仿真模擬卷01-2022年高考數(shù)學(xué)仿真預(yù)測(cè)模擬試題（全國(guó)卷理科）（解析版）

2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

理科數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置

上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)

涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將

答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.已知集合4={工,2一3%-4<0},S={x|2-x>0},則4nB等于()

A.{x|-l<x<2|B.{x[2<x<4}

C.{x[l<x<2}D.{x[0<x<2}

【答案】A

【解析】

【分析】

解不等式確定集合A3,然后由交集定義計(jì)算.

【詳解】A={x|—1<x<4},B={x|x<2},AoB-(x|—1<x<21.

故選：A.

2.已知函數(shù)〃x)=/J則函數(shù),'-I)的定義域?yàn)?)

v2-4x+1

A.(—8,1)B.(—co,—1)

C.(-oo,-l)U(-l,0)D.(-oo,-l)U(Tl)

【答案】D

【解析】

【分析】

先求得函數(shù)/（X）的定義域，再運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的定義域求解方法可得選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)橐病?「所以2■'-4'>0解得x<0,所以函數(shù)/（X）的定義域?yàn)?/p>

（-00,0）,

所以函數(shù)/（"T）需滿足x—1<0且x+lwO,解得X<1且xw—1,

x+l

故選：D.

3.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5“，已知4a5=24，且％與2%的等差中項(xiàng)為I"，則

S5=（）

A.29B.31C.33D.36

【答案】B

【解析】

aiQaiQ=2a】g1

q=

試題分析：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的苜項(xiàng)為用，公比為q，由題意知,.5，解得，2，所

a?+2qq、=2x—

.—=16

以Ss=&產(chǎn)2=31,故選B.

1-9

考點(diǎn)：等比數(shù)列通項(xiàng)公式及求前〃項(xiàng)和公式.

4.如圖，網(wǎng)格上紙上小正方形邊長(zhǎng)為1,粗線是一個(gè)棱錐的三視圖，則此棱錐的體積為

A.4JJB.-C.-D.2>/3

【答案】C

【解析】

【詳解】

【分析】

試題分析：該棱錐如圖，E-ABCD,它可以看作是從正方體中截出的一部分，其體積為

考點(diǎn)：三視圖，體積.

5.下列函數(shù)中，最小正周期為萬且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)是()

A.y=cos(2x+/1B.y=sin(2x+/

C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx

【答案】A

【解析】

【分析】

求出函數(shù)的周期，函數(shù)的奇偶性，判斷求解即可.

【詳解】解：y=cos(2t+—)=-sin2x,是奇函數(shù)，函數(shù)的周期為：n,滿足題意，所以4

正確

TT

y=sin(2r+5)=cos2r,函數(shù)是偶函數(shù)，周期為：n,不滿足題意，所以8不正確；

產(chǎn)sig+cos2x=0sin(2x+(),函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為m所以C不正確；

y=siiu+cosx=^sin(x+-^),函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，周期為2m所以。不正確；

故選A.

6.若。>0,〃>0,愴。+愴〃=愴(。+〃)，則〃+〃的最小值為()

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】

試題分析：由。>0力>OJga+lgb=lgCa+b),得lg(ab)=lg(a+b),即況)=。+6,則有1+g=l,

ab

所以a+b=(1+:Xa+b)=2+±+fN2+2j3.f=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)等號(hào)成立，所以a+b的

abab\ab

最小值為4,故選C.

考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)的運(yùn)算；2、基本不等式.

7.閱讀如圖所示的程序框圖，則該算法的功能是()

A.計(jì)算數(shù)列｛2"T｝前5項(xiàng)的和B.計(jì)算數(shù)列｛2"-1｝前5項(xiàng)的和

C.計(jì)算數(shù)列｛2"—1｝前6項(xiàng)的和D.計(jì)算數(shù)列｛2"T｝前6項(xiàng)的和

【答案】D

【解析】

試題分析：第一次循環(huán),得幺=Li=2;第二次循環(huán)：月=l-2xl/=31第三次循環(huán)：幺=l+2xl+2'xl/=4；

第四;欠循環(huán)：月=1-2+2：+21=5;第五次循環(huán)：月=1-2-2?-2；-2:，=6;第六次循環(huán)：月=1-2-2:+2'24+2’，

/=7>6,不滿足循環(huán)條件，退出循環(huán)，輸出么=1-2-2：-2=2*-2,即計(jì)篁數(shù)列F標(biāo)》前6項(xiàng)的和，故選

D.

考點(diǎn)：循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖.

8.中華文化博大精深，我國(guó)古代算書《周髀算經(jīng)》中介紹了用統(tǒng)計(jì)概率得到圓周率兀的

近似值的方法.古代數(shù)學(xué)家用體現(xiàn)“外圓內(nèi)方''文化的錢幣（如圖D做統(tǒng)計(jì)，現(xiàn)將其抽象成

如圖2所示的圖形，其中圓的半徑為2c772,正方形的邊長(zhǎng)為1CM,在圓內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)，若統(tǒng)

計(jì)得到此點(diǎn)取自陰影部分的概率是P,則圓周率兀的近似值為（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何概型的方法分析陰影部分占總面積的比值,列式求解乃的表達(dá)式即可.

【詳解】圓形錢幣的半徑為2cs面積為s/=兀?22=4兀；正方形邊長(zhǎng)為1C肛面積為S=12=

1.

11

在圓形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自黑色部分的概率是P=1——，則乃=——7.

4萬4（1-/?）

故選：A.

9.設(shè)S,,是數(shù)列｛4｝的前“項(xiàng)和，滿足。；+1=2“￡,且可>0,則百皿()

A.10B.3vHc.io-3vnD.11

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系將條件轉(zhuǎn)化為s：-S3=1，再根據(jù)等差數(shù)列定義以及通項(xiàng)公式解得用,

即可得到結(jié)果.

【詳解】a；+1=2a“S“a；+1=2alsa：=1an>0a｝=1

V4+1=2《,S"；.(S“-S?_,)2+l=2⑸-S,-電,(〃>2)

???S：-S3=1,(〃N2)

因此數(shù)列｛S；｝為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1,公差為1,

即S；+>0Sn>0Sn-4n

■-S|oo=1。

故選：A

2

10.已知雙曲線c：l—方=13>0)的左、右焦點(diǎn)分別為"，F(xiàn)2,過戶2的直線分別交

雙曲線。的兩條漸近線于點(diǎn)M,N兩點(diǎn).若點(diǎn)"是線段的中點(diǎn)，且N耳，N用，則

b=()

A.1B.6C.2D.6

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件判斷出雙曲線漸近線的傾斜角為60°,由此求得。的值.

【詳解】因?yàn)镺M是的中位線，所以O(shè)M//NF],

又由g，得。MJ_N居，從而△。叫是等腰三角形,

而ZMOF2=NNOF\,

所以ZMOF2=AMON=4N0F、=60°,

即漸近線y=bx的傾斜角為60°,因此匕=tan60。=8.

故選：D

11.張衡（78年~139年）是中國(guó)東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、文學(xué)家、數(shù)學(xué)家.他的數(shù)學(xué)著作有

《算罔論》，他曾經(jīng)得出結(jié)論：圓周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方體的外接球

與內(nèi)切球上各有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B,若線段AB的最小值為百-1，利用張衡的結(jié)論可得該

正方體的外接球的表面積為（）

A.30B.loVlOC.12>/10D.36

【答案】C

【解析】

【分析】

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，正方體的內(nèi)切球半徑為廠=二，正方體的外接球半徑R=再已

22

知條件和球的表面積公式可得選項(xiàng).

【詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為。，正方體的內(nèi)切球半徑為廠=0,

2

正方體的外接球半徑R滿足：+(受a],則k二走必

⑶12J2

山題意知：R—r=BK-l，則。=2,R=也,

22

該正方體的外接球的表面積為12兀,

又因?yàn)閳A周率的平方除以十六等于八分之五，即上=3,所以兀=J而,

168

所以外接球的表面積為12M.

故選：C.

12.已知定義(7,”)的奇函數(shù)，滿足/(x)=/(2—x),若/⑴=1,則錯(cuò)誤的是

()

A./⑶=1B.4是“X)的一個(gè)周期

C./(2018)+/(2019)+/(2020)=-1D./(x)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱

【答案】A

【解析】

【分析】

對(duì)于A，/⑶=—1，故A錯(cuò)誤；對(duì)于5,/(x+4)=/(x),即4是f(x)的一個(gè)周期，

故8正確；對(duì)于C,/(2018)+/(2019)+/(2020)=-1,故C正確；對(duì)于。，的圖象

關(guān)于x=l對(duì)稱，故。正確.

【詳解】對(duì)于A,/⑶=/(-1)=一./■⑴=—1，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于8,?.-/(x+4)=/[2-(x+4)]=f(-x-2)=-f(x+2),

而f{x+2)=f[2-(x+2)]=/(-x)=-/(%),

：.f(x+4)=f(x),即4是f(x)的一個(gè)周期，故8正確；

對(duì)于C，???/(x)是奇函數(shù)，，/(0)=0,

又/(X)的一個(gè)周期為4,

,-./(2018)=/(2)=/(0)=0,7(2019)=/⑶=一1,/(2020)=/(0)=0,

.?./(2018)+/(2019)+/(2020)-1,故C正確；

對(duì)于O，■.■f(x)=f(2-x),.-./(x+l)=/[2-(x+l)]=/(l-x),

???/(x)的圖象關(guān)于X=1對(duì)稱，故。正確；

故選：A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)/(x)=(f—2)x'是幕函數(shù)，則曲線＞=1。&(%一。+，恒過定點(diǎn).

【答案】(4,3)

【解析】

【分析】

根據(jù)"函&的定義求出，的值，代入Illi線V=10g,(X一/)+/中寫出解析式，內(nèi)求|川線)‘”這

的定點(diǎn).

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=?—2)￡是幕函數(shù)，

所以f—2=l,f=3,

所以曲線〉=108,(*_。+.化為＞=1083(%—3)+3,

令x-3=1,解得x=4,

所以y=log31+3=3,

所以曲線＞恒過定點(diǎn)(4,3).

故答案為：(4,3).

14.14.已知尤＞0,y＞0,且4x-2肛+y=(),則4x+y的最小值為.

【答案】8

【解析】

【分析】

21,“21

由己知條件得出一+h=1,再將代數(shù)式4x+y與一+/相乘，展開后利用基本不等式可

y2xy2x

求得4x+y的最小值.

，-八4x+v211

【詳解】由4%-2孫+y=。，得f—-=—+—=1，

2xyy2x

'2］、RY'V/Qv,

則4x+y=（4%+y）-+—=4+—+-^>4+2——^=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=l,

2xjy2x\y2x

》=4時(shí)等號(hào)成立.

因此，4x+y的最小值為8.

故答案為：8.

15.已知經(jīng)過點(diǎn)（1,0）的直線/與拋物線j/=4x相交于A，B兩點(diǎn),點(diǎn)。（一1,一1）,且

CA1CB,則AAbC的面積為.

【答案】上叵

2

【解析】

【分析】

y2=4x

設(shè)直線/：元=m>+1,聯(lián)立〈，由CA-C5=0，利用韋達(dá)定理求得加，然后再求

x=my+1

得點(diǎn)C到I的距離及弦長(zhǎng)IAB|求解.

【詳解】設(shè)直線//=沖+1,

設(shè)點(diǎn)A（5,yJ,3（孫力）,聯(lián)立“"，得_4/改一4=0,

x=my+l

則%+%=4機(jī)，乂%二-4，

則須+々=4%2+2,x}x2=1.

由題意知瓦.甌=0，

所以（玉+1）（為+1）+（凹+1）（%+1）=（），

展開并代入化簡(jiǎn)得4m2+4團(tuán)+1=0，

所以/〃=一L

2

所以/的方程為2x+y-2=0,

點(diǎn)。到/的距離為士=1=V5,

V5

|A6|=Vl+m2-1（必+必）2-4必必=J]*〃+16=5，

--d-\AB\=-xy/5x5=^-

所以

21122

故答案為：士叵

2

16.已知數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式為%=2〃+2,將這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)擺放成如圖所示的數(shù)

n

陣，記"為數(shù)陣從左至右的〃歹IJ,從上到下的〃行共〃2個(gè)數(shù)的和，則數(shù)列《丁卜的前2020

項(xiàng)和為

%

an+\

an+2

an+\an+2“2"-1

、1010

【答案】-----

2021

【解析】

【分析】

n

每行都是等差數(shù)列,分別求和（注意用第一行的S“表示），然后求出々，對(duì)廣裂項(xiàng)后可求得

和$2020-

【詳解】由題意，設(shè)數(shù)列MJ的前〃項(xiàng)和為s“.

V數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式為an=2n+2,

，數(shù)列｛%｝是以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.

...第1行的所有項(xiàng)的和即為：

n(n-i)?

q+。2----%=5〃=4〃+2~~-2=n+3幾.

則第2行的所有項(xiàng)的和為：

q+/+,??+%+i=(4+d)+(%+[)+???+(〃〃+d)=+nd；

第3行的所有項(xiàng)的和為：

%+%+?,,+4+2=(4+2d)+(3+2d)+…+(+2z7)=+2nd；

第〃行的所有項(xiàng)的和為：

a+a

nn+\+…+4，I=[4+(/l-l)j]+[?2+(〃-l)d]

+…++(〃—l)d]—StJ+(〃—1)；

hn=(q+%+?,,+q?)+(生+6+,,,+4?+i)

+(%+&+?一+4，+2)+…+(4+4用+…+W，I)

=S〃+(Sn+nd)+(S〃+2nd)+…+[S〃+(〃-1)]

=nS〃+[l+2d----F(〃—

/\(n-\\n

=〃，廣9+377J+-~2?〃?2

=2n2(〃+l).

n_n_11、

bn2〃2(〃+l)2〃+1)2\nn+l；

，數(shù)列《丁n》的前2020項(xiàng)和為

l^J

1010

2021

1010

故答案為:

2021

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21為

必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題：共60分.

17,已知等比數(shù)列｛4｝的公比大于1,且滿足4+4=90,4=27.

(D求｛g｝的通項(xiàng)公式；

⑵記bn=log,a?,求數(shù)列｛a“(bn+1)｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】⑴勺=3"，(2)7；=；(2〃-1>3"+：

【解析】

【分析】

⑴設(shè)｛為｝的公比為q(q>l)，依題意得到方程組，解得即可；

⑵由⑴知a,=3"T,所以么=咋3%=〃-1,從而a,,(2+l)=〃3i,再利用錯(cuò)位相

減法求和即可；

【詳解】解：⑴設(shè)｛可｝的公比為鼠4>1),因?yàn)?+%=90，%=27

而""4+"4=9°

所以《.,

axc[-27

兩式相除，得匕二=3，整理得3d-10q+3=0,

q3

結(jié)合4>1，解得q=3,

27271

所以4=不=m=1,所以勺=3〃」.

q，

⑵由知a?所以勿=

（1）=3"T,log3a“=〃-1,

從而an（4+1）="?3"T,

所以7；=以3°+2乂3|+3乂32+1+〃31,①

兩邊同乘以3,得37；=lx3i+2x32+3x33+L+〃-3”,②

由①-②，得一27；=3°+3+32+L+3'"-〃-〃—g,

所以北=；（2“_1>3”+；.

18.如圖，在梯形ABCO中，AB//DC,ZABC=60°,FC_L平面A8CD,四邊形

V3

ACEE為矩形，點(diǎn)M為線段EF的中點(diǎn)，且AT>=CD=BC=1,CFV

(1)求證：平面3CMJ_平面AA/C；

(2)求平面MAB與平面FCB所成銳二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析：(2)好.

5

【解析】

【分析】

(1)依題意可得4。，8。、FCYBC,即可得到3CJ_平面ACFE,即8C_L平面AMC,

再根面面垂直的判定定理即可得證；

(2)以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線C4，CB,CF為x軸、N軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系，利用空間向量法求出二面角的余弦值；

【詳解】（1）證明：在梯形48c。中，AB//DC.ZABC=60°,AD=BC,

所以NZMB=60。，ZACD^ZCAB,

又AZ>=C￡），所以ND4C=ZAC。，

所以NZMC=NC4B=30°,

所以NACB=90°,所以AC_L3c.

又尸CJ_平面ABC。，BCu平面ABC。，所以ECJ_8C，

因?yàn)锳CcFC=C,AC,FCu平面ACFE,

所以BCL平面ACFE,即3CL平面AMC.

又BCu平面BCM，則平面BCM，平面AMC.

（2）解：由（1）知C4,CB,CF兩兩垂直，

所以以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以向線C4，CB,CF為x軸、>軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)

系,

。，CF=

因?yàn)?c=1,ZABC=60叵,

2

所以4C=J$,所以A（J5,0,0）,8（0,1,0）

所以罰=（一G,l,o）,AM

設(shè)q=（%y,z）為平面也AB的一個(gè)法向量,

-A/3JC+y=0

伍?通=°俎

由，可磁=0，得

-----z=0

I-----2--x-\2

“，V-百X

解得《,?。?1,則%=(1,6』).

z-X

因?yàn)闉?(1,0,0)是平面FCB的一個(gè)法向量,

設(shè)平面MAB與平面FCB所成銳二面角為3，

用.即=1

所以cos。=

19.某網(wǎng)游經(jīng)銷商在甲地區(qū)5個(gè)位置對(duì)“電信”和“網(wǎng)通”兩種類型的網(wǎng)絡(luò)在相同條件下進(jìn)行

游戲掉線測(cè)試，得到數(shù)據(jù)如下:

ABcDE

電信438612

網(wǎng)通57943

(1)如果在測(cè)試中掉線次數(shù)超過5次，則網(wǎng)絡(luò)狀況為“糟糕”，否則為“良好”，那么在犯錯(cuò)誤

的概率不超過0.15的前提下，能否說明游戲的網(wǎng)絡(luò)狀況與網(wǎng)絡(luò)的類型有關(guān)?

(2)若該游戲經(jīng)銷商要在上述接受測(cè)試的電信的5個(gè)地區(qū)中任選3個(gè)作為游戲推廣，求A、

8兩個(gè)地區(qū)同時(shí)選到的概率;

(3)在(2)的條件下，以X表示選中的掉線次數(shù)超過5個(gè)的位置的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的

分布列及數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc)~

參考公式：K2=

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

P(K2>k.)0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001

k。0.460.711.322.072.713.845.0246.6357.87910.828

【答案】(1)不能；(2)本3；(3)分布列見解析，1.8.

【解析】

分析】

⑴寫出列聯(lián)表計(jì)算出K?可得結(jié)論；

(2)求出任選3個(gè)的方法數(shù)，以及A8同時(shí)選到的方法數(shù)，然后可計(jì)算概率;

(3)隨機(jī)變量X的所有可能取值為I，2,3,計(jì)算出概率，得分布列，再根據(jù)期望計(jì)算期

望.

【詳解】(1)根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表如下:

位置

糟糕良好合計(jì)

類型

電信325

網(wǎng)通235

合計(jì)5510

^2=10（4-<=10x25=04<207,

5x5x5x525x25

故在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下，不能說明游戲的網(wǎng)絡(luò)狀況與網(wǎng)絡(luò)的類型有關(guān).

r'3

(2)依題意，所求概率P=U=G.

(3)隨機(jī)變量X的所有可能取值為I,2,3,

尸等卷;3=2)=等=|；尸—3咦哈

故X的分布列為

X123

331

P

10510

33i

/.E（X）=lx—+2x-+3x—=1.8.

'/10510

20.已知橢圓C:0+/=l(a>〃>O)過點(diǎn)順次連接橢圓四個(gè)頂點(diǎn)得到的四

邊形的面積為46，點(diǎn)P(l,0).

(1)求橢圓C的方程.

⑵已知點(diǎn)A(4y)，8(%,%)是橢圓C上的兩點(diǎn).

(i)若斗=々，且為等邊三角形，求的邊長(zhǎng)；

(ii)若%工超，證明：△PA8不可能為等邊三角形.

【答案】(1)三+二=1；(2)(i)24-6&或24+延;(ii)證明見解析.

431313

【解析】

【分析】

(1)由橢圓面積得2ab=46，再把點(diǎn)的坐標(biāo)代入可求得得橢圓方程；

(2)(i)由對(duì)稱性，得出直線叢,尸8的方程，求出AB的橫坐標(biāo)，即可得三角形邊長(zhǎng).直

線斜率存在.

(ii)設(shè)直線AB-.y=kx+m,AB中點(diǎn)為。(不，為)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消元

后應(yīng)用韋達(dá)定理得中點(diǎn)2的坐標(biāo)，再由PQ_LAB求出左，機(jī)的關(guān)系，代入得出。點(diǎn)坐標(biāo)，

在橢圓外不合題意.完成證明.

19

【詳解】⑴依題意，=+F=1，2ab=4四，

a4h-

聯(lián)立兩式，解得〃=4，6=3，

22

故橢圓。的方程為三+二=1.

43

(2)(i)由玉=馬且為等邊三角形及橢圓的對(duì)稱性可知，

直線PA和直線PB與X軸的夾角均為30°,

3x2+4y2=12

由〈，也,、，可得13/一8x-32=0.

3=苧CM

.4±1273

??X=----------------，

13

△尸他的邊長(zhǎng)為號(hào)工即竺二述或生還.

V31313

（ii）因?yàn)镸力々，故直線AB斜率存在.

設(shè)直線AB：y=Ax+，〃，AB中點(diǎn)為。（玉）,先），

聯(lián)立＜3"+"=12,消去＞得（3+4女2）/+85a+4利2_i2=0,

y=kx+m17

由△＞（）得到/＜3+4F,①

所以罰+%2=—3+4/2、乂+%=3+々）+2.=3+47，

所“以4/一二4k花m'彳3/記n）、

又尸。,0），若為等邊三角形，則有PQLAB，

3m

即怎0xL=-l,即一斗止—X/:=-1,

’4km

------1

3+4公

化簡(jiǎn)得4k2+3=—km，

山②得點(diǎn)Q坐標(biāo)為（4,-"不合題意.

故△B4B不可能為等邊三角形.

21.己知函數(shù)/(x)=e…一xlnx—(a-l)x—1,aeR,e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

(1)若a=l,證明：(x-l)/(x)20；

（2）討論/（x）極值點(diǎn)個(gè)數(shù).

【答案】(1)證明見解析；(2)答案見解析.

【解析】

【分析】

⑴由。=1,則/(x)=-xInx-1,f'(x)=一Inx-1(x>0),令g(x)=ex~'-x,

用導(dǎo)數(shù)法得到el>x，從而得到fM在(0,+8)上單調(diào)遞增，結(jié)合/(I)=0,得到xe(0,1)

時(shí)，f(x)<0；xe(l,+oo)時(shí)，/(x)>0證明；

⑵求導(dǎo)r(x)=e""Tnx—a(x>0),令〃(x)=/'(x),分aWl和結(jié)合零點(diǎn)存在

定理求解.

【詳解】⑴若。=1,則./Xx)=ei—xlnx—l,f,(x)=ex-'-inx-l(x>0)

令g(x)=ex~'-x,貝ijg'(x)-ex~'-1

當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g'(x)<0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(l,+8)時(shí)，g'(x)>0,g(x)(l,+o。)上單調(diào)遞增；

xX

因此g(x)2g(l)=0,BPe~>x；也有了一12111了(》>0),

所以當(dāng)°=1時(shí)-，/,(x)=^-'-lnx-l>x-(x-l)-l=0,

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

又因?yàn)?(1)=0,

所以,當(dāng)X€(0,l)時(shí)，/(X)<0；當(dāng)XG(1,+OO)時(shí)，/(無)>0；

所以(X—1)1320.

⑵由題意知/'(x)=ei—lnx—a(x>0),

令/i(x)=/'(x),則/(幻=，-〃一］，

X

當(dāng)aW1時(shí)，h(x)=f\x)-e*-"-\nx—a>ex~'-\x\x-a>ex~'-lnx-l>0.

所以/(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，/(%)無極值點(diǎn);

當(dāng)a>l時(shí),h'(l)=e'-a>0,且"(x)在(0，+8)上單調(diào)遞增,

xa

故存在x0G(l,a)滿足〃'(%)=e°---=0,

X()

因此e&-"=‘；a=x0+Inx0,

%

當(dāng)》€(wěn)(0,%)時(shí)，h'(x)<0,所以/z(x)在(0,%)上單調(diào)遞減；

當(dāng)xe(Xo，+oo)時(shí),h\x)>0,所以//(x)在(x°,+8)上單調(diào)遞增；

a

所以h(x)>/?(%)=e^~-lnx0-a=---x0-21nx0,

%

1,］2

再令。(工0)-----x0-21nx0,x0G(1,<7),(p(x0)=-----<0,

4%X。

所以奴修)在(La)上單調(diào)遞減，且。3)〈。⑴=0,BPh(x0)<0,

因?yàn)榱?e-")=e""-">0'又知e*T『x，x-l>lnx(x>0),

所以h(3a)=/"-ln3a-a>2a+l-ln3a-a=a+l-lna-ln3>2-ln3〉0,

所以存在％e(e-",Xo),々e(x(),3a)滿足〃(內(nèi))=〃&2)=0，

所以當(dāng)X€(0,%)時(shí)，ff(x)=h(x)>0,f(x)在(0,再)上單調(diào)遞增；

當(dāng)工€(石,%2)時(shí)，/'(X)=Kv)<0,f(x)在(%,％2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)X€(%2，+8)時(shí)，f\x)=h(x)>0,/(x)在(々,+8)上單調(diào)遞增；

所以，當(dāng)。>1時(shí)，f(x)存兩個(gè)極值點(diǎn)為

綜上可知：當(dāng)a?l時(shí)，/(X)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)a>1時(shí)，f(幻存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

(-)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任