人教版九年級上第二十五章 概率初步25.1 隨機事件與概率【省一等獎】

第二十五章概率初步概率初步知識框架歸納整合素養(yǎng)提升中考鏈接知識框架概率初步概率的求法事件概率的應用概率的定義確定性事件事件不可能事件必然事件隨機事件P(A)=0P(A)=10<P(A)<1概率的定義刻畫事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值列舉法用頻率估計率概率的求法模擬試驗畫樹狀圖法列表法直接列舉法【要點指導】根據(jù)事件發(fā)生的可能性將事件分為必然事件、不可能事件、隨機事件,必然事件和不可能事件統(tǒng)稱確定性事件.歸納整合專題一事件類型的判別例1下列事件中,不是必然事件的是().A．對頂角相等 B．內(nèi)錯角相等C．三角形的內(nèi)角和等于180° D．2020年1月有31天B相關(guān)題1下列事件是隨機事件的是( ).A．在標準大氣壓下,水加熱到100℃時沸騰B．購買一張福利彩票,中獎3000萬C．有一名運動員奔跑的速度是30米/秒D．從一個僅裝著紅球的袋中摸球,摸出紅球B【要點指導】概率是反映事件發(fā)生的可能性大小的量,必然事件發(fā)生的概率為1,不可能事件發(fā)生的概率為0,隨機事件發(fā)生的概率在0與1之間．專題二概率的意義A例2下列說法中,正確的是( ).A．不可能事件發(fā)生的概率為0B．隨機事件發(fā)生的概率為

C．概率很小的事件不可能發(fā)生D．投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次,正面朝上的次數(shù)一定為50次相關(guān)題2明天的降水概率為80%的含義有以下三種不同的解釋：①明天80%的地區(qū)會下雨；②80%的人認為明天會下雨；③明天下雨的可能性比較大.你認為其中合理的解釋是_______(寫出序號即可).③專題三用列舉法求簡單事件的概率【要點指導】求等可能事件的概率時,可先求出試驗發(fā)生的總結(jié)果數(shù)n和事件A發(fā)生的結(jié)果數(shù)m,然后利用公式P(A)=計算出事件A發(fā)生的概率.當一次試驗涉及兩個因素時,可采用列表法或畫樹狀圖的方法列舉所有等可能的結(jié)果；當一次試驗涉及三個或三個以上的因素時,應采用畫樹狀圖的方法列舉所有等可能的結(jié)果.例3一個不透明的袋子中裝有4個黑球,2個白球,這些球除顏色不同外其他都相同,從袋子中隨機摸出1個球,摸到黑球的概率是().D相關(guān)題3如果從包括小軍在內(nèi)的10名大學生中任選1名作為“保護母親河”的志愿者,那么小軍被選中的概率是( ).C例4在校園文化藝術(shù)節(jié)中,九年級一班有1名男生和2名女生獲得美術(shù)獎,另有2名男生和2名女生獲得音樂獎.(1)從獲得美術(shù)獎和音樂獎的7名學生中選取1名參加頒獎大會,求剛好是男生的概率；(2)從獲得美術(shù)獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會,用列表或畫樹狀圖的方法求剛好是1名男生、1名女生的概率.解

(1)獲獎的學生中男生3名,女生4名,男生、女生共7名,故參加頒獎大會的學生是男生的概率為.(2)從獲得美術(shù)獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會,用列表法列出所有可能的結(jié)果如下：∵共有12種等可能的結(jié)果,其中是1名男生、1名女生的結(jié)果有6種,∴從獲得美術(shù)獎、音樂獎的學生中各選取1名參加頒獎大會,剛好是1名男生、1名女生的概率為相關(guān)題4用圖25-Z-1中兩個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤做“配紫色”游戲,分別轉(zhuǎn)動兩個轉(zhuǎn)盤,若其中一個轉(zhuǎn)出紅色,另一個轉(zhuǎn)出藍色即可配成紫色(指針指向分界線時重轉(zhuǎn)),那么可配成紫色的概率是(

).B【要點指導】試驗中,某事件發(fā)生的次數(shù)與總次數(shù)的比值叫作頻率.對于一般的隨機事件,在大量重復試驗中,隨著試驗次數(shù)的增加,事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定在一個數(shù)值附近,所以可以通過大量的重復試驗,用一個隨機事件發(fā)生的頻率去估計它的概率.專題四用頻率估計概率例5色盲是伴X染色體隱性先天遺傳病,患者中男性遠多于女生,從男性體檢信息庫中隨機抽取體檢表,統(tǒng)計結(jié)果如下表：根據(jù)表中數(shù)據(jù),估計在男性中,男性患色盲的概率為_______

(結(jié)果保留小數(shù)點后兩位).

0.07分析觀察表格發(fā)現(xiàn),隨著抽取的體檢表的增多,在男性中,男性患色盲的頻率逐漸穩(wěn)定在0.07附近,所以估計在男性中,男生患色盲的概率為0.07.相關(guān)題5在一個不透明的布袋中,有黃色、白色的玻璃球共10個,它們除顏色不同外,形狀、大小、質(zhì)地等完全相同．小剛通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn),摸到黃色球的頻率穩(wěn)定在40%,則布袋中白色球的個數(shù)很可能是(

)A．4

B．5 C．6

D．7C解析

根據(jù)題意，估計摸到黃色球的概率為40%，則摸到白色球的概率＝1－40%＝60%，所以口袋中白色球的個數(shù)＝10×60%＝6，即布袋中白色球的個數(shù)很可能是6.故選C.【要點指導】通過計算概率判斷游戲是否公平是概率知識的一個重要應用,解決游戲是否公平的問題,應先計算游戲參與者獲勝的概率,若概率相等,則游戲公平；若概率不相等,則游戲不公平.專題五利用概率判斷游戲的公平性例6小莉的爸爸買了一張動物園的門票,她和哥哥都很想去,可門票只有一張,于是哥哥想了一個辦法,他拿出八張撲克牌,將數(shù)字為1,2,3,5的四張牌給了小莉,將數(shù)字為4,6,7,8的四張牌留給自己,并按如下規(guī)則進行：小莉和哥哥分別從各自的四張牌中隨機抽出一張,然后將抽出的兩張撲克牌上的數(shù)字相加,若和為偶數(shù),則小莉去；若和為奇數(shù),則哥哥去.(1)求小莉去動物園的概率.(2)哥哥設(shè)計的規(guī)則公平嗎？若公平,請說明理由；若不公平,請你設(shè)計一種公平的規(guī)則．解

(1)列表如下：或畫樹狀圖如圖25-Z-2：由上表(或樹狀圖)可以看出一共有16種等可能的結(jié)果,其中和為偶數(shù)的結(jié)果有6種,所以P(和為偶數(shù))=,即小莉去動物園的概率為.(2)由(1)中的表格(或樹狀圖)可以看出和為奇數(shù)的結(jié)果有10種,所以P(和為奇數(shù))=,則哥哥去動物園的概率為.由(1)知小莉去動物園的概率為,所以哥哥設(shè)計的規(guī)則不公平.規(guī)則改為：若和為偶數(shù),則小莉得5分；若和為奇數(shù),則哥哥得3分,得分多者去(答案不唯一).相關(guān)題6有四張正面寫有數(shù)字的卡片,如圖25-Z-3所示,這些卡片除數(shù)字不同外其余完全相同,將它們洗勻后,背面朝上放置在桌面上.(1)從中隨機抽取一張卡片,求恰好抽到數(shù)字2的概率；(2)小貝和小晶想用以上四張卡片做游戲,游戲規(guī)則如圖25-Z-4.你認為這個游戲公平嗎？請說明理由.若不公平,請你修改規(guī)則,使游戲變得公平.第二張第一張2236222222326222222326332323336662626366【要點指導】若事件的概率與圖形的面積有關(guān),則事件發(fā)生的概率等于該事件發(fā)生的可能結(jié)果組成的圖形的面積除以所有可能結(jié)果組成的圖形的面積．專題六求與圖形面積有關(guān)的概率例7“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形與中間一個小正方形拼成的大正方形.圖25-Z-5是一個“趙爽弦圖”飛鏢板,其中直角三角形的兩條直角邊的長分別是2和4.小明同學在距飛鏢板一定距離處向飛鏢板投擲飛鏢(假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上),則投擲一次飛鏢恰好扎在中間小正方形區(qū)域的概率是().C分析根據(jù)題意,得整個圖形是正方形,面積為22+42=20.中間小正方形的邊長為4-2=2,所以中間小正方形的面積為4,所以P(飛鏢扎在中間小正方形區(qū)域)=相關(guān)題7如圖25-Z-6,正方形ABCD內(nèi)接于⊙O,⊙O的直徑為

分米,若在這個圓面上隨意拋一粒豆子,則豆子落在正方形ABCD區(qū)域內(nèi)的概率是( ).A【要點指導】概率與統(tǒng)計和人們的生活密切相關(guān),在生產(chǎn)、生活和科研等各個方面都有廣泛的應用.解決此類問題,要善于從統(tǒng)計圖表中獲取有用的信息,分析研究后才能做出正確的判斷,進而解決問題.專題七概率與統(tǒng)計的綜合應用例8[天水中考]八年級(一)班開展了“讀一本好書”的活動,班委會對學生閱讀書籍的情況進行了問卷調(diào)查,問卷設(shè)置了“小說”“戲劇”“散文”“其他”四個類別,每位同學僅選一項,根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖.根據(jù)圖表提供的信息,解答下列問題：(1)八年級(一)班共有多少位學生？(2)請補全頻數(shù)分布表,并求出扇形統(tǒng)計圖中“其他”類所占的百分比；(3)在問卷調(diào)查中,甲、乙、丙、丁4位同學選擇了“戲劇”類,現(xiàn)從以上4位同學中任意選出2位同學參加學校的戲劇興趣小組,請用畫樹狀圖或列表的方法,求選取的2人恰好是乙和丙的概率．解

(1)∵喜歡散文的學生共有10人,頻率為0.25,∴學生總?cè)藬?shù)=10÷0.25=40.答：八年級(一)班共有40位學生.(2)頻數(shù)分布表從左到右、從上到下依次填：20,0.1,0.15,40.在扇形統(tǒng)計圖中,“其他”類所占的百分比為×100%=15%.(3)畫樹狀圖,如圖25-Z-8所示：所有等可能的情況有12種,其中選取的2人恰好是乙與丙的情況有2種,∴P(選取的2人恰好是乙和丙)=相關(guān)題8當前,“精準扶貧”工作已進入攻堅階段,凡貧困家庭均要“建檔立卡”.某初級中學七年級共有四個班,已“建檔立卡”的貧困家庭的學生人數(shù)按一、二、三、四班分別記為A1,A2,A3,A4,現(xiàn)對A1,A2,A3,A4進行統(tǒng)計后,制成如圖25-Z-9①②所示的統(tǒng)計圖.圖25-Z-9(1)求七年級已“建檔立卡”的貧困家庭的學生總?cè)藬?shù)；(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整,并求出扇形統(tǒng)計圖中A1所在扇形的圓心角的度數(shù)；圖25-Z-9(3)現(xiàn)從A1,A2中各選出一人進行座談,若A1中有一名女生,A2中有兩名女生,請用畫樹狀圖的方法表示所有可能情況,并求出恰好選出一名男生和一名女生的概率.圖25-Z-9素養(yǎng)提升【要點指導】當已知某個事件發(fā)生的概率,求事件發(fā)生的可能情況時,可以借助方程思想,以概率公式為等量關(guān)系式,列方程求解.專題方程思想在概率中的應用例

在一個不透明的布袋中,裝有紅、黑、白三種只有顏色不同的小球,其中紅色小球有4個,黑、白兩種顏色的小球的數(shù)目相同.小明從布袋中隨機摸出1個球,記下顏色后放回布袋中,搖勻后再隨機摸出1個球,記下顏色后放回布袋中……如此進行大量重復摸球試驗后,小明發(fā)現(xiàn)摸出紅色小球的頻率穩(wěn)定于20%,由此可以估計布袋中的黑色小球有________個．8分析設(shè)黑色小球有x個,則黑、白兩種顏色的小球一共有2x個.∵經(jīng)過多次試驗后發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于20%,∴可估計摸到紅色小球的概率為20%,∴4=20%(4+2x),解得x=8,∴黑色小球有8個．相關(guān)題在一個不透明的布袋中裝有若干個只有顏色不同的小球,如果袋中有紅球5個,黃球4個,其余為白球,從袋子中隨機摸出1個球,“摸出黃球”的概率為,那么袋中白球的個數(shù)為(). A．2

B．3 C．4

D．12B中考鏈接母題1事件類型的判別(教材P134習題25.1第1題)請指出在下列事件中,哪些是隨機事件,哪些是必然事件,哪些是不可能事件.(1)通常溫度降到0℃以下,純凈的水結(jié)冰；(2)隨意翻到一本書的某頁,這頁的頁碼是奇數(shù)；(3)從地面發(fā)射1枚導彈,未擊中空中目標；(4)明天太陽從東方升起；(5)汽車累積行駛10000km,從未出現(xiàn)故障；(6)購買1張彩票,中獎.考點：隨機事件、必然事件、不可能事件的概念.考情：隨機事件、必然事件、不可能事件的判別是?？贾R點.策略：根據(jù)三種事件的概念解題,在一定條件下,判斷哪些事件必然會發(fā)生,哪些事件必然不會發(fā)生,哪些事件可能發(fā)生也可能不發(fā)生.鏈接1[漳州中考]下列事件中,屬于必然事件的是( ).A．打開電視機,正在播廣告B．打開數(shù)學書,恰好翻到第50頁C．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,恰好正面朝上D．一天有24小時D母題2概率計算公式(教材P134習題25.1第4題)一個質(zhì)地均勻的小正方體,六個面分別標有數(shù)字“1”“1”“2”“4”“5”“5”.擲小正方體后,觀察朝上一面的數(shù)字.(1)出現(xiàn)“5”的概率是多少？(2)出現(xiàn)“6”的概率是多少？(3)出現(xiàn)奇數(shù)的概率是多少？考點：概率的計算公式P(A)=.考情：概率的計算是中考的熱點,近年來還出現(xiàn)了概率與幾何圖形、函數(shù)、統(tǒng)計等相結(jié)合的試題.策略：根據(jù)所給的條件,列舉所有可能的結(jié)果和事件A包含的可能的結(jié)果,進而利用概率的計算公式進行計算.鏈接2[攀枝花中考]布袋中裝有除顏色外沒有其他區(qū)別的1個紅球和2個白球,攪勻后從中摸出1個球,放回攪勻,再摸出1個球,兩次都摸出白球的概率是(

).A母題3與幾何有關(guān)的概率(教材P134習題25.1第5題)如圖25-Z-10是一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤,被分成12個相同的扇形.請你在轉(zhuǎn)盤的適當?shù)胤酵可霞t、藍兩種顏色,使得轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時,指針指向紅、藍兩色的概率分別為考點：概率的計算公式P=,幾何圖形的面積公式與幾何圖形的有關(guān)性質(zhì).考情：概率與幾何的結(jié)合是中考的?？伎键c,題型以填空題、選擇題為主.策略：把求概率問題轉(zhuǎn)化為求幾何圖形的面積比或者幾何圖形性質(zhì)的分類討論問題或幾何計數(shù)問題.鏈接3[山西中考]小江玩投擲飛鏢的游戲,他設(shè)計了一個如圖25-Z-11所示的靶子,E,F分別是矩形ABCD的邊AD,BC上的點,且EF∥AB,M,N是EF上的任意兩點,則投擲一次,飛鏢落在陰影部分的概率是( ).C分析∵矩形ABFE內(nèi)陰影部分的面積=×矩形ABFE的面積,矩形DCFE內(nèi)陰影部分的面積=×矩形DCFE的面積,∴陰影部分的面積=×矩形ABCD的面積,∴飛鏢落在陰影部分的概率是.故選C．母題4用列表法或畫樹狀圖法求概率(教材P138練習第2題)有6張看上去無差別的卡片,上面分別寫著1,2,3,4,5,6.隨機抽取1張后,放回并混在一起,再隨機抽取1張,那么第二次取出的數(shù)字能夠整除第一次取出的數(shù)字的概率是多少？考點：概率的計算公式P=.考情：利用列表法或畫樹狀圖法求概率是中考的熱點,常見的考查方式是求某一事件的概率.策略：利用列表法或畫樹狀圖法求概率.鏈接4[無錫中考](1)甲、乙、丙、丁四人做傳球游戲：第一次由甲將球隨機傳給乙、丙、丁中的某一人,從第二次起,每一次都由持球者將球再隨機傳給其他三人中的某一人.求第二次傳球后球回到甲手里的概率(請用畫樹狀圖或列表的方法給出分析過程).(2)如果甲和另外n(n≥2)個人做(1)中同樣的游戲,那么第三次傳球后球回到甲手里的概率是______(請直接寫結(jié)果)．解

(1)畫樹狀圖如圖25-Z-12.∵共有9