2，∴BD＝2，CD＝1，在Rt△BDC中，由勾股定理得，BC=3在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=A當(dāng)BC上的中線AE＝BC時，設(shè)CE＝x，則AE＝BC＝2x，在Rt△ACE中，由勾股定理得，x2+22＝（2x）2，∵x＞0，∴x=2∴BC=4在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB=A∵直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故不符合題意，故答案為：7或22110．（2021秋?鼓樓區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，AD⊥BC，垂足為D．求AD，BD的長．【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)勾股定理求出BC的長，再利用三角形面積公式得出12AB?AC=12BC?AD【解題過程】解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，∴BC=AB∵S△ABC=12AB?AC=12∴AB?AC＝BC?AD，∴15×20＝25AD，∴AD＝12；∵AD⊥BC，∴BD=AB11．（2020秋?寶山區(qū)校級期末）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，AB＝1，BC=3，CD＝2，求AD【思路點(diǎn)撥】在直角三角形ABC中勾股定理求出AC的長度，在直角三角形ACD中利用勾股定理求出AD的長即可．【解題過程】解：如圖，連接AC，∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC=3∴AC=AB∴AB=12又∵∠BCD＝120°，∴∠ACD＝120°﹣30°＝90°．∵CD＝2，∴AD=AC2+CD2=212．（2021秋?靖江市校級期中）如圖，在△ABC中，AB＝25，BC＝28，AC＝17，求△ABC的面積．【思路點(diǎn)撥】過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)勾股定理列式求出BD，再根據(jù)勾股定理求出AD，根據(jù)三角形的面積公式計算，得到答案．【解題過程】解：過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB2﹣BD2＝AD2，在Rt△ACD中，AC2﹣CD2＝AD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2，即252﹣BD2＝172﹣（28﹣BD）2，解得：BD＝20，∴AD=AB∴S△ABC=12×28×1513．（2021春?鐵西區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝135°，BC＝6，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，連接DC，若DC⊥BC，求AB的長．【思路點(diǎn)撥】取AC的中點(diǎn)E，連接DE，構(gòu)造三角形中位線和等腰直角△EDC，則ED=12BC＝3，ED＝DC；在直角△BCD中，利用勾股定理來求【解題過程】解：如圖，取AC的中點(diǎn)E，連接DE，∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，BC＝6，∴DE∥BC，且DE=12BC＝∵DC⊥BC，∴DC⊥DE．∵∠ACB＝135°，∠DCB＝90°，∴∠DCE＝135°﹣90°＝45°．∴∠DEC＝∠DCE＝45°．∴DE＝DC＝3．在直角△BCD中，由勾股定理知：BD=BC2∴AB＝2BD＝65．14．（2021秋?新吳區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．延長DE交BC的延長線于點(diǎn)F，連接AF．（1）求AD的長；（2）求AF的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理得到AB=AC2+BC2（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BF＝AF，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．【解題過程】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝2，∴AB=A∵AB的中垂線DE交AB于點(diǎn)D，∴AD=12AB（2）∵DF是線段AB的垂直平分線，∴BF＝AF，∴CF＝BF﹣BC＝AF﹣1，∵∠ACF＝90°，∴CF2+AC2＝AF2，∴（AF﹣1）2+22＝AF2，∴AF=5故AF的長為5215．（2021秋?門頭溝區(qū)期末）已知，如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，過D作DE∥AC交AB于E．（1）求證：AE＝DE；（2）如果AC＝3，AD=23，求AE【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義解答即可；（2）過點(diǎn)D作DF⊥AB于F，根據(jù)勾股定理和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．【解題過程】（1）證明：∵DE∥AC，∴∠CAD＝∠ADE，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAD．∴∠EAD＝∠ADE．∴AE＝DE；（2）解：過點(diǎn)D作DF⊥AB于F．∵∠C＝90°，AC＝3，AD=23在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+DC2＝AD2．∴DC=3∵AD平分∠BAC，∴DF＝DC=3又∵AD＝AD，∠C＝∠AFD＝90°，∴Rt△DAC≌Rt△DAF（HL）．∴AF＝AC＝3，∴Rt△DEF中，由勾股定理得EF2+DF2＝DE2．設(shè)AE＝x，則DE＝x，EF＝3﹣x，∴(3-x)∴x＝2．∴AE＝2．16．（2021秋?石景山區(qū)期末）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6．AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D．（1）求BC的長；（2）求CD的長．【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)勾股定理解答即可；（2）根據(jù)AAS證明△AED和△ACD全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理解答即可．【解題過程】解：（1）在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，由勾股定理得：BC=A（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，如圖．∴∠DEA＝90°＝∠C（垂直定義）．∵AD平分∠CAB（已知），∴∠1＝∠2（角平分線定義）．在△AED和△ACD中，∠DEA=∠C∠2=∠1∴△AED≌△ACD（AAS）．∴AE＝AC＝6，DE＝DC（全等三角形的對應(yīng)邊相等）．∴BE＝AB﹣AE＝4．設(shè)CD＝x，則DE＝x，DB＝8﹣x．在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，由勾股定理，得（8﹣x）2＝x2+42．解得x＝3．即CD＝3．17．（2021春?歙縣月考）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD＝12，∠A＝60°，∠D＝150°，已知四邊形的周長為42，求四邊形ABCD的面積．【思路點(diǎn)撥】連接BD，易證△ABD是等邊三角形，△BCD是直角三角形，因而只要求出CD與BD的長就可以求出結(jié)果．【解題過程】解：連接BD，作DE⊥AB于E，∵AB＝AD＝12，∠A＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∠ADE＝30°，∴AE＝BE=12AB＝6，∠ADB＝在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，∴DE=AD2∴S△ABD=12AB?DE=12×∵∠ADC＝150°，∴∠CDB＝∠ADC﹣∠ADB＝150°﹣60°＝90°，∴△BCD是直角三角形，又∵四邊形的周長為42，∴CD+BC＝42﹣AD﹣AB＝42﹣12﹣12＝18，設(shè)CD＝x，則BC＝18﹣x，在Rt△ADE中，BC2＝CD2+BD2，∴122+x2＝（18﹣x）2，解得x＝5，∴S△BDC=12×12×5∴S四邊形ABCD＝S△ABD+S△BDC＝363+3018．（2021秋?如皋市期末）如圖，在△ABC中，AC＝5，E為BC邊上一點(diǎn)，且CE＝1，AE=26，BE＝4，點(diǎn)F為AB邊上的動點(diǎn)，連接EF（1）求AB的長；（2）當(dāng)△BEF為等腰三角形時，求AF的長．【思路點(diǎn)撥】（1）證出∠ACE＝90°，由勾股定理可求出答案；（2）分三種情況，由勾股定理可求出答案．【解題過程】解：（1）∵AC＝5，CE＝1，AE=26∴AC2+CE2＝26，AE2＝26，∴AC2+CE2＝AE2，∴∠ACE＝90°，∵BC＝CE+BE＝5，AC＝5，∴AB=AC2（2）①當(dāng)BF＝BE＝4時，AF＝AB﹣BF＝52-4②如圖，當(dāng)BF＝EF時，有∠FEB＝∠B＝45°，∴∠BFE＝90°，BF＝EF，設(shè)BF＝EF＝x，∵BF2+EF2＝BE2，∴x2+x2＝42，∴x＝22（負(fù)值舍去），∴AF＝AB﹣BF＝52-22=3③如圖，當(dāng)BE＝EF時，有∠EFB＝∠B＝45°，∴∠BEF＝90°，EF＝BE＝4，∴BF=BE2∴AF＝AB﹣BF＝52-4綜上所述，AF的長為52-4或32或219．（2021秋?南陽期末）已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BC以1cm/s的速度移動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒．（1）求BC邊的長；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時，求t的值；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時，求t的值．【思路點(diǎn)撥】（1）直接根據(jù)勾股定理求出BC的長度；（2）當(dāng)△ABP為直角三角形時，分兩種情況：①當(dāng)∠APB為直角時，②當(dāng)∠BAP為直角時，分別求出此時的t值即可；（3）當(dāng)△ABP為等腰三角形時，分三種情況：①當(dāng)AB＝BP時；②當(dāng)AB＝AP時；③當(dāng)BP＝AP時，分別求出BP的長度，繼而可求得t值．【解題過程】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由題意知BP＝tcm，①當(dāng)∠APB為直角時，點(diǎn)P與點(diǎn)C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②當(dāng)∠BAP為直角時，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：