高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五篇 平面向量（考點(diǎn)梳理+考點(diǎn)自測(cè)+揭秘高考+集訓(xùn)）理 新人教A版

第五篇平面向量③

第1講平面向量的概念及其線性運(yùn)算

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.在平面幾何圖形中考查向量運(yùn)算的平行四邊形法則及三角形法則.

2.考查平面向量的幾何意義及共線向量定理的應(yīng)用.

0b抓住4土考點(diǎn)必考必記夯基固本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

70

考點(diǎn)梳理

1.向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小，又有方向的量叫向量:向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長(zhǎng)度為9的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量,又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.

(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方囪相同的向量.

(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.

2.向量的加法與減法

向量

運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律

(1)交換律：

aa+b=b+a.

三角形法則

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算(2)結(jié)合律:

(a+6)+c=

a

a+(b+c)

平行四邊形法則

向量a加上向量6的

相反向量,叫做a與

減法a—b=a+(-6)

6的差，即&+(—,)

三角形法則

=a-b

3.向量的數(shù)乘運(yùn)算及其幾何意義

(1)定義：實(shí)數(shù)4與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫向量的數(shù)乘，記作4a,它的長(zhǎng)

度與方向規(guī)定如下：

①14al=|4||a|；

②當(dāng)4>0時(shí)，4a與a的方向相同;當(dāng)乂<0時(shí)，2a與a的方向相反;當(dāng)乂=0時(shí)，

Aa=0.

(2)運(yùn)算律：設(shè)兒，〃是兩個(gè)實(shí)數(shù)，則

①4(〃a)=(八〃)a；②(乂+〃)a=4a+〃a；③A(a+Z>)=Aa+Ab.

4.共線向量定理

向量a(a/0)與6共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)才，使8=Aa.

【助學(xué)?微博】

一條規(guī)律

一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向

量.

一個(gè)結(jié)論

在△/a'中，若〃為a'的中點(diǎn)，則森=*誦+而.

一個(gè)區(qū)別

向量的平行與直線的平行不同，向量的平行包括兩向量所在直線平行和重合兩種情形.

考點(diǎn)自測(cè)

1.若向量a與b不相等，則a與6一定().

A.有不相等的模B.不共線

C.不可能都是零向量D.不可能都是單位向量

解析因?yàn)樗械牧阆蛄慷际窍嗟鹊南蛄?，故只有C正確.

答案C

2.若H〃A,n//k,則向量〃與向量A().

A.共線B.不共線

C.共線且同向D.不一定共線

解析當(dāng)72=0時(shí)，女與〃不共線，故選D.

答案D

3.(2012?全國(guó))中，47邊的高為CD,若和=a,CA=b,a-b=0,a=1,b\

=2,則乃=().

11,■22,

A.^a—-bB.-a--d

解析由題可知I力冽2=2?+12=5,因?yàn)?=/〃?9所以4)=節(jié)=唔，，而=±崩=

444

三(8-6)=-a—-b.

555

答案D

4.〃是△/!a'的邊45上的中點(diǎn)，則向量詞于().

—?1—>—?1—?

A.-BC+-BAB.

—*1—?—?1—?

C.BC--BAD.BC+-BA

解析如圖，a)=cb+Bb

=Cb+^BA——BC+^BA.

答案A

5.設(shè)a與6是兩個(gè)不共線向量，且向量a+16與2a—6共線，則4=

l=2kf

解析山題意知：a+Ab=k(2a~b)則有：1，

f.4=-k,

11

?Q

:2一2-

1

答

案

2一

02?突破3個(gè)考向研析案例考向突破

對(duì)應(yīng)后F-

71

考向-平面向量的有關(guān)概念

【例1]?給出下列命題：

①若以=|引，則a=6；②若4B,C,〃是不共線的四點(diǎn)，則葩=應(yīng)是四邊形/比》為

平行四邊形的充要條件；③若a=Z＞，b=c,則@=必④a=6的充要條件是a1=|引且a

//b.

其中正確命題的序號(hào)是一

［審題視點(diǎn)］以概念為判斷依據(jù)，或通過舉反例.

解析①不正確.兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.：施=而，麗=1兩且前〃就

又..F,B,C,〃是不共線的四點(diǎn)，.?.四邊形4仇》為平行四邊形；反之，若四邊形/時(shí)

為平行四邊形，則宓〃應(yīng)且|而=|應(yīng)1，因此，AB=DC.

③正確.：a=。，6的長(zhǎng)度相等且方向相同；

又6=c,...6,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，

：.a,c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故@=，

④不正確.當(dāng)a〃方且方向相反時(shí)，即使3=/,也不能得到a=6,故|a=|引且a〃

b不是a=6的充要條件，而是必要不充分條件.

綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③.

答案②③

方法錦囊》準(zhǔn)確理解向量的基本概念是解決該類問題的關(guān)鍵，特別是對(duì)相等向量、零向量

等概念的理解要到位，充分利用反例進(jìn)行否定也是行之有效的方法.

【訓(xùn)練1】給出下列四個(gè)命題：

①a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；②任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)

是一個(gè)平行四邊形的四頂點(diǎn)；③向量a與6不共線,，則a與8都是非零向量；④有相同

起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行.

其中所有正確命題的序號(hào)是_

解析由于零向量與任一向量都共線，命題①中的b可能為零向量，從而不正確：由于

數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上，而此時(shí)就構(gòu)

不成四邊形，更不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，所以命題②不正確；向量的平行只

要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以命題④不正確；③正確.綜上所述，

正確命題的序號(hào)是③.

答案③

考向二平面向量的線性運(yùn)算

【例2】》

如圖，在梯形松力中，|福=2|應(yīng)1，加加分別是％,四的中點(diǎn).若荔=8,蘇仁身,

用e”6表亦DC,BC,MN.

［審題視點(diǎn)］結(jié)合圖形，靈活運(yùn)用三角形法則和平行四邊形法則進(jìn)行加減運(yùn)算.

解&=加/

TC=TA^7C=-AB+AC=~AD+1)C-AB

f1-1

=AD--AB=ei-J8；

乙乙

-A-?-A-A1-A-A1—?

MN=MD+ZZ4+AV=「AB—AD+-AB

42

1-->1

=~AB-AD=~e\—a.

44

方法錦囊》用幾個(gè)基本向量表示某個(gè)向量問題的基本技巧：①觀察各向量的位置；②尋找

相應(yīng)的三角形或平行四邊形；③運(yùn)用法則找關(guān)系；④化簡(jiǎn)結(jié)果.

【訓(xùn)練2】

2

在△/a'中，森=可血，DE〃BC交AC千點(diǎn)、E,8c邊上的中線4"交"于點(diǎn)|設(shè)崩=a,AC

=b,用a,6表示向量懣，~BC,~DE,~DN,初,AN.

解〈-2f^~AE--^AC--^b,

AD^-ABJ

、J

麻=充一訕=b—a.

由i/\ADEs/\ABC,得應(yīng)'=三瓦=w(6—a).

Oo

又4V是△放的邊以上的中線，DE//BC,

/.~DN=~^DE=-{b—a).

乙o

AM='AB-\-BM=a+}~BC=a+^(Z?—a)=^(a+b).

△ADAS

一2一1,、

由＜

~AD=^ABoJ

考向三共線向量定理的應(yīng)用

【例3】A設(shè)兩個(gè)非零向量a與6不共線.

⑴若花=a+6,BC=2a+8b,力=3(ai).

求證：A,B,〃三點(diǎn)共線；

(2)試確定實(shí)數(shù)k,使Aa+6和a+流力共線.

［審題視點(diǎn)］(1)先證明應(yīng)應(yīng)哄線，再說明它們有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)利用共線向量定理列

出方程組求上

(1)證明：楞a+b,比=2a+86,Z^3(a-6).

BD=BC+CD=2a+86+3(a-為=5(a+6)=5石

：.AB,瓦英線，又它們有公共點(diǎn)6,B,〃三點(diǎn)共線.

⑵解假設(shè)履+6與a+處共線，

則存在實(shí)數(shù)4，使ka+b=A(a+kb),

即(衣-A)a=(AA—1)Z>.

又a,6是兩不共線的非零向量，

k-A=AZr—1=0./.A2—1=0.AA=±1.

方法錦囊》共線向量定理的條件和結(jié)論是充要條件關(guān)系，既可以證明向量共線，也可以由

向量共線求參數(shù).利用兩向量共線證明三點(diǎn)共線要強(qiáng)調(diào)有一個(gè)公共點(diǎn).

【訓(xùn)練3】若a,6是兩個(gè)不共線的非零向量，a與6起點(diǎn)相同，則當(dāng)2為何值時(shí)，a,

tb,J(a+6)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上？

解設(shè)應(yīng)=a,~OB=lb,應(yīng)'=；(&+6),

/.AC—OC—OA——1a+^Z),~AB^OB—'OA—tb-a.

要使4B,C三點(diǎn)共線，只需正=八法

即一"+%=Atb-Aa.又a與b為不共線的非零向量

告一人

...有4

...當(dāng)時(shí)，三向量終點(diǎn)在同一直線上.

Q3?揭秘3年高考壑威解熨真題展至

對(duì)應(yīng)學(xué)生

72

方法優(yōu)化6——準(zhǔn)確把握平面向量的概念和運(yùn)算

【命題研究】通過近三年的高考試題分析，平面向量的概念和運(yùn)算時(shí)常以選擇題、填空

題的形式出現(xiàn)，有時(shí)解答題的題設(shè)條件也以向量的形式給出，命題的出發(fā)點(diǎn)主要是以平面

圖形為載體，借助平面幾何、解析幾何等知識(shí)，考查平面向量的線性運(yùn)算法則及其幾何意

義以及兩個(gè)向量共線的充要條件，或以向量為載體求參數(shù)的值.

【真題探究］》（2012?浙江）設(shè)a,6是兩個(gè)非零向量.（）.

A.若|a+引=|a—b,則a_L6

B.若a_L6,則|a+6|=a—\b

C.若|a+6|=|a|-6,則存在實(shí)數(shù)A,使得

D.若存在實(shí)數(shù)4，使得6=4a,貝ija+b\^\a\-\b\

［教你審題］思路1根據(jù)選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行排除.

思路2將模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的形式進(jìn)行分析.

［一般解法］（排除法）選項(xiàng)A,若b=—a,則等式|a+b|=|a|—成立，顯然不

成立；

選項(xiàng)B,若a_Lb且|a|=|b；,則」a|一|引=0,顯然，|a+引=*|aW0,故|a+》=

Ia—|b\不成立；

選項(xiàng)D,若b—a,則a—\b\—0,顯然，|a+b|=2|a|W0,故a+引=|a|一|引不成

.a..

AL.

練上，A,B,D都不正確，故選C.

［優(yōu)美解法］（數(shù)量積法）把等式|a+引=lai一|引兩邊平方，得（a+6）z=（㈤一|引）2,

即2a-b——2\a\,\b\,而a?6=|a||b|cos（a,b）,

所以cos〈a,b）=-1.又因?yàn)椋╝,ti）G［0,n］,

所以〈a,6〉=",即a,。為方向相反的共線向量.故C正確.

［答案］C

［反思］在高考結(jié)束后，了解到部分學(xué)生做錯(cuò)的主要原因是：題中的條件“|a+〃=|a］

-\b\n在處理過程中誤認(rèn)為a\a+b\=\a-b\n,從而得到這個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論.

【試一試】在中，應(yīng)=a，應(yīng)=6,切是四邊上的高，若新才施,則實(shí)數(shù)八=（）.

a?a-ba?b-a

A.----------B.--i------

a—ba-b

、a?kba?b-a

C，-\a-bD'-\a-b\2

解析由乃=八誦，.?.通|=H|布

\AD\—\a\cosA—a,—-----

ab-a

,—?...a,?a,一ba?a-b

IAB\—|b—a\,力=b_a」=?&一加2?故選C.

答案C

041限時(shí)規(guī)茗訓(xùn)練階梯訓(xùn)練能力提升

對(duì)應(yīng)學(xué)生

-265

A級(jí)基礎(chǔ)演練（時(shí)間：30分鐘滿分：55分）

一、選擇題（每小題5分，共20分）

1.（2013?合肥檢測(cè)）已知。是△1外所在平面內(nèi)?點(diǎn)，〃為a'邊的中點(diǎn)，且2應(yīng)+應(yīng)+元=

0,那么（）.

K.AO^obB.應(yīng)H2而

C.AO=3ObD.2AO=-~OD

解析由2而+應(yīng)+赤=0可知，。是底邊比'上的中線4?的中點(diǎn)，故乃=應(yīng)

答案A

2.已知而=a,OB—b,OC—c,應(yīng)=〃，且四邊形4?（力為平行四邊形，則（）.

A.a-b+c—d=0B.a—b-c+d=0

C.c-d=0D.a+b+c+d=0

解析依題意，得而=比,故葩+多=0,即宓一游+為一應(yīng)、=（）,即有萬一宓+加一而=

0,則a—b+c—d=0.選A.

答案A

3.已知平面上不共線的四點(diǎn)〃，4B,C若成+2龍'=3為，則互的值為（）.

\AB\

1111

C1

2-B.3-4-D.-

解析由而+2應(yīng)-3應(yīng)，得應(yīng)一應(yīng)=2宓-2旗即威=2而，所以一~=5.故選A.

I福2

答案A

4.（2011?山東）設(shè)4,4,4,4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若:：；=43入（4G

R）.JJi—uA^AAneR）,且―?+1?=2,則稱4,4調(diào)和分割4,&已知平面上的點(diǎn)C,

〃調(diào)和分割點(diǎn)4B,則下列說法正確的是（）.

A.C可能是線段4?的中點(diǎn)

B.〃可能是線段48的中點(diǎn)

C.C,〃可能同時(shí)在線段45上

D.a〃不可能同時(shí)在線段的延長(zhǎng)線上

解析若A成立，則而!=0,不可能；同理B也不可能；若C成立，則0</<

1,.ao<//<l,4+—>2.與已知矛盾；若c,D同時(shí)在線段4?的延長(zhǎng)線上時(shí)，A>1,

且4+—<2>與已知矛盾，故C,D不可能同時(shí)在線段46的延長(zhǎng)線上，故D正

確.

答案D

二、填空題（每小題5分，共10分）

5.（2013?泰安模擬）設(shè)a,6是兩個(gè)不共線向量，AB=2a+pb,BC=a+b,cb=a-2b,若4

B,〃三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)0的值為.

解析?.?防=瓦?+為=2a—6,又4B,〃三點(diǎn)共線，

...存在實(shí)數(shù)4，使應(yīng)=A

「2=24,

即，p——1.

IP=~乂>

答案一1

6.如圖，在矩形被力中，|加=1,|而=2,設(shè)布=a,BC=b,

&>=c,則|a+b+c\—

解析根據(jù)向量的三角形法則有Ia+6+c|=|施+比+詼=

【誦+礪+語|=|筋+筋i=21通|=4.

答案4

三、解答題（共25分）

7.（12分）如圖，在平行四邊形勿的中，設(shè)應(yīng)=a,OB=b,而=昴,

宏―《壹試用a,b表示威而及訪;

0

解由題意知，在平行四邊形加中，瓦仁茨三頡［（）一應(yīng)=/一）=*4、

l——1115

貝ij0M=0B+BM=b+-a—-b=-a+-b.

6666

r2r2f—?292

ON=^OD=-{OA+OB）=~{a+b）=-a+~zb,

Mi\—ON—（a+1>）—1a—|z>=-^a—

36626

8.（13分）⑴設(shè)兩個(gè)非零向量8,e；不共線，如果誦=2ei+3e”8c=6e+23&,Cg48-

8a,求證：A,B,〃三點(diǎn)共線.

（2）設(shè)a,偽是兩個(gè)不共線的向量，已知宓=28+如，^a+3&,CD=2e-e>,若4

B,〃三點(diǎn)共線，求衣的值.

⑴證明因?yàn)樗?6&+23a，而=4@-8包，

所以瓦H瓦7+而=10?+15包.

又因?yàn)楣?2a+3包，得瓦=5荔，即防〃崩，

又因?yàn)榍眩哂泄颤c(diǎn)反所以4B,〃三點(diǎn)共線.

（2）解DB=CB—CD=ei+3ft—2ei+e>=4e>—e,

AB=2e\+ke：,

若4B,〃共線，則葩〃〃方，

一一.1=2A,

沒DB=入AB,所以<=>A=—8.

[4=4k

B級(jí)能力突破（時(shí)間：30分鐘滿分：45分）

一、選擇題（每小題5分，共10分）

1.（2013?濟(jì)南一模）已知4B,。是平面上不共線的三點(diǎn)，。是△板的重心，動(dòng)點(diǎn)P滿足

則點(diǎn)P一?定為三角形的（）.

A.4?邊中線的中點(diǎn)

B.16邊中線的三等分點(diǎn)（非重心）

C.重心

D.46邊的中點(diǎn)

解析設(shè)四的中點(diǎn)為加貝《成1+<宓=血.?.蘇=[（刖2應(yīng)）=/刖，旗即3百三刖

20C,也就是.辦=2瓦7,，尸，，％，三點(diǎn)共線，且一是CV上靠近C點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

答案B

2.若點(diǎn)〃是△/a'所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足54Q加3衣，則△48V與△4?。的面積比為

1234

----

5B.55D.5

解析設(shè)四的中點(diǎn)為〃，由54仁肥+3/C,得34Q3/C=

2AD-2AM,即3唬=2礪如圖所示，故乙以〃三點(diǎn)共線，

且礪=|乃，也就是△43"與△/a'對(duì)于邊力8的兩高之比為

3

3：5,則與的面積比為一選C.

5

答案C

二、填空題（每小題5分，共10分）

3.若點(diǎn)。是△/a'所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|宓一應(yīng)1=|宓+沆'-2應(yīng)，則比'的形狀為

解析OB+OC-2OA=OB-OA+OC-0A=7B+AC,

dB-OC=C3=AB-AC,：.\AB+AC\=\~AB~7c\.

故4B,。為矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，加為直角三角形.

答案直角三角形

4.如圖所示，在中，點(diǎn)。是比1的中點(diǎn).過點(diǎn)。的直線分別交

直線48,47于不同的兩點(diǎn)也M若AB="iAM,AC—nAN,則勿十〃

的值為.

解析是比1的中點(diǎn)，

.\AO=^（AB+AC）.

―?―?―?―?―?//}—?,n—?

又,：AB=mAM,AC=nAN,：.AO=-AM+-AN.

?：M,0,平三點(diǎn)共線，.?卷+]=1,則）+〃=2.

答案2

三、解答題（共25分）

5.（12分）如圖所示，在a'中，在"'上取一點(diǎn)兒使得肺=

\AC,在上取一點(diǎn)胴使得氏在的延長(zhǎng)線上取

Q

點(diǎn)、P,使得,仁3/4在。/的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)0,使得加=4圓時(shí)，羽=而，試確定4的

值.

解'：AP=NP-NA=^(Bb!-C^)=^(BN+'NO=^BC,而=加一而=；而+人說，

又?萬三而，：.^BM+AMC=^BC,

即/IMC=^MC,4=；.

6.(13分)已知點(diǎn)。是△4%?的重心，,1/是4?邊的中點(diǎn).

⑴求扇+為+私

(2)若A。過的重心G,且而=a,08=b,OP=ma,'OQ=nb,求證：,+-=3.

mn

⑴解..0+為=2就又2翡一宓，

GA+GB+G()^-Gd+Cd^O.

.1.9r1

⑵證明顯然=5(a+b).因?yàn)镚是△力%的重心，所以不〃%=鼻(a+6).由只G,

/?J<5

0三點(diǎn)共線，得無〃為，所以，有且只有--個(gè)實(shí)數(shù)4，使無=乂而

一一一f1,、

而PG=OG—OP=q(a+b)—ma=

o,+四

GQ=OQ—0G=nb—\(a+H)=-

oJ

又因?yàn)閍,b不共線，所以<

消去八，整理得3%=勿+〃，故,+'=3.

mn

特別提醒：教師配贈(zèng)習(xí)題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設(shè)

計(jì)?高考總復(fù)習(xí)》光盤中內(nèi)容.

第2講平面向量的基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算

【2014年高考會(huì)這樣考】

1.考查應(yīng)用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的模.

2.考查應(yīng)用平面向量基本定理進(jìn)行向量的線性運(yùn)算.

3.考查應(yīng)用向量的垂直與共線條件，求解參數(shù).

01?抓住4個(gè)考點(diǎn)必考必記電基司本

對(duì)應(yīng)學(xué)生

72

考點(diǎn)梳理

1.平面向量基本定理

前提：e“e是同??個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.

條件：對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)儲(chǔ)，心滿足a=4臼+乙分

結(jié)論：不共線的向量8,會(huì)叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標(biāo)表示

(1)向量的夾角

①定義：已知兩個(gè)非零向量a和6,如右圖，作而=&龐=4則乙4如=，(O°W8W180°)

叫做a與8的夾角.

②當(dāng)8=0。時(shí)，a與b共線同向.

當(dāng)8=180°時(shí)，a與/＞共線反向.

當(dāng)d=90°時(shí)，a與?；ハ啻怪?

(2)平面向量的正交分解

向量正交分解是把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量.

(3)平面向量的坐標(biāo)表示

在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量力，作為基底，對(duì)

于平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x,y,使得a=xi'+xX這樣，a可由x,y唯

?確定,我們把有序數(shù)對(duì)(x,y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=(x,y).其中x叫做a在x

軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo).

(4)規(guī)定

①相等的向量坐標(biāo)相等,坐標(biāo)相等的向量是相等的向量；

②向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān)，只與其相對(duì)位置有

關(guān)系.

3.平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)a=(為，yi),6=(*2,㈤，貝U

a+b=(xi+a,M+M),a—Z＞=(3一也，%一%)，)a=(，為，＞弘),a|=##+抬.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).

②設(shè)/(為，必)，%)，則4?=(在一小，二—⑦)，|麗=d_XLX、一彳~y2~y\~

4.平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)a=(xi,yi),b=(x2,㈤，其中Z>WO,a//b^>x\y-x-iy\—^.

【助學(xué)?微博】

兩點(diǎn)提醒

(1)要區(qū)分點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，

向量坐標(biāo)中既有方向也有大小的信息.

(2)若a=(M,%),6=(如㈤，則a〃。的充要條件不能表示成“=匕，因?yàn)槿?有可

xiyi

能等于。，應(yīng)表示為小度一至％=0.

三個(gè)結(jié)論

⑴若a與b不共線，4a+〃占=0,則乂=〃=0.

(2)已知而=4麗〃應(yīng)1(4,u為常數(shù))，則4B,。三點(diǎn)共線的充要條件是4+〃=1.

(3)平面向量的基底中一定不含零向量.

考點(diǎn)自測(cè)

1.(2012?廣東)若向量面=(2,3),CA=(4,7),則應(yīng)'=().

A.(-2,-4)B.(2,4)

C.(6,10)1).(-6,-10)

解析由于法=(2,3),CA=(4,7),那么應(yīng)三瓦1+元三⑵3)+(—4,-7)=(-2,-4).

答案A

2.(2013?湘潭調(diào)研)已知向量a=(4,x),6=(—4,4),若a〃4則x的值為().

A.0B.4C.-4D.±4

解析去a"b,貝IJ有4義4+4*=0,解得入=-4.

答案C

3.已知四邊形4比。的三個(gè)頂點(diǎn)4(0,2),5(-1,-2),<7(3,1),且瓦=2為，則頂點(diǎn)。

的坐標(biāo)為().

A.(2,\

B.(2,

C.(3,2)1).(1,3)

解析設(shè)〃(x,y),礪=(x,y—2),擊=(4,3),

x=2,

4=2%,

又反'=2而，7故選A.

3=2y-2，六.

答案A

4.(2012?重慶)設(shè)x,y￡R,向量a=(x,1),b=(1,y),c=(2,—4),且a_Lc,b//c,

則|a+引=().

A.gB.?C.2mD.10

2^—4=0,\x=2,

解析由題意可知，八八解得c故a+b=(3,-1),\a+b\=

.一4—2尸0,［y=—2t

Vio,選B.

答案B

5.(2011?北京)已知向量a—(#,1),b~(0,-1),c=(k,小).若a—2b與c共線，

貝|Jk=.

解析a—2b=(小,3),因?yàn)閍—2b與c共線，所以］=平，A=l.

答案1

02突破3上考向研析案必考向突破

對(duì)應(yīng)學(xué)生

73

考向-平面向量基本定理及其應(yīng)用

【例11?

如圖，在平行四邊形4?切中，M,N分別為〃C,8c的中點(diǎn)，已知疝仁c,就匕d,試用c,

<7表示茄，~AD.

［審題視點(diǎn)］直接用c,d表示荔，磯一難度，可換一個(gè)角度，由漉，應(yīng)/示不；M進(jìn)

而求應(yīng)~AD.

解法一設(shè)48=a,AD=b,

則a=麗礪="+(一^q,①

b='AM-st-^D=c+f—2a)'②

將②代入①得。="+卜,，+卜5)

422

7.a=-d—~c--(2d—c),代入②

ooo

r1、22

得b=c+1—5jxg(2d—c)=](2c—初.

r2r2

J.AB=-(2d~c),AD=-(2c—d).

OO

法二設(shè)48=a,AD=b.

因機(jī)力分別為切，的中點(diǎn)，所以旗—"兒〃了=%,

>

因而

、12

a2--3-

f2f2

即4ff=w（2d—c）,AD=~（2c—d）.

OO

方法錦囊》應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則

進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，共線向量定理的應(yīng)用起著至關(guān)重要的作用.當(dāng)基底確定后,

任一向量的表示都是唯一的.

【訓(xùn)練1】

如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量而，0B,赤,其中應(yīng)與龍的夾角為120°,而與龍的夾角為30。，

且|而=|曲=1,|應(yīng)1=2m，若龍=八滴+〃應(yīng)（/，〃GR）,貝ij2+//的值為

解析

如圖，以應(yīng)，的J一組基底，將詫在拓1,麗向上分解，得Rt△。。'，其中優(yōu)，24，

AOCA'為直角，NQ24=30°,則以'=4的，OB'=2必，即才=4,〃=2,所以X+

〃=6.

答案6

考向二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

【例2】A已知4(一2,4),8(3,-1),<7(-3,-4),且扇-3方，度三2為求物"的坐

標(biāo)和

[審題視點(diǎn)]求冷，面的坐標(biāo)，根據(jù)已知條件列方程組求加"的坐標(biāo).

解2,4),5(3,—1),C(—3,—4),

.?.2=(1,8),2=(6,3).

二$32=3(1,8)=(3,24),C\'=2CB=2(6,3)=(12,6).

設(shè)M(x,y),則CM=(x+3,y+4).

x+3=3,fx=O,

???得＜/.MO,20).

[y+4=24,[y=20.

同理可得M9,2),...疏修(9—0,2—20)=(9,-18).

方法錦囊》解決向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題，關(guān)鍵是掌握線性運(yùn)算法則及坐標(biāo)運(yùn)算的特點(diǎn).一般

地，己知有向線段兩端點(diǎn)的

坐標(biāo),應(yīng)先求出向量的坐標(biāo).解題時(shí)注意利用向量相等(橫、縱坐標(biāo)分別相等)建立方程(組)

的思想.

【訓(xùn)練2］⑴已知平面向量a=(1,1),6=(1,-1),貝ij向量加一多=().

A.(—2,—1)B.(—2,1)C.(—1,0)D.(—1,2)

(2)在平行四邊形1犯9中，為一條對(duì)角線.，若葩=(2,4),宓=(1,3),則詼=().

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

解析(lga=g，｛,，|6=(|，一|)，

故;a—|6=(―1,2).

(2)由題意得瓦上血-葩=能一恭=(AC-AB)-AB=AC~2AB=(1,3)-2(2,4)=(-3,-

5).

答案(1)D(2)B

考向三平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算

【例3】》平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),6=(-1⑵，c=(4,1),請(qǐng)解答下列問題：

(1)求滿足a=/〃6+〃c的實(shí)數(shù)勿，/?；

⑵若(a+Ac)//(2b—a),求實(shí)數(shù)k.

［審題視點(diǎn)］(1)向量相等對(duì)應(yīng)坐標(biāo)相等，列方程解之；(2)由兩向量平行的條件列方程解

之.

解⑴由題意得(3,2)=/?(-1,2)+H4,1),

5

勿=]

一0+4〃=3,

所以

2卬+〃=2,8

/?=一

9

(2)a+4c=(3+4A,2+4),22>-a=(-5,2),

V(a+Ac)//(2b~a),

]6

A2X(3+4A)-(-5)(2+^)=0,.\A=-.

1o

方法錦囊》(1)?般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為4a(/G

R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于A的方程，求出A的值后代入，1a即可得到所求的向

量.

(2)如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí),則利用“若a=(a必),b=(X2,㈤，

則a〃?的充要條件是“宵=也必”解題比較方便.

【訓(xùn)練3]⑴在平面直角坐標(biāo)系x分中，四邊形/及力的邊AB//DC,AD//BC.已知點(diǎn)J(-

2.0),8(6,8),以8,6),則，點(diǎn)的坐標(biāo)為.

⑵已知向量a=(m,—1),b~(―1,—2),c—(—1,2),若(a+6)〃c,則R=.

解析(1)由條件中的四邊形/版的對(duì)邊分別平行，可以判斷該四邊形1靦是平行四邊

形.

設(shè)〃(x,力，則有荔=應(yīng)

即(6,8)-(-2,0)=(8,6)-(x,y),

解得(x,力=(0,-2),即〃點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,-2).

(2)由題意知a+b=(加一1,—3),c—(―1,2),由(a+6)//。，得(一3)X(―1)—(加一1)X2

5

=0,所以勿=萬.

答案(1)(0,-2)⑵不

03?揭秘3年高考權(quán)威解送真題展示

對(duì)應(yīng)學(xué)生

方法優(yōu)化7——“多想少算”解決平面向量運(yùn)算問題

【命題研究】通過近三年高考試題分析，可以看出高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查主要是向量

的運(yùn)算，意在考查考生計(jì)算能力和利用化歸思想解決問題的能力.以選擇、填空題的形式

出現(xiàn)，一般難度不大，屬容易題.

【真題探究】a（2012?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)儀0,0）,*6,8）,將向量以繞點(diǎn)

。按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)牛后得向量就則點(diǎn)0的坐標(biāo)是（）.

A.（-7,^2,一蛆）B.（―7啦，^2）

C.（—4乖,—2）D.（—4乖,2）

［教你審題］思路1利用向量的夾角公式和模長(zhǎng)公式結(jié)合待定系數(shù)法求解.

思路2利用旋轉(zhuǎn)角求解.

思路3排除法、驗(yàn)證法相結(jié)合求解.

［一般解法］法一設(shè)點(diǎn)0的坐標(biāo)為（x,y）,由題意知：|麗=1壯=436+64=10.

又|癡|=5"=10,

.?，+/=100.①

Q

?向量擊與麗J夾角為彳n,且點(diǎn)。在第三象限，

3OP-Wx,y?6,86x+8y班

4例.而10X101002-

二64+8尸一52.②

x=y[i,

由①②得，

又?.?點(diǎn)0在第三象限，，點(diǎn)0的坐標(biāo)為（-7/，一?

法二

3

設(shè)乙xOP則由題意知：/*8=彳11+9（如圖所示），設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,y）.

??,點(diǎn)/的坐標(biāo)為（6,8）,

二尻(6,8),且|宓|=10,

八63八84

..cos仁歷Sin’=m=亨

貝ijcosf°+,兀333

=cos，?cos7Ji—sinOtsin7n=rX

4452

6+]n)=sinJcos：n+cosJsin,兀=?XJ"也__亞

sin+5X2-10,

又：|為=|蘇|=10,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-7啦，一裂）.

［答案］A

[優(yōu)美解法]畫出草圖，可知點(diǎn)。落在第三象限，則可排除B、D,代入A,cos4QOP=

6X—7~\[2+8X—y[2—50A/2—A/2.3n.

z.2I2=[八八=,所以NQOP—[.代入C,cosNa/=

o-roQiuuz9q

6X—+8X—2—24加-16/一啦、*

6。+8。=wo#2'故選A-

［答案］A

［反思］本題學(xué)生容易列二元二次方程求解，陷入繁雜的運(yùn)算，優(yōu)美解法中體現(xiàn)了“多想

少算”的命題原則，因此在解題前一定要注意審題.

【試一試】（2011?上海）設(shè)4,Az,4,4,4是空間中給定的5個(gè)不同點(diǎn)，則使麻+蕩?

+,讀+，就+例5=0成立的點(diǎn)〃的個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1C.5D.10

解析法一（特值法）：不妨取4、4、4、4分別是正方形的頂點(diǎn)，4為正方形對(duì)角線

的交點(diǎn).僅當(dāng)M為4時(shí)滿足前+加溫+成+.讀=0.故選B.

法二設(shè)加x,力，4（必，匕）（41,2,3,4,5）,

--?5-->

則（一工，）由；得

MA,=4y—1,:2—1MA=0

矛i+生+照+必+照—5x=0,

/1+度+必+%+%-5尸0,

x=~EE照+豆+禹,

5++

即1

y=-，+%+抬+必+%.

I5

故點(diǎn)"的個(gè)數(shù)為1.選B.

答案B

M1限時(shí)規(guī)范理練打梯訓(xùn)練能力提過

對(duì)應(yīng)學(xué)生

267

A級(jí)基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘滿分：55分)

一、選擇題(每小題5分，共20分)

1.設(shè)平面向量a=(3,5),6=(-2,1),貝lja—26=().

A.(6,3)B.(7,3)C.(2,1)D.(7,2)

解析a—26=(3,5)—2(—2,1)—(7,3).

答案B

2.已知平面內(nèi)任一點(diǎn)。滿足百三總+y應(yīng)(x,HR),則“x+y=l”是“點(diǎn)/在直線股上”

的().

A.必要不充分條件B.充分不必要條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

解析根據(jù)平面向量基本定理知：須方HR)且x+y=1等價(jià)于P在直線AB

上.

答案c

3.(2013?金華模擬)設(shè)向量a=(1,-3),b=(—2,4),c=(—1,—2),若表示向量4a,4b

-2G2(8-C),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量"為

().

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,—6)D.(—2,—6)

解析設(shè)d=(%,y),由題意知\a—(4,-12),\b~2c—(—6,20),2(a—c)=(4,—

2),又4a+46—2c+2(a—c)+d—0,解得x=-2,y=-6,所以d=(—2,—6).故選

D.

答案D

4.已知向量a=(l,2),8=(1,0),c=(3,4).若A為實(shí)數(shù)，(a+48)〃c,貝U4=().

A."B.~C.1D.2

42

解析依題意得a+幾占=(1+4,2),

由(a+4b)〃c,得(1+4)X4—3X2=0,AA

答案B

二、填空題(每小題5分，共10分)

5.(2013?杭州模擬)若三點(diǎn)/(2,2),Z?(a,0),。(0,6)(ab#0)共線，則的值為.

ab

解析布=(a-2,-2),AC=(-2,b~2),依題意，有(a-2)(6—2)—4=0,

即ab-2a-2b=Q,所嗎+譯.

答案!

6.已知/(7,1),6(1,4),直線y=5x與線段仍交于C,且應(yīng)'=2為，則實(shí)數(shù)a=.

解析設(shè)C(x,y),則表'=(x—7,y—1),CB=(1—^4—y),

_(x-7=21-xx=3,

‘：AC=2CB,：.解得，

y-1=24-y尸3.

."(3,3).又?.P在直線y=~ax_h9

1

3=-5?3,Aa=2.

答案2

三、解答題(共2