5.4.2 正弦函數余弦函數的性質7題型分類（原卷版）

5.4.2正弦函數、余弦函數的性質7題型分類一、正弦函數、余弦函數的性質函數名稱函數性質y＝sinxy＝cosx相同處定義域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期2π最小正周期2π不同處圖象奇偶性奇函數偶函數單調性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上單調遞減在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調遞減最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymax＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)時，ymin＝－1對稱性對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)二、解讀正弦、余弦函數的單調性(1)正弦、余弦函數在定義域R上均不是單調函數，但存在單調區(qū)間．(2)求解(或判斷)正弦函數、余弦函數的單調區(qū)間(或單調性)是求值域(或最值)的關鍵一步．(3)確定含有正弦函數或余弦函數的較復雜的函數單調性時，要注意使用復合函數的判斷方法來判斷．三、解讀正弦函數、余弦函數的最值與對稱性(1)明確正、余弦函數的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)對有些函數，其最值不一定是1或－1，要依賴函數的定義域來定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數的最值通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝z，將函數轉化為y＝Asinz的形式求最值．(4)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點，即此時的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(5)正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點，即此時的正弦值(余弦值)為0.（一）正弦函數、余弦函數的單調區(qū)間1、求正弦函數、余弦函數單調區(qū)間的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數的單調區(qū)間時，若ω為負數，則要先把ω化為正數．當A>0時，把ωx＋φ整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調遞增區(qū)間內，求得的x的范圍即函數的單調遞增區(qū)間；整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調遞減區(qū)間內，可求得函數的單調遞減區(qū)間．當A<0時，上述方法求出的區(qū)間是其單調性相反的區(qū)間．最后，需將最終結果寫成區(qū)間形式．2、求y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的單調區(qū)間，可以把ωx＋φ看作一個整體(保證ω>0)放入y=sinx和y=cosx保證x的系數為正，否則應按“同增異減”的復合函數單調性求解.題型1：正弦函數、余弦函數的單調區(qū)間11．（2023上·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學校考階段練習）已知函數，則在上的單調遞增區(qū)間為（

）A． B．C． D．12．（2023下·吉林長春·高一東北師大附中?？茧A段練習）函數，的增區(qū)間是（

）A． B．C． D．13．（2023下·新疆·高二統(tǒng)考學業(yè)考試）已知函數，則的一個單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．14．（2023下·高一單元測試）函數的單調遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．15．（2023·上?！じ咭患倨谧鳂I(yè)）求函數的單調減區(qū)間.16．（2023·高一課時練習）畫出函數的圖象，并根據圖象討論其性質.題型2：根據正弦函數、余弦函數的單調性求參數21．（2023上·湖北·高一湖北省天門中學校聯考階段練習）已知函數在上單調遞增，則取值范圍是.22．（2023上·全國·高三校聯考期中）已知函數在上單調遞增，則的最大值為．23．（2023上·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）?？计谀┮阎瘮翟趨^(qū)間上單調遞減，則正實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．24．【多選】（2023下·湖北省直轄縣級單位·高一校考期中）已知，函數在上單調遞減，則實數的取值可以是（

）A．1 B． C． D．225．（2023·貴州畢節(jié)·校考模擬預測）已知函數在區(qū)間上是單調的，則的取值范圍是（

）A． B． C．D．26．（2023上·重慶·高三校聯考階段練習）已知函數在上單調遞增，則實數m的最大值為（

）A． B． C． D．27．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．28．（2023·全國·河南省實驗中學?？寄M預測）已知函數的周期為，且滿足，若函數在區(qū)間不單調，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．29．（2023上·江西宜春·高三江西省銅鼓中學?？茧A段練習）若函數在區(qū)間上既有最大值，又有最小值，則的取值范圍為.（二）利用三角函數的單調性比較大比較三角函數值大小的方法(1)比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區(qū)間內的角，再利用函數的單調性比較．(2)比較兩個不同名的三角函數值的大小，一般應先化為同名的三角函數，然后利用函數的單調性比較．題型3：利用三角函數的單調性比較大小31．（2023·海南·校聯考模擬預測）已知，，，則（

）A． B． C． D．32．（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）已知則a，b，c的大小關系為（

）A． B． C． D．33．（2023下·四川綿陽·高一綿陽南山中學實驗學校?？茧A段練習）已知，，，則（

）A． B． C． D．34．（2023下·陜西漢中·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．35．（2023下·山西·高一統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B．C． D．36．（2023下·北京朝陽·高二統(tǒng)考期末）已知，，，則（

）A． B． C． D．37．（2023上·山東臨沂·高三統(tǒng)考期中）已知，，，則（

）A． B． C． D．38．（2023下·四川綿陽·高一四川省綿陽南山中學?？计谥校┰O，則大小關系（

）A． B．C． D．39．【多選】（2023上·山東泰安·高一泰山中學?？计谀┮阎?，則下述正確的是（

）A． B． C． D．310．（2023上·江蘇蘇州·高一?？茧A段練習）已知是定義在上的偶函數，是定義在上的奇函數，且，均在上單調遞增，則（

）A． B．C． D．（三）正弦函數、余弦函數的最值(值域)問題三角函數最值問題的三種常見類型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的有界性，注意對a正負的討論．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sinx，轉化為二次函數y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據定義域來確定．題型4：正弦函數、余弦函數的最值(值域)問題41．（2024·浙江溫州·統(tǒng)考一模）若函數，的值域為，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．42．（2023上·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）函數的最大值與最小值之差為（

）A． B．0 C．2 D．43．（2023上·陜西咸陽·高三?？茧A段練習）函數在上的值域為（

）A． B． C． D．44．（2023上·上海浦東新·高三上海市洋涇中學校考期中）已知關于的不等式有解，則實數的取值范圍為45．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的值域：(1)；(2)．46．（2023上·山東聊城·高三統(tǒng)考期中）已知函數在區(qū)間上的最大值為6．(1)求函數的單調遞減區(qū)間；(2)求使成立的的取值集合．47．（2023上·天津河東·高三?？茧A段練習）函數，函數的值域為，則．48．（2023上·廣東肇慶·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數在區(qū)間上的值域為，則.（四）正弦函數、余弦函數的周期性求三角函數的周期，一般有三種方法定義法：直接利用周期函數的定義求周期．使得當取定義域內的每一個值時，都有.利用定義我們可采用取值進行驗證的思路，非常適合選擇題；公式法，即將函數化為或的形式，再利用求得，對于形如y＝asinωx＋bcosωx的函數，一般先將其化為y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；圖象法：利用三角函數圖象的特征求周期．如：正、余弦函數圖象在相鄰兩最高點(最低點)之間為一個周期，最高點與相鄰的最低點之間為半個周期．相鄰兩對稱軸間的距離為eq\f(T,2)，相鄰兩對稱中心間的距離也為eq\f(T,2),相鄰對稱軸和對稱中心間的距離也為，函數取最值的點與其相鄰的零點距離為.函數的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點．題型5：正弦函數、余弦函數的周期性51．（2023·全國·高一隨堂練習）求下列函數的周期：(1)；(2)；(3)；(4)．52．（2023上·江蘇·高一專題練習）求下列函數的周期：(1)，；(2)，；(3)，．53．（2023上·上海浦東新·高二上海市洋涇中學?？计谥校┖瘮档淖钚≌芷谑牵?4．（2023上·廣東·高三廣州市第一中學統(tǒng)考階段練習）函數的最小正周期為．55．（2023上·江蘇連云港·高三江蘇省海州高級中學?？茧A段練習）若直線是函數圖象的兩條相鄰的對稱軸，則（

）A． B． C． D．56．（2023上·廣東深圳·高一?？计谀┖瘮档淖钚≌芷谑?，則．57．（2023上·高一課時練習）已知函數的最小正周期為，則.58．（2023上·河南安陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數的最小正周期為，則（）A． B．C． D．59．（2023下·高一單元測試）已知函數，且的最小正周期為,若，求實數的值.（五）正弦函數、余弦函數的奇偶性（1）對于函數（A>0,ω>0）：時，函數為奇函數；時，函數為偶函數．（2）對于函數（A>0,ω>0）：時，函數為偶函數；時，函數為奇函數．題型6：正弦函數、余弦函數的奇偶性61．（2023下·湖南·高二校聯考期末）函數的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

62．（2023上·全國·高三校聯考開學考試）函數（e為自然對數的底數）在的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

63．（2023下·新疆塔城·高一塔城地區(qū)第一高級中學?？茧A段練習）已知函數，則是為奇函數的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件64．【多選】（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習）已知函數為偶函數，則的取值可以為（

）A． B． C． D．65．【多選】（2023下·福建泉州·高一?？计谥校┤艉瘮凳桥己瘮?，則的值不可能為（

）A． B． C． D．66．（2023·全國·高三專題練習）使函數為奇函數，則的一個值可以是（）A． B． C． D．67．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）已知函數是偶函數，則.68．（2023上·河南周口·高三周口市文昌中學?？茧A段練習）已知函數，若，則.69．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學?？计谥校┖瘮档淖畲笾禐?，最小值為，若，則．（六）正弦函數、余弦函數的對稱性(1)定義法：正(余)弦函數的對稱軸是過函數的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數的零點．(2)公式法：函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；題型7：正弦函數、余弦函數的對稱性71．（2023下·江西·高一校聯考期末）函數圖象的一條對稱軸的方程為（

）A． B． C． D．72．（2023上·北京·高一北京市十一學校?？计谀┖瘮档膶ΨQ中心為.73．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高三新鄉(xiāng)市第一中學校考階段練習）函數，的圖象的對稱中心的坐標是.74．【多選】（2023上·江西贛州·高三江西省大余中學校聯考期中）已知函數，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的圖象關于中心對稱D．在區(qū)間上單調遞增75．【多選】（2023上·湖南長沙·高二校考期中）已知函數，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．是偶函數D．的單調遞減區(qū)間為76．【多選】（2023上·河北衡水·高三河北武強中學?？奸_學考試）已知函數（），下列結論錯誤的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數的圖象關于點對稱C．函數在區(qū)間上是減函數D．函數的圖象關于直線對稱77．（2023上·安徽六安·高三六安一中?？茧A段練習）已知函數在區(qū)間恰有兩條對稱軸，則的取值范圍（

）A． B． C． D．78．（2023上·上海虹口·高三上海財經大學附屬北郊高級中學?？计谥校┮阎浅担艉瘮祱D像的一條對稱軸是直線．則的值不可能在區(qū)間（

）中．A． B． C． D．79．（2023上·天津河東·高三?？茧A段練習）設函數，若是函數圖象的一條對稱軸，則的最小值為（

）A． B． C． D．710．（2023上·浙江·高二校聯考期中）若函數的圖象關于直線對稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．711．（2023下·全國·高二校聯考階段練習）已知函數，則（

）A．的圖象關于點對稱 B．的圖象關于直線對稱C．為偶函數 D．的最小正周期為712．（2023上·陜西渭南·高三校考階段練習）已知函數和函數圖象的對稱軸完全相同，則的值為（

）A． B． C． D．一、單選題1．（2023上·福建莆田·高三莆田一中?？计谥校┮阎膱D象關于對稱，則函數的圖象的一條對稱軸是（

）A． B． C． D．2．（2023上·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知函數在上沒有零點，則的最大值為（

）A．1 B． C． D．3．（2023上·上海浦東新·高三校考期中）奇函數在區(qū)間上恰有一個最大值和一個最小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學?？计谥校啊笔恰昂瘮翟趨^(qū)間上最大值為”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．（2024·四川宜賓·四川省宜賓市南溪第一中學校校考模擬預測）已知函數在區(qū)間單調遞增，直線和為函數的圖像的兩條相鄰對稱軸，則（

）A． B． C． D．6．（2023上·湖南邵陽·高三校聯考階段練習）已知（，為常數），若在上單調，且，則的最小正周期是（

）A． B． C． D．7．（2023上·江蘇鹽城·高三統(tǒng)考期中）若函數在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考一模）已知函數在上存在最值，且在上單調，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2023上·湖南邵陽·高三統(tǒng)考期中）關于函數，下列結論正確的是（

）A．的最小正周期為 B．的最大值為2C．在上單調遞減 D．是的一條對稱軸10．（2023上·湖南·高二校聯考期中）設函數，則下列說法正確的是（

）A．若的最小正周期為，則B．若，則的圖象關于點對稱C．若在區(qū)間上單調遞增，則D．若在區(qū)間上恰有2個零點，則11．（2023上·新疆·高三校聯考期中）已知函數，則（

）A．的最小正周期為B．的圖象關于直線對稱C．的圖象關于點中心對稱D．在區(qū)間上單調遞增12．（2023上·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習）已知函數在上單調，，則的可能取值為（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2024上·廣東江門·高三統(tǒng)考階段練習）若函數在區(qū)間內沒有零點，則正數ω的取值范圍是．14．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學?？计谥校┮阎瘮担€的一個對稱中心為，一條對稱軸為，則的最小值為.15．（2023上·北京·高三北京市第三十五中學?？计谥校┮阎瘮担o出下列4個結論：①函數的值域為②存在正數m，函數在區(qū)間上無零點③函數的周期為④對任意正數m，函數在區(qū)間上有無窮多個零點其中正確的結論序號有．16．（2024上·河南新鄉(xiāng)·高三新鄉(xiāng)市第一中學?？茧A段