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名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末統(tǒng)考試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),為圖象的對稱中心,若圖象上相鄰兩個極值點,滿足,則下列區(qū)間中存在極值點的是()A. B. C. D.2.設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù),前項和為,,且,則()A.128 B.65 C.64 D.633.在正方體中,點、分別為、的中點,過點作平面使平面,平面若直線平面,則的值為()A. B. C. D.4.在的展開式中,的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.155.如圖,已知直線與拋物線相交于A,B兩點,且A、B兩點在拋物線準線上的投影分別是M,N,若,則的值是()A. B. C. D.6.已知函數(shù),其中,記函數(shù)滿足條件:為事件,則事件發(fā)生的概率為A. B.C. D.7.已知數(shù)列的前項和為,且,,則()A. B. C. D.8.已知數(shù)列滿足,且成等比數(shù)列.若的前n項和為,則的最小值為()A. B. C. D.9.已知橢圓內(nèi)有一條以點為中點的弦,則直線的方程為()A. B.C. D.10.若(是虛數(shù)單位),則的值為()A.3 B.5 C. D.11.如圖是一個幾何體的三視圖,則這個幾何體的體積為()A. B. C. D.12.若,,,則()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.的展開式中,若的奇數(shù)次冪的項的系數(shù)之和為32,則________.14.已知為正實數(shù),且,則的最小值為____________.15.如圖,在△ABC中,AB=4,D是AB的中點,E在邊AC上,AE=2EC,CD與BE交于點O,若OB=OC,則△ABC面積的最大值為_______.16.在棱長為的正方體中,是正方形的中心,為的中點,過的平面與直線垂直,則平面截正方體所得的截面面積為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知等比數(shù)列是遞增數(shù)列,且.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)若,求數(shù)列的前項和.18.(12分)已知圓的極坐標方程是,以極點為平面直角坐標系的原點,極軸為軸的正半軸,建立平面直角坐標系,直線的參數(shù)方程是是參數(shù)),若直線與圓相切,求實數(shù)的值.19.(12分)已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,設(shè),證明:,,使.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解不等式;(2)設(shè)不等式的解集為,若,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)在上的最大值為3.(1)求的值及函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若銳角中角所對的邊分別為,且,求的取值范圍.22.(10分)一張邊長為的正方形薄鋁板(圖甲),點,分別在,上,且(單位:).現(xiàn)將該薄鋁板沿裁開,再將沿折疊,沿折疊,使,重合,且重合于點,制作成一個無蓋的三棱錐形容器(圖乙),記該容器的容積為(單位:),(注:薄鋁板的厚度忽略不計)(1)若裁開的三角形薄鋁板恰好是該容器的蓋,求,的值;(2)試確定的值,使得無蓋三棱錐容器的容積最大.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
結(jié)合已知可知,可求,進而可求,代入,結(jié)合,可求,即可判斷.【詳解】圖象上相鄰兩個極值點,滿足,即,,,且,,,,,,當(dāng)時,為函數(shù)的一個極小值點,而.故選:.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì)的簡單應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是性質(zhì)的靈活應(yīng)用.2、D【解析】
根據(jù),得到,即,由等比數(shù)列的定義知數(shù)列是等比數(shù)列,然后再利用前n項和公式求.【詳解】因為,所以,所以,所以數(shù)列是等比數(shù)列,又因為,所以,.故選:D【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的定義及等比數(shù)列的前n項和公式,還考查了運算求解的能力,屬于中檔題.3、B【解析】
作出圖形,設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,推導(dǎo)出,由線面平行的性質(zhì)定理可得出,可得出點為的中點,同理可得出點為的中點,結(jié)合中位線的性質(zhì)可求得的值.【詳解】如下圖所示:設(shè)平面分別交、于點、,連接、、,取的中點,連接、,連接交于點,四邊形為正方形,、分別為、的中點,則且,四邊形為平行四邊形,且,且,且,則四邊形為平行四邊形,,平面,則存在直線平面,使得,若平面,則平面,又平面,則平面,此時,平面為平面,直線不可能與平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四邊形為平行四邊形,可得,為的中點,同理可證為的中點,,,因此,.故選:B.【點睛】本題考查線段長度比值的計算,涉及線面平行性質(zhì)的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是找出平面與正方體各棱的交點位置,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.4、C【解析】
寫出展開式的通項公式,令,即,則可求系數(shù).【詳解】的展開式的通項公式為,令,即時,系數(shù)為.故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式,屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】
直線恒過定點,由此推導(dǎo)出,由此能求出點的坐標,從而能求出的值.【詳解】設(shè)拋物線的準線為,直線恒過定點,如圖過A、B分別作于M,于N,由,則,點B為AP的中點、連接OB,則,∴,點B的橫坐標為,∴點B的坐標為,把代入直線,解得,故選:C.【點睛】本題考查直線與圓錐曲線中參數(shù)的求法,考查拋物線的性質(zhì),是中檔題,解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用,屬于中檔題.6、D【解析】
由得,分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系,由圖可知,.7、C【解析】
根據(jù)已知條件判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,求得其通項公式,由此求得.【詳解】由于,所以數(shù)列是等比數(shù)列,其首項為,第二項為,所以公比為.所以,所以.故選:C【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的證明,考查等比數(shù)列通項公式,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】
利用等比中項性質(zhì)可得等差數(shù)列的首項,進而求得,再利用二次函數(shù)的性質(zhì),可得當(dāng)或時,取到最小值.【詳解】根據(jù)題意,可知為等差數(shù)列,公差,由成等比數(shù)列,可得,∴,解得.∴.根據(jù)單調(diào)性,可知當(dāng)或時,取到最小值,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等差數(shù)列通項公式、等比中項性質(zhì)、等差數(shù)列前項和的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力和運算求解能力,求解時注意當(dāng)或時同時取到最值.9、C【解析】
設(shè),,則,,相減得到,解得答案.【詳解】設(shè),,設(shè)直線斜率為,則,,相減得到:,的中點為,即,故,直線的方程為:.故選:.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)點差法求直線方程,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10、D【解析】
直接利用復(fù)數(shù)的模的求法的運算法則求解即可.【詳解】(是虛數(shù)單位)可得解得本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的運算法則的應(yīng)用,復(fù)數(shù)的模的求法,考查計算能力.11、A【解析】
由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.再由球與圓柱體積公式求解.【詳解】由三視圖還原原幾何體如圖,該幾何體為組合體,上半部分為半球,下半部分為圓柱,半球的半徑為1,圓柱的底面半徑為1,高為1.則幾何體的體積為.故選:.【點睛】本題主要考查由三視圖求面積、體積,關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.12、C【解析】
利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較、、三個數(shù)與和的大小關(guān)系,進而可得出、、三個數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】對數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則,即;指數(shù)函數(shù)為上的增函數(shù),則;指數(shù)函數(shù)為上的減函數(shù),則.綜上所述,.故選:C.【點睛】本題考查指數(shù)冪與對數(shù)式的大小比較,一般利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間值法來比較,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】試題分析:由已知得,故的展開式中x的奇數(shù)次冪項分別為,,,,,其系數(shù)之和為,解得.考點:二項式定理.14、【解析】
,所以有,再利用基本不等式求最值即可.【詳解】由已知,,所以,當(dāng)且僅當(dāng),即時,等號成立.故答案為:【點睛】本題考查利用基本不等式求和的最小值問題,采用的是“1”的替換,也可以消元等,是一道中檔題.15、【解析】
先根據(jù)點共線得到,從而得到O的軌跡為阿氏圓,結(jié)合三角形和三角形的面積關(guān)系可求.【詳解】設(shè)B,O,E共線,則,解得,從而O為CD中點,故.在△BOD中,BD=2,,易知O的軌跡為阿氏圓,其半徑,故.故答案為:.【點睛】本題主要考查三角形的面積問題,把所求面積進行轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).16、【解析】
確定平面即為平面,四邊形是菱形,計算面積得到答案.【詳解】如圖,在正方體中,記的中點為,連接,則平面即為平面.證明如下:由正方體的性質(zhì)可知,,則,四點共面,記的中點為,連接,易證.連接,則,所以平面,則.同理可證,,,則平面,所以平面即平面,且四邊形即平面截正方體所得的截面.因為正方體的棱長為,易知四邊形是菱形,其對角線,,所以其面積.故答案為:【點睛】本題考查了正方體的截面面積,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】
(1)先利用等比數(shù)列的性質(zhì),可分別求出的值,從而可求出數(shù)列的通項公式;(2)利用錯位相減求和法可求出數(shù)列的前項和.【詳解】解:(1)由是遞增等比數(shù)列,,聯(lián)立,解得或,因為數(shù)列是遞增數(shù)列,所以只有符合題意,則,結(jié)合可得,∴數(shù)列的通項公式:;(2)由,∴;∴;那么,①則,②將②﹣①得:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了等比數(shù)列的通項公式,考查了利用錯位相減法求數(shù)列的前項和.18、【解析】
將圓的極坐標方程化為直角坐標方程,直線的參數(shù)方程化為普通方程,再根據(jù)直線與圓相切,利用圓心到直線的距離等于半徑,即可求實數(shù)的值.【詳解】由,得,,即圓的方程為,又由消,得,直線與圓相切,,.【點睛】本題重點考查方程的互化,考查直線與圓的位置關(guān)系,解題的關(guān)鍵是利用圓心到直線的距離等于半徑,研究直線與圓相切.19、(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】
(1),分,,,四種情況討論即可;(2)問題轉(zhuǎn)化為,利用導(dǎo)數(shù)找到與即可證明.【詳解】(1).①當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).②當(dāng)時,,.當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).③當(dāng)時,,則在上是減函數(shù).④當(dāng)時,,當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以,在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),在上是減函數(shù).(2)由題意,得.由(1)知,當(dāng),時,,.令,,故在上是減函數(shù),有,所以,從而.,,則,令,顯然在上是增函數(shù),且,,所以存在使,且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù),,所以,所以,命題成立.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及證明不等式的問題,考查學(xué)生邏輯推理能力,是一道較難的題.20、(1)或;(2)【解析】
(1)使用零點分段法,討論分段的取值范圍,然后取它們的并集,可得結(jié)果.(2)利用等價轉(zhuǎn)化的思想,可得不等式在恒成立,然后解出解集,根據(jù)集合間的包含關(guān)系,可得結(jié)果.【詳解】(1)當(dāng)時,原不等式可化為.①當(dāng)時,則,所以;②當(dāng)時,則,所以;⑧當(dāng)時,則,所以.綜上所述:當(dāng)時,不等式的解集為或.(2)由,則,由題可知:在恒成立,所以,即,即,所以故所求實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查零點分段求解含絕對值不等式,熟練使用分類討論的方法,以及知識的交叉應(yīng)用,同時掌握等價轉(zhuǎn)化的思想,屬中檔題.21、(1),函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為;(2).【解析】
(1)運用降冪公式和輔助角公式,把函數(shù)的解析式化為正弦型函數(shù)解析式形式,根據(jù)已知,可以求出的值,再結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)由(1)結(jié)合已知,可以求出角的值,通過正弦定理把問題的取值范圍轉(zhuǎn)化為兩邊對角的正弦值的比值的取值范圍,結(jié)合已知是銳角三角形,三角形內(nèi)角和定理,最后求出的取值范圍.【詳解】解:(1)由已知,所以因此令得因此函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)由已知,∴由得,因此所以因為為銳角三角形,所以,解得因此,那么【點睛】本題考查了降冪公式、輔助角公式,考查了正弦定理,考查了正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性,考查了數(shù)學(xué)運算能力.22、(1),;(2)當(dāng)值為時,無蓋三棱錐容器的容積最大.【解析】
(1)由已知求得,求得三角形的面積,再由已知得到
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