高考數(shù)學(xué)重點考點解析第二章 (三)

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第二章幾個重要的不等式

§1柯西不等式

1.1簡單形式的柯西不等式

尹自主預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)區(qū)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.認(rèn)識并理解平面上的柯西不等式的代數(shù)和向量形式.

2.會用柯西不等的代數(shù)形式和向量形式證明比較簡單的不等式，會求某些函數(shù)的

最值.

預(yù)習(xí)自測

1.柯西不等式

若a,b,c,d^R,則（/+/）（（?+7）2等號成立<=>ad=bc.

2.柯西不等式的向量形式

設(shè)a,B為平面上的兩個向量，則依⑸期，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實

數(shù)使a=人”時,等號成立.

自主探究

1.如何證明：Q],但，仇,時，（山+尾）（尻+崖+。2岳產(chǎn)

提示（就+向（尻+/）一3仍1+。2岳）220

防彳++猶尾+尾尻一屆尻一〃潮-2a1。1a2b220

=病房—2a\b\a2b2+c^b\20

=（。也一念歷尸三。.

上式中等號成立g2=。26.

2.設(shè)平面上兩個向量為久=（0,W），0=（b\,岳），你能證明@網(wǎng)2心力|嗎？

提示.cos〈a'B）一圍網(wǎng)—布而用I'

.2I（。也+生。2）2「

..cos〈a,P）（鬲+/）（優(yōu)+比）W1,

即（屆+向（優(yōu)+層）23向+Q2b2）\

7山+詔?+比2|〃]力]+〃2岳1.

???同也21。訓(xùn),等號成立的充要條件為”=〃?QWO）.

聲講練互動i課堂講練區(qū)

典例剖析

知識點1利用柯西不等式證明不等式

【例1】已知3*+2/<6,求證：2x+y^y[H.

證明由于2x+y=/（小x）+左（啦y）.

由柯西不等式（a1。1+小岳yW（of+向（尻+M）得

②+T閨2+（右小2+29）

V3_p-L]乂八一-LL*A_11

.（3*2）X66X611，

|2九+y|W"\/Tl,.,.2x+yW\/T1.

【反思感悟】柯西不等式（a；+a，）（比+房）2b2y1比+慶2

\a]b]+a2b2\,應(yīng)用時關(guān)鍵是對已知條件的變形.

2伊變式訓(xùn)練

1.已知a,b,c,JGR,x>0,y〉0,且x2=a2+b2,y2=c2+J2,求證：xy^ac+

bd.

證明由柯西不等式知：

ac+bd^yja2b2y）c2-]-d2=y[j?,y[y1=xy.

'.xy^ac+bd.

[例2]（二維形式的三角不等式）設(shè)沏，y,X2,y26R，用代數(shù)的方法證明

+）彳+、后+42、（尤1-X2）2+（逐一絲）2.

證明（出；+/+山；+）分

=x?+y?+2yjx^+y^山之+陵+4+J

+yi+2|xix2+y\yi\+龍；+正

^x\+yi-2（X|X2+yi"）+》+￡

22

=4一2》陽+/+y彳-2%>2+陵=（修—x2）+（yi—y>2）

出；+）才+人君+賢（X|—X2）（y一?。?

【反思感悟】在平面中設(shè)a=（xi,y）,P=（xz,y2）,則<z土域=（九I±M,M士竺），

由向量加法的三角形法則知：

\a\+\P\^\a+川+人后+次2

7（X[+X2）?+―3+）2）2,由向量減法的幾何意義知：

\a\+\ft\^\a—川=町E+）彳+N貴+族》

7（X|—X2）2+（y—>2）2.

2伊變式訓(xùn)練

2.利用柯西不等式證明：片之、（寄y.

證明空2悖*日幅加丹半.

知識點2利用柯西不等式求函數(shù)的最值

【例3】求函數(shù)y=55一1+?10—2x的最大值.

解函數(shù)的定義域為{MlWxW5}.

y—5yjx~1x^'\/52+2"\/x—?1+5-x

=^27X2=6^3當(dāng)且僅當(dāng)5y5—》=6出一1

197

即》=詈時取等號，故函數(shù)的最大值為6s.

【反思感悟】解題的關(guān)鍵是對函數(shù)解析式進(jìn)行變形，使形式上適合應(yīng)用柯西不等

式，還要注意求出使函數(shù)取得最值時的自變量的值.

2伊變式訓(xùn)練

3.已知x+y=l,求2%2+3y2的最小值.

解2?+3y2=[（y]2x）2+（小歷2][（右j+（匍X|

當(dāng)也廠左+亞田W（x+y）24.

課堂小結(jié)

1?二維形式的柯西不等式

（居+向（優(yōu)+比）23自十〃2〃2）2,當(dāng)且僅當(dāng)aib2=a2b]時等號成立.

2.推論：（l）（a+b）?（c+d）》N^+y[^）2；

（2）\屆+/?仁說+送邦+〃2岳|；

◎W曷十/,（比+比仇|+士2岳1.

3.柯西不等式的向量形式|〃川W|0W，當(dāng)且僅當(dāng)存在實數(shù)awo,使〃=/時等號

成立.

4.二維形式的三角不等式

（1）AJc（\+6/2+yj比+用2d（41+Z71）2+（他+」2）2（或

弋4；+/+［居+層，7（〃1—/?］））+（〃2——2）2）；

（2）yj（0—仇）'+（〃2-岳）2+'（"一C1）2+（岳一。2）*

yj（的一ci）2+（念一。2）2.

隨堂演練

1.寫出空間直角坐標(biāo)系中柯西不等式的代數(shù)形式.

解（aj+>+而（優(yōu)+層+孱）

歷+。3〃3）2（。1，。2，的，b\9岳，3WR）.

當(dāng)且僅當(dāng)置=件=件時等號成立.

b\3。3

2.寫出空間代數(shù)形式的三角不等式.

解有兩種形式分別對應(yīng)定理3、定理4.

定理3為d曷+江+\++優(yōu)+層+層

2yl（0+加）2+（念+岳）2+（6+生）2

定理4為4（〃］一"）2+（〃2—<2）2+（，3-濟(jì)）2+

d（"—C1）?+（〃2-。2）?+（仇—。3）2

力］（。1一C1）2+（〃2一。2）2+（6一。3）

3.已知〃2+/+。2=1,x2+y2+z2=l.

求證：ax+by+cz^：\.

證明由柯西不等式得：

（42+廿+C2）（f+y2+z2）》（依++CZ）2.

222222

Va+/?+c=19x+y+z—1,；?|or+by+cz|WL

?\ax+hy+cz^l.

P課時作業(yè)i課后鞏固區(qū)____________________________________________________________________

一、選擇題

1.下列說法：

①二維形式的柯西不等式中a,b,c,d沒有取值限制.

②二維形式的柯西不等式中a,b,c,4只能取數(shù)，不能為代數(shù)式.

③柯西不等式的向量式中取等號的條件是a=p.

其中正確的個數(shù)有（）

A.1個B.2個

C.3個D.0個

解析由柯西不等式的概念知，只①正確，a,b,c,d是實數(shù)，沒有其取值限

制.

答案A

2.函數(shù)尸：+尚小（0,；））的最小值是（）

A.20B.25

C.27D.18

3.設(shè)a、0e（O,+°°）,且aWb,P=,Q=a+b,則（）

A.P>QB.P2Q

C.P<QD.PWQ

解析部+%+與=G『+（第y+（亞力

?品,也十余時

=（a+b）2,

2

'：a>0,b>0,.,.a+b>0.，仔+｝卜（a+b）

a+b=a+b-

a

?y[b,

頭.：a#b,而等號成立的條件是y[b

zb

即a=b,.,.a萬+/>a+Z?.即P>Q.

答案A

二'填空題

4.設(shè)a、Rc是正實數(shù)，且a+0+c=9,則2介2宗+2忘的最小值是.

解析“+匕+。）（灣+|）=［（如+（而+（/尸］［4|）2+4|）2+（41|2

乂3.41+亞情+血?/瓜.??泊+|》2.

答案2

5.若a2+/?2+c2=2,x2+y2+z2=4,則ar+by+cz的取值范圍是.

解析+/+c2）（x2+y2+z2）》（ax+by+cz）\

二（《x+by+cz）2W8,一2啦War+by+czW2啦.

答案［―2啦，2巾］

6.設(shè)a,b,m,〃GR,且a2+Z?2=5?〃?a+獻(xiàn)>=5,則/找2+/，的最小值為

解析運(yùn)用柯西不等式求解.

根據(jù)柯西不等式(加。+，仍『忘(。2+82)(/“2+”2),得25W5(〃，+"2),“J+/25,

-\lm2+n2的最小值為小.

答案小

三'解答題

7.若2x+3y=l,求4』+9產(chǎn)的最小值，并求出最小值點.

解由柯西不等式(47+9/)(12+12)>(2x+3y)2=1,

/.4x2+9y2^^.

當(dāng)且僅當(dāng)2x-l=3yl,即2x=3y時取等號.

=彳，

注.得

由1

=6'

.,.4/+9/的最小值為:，最小值點為&

8.設(shè)a,/?G（0,+°°）,若a+Z?=2,求十+1的最小值.

當(dāng)且僅當(dāng)班?古=亞?古，即a=6時取等號，

.,?當(dāng)a=b=l時，(+:的最小值為2.

9,已知。2+//=1,a,Z?ER,求證：|acos。+加in9|W1.

證明?二(acos0+bsin^)2^(a2+^2)(cos2G+sin?0)

=1?1=1,'locos0+/?sin0|WL

1.2形式?的柯西不等式?

h自主預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)區(qū)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解三維形式的柯西不等式，在此基礎(chǔ)上，過渡到柯西不等式的一般形式.

2.會用三維形式及一般形式的柯西不等式證明有關(guān)不等式和求函數(shù)的最值.

預(yù)習(xí)自測

1.定理2,設(shè)0,。2，…，a”與歷，歷，…，兒是兩組實數(shù)，則有（居+a；HF

若）（屏+叫H卜比）2（包力+a力?-!Fa,仇尸,當(dāng)向量（0，。2‘…,斯）與向量

（",勿,…,共線時，等號成立.

2.證明柯西不等式的一般形式的方法稱為參數(shù)配方法.

3.推論

設(shè)a\,。2,03,b\,bi,仇是兩組實數(shù)，則有（屆+詔+尾）（后+/+房

念3±她3K當(dāng)向量（勾，勿，的）與向量Si，b2,6）共線時“=”成立.

自主探究

1.由二維的柯西不等式的向量式同叫2白?加，你能推導(dǎo)出二維的柯西不等式的代

數(shù)式嗎？

提示設(shè)a=Q,々2）,fi=（b\,b^,則aW=（加+。2/

代入向量式得:（詔+的（優(yōu)+船）23仇+a2b2K.

當(dāng)且僅當(dāng)a灑2=公歷時，等號成立.

2.在空間向量中，同網(wǎng)2|以刈，你能據(jù)此推導(dǎo)出三維的柯西不等式的代數(shù)式嗎？

提示設(shè)a=3,a2,⑹，6=31，。2,優(yōu)），

則a力=0"+。2歷+。3。3代入向量式得

（a?+>+曲（比+M+房）2（a斷+a2b2+a3b3）±

當(dāng)且僅當(dāng)a與少共線時，即存在一個數(shù)攵，使得4=妨,（i=l,2,3）時，等號成

立.

3.你能猜想出柯西不等式的一般形式并給出證明嗎？

提示柯西不等式的一般形式為：若a\,a2,…，an,b\,仇，…，仇都為實

數(shù)，則有（a彳+0+…+*）而+缶+…+比）23已+°2。2+…+a也尸,證明如

下：

若0=42=3=斯=0,則不等式顯然成立，故設(shè)S,42,…，斯至少有一個不為

零，則+…+￡>0.

2

考慮二次三項式（屆+a升---卜tz?）x+2（。1"+a2b2H-------Fanb^）x+（房+房H--------卜星）

=（aix+仇）2+（。2%+為）2+…+（anx+b"）220.

對于一切實數(shù)X成立，設(shè)二次三項式的判別式為4

則彳=（a?"+a2b2H-------Fa,瓦y—（詔+■H-------F￡）（居+房-1--------1-霖）W0.

所以（屆+/+…+￡）（國+員+…+或）

2（a?"+a2b2+…+

j_,1

即（a；+a；+…+*）2（歷+歷+…+與）2日〃|仇+0282+…+。滴”I

等號成立導(dǎo)…琮.

尹講練互動;課堂講練區(qū)

典例剖析

知識點1利用柯西不等式證明不等式

2229

【例1】設(shè)/b,c為正數(shù)且互不相等，求證：-aT+b7+bv+^c+c^+-a>a+,b1+c.

證明2(a+b+c)(*+^+士)

=[(a+b)+S+c)+(c+a)].(出+法;十士)

=[(yja+b)2+(y[b+c)2+(y]c+a)2]-

=（1+1+1）2=9.

.」+—9

a+bb+cc+aa+b+c

,:a,b,c互不相等,

等號不可能成立，從而原不等式成立.

【反思感悟】有些問題本身不具備運(yùn)用柯西不等式的條件，但是我們只要改變一

下多項式的形態(tài)結(jié)構(gòu)，就可以達(dá)到利用柯西不等式的目的.

給變式訓(xùn)練

1.已知0,。2，的為實數(shù)，b[,勿，①為正實數(shù).

卡、丁aj.al，（0+的+的）2

求證：萬+反+聲6十仿+優(yōu)?

證明由柯西不等式得：

（尹尹飄+岳+3）

2侏,倔+就,魚+就,時2

=3+。2+。3）2.

.屆工星，(4|+02+。3)2

"?沅十員十/1.+F+仇,

知識點2利用柯西不等式求函數(shù)的最值

【例2】已知a,b,cG(O,+8)且a+b+c=l,^.\)4a+1+y)4h+1+y)4c+1

的最大值.

解74.+1+74方+1+口4,+1

=、4a+1,1+、4b+1,1+、4c+1,1

W(4a+1+4b+1+4C+1)|(12+12+12)1

當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)亙="畢="留時取等號.

即a=b=c=g時，所求的最大值為■x/元.

【反思感悟】利用柯西不等式，可以方便地解決一些函數(shù)的最大值或最小值問題.

通過巧拆常數(shù)、重新排序、改變結(jié)構(gòu)、添項等技巧變形為能利用柯西不等式的形

式.

2伊變式訓(xùn)練

2.設(shè)2x+3y+5z=29,求函數(shù)u=y]2x+1+寸3y+4++5z+6的最大值.

解根據(jù)柯西不等式

120=3[(2x+l)+(3y+4)+(5z+6)]>(1X^2x+1+1X^3y+4+1X^/5z+6)2,

故、2%+1+K3y+4+、5z+6W2^/30.

當(dāng)且僅當(dāng)2x+l=3y+4=5z+6,

即X=X>=當(dāng)Z=差時等號成立，此時Mmax=2^/30.

知識點3利用柯西不等式解方程

x2-hy2+z2=2>

【例3】在實數(shù)集內(nèi)解方程4

.-8x+6y—24z=39.

解由柯西不等式，得(x2+y2+z2)[(-8)2+6*+(—24)2]

2(—8x+6y—24z)2.①

V(x2+y2+z2)[(-8)2+62+(-24)2]

=^X(64+36+576)=392,又(一8%+6、-2外)2=392,

(x2+y2+z2)[(-8)2+62+(-24)2]

=(—8x+6y—24z)2,

即不等式①中只有等號成立，

從而由柯西不等式中等號成立的條件，得

xyz

ZZ8=6=-24,

它與一8x+6y—24z=39聯(lián)立，可得

6918

尤=一百產(chǎn)的z=一百

【反思感悟】利用柯西不等式解方程，關(guān)鍵是由不等關(guān)系轉(zhuǎn)換成相等關(guān)系，然后

再通過等號成立的條件求出未知數(shù)的值.

紿變式訓(xùn)練

3.利用柯西不等式解方程：2y1一利十川n+3=灰.

解,/2gL2x+"+3=62—4X+1々4%+3

W、2-4x+4x+3?+]=小?y/5=y/T^.

又由已知241—2了+叱標(biāo)+3=正.所以等號成立,

由等號成立的條件—2—4x?1=yj4x+3,6

得:2—4x=8x+6＞，x=一

即方程的解為x=-g.

課堂小結(jié)

柯西不等式的證明有多種方法，如數(shù)學(xué)歸納法；教材中的參數(shù)配方法(或判別式

法)等，參數(shù)配方法在解決其它問題方面也有廣泛的應(yīng)用.柯西不等式的應(yīng)用比較

廣泛，常見的有證明不等式，求函數(shù)最值，解方程等.應(yīng)用時，通過拆常數(shù)、重

新排序、添項、改變結(jié)構(gòu)等手段改變題設(shè)條件，以利于應(yīng)用柯西不等式.

隨堂演練

1.△ABC的三邊長為a、b、c,其外接圓半徑為H,求證：

32+/+'2)焉+焉+熹b36R2.

證明由三角形中的正弦定理得sinA=&,

IK

而”1_4/?2閂1_4R21_44

所以蓊問理1tH曬=歹’^rC=7r

于是左邊=（/+層+,2）修+警+陰

2R,,2R2R、2

小,~+b-T+tc~~）=36七

故原不等式獲證.

2.已知a”G，…，凡都是實數(shù)，求證：

~（?i+s+…+即yWa彳+韜+…+片.

證明（/+/+…+12）3彳+山+…+￡）

》（IXai+lXa2H——HXa〃R

〃（屆+謂+…+屆），31+〃2+…+斯尸

.??一（。|+改+…+劣）2忘屆+/+???+*?

F課時作業(yè)J課后鞏固區(qū)

一、選擇題

1.設(shè)a,b,cG（O,+°°）,且a+b+c=3,則｝+（+:的最小值為（）

A.9B.3C.y[3D.1

解析[（畫+（的2+向.[閨2+圍2+圉2]

2（也?古+亞?比+五田2

即（"計北+扛步3、

又?.Z+b+c=3,?,?十+1+:23,最小值為3.

答案B

2.已知裙+詔+…+*=1,X；+%+…+京=1,則0X1+〃2處+…+即扁的最大值

為（）

A.lB.H

C,yjnD.2

解析由柯西不等式（屆+/H1■片）（d+》H1■京）》（a]國+a?%?HF斯

得12（〃內(nèi)十。2尤2HP即0））.\a\X]+a2X2^F?內(nèi)?W1.所求的最大值為1.

答案A

3.已知2x+3y+4z=10,則y+J+z?取到最小值時的工，Az的值為（）

552o3o40

-190------

A.6夕229

3J-29?

1111

c-U-

3-49-

2?D.

解析小力、(f+)T\L+3-+不)

二(2x+3y+4z)二io。

-29=折

(x=2A,

當(dāng)且僅當(dāng)?y=3A,時，等號成立，則4攵+%+16攵=29左=10,

lz=4A

C20

x=西，

解得上=號，.?.<y=H，選B.

40

LZ=29-

答案B

二'填空題

4.已知實數(shù)a,b,c,d,e滿足a+/?+c+d+e=8,+e2==16?則

e的取值范圍為.

解析4(a2+Z?2+c2+J2)=(l+1+1+l)(a2+/?2+c2+J2)

2(a+Z?+c+J)2

即4(16—e2)(8—e)2,即64—4/264—16e+e?

5/-16eB0,故OWeW學(xué)

答案［o,y

5.設(shè)a,4c>0且a+O+c=A(A為常數(shù)).則的最小值為.

/111

---

111KI48CCa+b+c)

解析

--十--

Q+-力CA

三、解答題

6.已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+Z?+c+d=3,rz2+2^2+3c2+6J2=5?試求。的最

值.

解由柯西不等式得，有

(2/+3c2+61)(；+g+\bs+c+d)2,

即2/72+3c2+6d223+c+J)2

由條件可得，5—/》(3—4)2

時等號成立，代入》=；，C=

解得，lWaW2當(dāng)且僅當(dāng)^d=t

\/3\/6

時，〃max—2.

h=\,C=],d=g時，Qmin=l.

7.設(shè)。1>。2>???>%>%+1，求證：

---+--->0.

。1一。2。2一。3斯-斯+1斯+1一

-

證明a\-an+\=(a]-ai)+(^2~\----〃一斯+1)，

[(a1-。2)+(。2-的)H----卜(%一斯+1)卜

「1?1??1]

十H------r

_?一。2。2一。3?！èD斯+1_

2川0—。2*I1+「。2-。3*/1T----*/1Ji2〉]

弋。1一。27a2一。37%—%+1

即—??+廣―

]]

故」一>0.

a\一。2。2-。3斯1an+\—a\

8.設(shè)尸是△ABC內(nèi)的一點，x,y,z是P到三邊a,b,c的距離.R是△ABC外接

圓的半徑，證明：5+5+4^Wy豪,yja^+^+c2.

證明由柯西不等式得,

ylx+-\[y+yfz=y/ax

^ax+by+czN/計;

設(shè)S為△ABC的面積，則

ux~\~by~\~CZ=2S=24R=2R，

5十…怎

=y^R^ab+bc+ca^y^RNd+A+c?,

故不等式成立.

9.已知Q>0,b>0,c>0,函數(shù)?x)=|x+a|+|x一加+c的最小值為4.

⑴求a+b+c的值；

(2)求;〃2+1層+《2的最小值.

4-y

解(1)因為?r)=|x+a|+|x一例+c\|(x+a)—(x—/?)|+c=|a+/?|+c>

當(dāng)且僅當(dāng)一aWxW分時，等號成立.

又a>0,b>0,所以|a+b|=a+/x

所以/(x)的最小值為a+b+c.

又已知於)的最小值為4,所以a+b+c=4.

(2)由(1)知a+b+c=4,由柯西不等式，得

&2+#+。2)(4+9+1)

(ah、2

>GX2+QX3+CX1J=(a+b+c)2=16,

即我+*+c2冶.

當(dāng)且僅當(dāng)今~=g=彳，即＜7=1，6=竽，＜?='時等號成立，故%2+J/+c2的最小

ZJ1III4-27

值是享

§2排序不等式

h自主預(yù)習(xí)課前預(yù)習(xí)區(qū)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.了解排序不等式的“探究一猜想一證明一應(yīng)用”的研究過程.

2.初步認(rèn)識排序不等式的有關(guān)知識及簡單應(yīng)用.

預(yù)習(xí)自測

1.定理1：設(shè)。，人和c,△都是實數(shù)，如果a2/?,c2d,那么ac+bdNad+bc,

此式當(dāng)且僅當(dāng)。="或。=①時取"=”號.

2.定理2：（排序不等式）設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組

勾…及bi2b2,…2

則（順序和）ag1+a2b24---Fanbn2

（亂序和）a向l+a2如^---卜%瓦言

（逆序和）a也+她”-1----卜a”班.

其中力，力，…，，”是1，2,…，〃的任一排列方式.上式當(dāng)且僅當(dāng)ai=a2=~=

為（或仇=歷=~=為）時取"="號.

自主探究

1.某班學(xué)生要開聯(lián)歡會，需要買價格不同的禮品4件、5件及2件，現(xiàn)在選擇商店

中有單價為3元、2元和1元的禮品，問有多少不同的購買方案？在這些方案中

哪種花錢最少？哪種花錢最多？

提示有多少種不同的購買方案，實質(zhì)上就是禮品和單價有多少種不同的對應(yīng)關(guān)

系.與單價3元對應(yīng)的禮品可以是4件的禮品，也可以是5件或2件的禮品共有三

種對應(yīng)關(guān)系，與單價2元對應(yīng)的只還有剩下的2種.與單價一元對應(yīng)的只有一種.

由乘法分步計數(shù)原理知共有3X2X1=6種不同的購買方案.

根據(jù)生活的實際經(jīng)驗，花錢最少的方案應(yīng)是最貴的禮品買最少的件數(shù)，最便宜的

禮品買最多的件數(shù)，即1X5+2X4+3X2=19元，花錢最多的方案應(yīng)是：單價

最高的禮品買最多的件數(shù)，單價最低的禮品買最少的件數(shù)，即1X2+2X4+

3X5=25元.

2.設(shè)有兩組實數(shù)，。1<。2<的，b\<b2<by,設(shè)Cl、C2、C3是bl、仇、。3的任一個排

列，作和2c2+a3c3,你能猜測和的最大值及最小值分別是怎樣的和式嗎？

提示由問題1我應(yīng)得到啟發(fā)，和最大的應(yīng)該為0仇+。2b2+43優(yōu)，和最小的應(yīng)該

是。1人3+〃2方2+。3".

3.有10個人各拿一只水桶去接水，設(shè)水龍頭注滿第2,…，10）個人的水

桶需要。分，假設(shè)這些力各不相同，問只有一個水龍頭時，應(yīng)如何安排10人的順

序，使他們等候的總時間最??？這個最少的總時間等于多少？（根據(jù)排序原理回

答）

提示不妨設(shè)。<力<…<ho，：1<2<3<…<10,由排序原理知逆序和最小，即10。

+9為+…+5最小，所以按注水時間由小到大的順序注水，則他們10人等候的

總時間最小，最少的總時間為10，1+9攵+…+%（）.

F講練互動課堂講練區(qū)

典例剖析

知識點1利用排序原理證明不等式

J2,|_2/

【例1】已知mb,c為正數(shù),求證：——-7V——^abc.

a+b+c

證明根據(jù)所需證明的不等式中〃，從。的“地位”的對稱性，不妨設(shè)

則拉拉土bcWcaWab.

由排序原理：順序和N亂序和，得:

be.ca.cib'bc.ca.ab

—a+Tb+—ce—c+—a+Mb?

/c2+Ca+cTb2

即

abc2a+/7+c,

因為a,b,c為正數(shù)，所以a/?c>0,a+b+c>Q,

b2^+c2?2+c^b2

于I,.2abc.

TEa+b+c

給變式訓(xùn)練

1.已知已外功…bWb?&…

求證：(ai設(shè)+a2b2+…+aM)2小。i+〃2T----卜斯)(bi+〃2T-----\~btt).

證明令5=。力］+。2〃2H----卜出瓦,則

S2a仍2+a2b34----kanb1,

52白1〃3+。2〃4+…+。滴，2

S2。]為+。2"+…+〃/〃T，

將上面〃個式子相加，并按列求和可得

〃SNQ]SI+/?2+…+匕〃）+。231+歷+…+仇）+…+斯（仇+岳+…+與）

=（。1+a2H----卜斯）31+。2H------

S2：（a]+&+…+斯）（6+。2-----1-bn）

即（aI。1+a2b2H----H。滴〃）

1+a2H----Ha”）Si+岳H-----Fb,j.

【例2】設(shè)0,3…，a〃是〃個互不相同的正整數(shù)，求證：l+；+g+…

0+砥+拿+…+我.

設(shè)C”C2，…，G,是a”生，…，a”由小到大的一個排列,

即Ci<(:2<C3<,

根據(jù)排序原理中，逆序和W亂序和,

得c\+'+我T---+爭Wai+貴+爭-1----卜*,

而Ci，C2，…，金分別大于或等于1,2,…，n,

；?@+到母+…+彩1+斜宗+…+/

=1+%…+5

1+2+3+…+呆勾+羅+…+祟

2伊變式訓(xùn)練

2.設(shè)C1，C2，…，Q為正數(shù)組a”“2，…，斯的某一排列，求證：---FT1

ClCICn

證明不妨設(shè)0<ai…則’…

m°2

因為;，A…，J是:，；，…，。的一個排序，

C\C2cna\念an

故由排序原理：逆序和W亂序和

得4Z]?—+?2?-----\~a?—

a\<22n%

1,1,.1

即生+絲+…+為2〃.

ClC2cn

知識點2利用排序原理求最值

【例3】設(shè)a,b,C為任意正數(shù),求選+￡+士的最小值.

b-rcc十〃a+b

解不妨設(shè)

則-三~-，

a+/72a+c2/7+c,Tb+1~cc-raa-vb

由排序不等式得，

a.b.c>b.c.a

b-\~cc+aa~\-b^b+cc~\-aa~\-b

abccab

b-\-cc+aa+b/b+cc+aa+b

上述兩式相加得：2（比+扁+扁23.

即日n-+*b+±c冶3.

b+cc+aa+bL

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時，越-+￡+—3取最小值,

b+cc+aa+b2

獷變式訓(xùn)練

3.設(shè)0<QW〃WC且abc=1.

試求■k+f一的最小值.

解令S=11+C)+)M+C)(。+<)'

.Qabc12(abc)?」_(abc)、

人S。3(匕+c)力(〃+c)C3(〃+/?)

be_Lacab

a(〃+c)'b(a+c)aCc(.a+b)

由已知可得：一(i\\i(\\一rL、，ab&

a(。十c)b<a+c)c{a+b)

.c、be,ac-ab,

■.53―71~\一1?ac+~r~:一;―r~?ab~\~一;一..?be

a\b-vc)b(。十c)c^a+b)A

c」aJb

a(力+c)b(Q+C)C(a+b)

beac,1ab

abc-r/[7、?ac

a(6+c)h(a+c)c(Q十。)

_____b,c.q

a(Z?+c)b(a+c)c(a+b)'

兩式相加得：2S*+H>3?既=3.

31113

???號,即3G\+/3：I+3二的最小值為宗

S2avb+c)b(。十c)、c^a+匕b)丁2

課堂小結(jié)

排序不等式有著廣泛的實際應(yīng)用，在應(yīng)用時，一定在認(rèn)真分析題設(shè)條件的基礎(chǔ)上

觀察要證結(jié)論的結(jié)構(gòu)特征，從而分析出要用排序原理中逆序和W亂序和，或是亂

序和W順序和，或者逆序和W順序和.不少命題的證明可能多次用到排序原理.

隨堂演練

1.利用排序原理證明：若0，。2，…，?！睘檎龜?shù)，則"山二"2

n

ci\a2

證明不妨設(shè)的2〃2力。3>…》篇>0,

則有…

0

由排序不等式，得---------*----------

-+-+--?+-

。1+42~1---1~四的做

wnn

L1

口//1+a2H---1-斯-+-+-+

即一w---------------

nnn

?+a2+?一+a〃n

n2

-a\+-a+z???+-

55

〃111

4-

J34--

人

7-人

〃

2.已知。，b,c為正數(shù)，“NbNc.求證：尸3C〃C

證明'：a^b^c^O,/.aV^a3c3>Z?3c3,

又成，田、（：5,由排序原理得：

/b5c5a5h5c5

由+/+肅2/+由+而（順序和2亂序和）,

即痣+幺+焉4+知,

又5222c2,泉表4

2222?22

由亂序和已逆序和得：方+%+宗翼+%

111

-

-b-

。C

聲課時作業(yè)課后鞏固區(qū)

一、選擇題

1.有三個房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個房間只用一種顏色，且三個房間顏

色各不相同.已知三個房間的粉刷面積（單位：n?）分別為無，y,z,且xVyVz,三

種顏色涂料的粉刷費用（單位：元/n?）分別為a,b,c,且“Vb<c.在不同的方案

中，最低的總費用（單位：元）是（）

A.ar+Z?y+czB.az+Z?y+cx

C.ay-\-bz+cxD.ay+/?x+cz

解析法一用特值法進(jìn)行驗證.令x=1,y=2,z=3,a—1,b=2,c=3.A

項：ax+by+cz=1+4+914；B項：az+力+cx=3+4+3=10；C項：ay+bz

+ex—2+6+3—11；D項：〃y+/?x+cz=2+2+9=13.故選B.

法二由順序和'亂序和'反序和.可得az+by+cx最小.

答案B

二、填空題

222

2.設(shè)。1，。2，。3，…，斯為正數(shù)，那么P=41+a2H---〃與。=?+爭-----

2

+中的大小關(guān)系是.

解析假設(shè)仙巳公學(xué)6》…則2…2：》;，

斯an-\aa\

并且屆2星2星》…2*,

2222

P=a\+a2+a-i-\---卜斯=1+等+詈T---喈'

Cl\。2。3an

是反順和，Q是亂順和，由排序不等式定理PWQ.

答案PWQ

三'解答題

3.設(shè)。1，。2，…，〃〃為正數(shù)，求證："+絲+…+色」+做+…+恁.

02的恁

證明不妨設(shè)…,斯＞0,則有裙＞忌＞???＞￡

也有:＜；＜??＜；,由排序原理：亂序和2逆序和，得：

CL\。2

222222

幺十及十…生+&+…+州=++…+

〃2〃3〃2斯

、

4.設(shè)A、BC表示△A3C的三個內(nèi)角的弧度數(shù)，Q,b9c表示其對邊，求證:

〃A+Z78+cC>兀

Q+〃+Cx3?

證明法一不妨設(shè)則有〃泌>c,由排序原理：順序和2亂序和.

aA~\~bB~\~cC^aB~\~bC~\~cA\oA+bB+cOoC+bA+cB；

〃A+/?3+cC=aA+〃3+cC.上述三式相加得

3(QA+/?B+CC)2(A+B+C)(4+0+C)=冗(a+b+c).

,-a-A-+--b-B--+-c-C>^——兀

??a+b+c-3?

法二不妨設(shè)則有a>8>c,

〃A+ZzB+cC>A+8+C。+卜+C

由排序不等式

3133~

.aA+bB+cCn

即aA+/78+cC2§(Q+/?+c),

*a+b+c-3?

5.設(shè)mb,c為正數(shù)，利用排序不等式證明〃3+/+。3>3〃反.

證明不妨設(shè)a2b，c>0,:廿》c1,

由排序原理：順序和2逆序和，得：

/?3+c3b1c+c2b,c3+tz3a2c~\~a,

三式相加得2(c/+Z?3+c3)2a(h2+c2)+/?(c2+tz2)+c(a2+層).

又c^-\-b2^2ab?b?+j^2bc,c1-\-c^^2ca.

所以2(a3+/+c3)e6Q〃c,

+A，+c323abe.

當(dāng)且僅當(dāng)。=/?=c時，等號成立.

a+/7+c

6.設(shè)。，b,c是正實數(shù)，求證：aabbcc^(abc)3.

證明不妨設(shè)a'b'oO,則lga21g》21gc.

據(jù)排序不等式有：

tzlga+blg/?+clgc^blga+clgb+algc

alga+blgb+c\gcNclga+algb+blgc

Hga+hlgb+c\gc=alga+hlgb+c\gc

上述三式相加得：

3(alga+b\gb+clgc)N(〃+0+c)(lga+lgb+\gc),

a+b+c

即lg(a7%c)22lg(Q姐.

故，甘2(abcf1+：+，.

7.設(shè)龍"yi(i=1,2,-??,〃)是實數(shù)，且沏力應(yīng)力…》與，…2為，而z”

Z2，…，z〃是為，”，…，y〃的一個排列.

nn

求證：￡](XLM)22￡(x-Zj)2.

I-1II

nn

證明要證上(為一力羚苫U-z,)2

nnnn

只需證￡H—2區(qū)X以2￡Z?—2區(qū)為Zj.

nnnn

因為￡yj=&z；，，只需證gX?Wg產(chǎn)必

而上式左邊為亂序和，右邊為順序和.

由排序不等式得此不等式成立.

nn

故不等式￡(為一%)22￡(為一Zj)2成立.

8.已知a,b,c為正數(shù),且兩兩不等，求證：2(a3+b3+c3)>?2(Z?+c)+b\a+c)+

C2(6?+/?).

證明不妨設(shè)a>">c>0.則。2>匕2"2,<z+/?>tz+c>/?+c,

/(a+/?)+/(a+c)+c2s+c)

>a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),

即+c3+a2b+b2a+b2c+c2b

>c?(b+c)+b2(a+c)+(?(a+b),

又,:a*1>b2>c2,a>b>c,

c^b+b2a<a^+/73,/72c+Jb<b+c3.

即c^h+b2a+h2c+(rb<a+2/?3+c3,

所以有2(〃3+/;3+/)>〃2s+c)++(?)+d(a+b).

§3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式

3.1教學(xué)歸納法

h自主預(yù)習(xí)-課前預(yù)習(xí)區(qū)

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解歸納法和數(shù)學(xué)歸納法原理.

2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明有關(guān)問題.

預(yù)習(xí)自測

1.由有限多個個別的特殊事例得出二的推理方法，通常稱為歸納法.

2.一般地，當(dāng)要證明一個命題對于不小于某正整數(shù)〃。的所有正整數(shù)n都成立時，

可以用以下兩個步驟：

(1)證明當(dāng)〃取初始值〃0時命題成立；

(2)假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立,證明〃=左+1時命題也成立.

在完成了這兩個步驟后，就可以斷定命題對于從初始值〃。開始的所有自然數(shù)都

正確.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.

自主探究

1.為什么數(shù)學(xué)歸納法能夠證明無限多個正整數(shù)都成立的問題呢？

提示這是因為第一步首先驗證了〃取一個值〃°,這樣假設(shè)就有了存在的基礎(chǔ)，

至少%=如成立，根據(jù)假設(shè)和合理推證，證明出〃=女+1也成立.這實質(zhì)上是證明

了一種循環(huán).如驗證了〃o=l成立，又證明了〃=k+1也成立，這就一定有〃=2

成立；〃=2成立，則〃=3也成立；〃=3成立，則〃=4也成立.如此反復(fù)，以至

對所有〃學(xué)如的整數(shù)就都成立了.數(shù)學(xué)歸納法非常巧妙地解決了一種無限多的正整

數(shù)問題，這就是數(shù)學(xué)方法的神奇.

2.在用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題時，只有第一步或只有第二步可以嗎？為什么？

提示不可以；這兩個步驟缺一不可，只完成步驟①而缺少步驟②，就作出判斷

可能得出不正確的結(jié)論.因為單靠步驟①，無法遞推下去，即〃取〃o以后的數(shù)時

命題是否正確，我們無法判定.同樣，只有步驟②而缺少步驟①時，也可能得出

不正確的結(jié)論，缺少步驟①這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟②也就沒

有意義了.

3.利用數(shù)學(xué)歸納法時，第二步為什么必須利用歸納假設(shè)？

提示第二步實際上是證明一個條件命題：“假設(shè)n=k(k^n0,ZGNi)時命題成

立，證明當(dāng)〃=%+1時命題也成立"，其本質(zhì)是證明一個遞推關(guān)系，若不用歸納

假設(shè)，就是沒有證明這種遞推關(guān)系，所以歸納假設(shè)是必須要用的.假設(shè)是起橋梁

作用的，橋梁斷了就通不過去了.

h講練互動!課堂講練區(qū)

典例剖析

知識點1利用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

【例1］用數(shù)學(xué)歸納法證明仔―2?+32—42+…+(—1)"一?〃2=(-1)〃-

1〃(1+1)

2-

證明(1)當(dāng)n=\時，左邊=r=1,右邊=(T)°JX=1,二等式成

立.

(2)假設(shè)”=4MN+，攵21)時，等式成立,

k（k+1）

即有12-22+32-42+-+（-1/-'-9=（—1尸?…丁.

那么，當(dāng)〃=女+1時，則有:

l2