機(jī)械工程控制基礎(chǔ)課件

1系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一、數(shù)學(xué)模型的基本概念1、數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，它揭示了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)與其性能之間的內(nèi)在關(guān)系。

靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)條件（變量各階導(dǎo)數(shù)為零）下描述變量之間關(guān)系的代數(shù)方程。

動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述變量各階導(dǎo)數(shù)之間關(guān)系的微分方程。

+-22、建立數(shù)學(xué)模型的方法

解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學(xué)規(guī)律列寫出相應(yīng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式，建立模型。人為地對(duì)系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識(shí)。數(shù)學(xué)模型應(yīng)能反映系統(tǒng)內(nèi)在的本質(zhì)特征，同時(shí)應(yīng)對(duì)模型的簡(jiǎn)潔性和精確性進(jìn)行折衷考慮。

實(shí)驗(yàn)法33、數(shù)學(xué)模型的形式

時(shí)間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程

復(fù)數(shù)域：傳遞函數(shù)、結(jié)構(gòu)圖

頻率域：頻率特性二、系統(tǒng)的微分方程1、定義：時(shí)域中描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型。2、建立數(shù)學(xué)模型的一般步驟

分析系統(tǒng)工作原理和信號(hào)傳遞變換的過(guò)程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；

4

從輸入端開始，按照信號(hào)傳遞變換過(guò)程，依據(jù)各變量遵循的物理學(xué)定律，依次列寫出各元件、部件的動(dòng)態(tài)微分方程；

消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關(guān)系的微分方程；

標(biāo)準(zhǔn)化：右端輸入，左端輸出，導(dǎo)數(shù)降冪排列3、控制系統(tǒng)微分方程的列寫

機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡(jiǎn)化為質(zhì)量、彈簧和阻尼三個(gè)要素：5

質(zhì)量mfm(t)參考點(diǎn)x

(t)v

(t)

彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)6

阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)7

機(jī)械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機(jī)械平移系統(tǒng)及其力學(xué)模型fC(t)靜止（平衡）工作點(diǎn)作為零點(diǎn)，以消除重力的影響8式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機(jī)械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨(dú)立儲(chǔ)能元件（慣性質(zhì)量、彈簧）的數(shù)量。

9

彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為一階常系數(shù)微分方程。

10

機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)K

i(t)

o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；K—扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)；C—粘性阻尼系數(shù)柔性軸1112

電氣系統(tǒng)

電阻電氣系統(tǒng)三個(gè)基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)

電容Ci(t)u(t)13

電感Li(t)u(t)R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)14一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。

若L=0，則系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：15

有源電網(wǎng)絡(luò)+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：16例：列寫下圖所示機(jī)械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t)2)列寫微分方程，受力分析3)整理可得：17例：列寫下圖所示電網(wǎng)絡(luò)的微分方程解：1)系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為u1,輸出為u22)列寫原始微分方程3)消除中間變量，并整理：18

小結(jié)

物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學(xué)模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進(jìn)行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動(dòng)態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學(xué)模型相同而物理本質(zhì)不同的系統(tǒng)其輸出響應(yīng)相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進(jìn)行實(shí)驗(yàn)?zāi)M的基礎(chǔ)；

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨(dú)立儲(chǔ)能元（慣性質(zhì)量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個(gè)數(shù)；因?yàn)橄到y(tǒng)每增加一個(gè)獨(dú)立儲(chǔ)能元，其內(nèi)部就多一層能量（信息）的交換。19

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時(shí)間t的函數(shù)，則為線性時(shí)變系統(tǒng)；

線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：

可加性：

齊次性：或：20疊加

液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設(shè)液體不可壓縮，通過(guò)節(jié)流閥的液流是湍流。

A：箱體截面積；21上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結(jié)構(gòu)形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時(shí)，

為常數(shù)。

線性系統(tǒng)微分方程的一般形式

22式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)，m≤n。

三、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化1、線性化問題的提出

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進(jìn)行處理。

非線性現(xiàn)象：機(jī)械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導(dǎo)致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關(guān)系等。

23

線性化的提出

線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內(nèi)具有線性特性；

非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復(fù)雜的；

對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進(jìn)行處理，能夠滿足實(shí)際需要。2、非線性數(shù)學(xué)模型的線性化

泰勒級(jí)數(shù)展開法

函數(shù)y=f(x)在其平衡點(diǎn)（x0,y0）附近的泰勒級(jí)數(shù)展開式為：

24略去含有高于一次的增量

x=x-x0的項(xiàng)，則：或：y-y0=

y=K

x，其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；25增量方程的數(shù)學(xué)含義就是將參考坐標(biāo)的原點(diǎn)移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點(diǎn)上，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的起始點(diǎn)，這時(shí)，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。

對(duì)多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級(jí)數(shù)展開獲得線性化的增量方程。

增量方程：靜態(tài)方程：其中：26

滑動(dòng)線性化——切線法0xy=f(x)y0x0

x

y’

y非線性關(guān)系線性化A線性化增量增量方程為：

y

y'=

x

tg

切線法是泰勒級(jí)數(shù)法的特例。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立

步驟27

確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點(diǎn)；

列出各組成元件在工作點(diǎn)附近的增量方程；

消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；

實(shí)例：液位系統(tǒng)的線性化節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)解：穩(wěn)態(tài)時(shí)：非線性項(xiàng)的泰勒展開為：28則：由于：注意到：所以：29實(shí)際使用中，常略去增量符號(hào)而寫成：此時(shí)，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點(diǎn)的增量。4、線性化處理的注意事項(xiàng)

線性化方程的系數(shù)與平衡工作點(diǎn)的選擇有關(guān)；

線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；30

某些典型的本質(zhì)非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點(diǎn)，不能通過(guò)泰勒展開進(jìn)行線性化，只有當(dāng)它們對(duì)系統(tǒng)影響很小時(shí)才能忽略不計(jì)，否則只能作為非線性問題處理。inout0近似特性曲線真實(shí)特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性31inout0繼電器非線性inout0間隙非線性例：液壓伺服機(jī)構(gòu)解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,輸出為y2)列寫原始微分方程：323)非線性函數(shù)線性化：4)代入方程，整理可得：33四、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換設(shè)函數(shù)f(t)(t

0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實(shí)常數(shù)

，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=

+j

（

，

均為實(shí)數(shù)）；34稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號(hào)。2、拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號(hào)。353、幾種典型函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)36

指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)137

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由歐拉公式，有：

38從而：同理：39

單位脈沖函數(shù)

(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)

1

由洛必達(dá)法則：所以：40

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)141

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通?？梢杂衫献儞Q表直接或通過(guò)一定的轉(zhuǎn)換得到。

424、拉氏變換積分下限的說(shuō)明在某些情況下，函數(shù)f(t)在t＝0處有一個(gè)脈沖函數(shù)。這時(shí)必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應(yīng)記為：43常用拉氏變換表445、拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；

疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。

實(shí)微分定理45證明：由于即：所以：同樣有：46當(dāng)f(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)刻的值均為零時(shí)（零初始條件）：當(dāng)f(t)在t=0處具有間斷點(diǎn)時(shí)，df(t)/dt在t=0處將包含一個(gè)脈沖函數(shù)。故若f(0+)

f(0－)，則：47

積分定理當(dāng)初始條件為零時(shí)：若f(0+)

f(0－)，則：48證明：同樣：49當(dāng)初始條件為零時(shí)：

延遲定理設(shè)當(dāng)t<0時(shí)，f(t)=0，則對(duì)任意

0，有：函數(shù)f(t-

)0tf(t)

f(t)f(t-

)50

位移定理例：

初值定理51證明：初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無(wú)窮遠(yuǎn)處的終值間的關(guān)系。

終值定理若sF(s)的所有極點(diǎn)位于左半s平面，即：存在。則：52證明：又由于：即：終值定理說(shuō)明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時(shí)的初值相同。537、求解拉氏反變換的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)54在控制理論中，通常：為了應(yīng)用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負(fù)值，稱為F(s)的極點(diǎn)；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時(shí)，即可將F(s)展開成部分分式。

55F(s)只含有不同的實(shí)數(shù)極點(diǎn)式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點(diǎn)處的留數(shù)。實(shí)際常如下計(jì)算：56例：求的原函數(shù)。解：即：57例求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）解：其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5同理：A2=0.5、A3＝－0.6其反變換為：58F(s)含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)

設(shè)共軛復(fù)數(shù)根p1＝α+jω、p2＝α－jω59例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j260F(s)含有重極點(diǎn)

設(shè)F(s)存在r重極點(diǎn)-p0，其余極點(diǎn)均不同，則：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。61……62注意到：所以：63例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：B（s）＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F（s）可以展開為：從而：64例：求的原函數(shù)。解：65于是：8、應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過(guò)拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數(shù)方

程；

解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表

達(dá)式；

應(yīng)用拉氏反變換，得到微分方程的時(shí)域解。66原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過(guò)程67

實(shí)例設(shè)系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對(duì)微分方程左邊進(jìn)行拉氏變換：

68即：對(duì)方程右邊進(jìn)行拉氏變換：從而：6970所以：查拉氏變換表得：當(dāng)初始條件為零時(shí)：71

應(yīng)用拉氏變換法求解微分方程時(shí)，由于初始條件已自動(dòng)地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。

如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡(jiǎn)單地用sn代替dn/dtn得到。

由上述實(shí)例可見：

系統(tǒng)響應(yīng)可分為兩部分：零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)72五、傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的概念和定義

傳遞函數(shù)

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。

零初始條件：

t<0時(shí)，輸入量及其各階導(dǎo)數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時(shí)，輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)也均為0；73

傳遞函數(shù)求解示例

質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：74

R-L-C無(wú)源電路網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時(shí)，其拉氏變換為：75

幾點(diǎn)結(jié)論

傳遞函數(shù)是復(fù)數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無(wú)關(guān)。

若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內(nèi)在的固有動(dòng)態(tài)特性。

傳遞函數(shù)通過(guò)系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系來(lái)描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來(lái)描述系統(tǒng)的內(nèi)部特性。76

傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當(dāng)初始條件全為零時(shí)，對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：77令：則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點(diǎn)和極點(diǎn)

特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當(dāng)s=0時(shí)：

G(0)=bm/an=K78從微分方程的角度看，此時(shí)相當(dāng)于所有的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)都為零。因此K反應(yīng)了系統(tǒng)處于靜態(tài)時(shí)，輸出與輸入的比值。

零點(diǎn)和極點(diǎn)將G(s)寫成下面的形式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點(diǎn)；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)；影響瞬態(tài)響應(yīng)曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性79系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)就是系統(tǒng)的特征根。零點(diǎn)和極點(diǎn)的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)。

零、極點(diǎn)分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)表示在復(fù)平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分布圖。圖中，零點(diǎn)用“O”表示，極點(diǎn)用“×”表示。

G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點(diǎn)分布圖012312-1-2-3-1-2

j

803、傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關(guān)系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是

s的復(fù)變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項(xiàng)系數(shù)和相應(yīng)微分方程中的各項(xiàng)系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，完全取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)；

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時(shí)刻之前，系統(tǒng)對(duì)所給定的平衡工作點(diǎn)處于相對(duì)靜止?fàn)顟B(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運(yùn)動(dòng)規(guī)律；81

傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關(guān)系，無(wú)法描述系統(tǒng)內(nèi)部中間變量的變化情況。

一個(gè)傳遞函數(shù)只能表示一個(gè)輸入對(duì)一個(gè)輸出的關(guān)系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。4、脈沖響應(yīng)函數(shù)初始條件為0時(shí)，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應(yīng)的拉氏變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)（權(quán)函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關(guān)于系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的相同信息。825、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關(guān)系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個(gè)環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復(fù)雜的系統(tǒng)總可歸結(jié)為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。

典型環(huán)節(jié)示例

比例環(huán)節(jié)

輸出量不失真、無(wú)慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關(guān)系。83其運(yùn)動(dòng)方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動(dòng)副R2R1ui(t)uo(t)運(yùn)算放大器84

慣性環(huán)節(jié)

凡運(yùn)動(dòng)方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時(shí)間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；85如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC86

微分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的微分。運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，

—微分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨(dú)立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。87RCui(t)uo(t)i(t)無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)

顯然，無(wú)源微分網(wǎng)絡(luò)包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當(dāng)|Ts|<<1時(shí)，才近似為微分環(huán)節(jié)。

除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：88微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)，從而給系統(tǒng)以有關(guān)輸入變化趨勢(shì)的預(yù)告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。

積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量對(duì)時(shí)間的積分。

運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。89積分環(huán)節(jié)特點(diǎn)：

輸出量取決于輸入量對(duì)時(shí)間的積累過(guò)程。且具有記憶功能；

具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來(lái)改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當(dāng)輸入量為常值

A時(shí)，由于：輸出量須經(jīng)過(guò)時(shí)間T才能達(dá)到輸入量在t=0時(shí)的值A(chǔ)。90如：有源積分網(wǎng)絡(luò)

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a91液壓缸

Aqi(t)xo(t)92

振蕩環(huán)節(jié)

含有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，且所存儲(chǔ)的能量能夠相互轉(zhuǎn)換，從而導(dǎo)致輸出帶有振蕩的性質(zhì)，運(yùn)動(dòng)方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于振蕩環(huán)節(jié)，0<

<1

K—比例系數(shù)93振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標(biāo)準(zhǔn)形式為（K=1）：

n稱為無(wú)阻尼固有頻率。如：質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，94當(dāng)時(shí)，為振蕩環(huán)節(jié)。

二階微分環(huán)節(jié)

式中，

—時(shí)間常數(shù)

—阻尼比，對(duì)于二階微分環(huán)節(jié)，0<

<1

K—比例系數(shù)

運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：95

延遲環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時(shí)刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時(shí)間才接近所要求的輸出值；運(yùn)動(dòng)方程：傳遞函數(shù)：式中，

為純延遲時(shí)間。

延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~

時(shí)間內(nèi),

沒有輸出，但t=

之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：96ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測(cè)量

小結(jié)

環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；97

一個(gè)環(huán)節(jié)往往由幾個(gè)元件之間的運(yùn)動(dòng)特性共同組成；

同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖1、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖

系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關(guān)系及其功能以及信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)關(guān)系式相同，其方框圖也不一定相同。98

方框圖的結(jié)構(gòu)要素

信號(hào)線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號(hào)的傳遞方向，直線旁標(biāo)記信號(hào)的時(shí)間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號(hào)線

信號(hào)引出點(diǎn)（線）表示信號(hào)引出或測(cè)量的位置和傳遞方向。

同一信號(hào)線上引出的信號(hào)，其性質(zhì)、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)99

函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運(yùn)算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。

求和點(diǎn)（比較點(diǎn)、綜合點(diǎn)）信號(hào)之間代數(shù)加減運(yùn)算的圖解。用符號(hào)“

”及相應(yīng)的信號(hào)箭頭表示，每個(gè)箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號(hào)或減去此信號(hào)。

100相鄰求和點(diǎn)可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C求和點(diǎn)可以有多個(gè)輸入，但輸出是唯一的。

101

求和點(diǎn)函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號(hào)線、函數(shù)方框、信號(hào)引出點(diǎn)及求和點(diǎn)組成的方框圖來(lái)表示。

102

系統(tǒng)方框圖的建立

步驟

建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號(hào)的因果關(guān)系（輸入/輸出）。

對(duì)上述微分方程進(jìn)行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。

按照信號(hào)在系統(tǒng)中的傳遞、變換過(guò)程，依次將各部件的方框圖連接起來(lái)，得到系統(tǒng)的方框圖。103

示例RCui(t)uo(t)i(t)無(wú)源RC電路網(wǎng)絡(luò)

無(wú)源RC網(wǎng)絡(luò)

拉氏變換得：104從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無(wú)源RC電路網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)方框圖105

機(jī)械系統(tǒng)

m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC106107

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1

X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)108

Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)

(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)109

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)

Xo(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機(jī)械系統(tǒng)方框圖110

系統(tǒng)方框圖的簡(jiǎn)化

方框圖的運(yùn)算法則

串聯(lián)連接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)111

并聯(lián)連接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)112

反饋連接

G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)113

方框圖的等效變換法則

求和點(diǎn)的移動(dòng)

G(s)

ABC±求和點(diǎn)后移G(s)

ABC±求和點(diǎn)前移G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±114

引出點(diǎn)的移動(dòng)引出點(diǎn)前移G(s)ACC引出點(diǎn)后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA115一般系統(tǒng)方框圖簡(jiǎn)化方法：1)明確系統(tǒng)的輸入和輸出。對(duì)于多輸入多輸出系統(tǒng)，針對(duì)每個(gè)輸入及其引起的輸出分別進(jìn)行化簡(jiǎn)；2)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)無(wú)交叉回路，則根據(jù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，并聯(lián)和反饋連接的等效從里到外進(jìn)行簡(jiǎn)化；3)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內(nèi)有交叉回路，則根據(jù)相加點(diǎn)、分支點(diǎn)等移動(dòng)規(guī)則消除交叉回路，然后按每2）步進(jìn)行化簡(jiǎn)；注意：分支點(diǎn)和相加點(diǎn)之間不能相互移動(dòng)。116例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)A解：1、A點(diǎn)前移；H1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)1172、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反饋回路118Xi(s)Xo(s)4、消去H3(s)

反饋回路例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡(jiǎn)化119120例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡(jiǎn)化1212、梅遜公式

在相加點(diǎn)，對(duì)反饋信號(hào)為相加時(shí)取負(fù)號(hào)，對(duì)反饋信號(hào)為相減時(shí)取正號(hào)。條件：1）整個(gè)方框圖只有一條前向通道；2）各局部回路存在公共的傳遞函數(shù)方框。122例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡(jiǎn)化1237、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

考慮擾動(dòng)的閉環(huán)控制系統(tǒng)G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++Xi(s)到Xo(s)的信號(hào)傳遞通路稱為前向通道；Xo(s)到B(s)的信號(hào)傳遞通路稱為反饋通道；

124

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為反饋信號(hào)B(s)和偏差信號(hào)

(s)之間的傳遞函數(shù)，即：將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時(shí)，前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。記為GK(s)。125

xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時(shí)在輸入xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)H(s)

Xi(s)Xo1(s)B(s)

(s)G2(s)xi(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)126

n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時(shí)在擾動(dòng)n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（干擾傳遞函數(shù)）為：

G1(s)H(s)

N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)127

結(jié)論

系統(tǒng)的固有特性與輸入、輸出的形式、位置均無(wú)關(guān)；同一個(gè)外作用加在系統(tǒng)不同的位置上，系統(tǒng)的響應(yīng)不同，但不會(huì)改變系統(tǒng)的固有特性；

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有都有相同的特征多項(xiàng)式：

其中為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)相同。

128

系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在輸入xi(t)及擾動(dòng)n(t)共同作用下的總輸出為：若且，則：上式表明，采用反饋控制的系統(tǒng)，適當(dāng)選擇元部件的結(jié)構(gòu)參數(shù)，可以增強(qiáng)系統(tǒng)抑制干擾的能力。

1298、相似原理相似系統(tǒng)：能用相同形式的數(shù)學(xué)模型表示的系統(tǒng)，稱為相似系統(tǒng)。相似量：在相似系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中，占據(jù)相同位置的物理量。輸入為f(t)，輸出為x(t)輸入為u(t)，輸出為電容器的電量q130相似量：131例：汽車懸掛系統(tǒng)的傳遞函數(shù)當(dāng)汽車行駛時(shí)，輪胎的垂直位移作用于汽車懸掛系統(tǒng)上，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)由質(zhì)心的平移運(yùn)動(dòng)和圍繞質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)組成。車體車架質(zhì)心汽車懸掛系統(tǒng)（垂直方向）132m2m1K2CK1xi(t)xo(t)x(t)簡(jiǎn)化的懸掛系統(tǒng)（垂直方向）133K1X(s)Xo(s)Xi(s)134

例：液壓缸系統(tǒng)傳遞函數(shù)p—液壓缸工作腔壓力q—液壓缸輸入流量fL—負(fù)載力y—活塞位移m—負(fù)載質(zhì)量（包括活塞、活塞桿等）C—粘性阻尼系數(shù)mpqCfLy135根據(jù)液流連續(xù)性原理，有：—漏損流量Kl

：液壓缸總泄漏系數(shù)A

：活塞有效工作面積其中，—使活塞移動(dòng)的有效流量136—等效壓縮流量V

：液壓缸工作腔和進(jìn)油管內(nèi)油液體積

：油液的體積彈性模量活塞上的力平衡方程為：137初始條件為0時(shí)：Y(s)AsQ(s)AP(s)FL(s)138外負(fù)載FL(s)=0時(shí)：時(shí)間響應(yīng)分析一、時(shí)間響應(yīng)及其組成1、時(shí)間響應(yīng)定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應(yīng)）在時(shí)域的表現(xiàn)形式，在數(shù)學(xué)上，就是系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程在一定初始條件下的解。時(shí)間響應(yīng)能完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動(dòng)態(tài)歷程。

2、時(shí)域分析的目的2、典型示例分析在時(shí)間域，研究在一定的輸入信號(hào)作用下，系統(tǒng)輸出隨時(shí)間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點(diǎn)：直觀、簡(jiǎn)便

則有：其解可分解為：3、一般情況其解可分解為：結(jié)論：1)系統(tǒng)的階次n和si取決于系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的初態(tài)無(wú)關(guān)。4、瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)系統(tǒng)的特征根影響系統(tǒng)自由響應(yīng)的收斂性和振蕩。若所有的Resi<0，則隨著時(shí)間的增加，自由響應(yīng)逐漸衰減，當(dāng)t->無(wú)窮時(shí)，自由響應(yīng)趨于0（也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)都在左半平面），系統(tǒng)穩(wěn)定，自由響應(yīng)稱為瞬態(tài)響應(yīng)；反之，若有一個(gè)Resi>0，則自由響應(yīng)逐漸增大，當(dāng)t->無(wú)窮時(shí),自由響應(yīng)趨于無(wú)窮，自由響應(yīng)不稱為瞬態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)一般就是指強(qiáng)迫響應(yīng)。特征根的虛部影響自由響應(yīng)項(xiàng)的振蕩情況，虛部絕對(duì)值越大，則自由響應(yīng)項(xiàng)的振蕩越劇烈。二、典型輸入信號(hào)1、定義:一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動(dòng)，擾動(dòng)通常是隨機(jī)的，即使對(duì)控制輸入，有時(shí)其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時(shí)間域進(jìn)行分析時(shí)，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號(hào)建立分析比較的基礎(chǔ)。這些信號(hào)稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號(hào)。2、作用:在實(shí)際中，輸入信號(hào)很少是典型輸入信號(hào)，但由于在系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)和系統(tǒng)對(duì)任意輸入信號(hào)的時(shí)間響應(yīng)之間存在一定的關(guān)系，所以，只要知道系統(tǒng)對(duì)典型輸入信號(hào)的響應(yīng)，再利用關(guān)系式：就能求出系統(tǒng)對(duì)任何輸入的響應(yīng)。3、對(duì)典型輸入信號(hào)的要求

形式簡(jiǎn)單，便于解析分析；

能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；

實(shí)際中可以實(shí)現(xiàn)或近似實(shí)現(xiàn)。4、常用的典型輸入信號(hào)Asin

t

正弦信號(hào)

1

(t)，t=0單位脈沖信號(hào)

單位加速度信號(hào)

t，

t

0單位速度(斜坡)信號(hào)

1(t)，t

0單位階躍信號(hào)

復(fù)數(shù)域表達(dá)式

時(shí)域表達(dá)式

名

稱

能反映系統(tǒng)在工作過(guò)程中的大部分實(shí)際情況；5、典型輸入信號(hào)的選擇原則如：若實(shí)際系統(tǒng)的輸入具有突變性質(zhì)，則可選階躍信號(hào)；若實(shí)際系統(tǒng)的輸入隨時(shí)間逐漸變化，則可選速度信號(hào)。注意：對(duì)于同一系統(tǒng)，無(wú)論采用哪種輸入信號(hào)，由時(shí)域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會(huì)改變。三、一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）極點(diǎn)（特征根）：-1/T2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)T

一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的特點(diǎn)

瞬態(tài)響應(yīng)：(1/T)e–t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：0；

xo(0)=1/T,隨時(shí)間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；

對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)，通常應(yīng)用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號(hào)。

3、一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T

一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

響應(yīng)分為兩部分

瞬態(tài)響應(yīng)：表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過(guò)程（動(dòng)態(tài)/過(guò)渡過(guò)程）

穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：1表示t

時(shí)，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)

xo(0)=0，隨時(shí)間的推移，xo(t)指數(shù)增大，且無(wú)振蕩。xo(

)=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；

xo(T)=1-e-1=0.632，即經(jīng)過(guò)時(shí)間T，系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)T；

時(shí)間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應(yīng)的快慢。通常工程中當(dāng)響應(yīng)曲線達(dá)到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%

~98%時(shí)，認(rèn)為系統(tǒng)響應(yīng)過(guò)程基本結(jié)束。從而慣性環(huán)節(jié)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間為3T~4T。

將一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)式改寫為：即ln[1-xo(t)]與時(shí)間t成線性關(guān)系。該性質(zhì)可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測(cè)量慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。tln[1-xo(t)]04、一階系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te(

)=TT

一階系統(tǒng)單位速度響應(yīng)的特點(diǎn)

瞬態(tài)響應(yīng)：Te–t/T；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：t–T；

經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間(穩(wěn)態(tài)時(shí)，如t

4T)，輸出增長(zhǎng)速率近似與輸入相同，此時(shí)輸出為：

t–T，即輸出相對(duì)于輸入滯后時(shí)間T；

系統(tǒng)響應(yīng)誤差為：5、線性定常系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性質(zhì)

系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性。

注意到：對(duì)一階系統(tǒng)：即：系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。同樣可知，系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng)等于系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質(zhì)對(duì)任何線性定常系統(tǒng)均成立。6、不同時(shí)間常數(shù)下的響應(yīng)情況由上圖可知，T越大，慣性越大。一階系統(tǒng)的性能指標(biāo)：Ts,它是一階系統(tǒng)在階躍輸入作用下，達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的(1-△)所需的時(shí)間(△為容許誤差)?！?2%,ts=4T,△=5%,ts=3T，調(diào)整時(shí)間反映系統(tǒng)響應(yīng)的快速性，T越大，系統(tǒng)的慣性越大，調(diào)整時(shí)間越長(zhǎng)，響應(yīng)越慢。四、二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、二階系統(tǒng)其中，T為時(shí)間常數(shù)，也稱為無(wú)阻尼自由振蕩周期，

為阻尼比；

n＝1/T為系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：極點(diǎn)（特征根）：

欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：0<

<1具有一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有衰減的復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：其中，稱為阻尼振蕩頻率。

臨界阻尼二階系統(tǒng)：

＝1具有兩個(gè)相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：

過(guò)阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)數(shù)極點(diǎn)：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：

零阻尼二階系統(tǒng)：

＝0具有一對(duì)共軛虛極點(diǎn)：系統(tǒng)時(shí)域響應(yīng)含有復(fù)指數(shù)振蕩項(xiàng)：

負(fù)阻尼二階系統(tǒng)：

<0極點(diǎn)實(shí)部大于零，響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)

0<

<1：

=1：

=0：

>1：3、二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)

欠阻尼（0<

<1）狀態(tài)

其中，欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8t

欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

xo(

)=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由

和

n決定。阻尼振蕩頻率；

振蕩幅值隨

減小而加大。10txo(t)

特點(diǎn)

單調(diào)上升，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)；

xo(

)=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。

臨界阻尼（

=1）狀態(tài)

過(guò)阻尼（

>1）狀態(tài)

01txo(t)

特點(diǎn)

單調(diào)上升，無(wú)振蕩，過(guò)渡過(guò)程時(shí)間長(zhǎng)

xo(

)=1，無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差。

無(wú)阻尼（

=0）狀態(tài)

210txo(t)

特點(diǎn)頻率為

n的等幅振蕩。

負(fù)阻尼（

<0）狀態(tài)

0txo(t)-1<

<0t0xo(t)

<-1-1<

<0：輸出表達(dá)式與欠阻尼狀態(tài)相同。

<-1：輸出表達(dá)式與過(guò)阻尼狀態(tài)相同。

特點(diǎn)：振蕩發(fā)散

特點(diǎn)：?jiǎn)握{(diào)發(fā)散

幾點(diǎn)結(jié)論

二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時(shí)，階躍響應(yīng)發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

1時(shí)，無(wú)振蕩、無(wú)超調(diào)，過(guò)渡過(guò)程長(zhǎng)；0<

<1時(shí)，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴(yán)重，但響應(yīng)愈快，

=0時(shí)，出現(xiàn)等幅振蕩。

工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應(yīng)用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時(shí)又不至于產(chǎn)生過(guò)

大的振蕩。

一定時(shí)，

n越大，瞬態(tài)響應(yīng)分量衰減越

迅速，即系統(tǒng)能夠更快達(dá)到穩(wěn)態(tài)值，響應(yīng)

的快速性越好。5、例題

例1單位脈沖信號(hào)輸入時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由題意Xi(s)=1，所以：

例2解：1）單位階躍輸入時(shí)已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)和單位脈沖響應(yīng)。從而：

2）單位脈沖輸入時(shí)，由于因此：6、二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)是評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)品質(zhì)的定量指標(biāo)，是定量分析的基礎(chǔ)。系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)通常通過(guò)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)進(jìn)行定義。常見的性能指標(biāo)有：上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)整時(shí)間ts、最大超調(diào)量Mp、振蕩次數(shù)N。

10tMp允許誤差

=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

評(píng)價(jià)系統(tǒng)快速性的性能指標(biāo)

上升時(shí)間tr響應(yīng)曲線從零時(shí)刻出發(fā)首次到達(dá)穩(wěn)態(tài)值所需時(shí)間。對(duì)無(wú)超調(diào)系統(tǒng)，上升時(shí)間一般定義為響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間。

峰值時(shí)間tp響應(yīng)曲線從零上升到第一個(gè)峰值所需時(shí)間。

調(diào)整時(shí)間ts響應(yīng)曲線到達(dá)并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的

2%或

5%）內(nèi)所需的時(shí)間。

最大超調(diào)量Mp響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分?jǐn)?shù)表示：

評(píng)價(jià)系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標(biāo)

若xo(tp)

xo(

)，則響應(yīng)無(wú)超調(diào)。

振蕩次數(shù)N在調(diào)整時(shí)間ts內(nèi)系統(tǒng)響應(yīng)曲線的振蕩次數(shù)。實(shí)測(cè)時(shí)，可按響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計(jì)數(shù)。

欠阻尼二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)

上升時(shí)間tr根據(jù)上升時(shí)間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為：從而：即：顯然，

一定時(shí)，

n越大，tr越?。?/p>

n一定時(shí)，

越大，tr越大。

峰值時(shí)間tp，并將t=tp代入可得：

令即：

根據(jù)tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時(shí)間等于阻尼振蕩周期Td＝2

/

d的一半。且

一定，

n越大，tp越小；

n一定，

越大，tp越大。

最大超調(diào)量

Mp顯然，Mp僅與阻尼比

有關(guān)。最大超調(diào)量直接說(shuō)明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當(dāng)

=0.4~0.8時(shí)，可以求得相應(yīng)的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp

二階系統(tǒng)Mp—

圖

調(diào)整時(shí)間ts對(duì)于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應(yīng)的包絡(luò)線為一對(duì)對(duì)稱于響應(yīng)穩(wěn)態(tài)分量

1的指數(shù)曲線：

t01xo(t)T2T3T4T當(dāng)包絡(luò)線進(jìn)入允許誤差范圍之內(nèi)時(shí)，階躍響應(yīng)曲線必然也處于允許誤差范圍內(nèi)。因此利用：可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。當(dāng)

一定時(shí)，

n越大，ts越小，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當(dāng)0<

<0.7時(shí)，

振蕩次數(shù)NN僅與

有關(guān)。與Mp一樣直接說(shuō)明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。對(duì)欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期則

二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能由

n和

決定。

結(jié)論

通常根據(jù)允許的最大超調(diào)量來(lái)確定

。

一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調(diào)整

n以獲得合適的瞬態(tài)響應(yīng)時(shí)間。

一定，

n越大，系統(tǒng)響應(yīng)快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加

可以降低振蕩，減小超調(diào)量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；

例題1圖a)所示機(jī)械系統(tǒng)，當(dāng)在質(zhì)量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時(shí)間響應(yīng)如圖b)。試求系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性系數(shù)K和粘性阻尼系數(shù)C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)解：根據(jù)牛頓第二定律：

其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo(

)=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入

，可得

n=1.96rad/s根據(jù)解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s

例題2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求K=200時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的變化情況。

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

1）K=200時(shí)

n=31.6rad/s，

=0.5452）K=1500時(shí)

n=86.2rad/s，

=0.2，同樣可計(jì)算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，

減小，

n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無(wú)變化

即系統(tǒng)可以視為由兩個(gè)時(shí)間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時(shí)

n=8.22rad/s，

=2.1，系統(tǒng)工作于過(guò)阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：

對(duì)于過(guò)阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無(wú)意義，而調(diào)整時(shí)間ts間可以通過(guò)其中時(shí)間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進(jìn)行估算，即：

ts=3T1=1.443s(

=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無(wú)超調(diào)，但過(guò)渡過(guò)程緩慢。五、高階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)考慮系統(tǒng)假設(shè)系統(tǒng)極點(diǎn)互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點(diǎn)s=0和s=-pj處的留數(shù)；

bk、ck是與Xo(s)在極點(diǎn)處的留數(shù)有關(guān)的常數(shù)。當(dāng)Xi(s)=1/s時(shí)，其中，

=arctg(bk/ck)。2、高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的特點(diǎn)

高階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由一階和二階系統(tǒng)的響應(yīng)函數(shù)疊加而成。

如果所有閉環(huán)極點(diǎn)都在

s平面的左半平面內(nèi)，即所有閉環(huán)極點(diǎn)都具有負(fù)實(shí)部(pj、

k

k大于零)，則隨著時(shí)間t

，xo(

)=a。即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

極點(diǎn)距虛軸的距離決定了其所對(duì)應(yīng)的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠(yuǎn)衰減越快；3、系統(tǒng)零極點(diǎn)分布對(duì)時(shí)域響應(yīng)的影響0

j

-

n-8

n-5

n-10

np1p2p3p4p5z10txo

(t)p1、p2p3p4、p5

通常如果閉環(huán)零點(diǎn)和極點(diǎn)的距離比其模值小一個(gè)數(shù)量級(jí)，則該極點(diǎn)和零點(diǎn)構(gòu)成一對(duì)偶極子，可以對(duì)消。

系統(tǒng)零點(diǎn)影響各極點(diǎn)處的留數(shù)的大?。锤鱾€(gè)瞬態(tài)分量的相對(duì)強(qiáng)度），如果在某一極點(diǎn)附近存在零點(diǎn)，則其對(duì)應(yīng)的瞬態(tài)分量的強(qiáng)度將變小，所以一對(duì)靠得很近的零點(diǎn)和極點(diǎn)其瞬態(tài)響應(yīng)分量可以忽略。這對(duì)零極點(diǎn)稱為偶極子。

綜上所述，對(duì)于高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導(dǎo)極點(diǎn)（通常選為一對(duì)共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)，即二階系統(tǒng)），就可以忽略其它遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)和偶極子的影響，近似為二階系統(tǒng)進(jìn)行處理。

主導(dǎo)極點(diǎn)（

距虛軸最近、實(shí)部的絕對(duì)值為其它極點(diǎn)實(shí)部絕對(duì)值的1/5或更小，且其附近沒有零點(diǎn)的閉環(huán)極點(diǎn)）對(duì)高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)起主導(dǎo)作用。

4、例題已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)近似單位階躍響應(yīng)。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式為：-10-20-20.03-6071.4-71.40j

由系統(tǒng)零極點(diǎn)分布圖可見，零點(diǎn)z1＝-20.03和極點(diǎn)p1＝-20構(gòu)成一對(duì)偶極子，可以消去，共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)p3,4＝-10±j71.4與極點(diǎn)p2＝-60相距很遠(yuǎn)，p3,4為系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)，p2對(duì)響應(yīng)的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡(jiǎn)化為：系統(tǒng)的近似單位階躍響應(yīng)為：

n=72.11rad/s，

=0.139txo(t)0原系統(tǒng)等效二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)txo

(t)0-10±j71.4-60-20瞬態(tài)輸出分量六、誤差分析和計(jì)算1、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信號(hào)

(s)

(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號(hào)

(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號(hào)B(s)之差，即：

誤差信號(hào)E(s)誤差信號(hào)e(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實(shí)際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號(hào)

(s)＝0時(shí)的實(shí)際輸出值，即此時(shí)控制系統(tǒng)無(wú)控制作用，實(shí)際輸出等于期望輸出：Xo(s)＝Xor(s)由：

(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)

偏差信號(hào)

(s)與誤差信號(hào)E(s)的關(guān)系對(duì)單位反饋系統(tǒng)：E(s)＝

(s)2、穩(wěn)態(tài)誤差及其計(jì)算

穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實(shí)際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t

）下的差值，即誤差信號(hào)e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：當(dāng)sE(s)的極點(diǎn)均位于s平面左半平面（包括坐標(biāo)原點(diǎn)）時(shí)，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：

穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為：

即：利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：穩(wěn)態(tài)誤差：對(duì)于單位反饋系統(tǒng)：顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號(hào)的特性及系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)。

例題已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號(hào)sin

t輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：sin

t輸入時(shí)：由于上式在虛軸上有一對(duì)共軛極點(diǎn)，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。對(duì)上式拉氏變換后得：穩(wěn)態(tài)輸出為：而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯(cuò)誤得結(jié)論：此例表明，輸入信號(hào)不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念

穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)單位階躍輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)。其中，

穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)單位速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，易知：對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，易知：

穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)單位加速度輸入時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，

結(jié)論當(dāng)輸入信號(hào)形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，易知：

系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：

則：

即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益、輸入信號(hào)以及開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)v。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當(dāng)

v=0,1,2,…時(shí)，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。

不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)偏差00K

II型

00K

I型

00K0型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型

幾點(diǎn)結(jié)論

不同類型的輸入信號(hào)作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號(hào)作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關(guān)，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。

在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無(wú)差系統(tǒng)；

在速度輸入作用下，II

型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

0，常稱為二階無(wú)差系統(tǒng)。

令

為輸入信號(hào)拉氏變換后s的階次，當(dāng)

v時(shí)，無(wú)穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）；

-v=1時(shí)，偏差誤差）為常數(shù)；

-v=2時(shí)，偏差（誤差）為無(wú)窮大；

習(xí)慣上，稱輸出量為“位置”，輸出量的變化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的概念。

盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對(duì)速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系統(tǒng)的單位速度響應(yīng)xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系統(tǒng)的單位加速度響應(yīng)

系統(tǒng)在多個(gè)信號(hào)共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差誤差）等于多個(gè)信號(hào)單獨(dú)作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：

如果輸入量非單位量時(shí)，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)只對(duì)相應(yīng)的階躍、速度及加速度輸入有意義。七擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差

擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差

G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++擾動(dòng)偏差傳遞函數(shù)為：即：所以，擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)偏差：由擾動(dòng)引起的輸出為：即系統(tǒng)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差：對(duì)于單位階躍擾動(dòng)，若G1(0)G2(0)H(0)>>1，則即

擾動(dòng)作用點(diǎn)前的前向通道傳遞函數(shù)G1(0)越大，由一定的擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。

系統(tǒng)總誤差

當(dāng)系統(tǒng)同時(shí)受到輸入信號(hào)Xi(s)和擾動(dòng)信號(hào)N(s)作用時(shí)，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：穩(wěn)態(tài)誤差：

例題系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，其中K1、K2、K3、K4、T為常數(shù)，試求當(dāng)輸入xi(t)=1+t以及擾動(dòng)作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。

K1

G0(s)Xi(s)Xo(s)+_

+_K4N(s)解：n(t)=0時(shí)K1

Xi(s)Xo(s)_

+K4系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：注：已知輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)時(shí)，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通過(guò)穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)求解。要使系統(tǒng)對(duì)輸入xi(t)=1+t無(wú)穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1－K3

K4

=0?K4=1/K3

。只有擾動(dòng)作用時(shí)(xi(t)=0)

+

G0(s)N(s)Xon(s)__

減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法

提高系統(tǒng)開環(huán)增益；

增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)；

通過(guò)順饋控制或復(fù)合控制進(jìn)行補(bǔ)償；第三章例題講解例3.1已知系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：求：1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

2）系統(tǒng)阻尼比

和無(wú)阻尼固有頻率

n。解：1）

2）對(duì)比二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式：

有：

例3.2已知系統(tǒng)方框圖如下：圖中虛線方框稱為“比例＋微分”控制。求系統(tǒng)的上升時(shí)間tr、峰值時(shí)間tp、調(diào)節(jié)時(shí)間ts及最大超調(diào)量Mp。并分析“比例＋微分”控制對(duì)二階系統(tǒng)性能的影響。

dsXi(s)Xo(s)0<

<1解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：注意到上式為有零點(diǎn)的二階系統(tǒng)，不可應(yīng)用典型二階系統(tǒng)的時(shí)域性能指標(biāo)求解公式。當(dāng)

d<1時(shí)，系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為：其中，1)上升時(shí)間根據(jù)上升時(shí)間的定義有：從而：即：2)峰值時(shí)間令x'o1(t)=0，有：因此：

其中：3)最大超調(diào)量利用：解得：4)調(diào)節(jié)時(shí)間下面分析“比例＋微分”控制對(duì)系統(tǒng)性能的影響。由于：可見，“比例＋微分”控制不改變系統(tǒng)的固有頻率，但可增加系統(tǒng)的阻尼比，減少超調(diào)。其中：進(jìn)一步，注意到：上式中第一項(xiàng)為典型的二階系統(tǒng)，第二項(xiàng)由“比例＋微分”控制作用引入的零點(diǎn)所產(chǎn)生，且第二項(xiàng)為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)乘以s以及微分時(shí)間常數(shù)

d，而s表示了微分算子，因此，從時(shí)域上看，第二項(xiàng)的時(shí)間響應(yīng)等于原系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)乘以

d。當(dāng)

d<1時(shí)，典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：其導(dǎo)數(shù)為：t(s)00.511.522.53-0.200.20.40.60.811.21.41.61.8xo(t)“比例＋微分”系統(tǒng)原系統(tǒng)xo1(t)

dx'o1(t)“比例＋微分”控制可提高系統(tǒng)的響應(yīng)速度。即“比例＋微分控制”不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。盡管如此，由于增加了系統(tǒng)的阻尼，因此在保證一定的動(dòng)態(tài)性能條件下，允許系統(tǒng)選用較大的開環(huán)增益以改善穩(wěn)態(tài)精度。但是，微分的引入會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)抗噪性能下降。此外，引入“比例＋微分控制”后，系統(tǒng)仍為I型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不變：例3.3某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：為了將調(diào)節(jié)時(shí)間減小為原來(lái)的1/10，同時(shí)系統(tǒng)維持原有的增益，采用增加負(fù)反饋的辦法，改造后的系統(tǒng)方框圖如下。試確定參數(shù)K1和Kh的取值。G(s)Xi(s)Xo(s)K1Kh解：期望的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：引入負(fù)反饋后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：對(duì)比上述兩式，求得：

Kh＝0.45；K1＝10－、引言頻率特性分析