專題04 全等三角形（解析版）

專題04全等三角形考點(diǎn)一全等三角形的性質(zhì)及其應(yīng)用【知識點(diǎn)睛】全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等推論：全等三角形等邊邊上的高線、中線、對應(yīng)角的角平分線分別相等全等三角形的面積和周長也分別相等【類題訓(xùn)練】1．若△ABC≌△DEF，且∠A＝50°，∠B＝60°，則∠F的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠F即可．【解答】解：∵△ABC≌△DEF，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠D＝∠A＝50°，∠E＝∠B＝60°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠E＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故選：C．2．如圖，△ABC≌△DEC，點(diǎn)E在AB邊上，∠B＝70°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．45° D．50°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE＝CB，進(jìn)一步可得∠CEB＝∠B＝70°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BCE的度數(shù)．【解答】解：∵△ABC≌△DEC，∴CE＝CB，∵∠B＝70°，∴∠CEB＝70°，∴∠BCE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，故選：B．3．如圖．點(diǎn)D、E在BC上，△ABE≌△ACD，BC＝10，DE＝4，則BD的長是（）A．6 B．5 C．4 D．3【分析】由全等三角形的性質(zhì)可得BE＝CD，然后求得CD的長，從而求得BD的長即可求解．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∴BE＝CD，∴BE+CD＝BC+DE＝14，∴2CD＝14，∴CD＝7，∴BD＝BC﹣DC＝10﹣7＝3，故選：D．4．如圖，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，不正確的等式是（）A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，全等三角形的對應(yīng)邊相等，全等三角形的對應(yīng)角相等，即可進(jìn)行判斷．【解答】解：∵△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，∴AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，BE＝DC，AD＝AE，故A、B、C正確；AD的對應(yīng)邊是AE而非DE，所以D錯誤．故選：D．5．已知△ABC的三邊長分別為3，4，5，△DEF的三邊長分別為3，3x﹣2，2x+1，若這兩個三角形全等，則x的值為（）A．2 B．2或 C．或 D．2或或【分析】首先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：∵△ABC與△DEF全等，∴3+4+5＝3+3x﹣2+2x+1，解得：x＝2，故選：A．6．如圖，已知方格紙中是4個相同的正方形，則∠1與∠2的和為（）A．100° B．90° C．60° D．45°【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠1＝∠AEDF，再根據(jù)余角的定義可得∠EDF+∠2＝90°，再根據(jù)等量代換可得∠1與∠2的和為90°．【解答】解：在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌△FDE（SAS），∴∠1＝∠EDF，∵∠EDF+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故選：B．7．如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中AD＝0.5，BC＝1，則AF＝．【分析】由圖形知，所示的圖案是由梯形ABCD和七個與它全等的梯形拼接而成，根據(jù)全等圖形的性質(zhì)有AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6．【解答】解：由題可知，圖中有8個全等的梯形，所以AF＝4AD+4BC＝4×0.5+4×1＝6，故答案為：6．8．如圖，△ABD≌△EBC，則下列結(jié)論中：①CD⊥AE；②AD⊥CE；③∠EAD＝∠ECD；正確的有（只填序號）．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)可以判斷各個小題中的結(jié)論是否成立，從而可以解答本題．【解答】解：延長AD交EC于點(diǎn)N，延長CD交AE于點(diǎn)M，∵△ABD≌△EBC，∴∠ABD＝∠EBC，AB＝EB，BD＝BC，∠DAB＝∠CEB，∵∠ABD+∠EBC＝180°，∠BAE＝∠BEA，∠BDC＝∠BCD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°，∴∠BAE＝∠BEA＝45°，∠BDC＝∠BCD＝45°，∴∠BAE+∠BCD＝90°，∴∠AMC＝90°，∴CD⊥AE，故①正確；∵∠CEB+∠ECB＝90°，∠BAD＝∠BEC，∴∠BAD+∠ECB＝90°，∴∠ANC＝90°，∴AD⊥CE，故②正確；∵∠ADB＝∠EAD+∠AED＝∠EAD+45°，∠ECB＝∠ECD+∠BCD＝∠ECD+45°，∠ADB＝∠ECB，∴∠EAD＝∠ECD，故③正確；故答案為：①②③．9．如圖，已知△ABC≌△EDF，點(diǎn)F，A，D在同一條直線上，AD是∠BAC的平分線，∠EDA＝20°，∠F＝60°，則∠DAC的度數(shù)是．【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠B＝∠EDF，∠C＝∠F，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，再根據(jù)角平分線的定義求出即可．【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∴∠B＝∠EDF，∠C＝∠F，∵∠EDA＝20°，∠F＝60°，∴∠B＝20°，∠C＝60°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝100°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠DAC＝BAC＝50°，故答案為：50°．10．如圖，△ABC≌△ADE，線段BC的延長線過點(diǎn)E，與線段AD交于點(diǎn)F，∠ACB＝∠AED＝105°，∠CAD＝5°，∠B＝50°，則∠DEF的度數(shù)．【分析】由△ACB的內(nèi)角和定理求得∠CAB＝25°；然后由全等三角形的對應(yīng)角相等得到∠EAD＝∠CAB＝25°．則結(jié)合已知條件易求∠EAB的度數(shù)；最后利用△AEB的內(nèi)角和是180度和圖形來求∠DEF的度數(shù)．【解答】解：∵∠ACB＝105°，∠B＝50°，∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣105°＝25°．又∵△ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠CAB＝25°．又∵∠EAB＝∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD＝5°，∴∠EAB＝25°+5°+25°＝55°，∴∠AEB＝180°﹣∠EAB﹣∠B＝180°﹣55°﹣50°＝75°，∴∠DEF＝∠AED﹣∠AEB＝105°﹣75°＝30°．故答案為：30°12．如圖，兩個全等的直角三角形重疊在一起，將其中的一個三角形沿著點(diǎn)B到C的方向平移到△DEF的位置，AB＝10，DO＝4，平移距離為6，則陰影部分面積為．【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)得出BE＝6，DE＝AB＝10，則OE＝6，則陰影部分面積＝S四邊形ODFC＝S梯形ABEO，根據(jù)梯形的面積公式即可求解．【解答】解：由平移的性質(zhì)知，BE＝6，DE＝AB＝10，∴OE＝DE﹣DO＝10﹣4＝6，∴S四邊形ODFC＝S梯形ABEO＝（AB+OE）?BE＝（10+6）×6＝48．故答案為48．13．如圖，△ABE≌△DCE，點(diǎn)E在線段AD上，點(diǎn)F在CD延長線上，∠F＝∠A，求證：AD∥BF．【分析】根據(jù)△ABE≌△DCE得到∠A＝∠ADC，然后利用∠F＝∠A得到∠F＝∠EDC，利用同位角相等，兩直線平行證得結(jié)論．【解答】證明：∵△ABE≌△DCE，∴∠A＝∠ADC，∵∠F＝∠A，∴∠F＝∠EDC，∴AD∥BF．13．∠B＝∠D＝90°，△ABC≌△CDE，B、C、D三點(diǎn)共線．試說明：∠ACE＝90°．【分析】根據(jù)Rt△ABC≌Rt△CDE可得∠BCA＝∠CED，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠CED+∠ECD＝90°，進(jìn)而得到∠BCA+∠ECD＝90°，再根據(jù)角之間的關(guān)系可得∠ACE＝90°．【解答】證明：∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BCA＝∠CED，∵△DCE是直角三角形，∴∠CED+∠ECD＝90°，∴∠BCA+∠ECD＝90°，∴∠ACE＝180°﹣90°＝90°．14．如圖，△ABC≌△ADE，BC的延長線分別交AD，DE于點(diǎn)F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度數(shù)．【分析】先根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠BAC＝∠DAE，由于∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，則可計(jì)算出∠BAC＝55°，所以∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可得∠DFB＝∠BAF+∠B＝90°，∠DGB＝65°．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∵∠EAB＝120°，∴∠DAE+∠CAD+∠BAC＝120°，∵∠CAD＝10°，∴∠BAC＝（120°﹣10°）＝55°，∴∠BAF＝∠BAC+∠CAD＝65°，∴∠DFB＝∠BAF+∠B＝65°+25°＝90°；∵∠DFB＝∠D+∠DGB，∴∠DGB＝90°﹣25°＝65°．考點(diǎn)二全等三角形的判定及選擇【知識點(diǎn)睛】全等三角形的判定的書寫步驟：①.推導(dǎo)條件；②羅列條件；③得到全等全等三角形的判定方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（只有Rt△可用）全等三角形判定方法的選擇：簡寫選擇證明條件判定方法已知兩組對應(yīng)邊相等夾角相等SAS第三邊相等SSS已知一角和相鄰一邊對應(yīng)相等相等邊的對角相等AAS相等邊的鄰角相等ASA已知兩角對應(yīng)相等夾邊相等ASA其中一個等角的對邊相等AAS特別注意：幾何題目中，注意隱含條件的充分利用（如平角=180°、對頂角相等、三角形內(nèi)角和為180°、公共邊、公共角等）全等三角形的判定問題中，牢記兩句話：證邊相等，就證它們所在的三角形全等；證角相等，就證它們所在的三角形全等【類題訓(xùn)練】1．我國傳統(tǒng)工藝中，油紙傘制作非常巧妙，其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識．如圖是油紙傘的張開示意圖，AE＝AF，GE＝GF，則△AEG≌△AFG的依據(jù)是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【解答】解：在△AEG和△AFG中，，∴△AEG≌△AFG（SSS），故選：D．2．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一條直線上，AC∥DF，AC＝DF，添加以下條件，仍不能使△ABC≌△DEF的是（）A．∠A＝∠D B．AB＝DE C．AB∥DE D．BF＝EC【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，根據(jù)BF＝CE求出BC＝EF，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個判斷即可．【解答】解：∵AC∥DF，∴∠ACB＝∠DFE，A．∠A＝∠D，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；B．AB＝DE，AC＝DF，∠ACB＝∠DFE，不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)符合題意；C．∵AB∥DE，∴∠B＝∠E，∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∵BF＝CE，∴BF+CF＝CE+CF，即BC＝EF，BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，AC＝DF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．3．如圖，一塊玻璃碎成三片，小智只帶了第③塊去玻璃店，就能配一塊一模一樣的玻璃，你能用三角形的知識解釋，這是為什么？（）A．ASA B．AAS C．SAS D．SSS【分析】根據(jù)全等三角形的判定，已知兩角和夾邊，就可以確定一個三角形．【解答】解：根據(jù)三角形全等的判定方法，根據(jù)角邊角可確定一個全等三角形，只有第三塊玻璃包括了兩角和它們的夾邊，只有帶③去才能配一塊完全一樣的玻璃，是符合題意的．故選：A．4．下列說法不正確的是（）A．兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 B．一銳角和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 C．斜邊和一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等 D．有兩邊相等的兩個直角三角形全等【分析】根據(jù)直角三角形全等的判定方法：SAS，AAS，HL，逐一判斷即可解答．【解答】解：A、兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，可根據(jù)SAS來判斷，故A不符合題意；B、一銳角和斜邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，可根據(jù)AAS來判斷，故B不符合題意；C、斜邊和一直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，可根據(jù)HL來判斷，故C不符合題意；D、如果第一個直角三角形的兩條直角邊分別為3，4，第二個直角三角形一條直角邊為3，斜邊為4，那么這兩個直角三角形不全等，故D符合題意；故選：D．5．如圖，BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C＝62°，∠BDE＝75°，則∠AFE的度數(shù)等于（）A．148° B．140° C．135° D．128°【分析】證明△ABC≌△EDB（SAS），求出∠A＝∠E＝43°，求出∠ADE，則答案可求出．【解答】解：∵BD＝BC，BE＝CA，∠DBE＝∠C，∴△ABC≌△EDB（SAS），∴∠A＝∠E，∵∠DBE＝62°，∠BDE＝75°，∴∠E＝180°﹣62°﹣75°＝43°，∴∠A＝43°，∵∠BDE+∠ADE＝180°，∴∠ADE＝105°，∴∠AFE＝∠ADE+∠A＝105°+43°＝148°．故選：A．6．如圖，AD∥MN∥BC，∠ADC＝90°，AD＝BC，那么，圖中的全等三角形共有（）A．1對 B．2對 C．3對 D．4對【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，求出∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，再根據(jù)全等三角形的判定定理SAS推出△ADC≌△BCD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)定理得出AC＝BD，∠A＝∠B，根據(jù)全等三角形的判定定理AAS推出△ADM≌△BCM，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DM＝CM，求出DN＝CN，再根據(jù)全等三角形的判定定理SSS得出△MDN≌△MCN即可．【解答】解：∵AD∥MN∥BC，∴∠ADC+∠BCD＝90°，∠MND＝∠BCD，∠MNC＝∠ADC，∵∠ADC＝90°，∴∠BCD＝∠MNC＝∠MND＝90°＝∠ADC，在△ADC和△BCD中，，∴△ADC≌△BCD（SAS），∴AC＝BD，∠A＝∠B，在△ADM和△BCM中，，∴△ADM≌△BCM（AAS），∴DM＝CM，∵M(jìn)N⊥DC，∴DN＝CN，在△MDN和△MCN中，，∴△MDN≌△MCN（SSS），即全等三角形有3對，故選：C．7．如圖，用紙板擋住部分直角三角形后，能畫出與此直角三角形全等的三角形，其全等的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法解決此題．【解答】解：由圖得：遮擋住的三角形中露出兩個角及其夾邊．∴根據(jù)三角形的判定方法ASA可解決此題．故選：C．8．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，則下列各圖中的直角三角形與Rt△ABC全等的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)判定直角三角形全等的條件：SSS，SAS，ASA，AAS，HL可篩選出答案．【解答】解：A、∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，AC＝2，此選項(xiàng)利用ASA能判定三角形全等，故此選項(xiàng)正確；B、只有一對邊與一對角相等不能判定三角形全等，故此選項(xiàng)錯誤；C、∵∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，∴AC＝2，是30°角所對的直角邊，而此選項(xiàng)中是60°角所對的直角邊是2，不能判定三角形全等，故此選項(xiàng)錯誤；D、此選項(xiàng)對應(yīng)邊不相等，不能判定三角形全等，故此選項(xiàng)錯誤．故選：A．9．如圖所示，P，Q分別是BC，AC上的點(diǎn)，作PR⊥AB于R點(diǎn)，作PS⊥AC于S點(diǎn)，若AQ＝PQ，PR＝PS，下面三個結(jié)論：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△CSP，正確的是（）A．①和③ B．②和③ C．①和② D．①，②和③【分析】根據(jù)角平分線的判定，先證AP是∠BAC的平分線，再證△APR≌△APS（HL），可證得AS＝AR，QP∥AR成立．【解答】解：連接AP，∵PR＝PS，∴AP是∠BAC的平分線，∴△APR≌△APS（HL）∴AS＝AR，①正確．∵AQ＝PQ∴∠BAP＝∠QAP＝∠QPA∴QP∥AR，②正確．BC只是過點(diǎn)P，并沒有固定，明顯△BRP≌△CSP③不成立．故選：C．10．如圖，小明想測量池塘兩端A，B間的距離，為了安全起見，小明借助全等三角形的知識，用了這樣一個間接測量A，B間的距離方法：在地上取一點(diǎn)可以直接到達(dá)A點(diǎn)和B點(diǎn)的點(diǎn)C，測得AC長20m，BC長為20m，在AC的延長線上找一點(diǎn)D，使得CD長為20m，在BC的延長線上找一點(diǎn)E，使得CE長為20m，又測得此時D和E的距離為25m，根據(jù)小明的數(shù)據(jù)，可知A，B之間的距離為m．【分析】由題意知AC＝DC，BC＝EC，根據(jù)∠ACB＝∠DCE即可證明△ABC≌△DEC，即可得AB＝DE，即可解題．【解答】解：由題意知AC＝DC，BC＝EC，且∠ACB＝∠DCE，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（SAS），∴DE＝AB，∵DE＝25m，∴AB＝25m．故答案為：25．11．已知：如圖，在△ABC中，三角形的兩條高AH，CG交于點(diǎn)F，且AG＝CG，求證：GF＝GB．【分析】由“ASA”可證△AGF≌△CGB，可得GF＝GB．【解答】證明：∵三角形的兩條高AH，CG交于點(diǎn)F，∴∠AGC＝∠AHB＝90°，∴∠B+∠BAH＝90°＝∠B+∠BCG，∴∠BAH＝∠BCG，在△AGF和△CGB中，，∴△AGF≌△CGB（ASA），∴FG＝BG．12．如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E為對角線BD上一點(diǎn)，∠A＝∠BEC，∠ABD＝∠BCE，且AD＝BE．（1）證明：①△ABD≌△ECB；②AD∥BC；（2）若BC＝15，AD＝6，請求出DE的長度．【分析】（1）①由AAS證明△ABD與△ECB全等即可；②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可；（2）根據(jù)△ABD與△ECB全等的性質(zhì)解答即可．【解答】（1）證明：①在△ABD與△ECB中，，∴△ABD≌△ECB（AAS）；②由①得，△ABD≌△ECB，∴∠ADB＝∠EBC，∴AD∥BC；（2）解：∵△ABD≌△ECB，∴BD＝BC＝15，BE＝AD＝6，∴DE＝BD﹣BE＝15﹣6＝9．13．如圖，點(diǎn)E在線段CD上，EA，EB分別平分∠DAB和∠CBA，點(diǎn)F在線段AB上運(yùn)動，AD＝4cm，BC＝3cm，且AD∥BC．（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到離點(diǎn)A多少厘米時，△ADE和△AFE全等？為什么？（2）在（1）的情況下，此時BF＝BC嗎？為什么？求出AB的長．【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到離點(diǎn)A為4cm（即AF＝AD＝4cm）時，即可證明△ADE≌△AFE；（2）證明△ECB≌△EFB，可得BF＝BC．再由AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，即可得AB的長．【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動到離點(diǎn)A為4cm（即AF＝AD＝4cm）時，△ADE≌△AFE，理由如下：∵EA、EB分別平分∠DAB和∠CBA，∴∠DAE＝∠FAE，∠FBE＝∠CBE，在△AFE與△ADE中，，∴△AFE≌△ADE（SAS）；（2）BF＝BC，理由如下：∵△AFE≌△ADE，∴∠D＝∠AFE，∵AD∥BC，∴∠D+∠C＝180°，∵∠AFE+∠BFE＝180°，∴∠C＝∠BFE，在△ECB與△EFB中，，∴△ECB≌△EFB（AAS），∴BF＝BC；∵AF＝AD＝4cm，BF＝BC＝3cm，∴AB＝AF+BF＝3+4＝7（cm）．14．已知：AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)E為直線BC上一點(diǎn)，BD＝DE，過點(diǎn)E作EF∥AB交直線AC于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)F在邊AC的延長線上時，如圖①易證AF+EF＝AB；當(dāng)點(diǎn)F在邊AC上，如圖②；當(dāng)點(diǎn)F在邊AC的延長線上，AD是△ABC的外角平分線時，如圖③．寫出AF、EF與AB的數(shù)量關(guān)系，并對圖②進(jìn)行證明．【分析】（1）延長AD、EF交于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線可得∠BAD＝∠CAD，再由平行線性質(zhì)可得∠G＝∠BAD，等量代換可得∠G＝∠CAD，利用等角對等邊可得：FG＝AF，再證明△ABD≌△GED（AAS），即可證得結(jié)論；（2）如圖2，延長AD、EF交于點(diǎn)G，運(yùn)用角平分線和平行線證得FG＝AF，再證明△ABD≌△GED（AAS），即可證得結(jié)論；（3）如圖3，延長AD交EF于點(diǎn)G，運(yùn)用角平分線和平行線證得FG＝AF，再證明△ABD≌△GED（AAS），即可證得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖①，延長AD、EF交于點(diǎn)G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠G＝∠BAD，∴∠G＝∠CAD，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB＝GE，∵GE＝FG+EF＝AF+EF，∴AF+EF＝AB；（2）結(jié)論：AF﹣EF＝AB．證明：如圖②，延長AD、EF交于點(diǎn)G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠G＝∠BAD，∴∠G＝∠CAD，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（AAS），∴AB＝GE，∵GE＝FG﹣EF＝AF﹣EF，∴AF﹣EF＝AB；（3）結(jié)論：EF﹣AF＝AB．證明：如圖③，延長AD交EF于點(diǎn)G，∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠CAD，∵EF∥AB，∴∠AGF＝∠PAD，∴∠AGF＝∠CAD，∠ABD＝∠GED，∴FG＝AF，在△ABD和△GED中，，∴△ABD≌△GED（ASA），∴AB＝GE，∵EF﹣FG＝GE，∴EF﹣AF＝AB；考點(diǎn)三全等三角形的性質(zhì)與判定的綜合【知識點(diǎn)睛】全等三角形的性質(zhì)與判定常常一起考察，通常問題中判定出兩三角形全等之后，緊跟著就要用到全等三角形的性質(zhì)【類題訓(xùn)練】1．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝4，那么邊AB的取值范圍為（）A．1＜AB＜9 B．3＜AB＜13 C．5＜AB＜13 D．9＜AB＜13【分析】作輔助線（延長AD至E，使DE＝AD＝4，連接BE）構(gòu)建全等三角形△BDE≌△ADC（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)邊相等知BE＝AC＝5；而三角形的兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可以求得AB的取值范圍．【解答】解：延長AD至E，使DE＝AD＝4，連接BE．則AE＝8，∵AD是邊BC上的中線，D是中點(diǎn)，∴BD＝CD；又∵DE＝AD，∠BDE＝∠ADC，∴△BDE≌△ADC，∴BE＝AC＝5；由三角形三邊關(guān)系，得AE﹣BE＜AB＜AE+BE，即8﹣5＜AB＜8+5，∴3＜AB＜13；故選：B．2．如圖，AD是△ABC的中線，E，F(xiàn)分別是AD和AD延長線上的點(diǎn)，且DE＝DF，連接BF，CE、下列說法：①CE＝BF；②△ABD和△ACD面積相等；③BF∥CE；④△BDF≌△CDE．其中正確的有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)題意，結(jié)合已知條件與全等的判定方法對選項(xiàng)一一進(jìn)行分析論證，排除錯誤答案．【解答】解：∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD，又∠CDE＝∠BDF，DE＝DF，∴△BDF≌△CDE，故④正確；由△BDF≌△CDE，可知CE＝BF，故①正確；∵AD是△ABC的中線，∴△ABD和△ACD等底等高，∴△ABD和△ACD面積相等，故②正確；由△BDF≌△CDE，可知∠FBD＝∠ECD∴BF∥CE，故③正確．故選：D．3．已知如圖，AD∥BC，AB⊥BC，CD⊥DE，CD＝ED，AD＝2，BC＝3，則△ADE的面積為（）A．1 B．2 C．5 D．無法確定【分析】因?yàn)橹繟D的長，所以只要求出AD邊上的高，就可以求出△ADE的面積．過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，構(gòu)造出Rt△EDF≌Rt△CDG，求出GC的長，即為EF的長，然后利用三角形的面積公式解答即可．【解答】解：過D作BC的垂線交BC于G，過E作AD的垂線交AD的延長線于F，∵∠EDF+∠FDC＝90°，∠GDC+∠FDC＝90°，∴∠EDF＝∠GDC，于是在Rt△EDF和Rt△CDG中，，∴△DEF≌△DCG，∴EF＝CG＝BC﹣BG＝BC﹣AD＝3﹣2＝1，所以，S△ADE＝（AD×EF）÷2＝（2×1）÷2＝1．故選：A．4．如圖，已知等邊△ABC中，BD＝CE，AD與BE相交于點(diǎn)P，則∠BPD的度數(shù)為（）A．45° B．55° C．60° D．75°【分析】根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，證出△ABD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BAD＝∠CBE，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC，即可得出答案．【解答】解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABD＝∠C＝60°，AB＝BC，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD＝∠CBE，∴∠BPD＝∠ABE+∠BAD＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝60°．故選：C．5．已知：如圖，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點(diǎn)C，D，E三點(diǎn)在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結(jié)論：①BD＝CE；②∠ACE+∠DBC＝45°；③BD⊥CE；④∠BAE+∠DAC＝180°．其中結(jié)論正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】①由AB＝AC，AD＝AE，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得出三角形ABD與三角形AEC全等，由全等三角形的對應(yīng)邊相等得到BD＝CE，本選項(xiàng)正確；②由三角形ABD與三角形AEC全等，得到一對角相等，由等腰直角三角形的性質(zhì)得到∠ABD+∠DBC＝45°，等量代換得到∠ACE+∠DBC＝45°，本選項(xiàng)正確；③再利用等腰直角三角形的性質(zhì)及等量代換得到BD垂直于CE，本選項(xiàng)正確；④利用周角減去兩個直角可得答案．【解答】解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，∵在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，本選項(xiàng)正確；②∵△ABC為等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°，∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ACE+∠DBC＝45°，本選項(xiàng)正確；③∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，則BD⊥CE，本選項(xiàng)正確；④∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠DAC＝360°﹣90°﹣90°＝180°，故此選項(xiàng)正確，故選：D．6．如圖，正方形ABCD被分割成2個長方形和1個正方形，要求圖中陰影部分的面積，只要知道下列圖形的面積是（）A．長方形AEFD B．長方形BEGH C．正方形CFGH D．長方形BCFE【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到S△GDF＝S△BGE，所以S陰影＝S矩形BCFE．【解答】解：如圖所示：在△GDF與△BGE中，，∴△GDF≌△BGE（SAS）．∴S△GDF＝S△BEG，則S陰影＝S△EFB＝S矩形BCFE．所以只要知道長方形BCFE的面積即可求得答案．故選：D．7．如圖，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分別為D，E，AD、CE交于點(diǎn)H，已知EH＝EB＝3，S△AEH＝6，則CH的長是（）A． B．1 C． D．2【分析】先根據(jù)△AEH的面積算出AE的長度，再根據(jù)全等三角形的知識算出CE的長度，由CE﹣HE即可求出CH的長度．【解答】解：∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴，∴AE＝4，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，又∵∠AHE＝∠CHD，∴∠EAH＝∠ECB，在△BEC和△HEA中，，∴△BEC≌△HEA（AAS），∴AE＝CE＝4，∴CH＝CE﹣EH＝4﹣3＝1，故選：B．8．如圖所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝25°，∠2＝30°，則∠3＝．【分析】求出∠BAD＝∠EAC，證△BAD≌△CAE，推出∠2＝∠ABD＝30°，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)求出即可．【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠1＝∠EAC，在△BAD和△CAE中，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠2＝∠ABD＝30°，∵∠1＝25°，∴∠3＝∠1+∠ABD＝