工程數學線性代數課后答案-同濟第五版

./.第五章相似矩陣及二次型1試用施密特法把下列向量組正交化<1>解根據施密特正交化方法<2>解根據施密特正交化方法2下列矩陣是不是正交陣:<1>;解此矩陣的第一個行向量非單位向量,故不是正交陣<2>解該方陣每一個行向量均是單位向量且兩兩正交故為正交陣3設x為n維列向量xTx1令HE2xxT證明H是對稱的正交陣證明因為HT<E2xxT>TE2<xxT>TE2<xxT>TE2<xT>TxTE2xxT所以H是對稱矩陣因為HTHHH<E2xxT><E2xxT>E2xxT2xxT<2xxT><2xxT>E4xxT4x<xTx>xTE4xxT4xxTE所以H是正交矩陣4設A與B都是n階正交陣證明AB也是正交陣證明因為AB是n階正交陣故A1ATB1BT<AB>T<AB>BTATABB1A1ABE故AB也是正交陣5求下列矩陣的特征值和特征向量:<1>;解故A的特征值為1<三重>對于特征值1由得方程<AE>x0的基礎解系p1<111>T向量p1就是對應于特征值1的特征值向量.<2>;解故A的特征值為102139對于特征值10由得方程Ax0的基礎解系p1<111>T向量p1是對應于特征值10的特征值向量.對于特征值21,由得方程<AE>x0的基礎解系p2<110>T向量p2就是對應于特征值21的特征值向量對于特征值39由得方程<A9E>x0的基礎解系p3<1/21/21>T向量p3就是對應于特征值39的特征值向量<3>.解故A的特征值為121341對于特征值121由得方程<AE>x0的基礎解系p1<1001>Tp2<0110>T向量p1和p2是對應于特征值121的線性無關特征值向量對于特征值341由得方程<AE>x0的基礎解系p3<1001>Tp4<0110>T向量p3和p4是對應于特征值341的線性無關特征值向量6設A為n階矩陣證明AT與A的特征值相同證明因為|ATE||<AE>T||AE|T|AE|所以AT與A的特征多項式相同從而AT與A的特征值相同7設n階矩陣A、B滿足R<A>R<B>n證明A與B有公共的特征值有公共的特征向量證明設R<A>rR<B>t則rtn若a1a2anr是齊次方程組Ax0的基礎解系顯然它們是A的對應于特征值0的線性無關的特征向量類似地設b1b2bnt是齊次方程組Bx0的基礎解系則它們是B的對應于特征值0的線性無關的特征向量由于<nr><nt>n<nrt>n故a1a2anrb1b2bnt必線性相關于是有不全為0的數k1k2knrl1l2lntk1a1k2a2knranrl1b1l2b2lnrbnr記k1a1k2a2knranr<l1b1l2b2lnrbn則k1k2knr不全為0否則l1l2lnt不全為0l1b1l2b2lnrbnr0與b1b2bnt線性無關相矛盾因此0是A的也是B的關于0的特征向量所以A與B有公共的特征值有公共的特征向量8設A23A2EO證明A的特征值只能取1或2證明設是A的任意一個特征值x是A的對應于的特征向量則<A23A2E>x2x3x2x<232>x0因為x0所以2320即是方程2320的根也就是說1或29設A為正交陣且|A|1證明1是A的特征值證明因為A為正交矩陣所以A的特征值為1或1因為|A|等于所有特征值之積又|A|1所以必有奇數個特征值為1即1是A的特征值10設0是m階矩陣AmnBnm的特征值證明也是n階矩陣BA的特征值證明設x是AB的對應于0的特征向量則有<AB>xx于是B<AB>xB<x>或BA<Bx><Bx>從而是BA的特征值且Bx是BA的對應于的特征向量11已知3階矩陣A的特征值為123求|A35A27A解令<>3527則<1>3<2>2<3>3是<A>的特征值故|A35A27A||<A>|<1><2><3>32312已知3階矩陣A的特征值為123求|A*3A2E|解因為|A|12<3>60所以A可逆故A*|A|A16A1A*3A2E6A13A令<>61322則<1>1<2>5<3>5是<A>的特征值故|A*3A2E||6A13A2E||<1><2><3>15<5>2513設A、B都是n階矩陣且A可逆證明AB與BA相似證明取PA則P1ABPA1ABABA即AB與BA相似14設矩陣可相似對角化求x解由得A的特征值為16231因為A可相似對角化所以對于231齊次線性方程組<AE>x0有兩個線性無關的解因此R<AE>1由知當x3時R<AE>1即x3為所求15已知p<111>T是矩陣的一個特征向量<1>求參數ab及特征向量p所對應的特征值解設是特征向量p所對應的特征值則<AE>p0即解之得1a3b<2>問A能不能相似對角化？并說明理由解由得A的特征值為1231由知R<AE>2所以齊次線性方程組<AE>x0的基礎解系只有一個解向量因此A不能相似對角化16試求一個正交的相似變換矩陣,將下列對稱陣化為對角陣:<1>;解將所給矩陣記為A由<1><4><2>得矩陣A的特征值為122134對于12解方程<A2E>x0即得特征向量<122>T單位化得對于21,解方程<AE>x0即得特征向量<212>T單位化得對于34,解方程<A4E>x0即得特征向量<221>T單位化得于是有正交陣P<p1p2p3>使P1APdiag<214><2>解將所給矩陣記為A由<1>2<10>得矩陣A的特征值為121310對于121解方程<AE>x0即得線性無關特征向量<210>T和<201>T將它們正交化、單位化得對于310,解方程<A10E>x0即得特征向量<122>T單位化得于是有正交陣P<p1p2p3>使P1APdiag<1110>17設矩陣與相似求xy并求一個正交陣P使P1AP解已知相似矩陣有相同的特征值顯然54y是的特征值故它們也是A的特征值因為4是A的特征值所以解之得x4已知相似矩陣的行列式相同因為所以20y100y5對于5解方程<A5E>x0得兩個線性無關的特征向量<101>T<120>T將它們正交化、單位化得對于4解方程<A4E>x0得特征向量<212>T單位化得于是有正交矩陣使P1AP18設3階方陣A的特征值為122231對應的特征向量依次為p1<011>Tp2<111>Tp3<110>T求A.解令P<p1p2p3>則P1APdiag<221>APP1因為所以19設3階對稱陣A的特征值為112130對應1、2的特征向量依次為p1<122>Tp2<212>T求A解設則Ap12p1Ap22p2即①②再由特征值的性質有x1x4x61230③由①②③解得令x60得x20因此20設3階對稱矩陣A的特征值162333與特征值16對應的特征向量為p1<111>T求A.解設因為16對應的特征向量為p1<111>T所以有即①233是A的二重特征值,根據實對稱矩陣的性質定理知R<A3E>1利用①可推出因為R<A3E>1所以x2x43x5且x3x5x63解之得x2x3x51x1x4x64因此21設a<a1a2an>Ta10Aaa<1>證明0是A的n1重特征值證明設是A的任意一個特征值x是A的對應于的特征向量則有Axx2xA2xaaTaaTxaTaAxaTax于是可得2aTa從而0或aTa設12n是A的所有特征值因為AaaT的主對角線性上的元素為a12a22an2a12a22an2aTa12這說明在12n中有且只有一個等于aTa而其余n1個全為0即0是A的n1重特征值<2>求A的非零特征值及n個線性無關的特征向量解設1aTa2n0因為AaaaTa<aTa>a1a所以p1a是對應于1aTa對于2n0解方程Ax0即aaTx0因為a0所以aTx0即a1x1a2x2anxn0p2<a2a100>Tp3<a30a10>Tpn<an00a1>T因此n個線性無關特征向量構成的矩陣為22設求A100解由得A的特征值為112535對于11解方程<AE>x0得特征向量p1<100>T對于15解方程<A5E>x0得特征向量p2<212>T對于15解方程<A5E>x0得特征向量p3<121>T令P<p1p2p3>則P1APdiag<155>APP1A100P100P1因為100diag<151005100>所以23在某國每年有比例為p的農村居民移居城鎮(zhèn)有比例為q的城鎮(zhèn)居民移居農村假設該國總人口數不變且上述人口遷移的規(guī)律也不變把n年后農村人口和城鎮(zhèn)人口占總人口的比例依次記為xn和yn<xnyn1><1>求關系式中的矩陣A解由題意知xn1xnqynpxn<1p>xnqynyn1ynpxnqynpxn<1q>yn可用矩陣表示為因此<2>設目前農村人口與城鎮(zhèn)人口相等即求解由可知由得A的特征值為112r其中r1pq對于11解方程<AE>x0得特征向量p1<qp>T對于1r解方程<ArE>x0得特征向量p2<11>T令則P1APdiag<1r>APP1AnPnP1于是24<1>設求<A>A105A9解由得A的特征值為1125對于11解方程<AE>x0得單位特征向量對于15解方程<A5E>x0得單位特征向量于是有正交矩陣使得P1APdiag<15>從而APP1AkPkP1因此<A>P<>P1P<1059>P1P[diag<1510>5diag<159>]P1Pdiag<40>P1<2>設,求<A>A106A95A8解求得正交矩陣為使得P1APdiag<115>APP1于是<A>P<>P1P<106958>P1P[8<E><5E>]P1Pdiag<1158>diag<204>diag<640>P1Pdiag<1200>P125用矩陣記號表示下列二次型:<1>fx24xy4y22xzz24yz解<2>fx2y27z22xy4xz4yz解<3>fx12x22x32x422x1x24x1x32x1x46x2x34x2x4解26寫出下列二次型的矩陣<1>解二次型的矩陣為<2>解二次型的矩陣為27求一個正交變換將下列二次型化成標準形:<1>f2x123x223x334x2x3解二次型的矩陣為由得A的特征值為122531當12時,解方程<A2E>x0由得特征向量<100>T取p1<100>T當25時解方程<A5E>x0由得特征向量<011>T取當31時解方程<AE>x0由得特征向量<011>T取于是有正交矩陣T<p1p2p3>和正交變換xTy使f2y125y22y32<2>fx12x22x32x422x1x22x1x42x2x32x3x4解二次型矩陣為由得A的特征值為1123341當11時可得單位特征向量當23時可得單位特征向量當341時可得線性無關的單位特征向量于是有正交矩陣T<p1p2p3p4>和正交變換xTy使fy123y22y32y4228求一個正交變換把二次曲面的方程3x25y25z24xy4xz10yz1化成標準方程解二次型的矩陣為由得A的特征值為1221130對于12解方程<A2E>x0得特征向量<411>T單位化得對于211解方程<A11E>x0得特征向量<122>T單位化得對于30解方程Ax0得特征向量<011>T單位化得于是有正交矩陣P<p1p2p3>使P1APdiag<2110>從而有正交變換使原二次方程變?yōu)闃藴史匠?u211v2129明二次型fxTAx在||x||1時的最大值為矩陣A的最大特征值.證明A為實對稱矩陣則有一正交矩陣T使得TAT1diag<12n>成立其中12n為A的特征值不妨設1最大作正交變換yTx即xTTy注意到T1TT有fxTAxyTTATTyyTy1y122y22nyn2因為yTx正交變換所以當||x||1時有||y||||x||1即y12y22yn21因此f1y122y22nyn21又當y11y2y3yn0時f1所以fmax130用配方法化下列二次形成規(guī)范形并寫出所用變換的矩陣<1>f<x1x2x3>x123x225x322x1x24x1x3解f<x1x2x3>x123x225x322x1x24x1x3<x1x22x3>24x2x32x22x32<x1x22x3>22x22<2x2x3>2令即二次型化為