機械工程控制基礎課件

1系統(tǒng)數(shù)學模型一、數(shù)學模型的基本概念1、數(shù)學模型數(shù)學模型是描述系統(tǒng)輸入、輸出量以及內部各變量之間關系的數(shù)學表達式，它揭示了系統(tǒng)結構及其參數(shù)與其性能之間的內在關系。

靜態(tài)數(shù)學模型：靜態(tài)條件（變量各階導數(shù)為零）下描述變量之間關系的代數(shù)方程。

動態(tài)數(shù)學模型：描述變量各階導數(shù)之間關系的微分方程。

+-22、建立數(shù)學模型的方法

解析法依據(jù)系統(tǒng)及元件各變量之間所遵循的物理或化學規(guī)律列寫出相應的數(shù)學關系式，建立模型。人為地對系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當?shù)臄?shù)學模型進行逼近。這種方法也稱為系統(tǒng)辨識。數(shù)學模型應能反映系統(tǒng)內在的本質特征，同時應對模型的簡潔性和精確性進行折衷考慮。

實驗法33、數(shù)學模型的形式

時間域：微分方程（一階微分方程組）、差分方程、狀態(tài)方程

復數(shù)域：傳遞函數(shù)、結構圖

頻率域：頻率特性二、系統(tǒng)的微分方程1、定義：時域中描述系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學模型。2、建立數(shù)學模型的一般步驟

分析系統(tǒng)工作原理和信號傳遞變換的過程，確定系統(tǒng)和各元件的輸入、輸出量；

4

從輸入端開始，按照信號傳遞變換過程，依據(jù)各變量遵循的物理學定律，依次列寫出各元件、部件的動態(tài)微分方程；

消去中間變量，得到描述元件或系統(tǒng)輸入、輸出變量之間關系的微分方程；

標準化：右端輸入，左端輸出，導數(shù)降冪排列3、控制系統(tǒng)微分方程的列寫

機械系統(tǒng)機械系統(tǒng)中以各種形式出現(xiàn)的物理現(xiàn)象，都可簡化為質量、彈簧和阻尼三個要素：5

質量mfm(t)參考點x

(t)v

(t)

彈簧KfK(t)fK(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)6

阻尼CfC(t)fC(t)x1(t)v1(t)x2(t)v2(t)7

機械平移系統(tǒng)mmfi(t)KCxo(t)fi(t)xo(t)00fm(t)fK(t)機械平移系統(tǒng)及其力學模型fC(t)靜止（平衡）工作點作為零點，以消除重力的影響8式中，m、C、K通常均為常數(shù)，故機械平移系統(tǒng)可以由二階常系數(shù)微分方程描述。顯然，微分方程的系數(shù)取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，而階次等于系統(tǒng)中獨立儲能元件（慣性質量、彈簧）的數(shù)量。

9

彈簧－阻尼系統(tǒng)xo(t)0fi(t)KC彈簧-阻尼系統(tǒng)系統(tǒng)運動方程為一階常系數(shù)微分方程。

10

機械旋轉系統(tǒng)K

i(t)

o(t)00TK(t)TC(t)C粘性液體齒輪JJ—旋轉體轉動慣量；K—扭轉剛度系數(shù)；C—粘性阻尼系數(shù)柔性軸1112

電氣系統(tǒng)

電阻電氣系統(tǒng)三個基本元件：電阻、電容和電感。Ri(t)u(t)

電容Ci(t)u(t)13

電感Li(t)u(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡LRCui(t)uo(t)i(t)R-L-C無源電路網(wǎng)絡14一般R、L、C均為常數(shù)，上式為二階常系數(shù)微分方程。

若L=0，則系統(tǒng)簡化為：15

有源電網(wǎng)絡+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a即：16例：列寫下圖所示機械系統(tǒng)的微分方程解：1)明確系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為f(t),輸出為x(t)2)列寫微分方程，受力分析3)整理可得：17例：列寫下圖所示電網(wǎng)絡的微分方程解：1)系統(tǒng)的輸入與輸出輸入為u1,輸出為u22)列寫原始微分方程3)消除中間變量，并整理：18

小結

物理本質不同的系統(tǒng)，可以有相同的數(shù)學模型，從而可以拋開系統(tǒng)的物理屬性，用同一方法進行具有普遍意義的分析研究（信息方法）。

從動態(tài)性能看，在相同形式的輸入作用下，數(shù)學模型相同而物理本質不同的系統(tǒng)其輸出響應相似。相似系統(tǒng)是控制理論中進行實驗模擬的基礎；

通常情況下，元件或系統(tǒng)微分方程的階次等于元件或系統(tǒng)中所包含的獨立儲能元（慣性質量、彈性要素、電感、電容、液感、液容等）的個數(shù)；因為系統(tǒng)每增加一個獨立儲能元，其內部就多一層能量（信息）的交換。19

系統(tǒng)的動態(tài)特性是系統(tǒng)的固有特性，僅取決于系統(tǒng)的結構及其參數(shù)。

線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)可以用線性微分方程描述的系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)是時間t的函數(shù)，則為線性時變系統(tǒng)；

線性系統(tǒng)線性是指系統(tǒng)滿足疊加原理，即：

可加性：

齊次性：或：20疊加

液體系統(tǒng)節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)設液體不可壓縮，通過節(jié)流閥的液流是湍流。

A：箱體截面積；21上式為非線性微分方程，即此液位控制系統(tǒng)為非線性系統(tǒng)。

：由節(jié)流閥通流面積和通流口的結構形式?jīng)Q定的系數(shù)，通流面積不變時，

為常數(shù)。

線性系統(tǒng)微分方程的一般形式

22式中，a1，a2，…，an和b0，b1，…，bm為由系統(tǒng)結構參數(shù)決定的實常數(shù)，m≤n。

三、非線性數(shù)學模型的線性化1、線性化問題的提出

線性化：在一定條件下作某種近似或縮小系統(tǒng)工作范圍，將非線性微分方程近似為線性微分方程進行處理。

非線性現(xiàn)象：機械系統(tǒng)中的高速阻尼器，阻尼力與速度的平方成反比；齒輪嚙合系統(tǒng)由于間隙的存在導致的非線性傳輸特性；具有鐵芯的電感，電流與電壓的非線性關系等。

23

線性化的提出

線性系統(tǒng)是有條件存在的，只在一定的工作范圍內具有線性特性；

非線性系統(tǒng)的分析和綜合是非常復雜的；

對于實際系統(tǒng)而言，在一定條件下，采用線性化模型近似代替非線性模型進行處理，能夠滿足實際需要。2、非線性數(shù)學模型的線性化

泰勒級數(shù)展開法

函數(shù)y=f(x)在其平衡點（x0,y0）附近的泰勒級數(shù)展開式為：

24略去含有高于一次的增量

x=x-x0的項，則：或：y-y0=

y=K

x，其中：上式即為非線性系統(tǒng)的線性化模型，稱為增量方程。y0=f(x0)稱為系統(tǒng)的靜態(tài)方程；25增量方程的數(shù)學含義就是將參考坐標的原點移到系統(tǒng)或元件的平衡工作點上，對于實際系統(tǒng)就是以正常工作狀態(tài)為研究系統(tǒng)運動的起始點，這時，系統(tǒng)所有的初始條件均為零。

對多變量系統(tǒng)，如：y=f(x1,x2)，同樣可采用泰勒級數(shù)展開獲得線性化的增量方程。

增量方程：靜態(tài)方程：其中：26

滑動線性化——切線法0xy=f(x)y0x0

x

y’

y非線性關系線性化A線性化增量增量方程為：

y

y'=

x

tg

切線法是泰勒級數(shù)法的特例。3、系統(tǒng)線性化微分方程的建立

步驟27

確定系統(tǒng)各組成元件在平衡態(tài)的工作點；

列出各組成元件在工作點附近的增量方程；

消除中間變量，得到以增量表示的線性化微分方程；

實例：液位系統(tǒng)的線性化節(jié)流閥節(jié)流閥qi(t)qo(t)H(t)液位系統(tǒng)解：穩(wěn)態(tài)時：非線性項的泰勒展開為：28則：由于：注意到：所以：29實際使用中，常略去增量符號而寫成：此時，上式中H(t)和qi(t)均為平衡工作點的增量。4、線性化處理的注意事項

線性化方程的系數(shù)與平衡工作點的選擇有關；

線性化是有條件的，必須注意線性化方程適用的工作范圍；30

某些典型的本質非線性，如繼電器特性、間隙、死區(qū)、摩擦等，由于存在不連續(xù)點，不能通過泰勒展開進行線性化，只有當它們對系統(tǒng)影響很小時才能忽略不計，否則只能作為非線性問題處理。inout0近似特性曲線真實特性飽和非線性inout0死區(qū)非線性31inout0繼電器非線性inout0間隙非線性例：液壓伺服機構解：1）明確系統(tǒng)輸入與輸出：輸入為x,輸出為y2)列寫原始微分方程：323)非線性函數(shù)線性化：4)代入方程，整理可得：33四、拉氏變換和拉氏反變換1、拉氏變換設函數(shù)f(t)(t

0)在任一有限區(qū)間上分段連續(xù)，且存在一正實常數(shù)

，使得：則函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=

+j

（

，

均為實數(shù)）；34稱為拉普拉氏積分；F(s)稱為函數(shù)f(t)的拉普拉氏變換或象函數(shù)，它是一個復變函數(shù)；f(t)稱為F(s)的原函數(shù)；L為拉氏變換的符號。2、拉氏反變換L－1為拉氏反變換的符號。353、幾種典型函數(shù)的拉氏變換

單位階躍函數(shù)1(t)10tf(t)單位階躍函數(shù)36

指數(shù)函數(shù)（a為常數(shù)）指數(shù)函數(shù)0tf(t)137

正弦函數(shù)與余弦函數(shù)正弦及余弦函數(shù)10tf(t)f(t)=sin

tf(t)=cos

t-1由歐拉公式，有：

38從而：同理：39

單位脈沖函數(shù)

(t)0tf(t)單位脈沖函數(shù)

1

由洛必達法則：所以：40

單位速度函數(shù)（斜坡函數(shù)）10tf(t)單位速度函數(shù)141

單位加速度函數(shù)單位加速度函數(shù)0tf(t)函數(shù)的拉氏變換及反變換通常可以由拉氏變換表直接或通過一定的轉換得到。

424、拉氏變換積分下限的說明在某些情況下，函數(shù)f(t)在t＝0處有一個脈沖函數(shù)。這時必須明確拉氏變換的積分下限是0－還是0+，并相應記為：43常用拉氏變換表445、拉氏變換的主要定理

疊加定理

齊次性：L[af(t)]=aL[f(t)]，a為常數(shù)；

疊加性：L[af1(t)+bf2(t)]=aL[f1(t)]+bL[f2(t)]

a，b為常數(shù)；顯然，拉氏變換為線性變換。

實微分定理45證明：由于即：所以：同樣有：46當f(t)及其各階導數(shù)在t=0時刻的值均為零時（零初始條件）：當f(t)在t=0處具有間斷點時，df(t)/dt在t=0處將包含一個脈沖函數(shù)。故若f(0+)

f(0－)，則：47

積分定理當初始條件為零時：若f(0+)

f(0－)，則：48證明：同樣：49當初始條件為零時：

延遲定理設當t<0時，f(t)=0，則對任意

0，有：函數(shù)f(t-

)0tf(t)

f(t)f(t-

)50

位移定理例：

初值定理51證明：初值定理建立了函數(shù)f(t)在t=0+處的初值與函數(shù)sF(s)在s趨于無窮遠處的終值間的關系。

終值定理若sF(s)的所有極點位于左半s平面，即：存在。則：52證明：又由于：即：終值定理說明f(t)穩(wěn)定值與sF(s)在s=0時的初值相同。537、求解拉氏反變換的部分分式法

部分分式法

如果f(t)的拉氏變換F(s)已分解成為下列分量：F(s)=F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)假定F1(s),F2(s),…，F(xiàn)n(s)的拉氏反變換可以容易地求出，則：L-1[F(s)]=L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)]=f1(t)+f2(t)+…+fn(t)54在控制理論中，通常：為了應用上述方法，將F(s)寫成下面的形式：式中，p1，p2，…，pn為方程A(s)=0的根的負值，稱為F(s)的極點；ci=bi

/a0

(i=0,1,…,m)。此時，即可將F(s)展開成部分分式。

55F(s)只含有不同的實數(shù)極點式中，Ai為常數(shù)，稱為s=-pi極點處的留數(shù)。實際常如下計算：56例：求的原函數(shù)。解：即：57例求所示象函數(shù)的原函數(shù)f（t）解：其中：p1＝0、p2＝-2、p3＝-5同理：A2=0.5、A3＝－0.6其反變換為：58F(s)含有共軛復數(shù)極點

設共軛復數(shù)根p1＝α+jω、p2＝α－jω59例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：p1＝－1+j2、p2＝－1－j260F(s)含有重極點

設F(s)存在r重極點-p0，其余極點均不同，則：

式中，Ar+1，…，An利用前面的方法求解。61……62注意到：所以：63例求所示象函數(shù)的原函數(shù)解：B（s）＝0有p1＝－1的三重根、p2＝0的二重根，所以F（s）可以展開為：從而：64例：求的原函數(shù)。解：65于是：8、應用拉氏變換解線性微分方程

求解步驟

將微分方程通過拉氏變換變?yōu)?/p>

s的代數(shù)方

程；

解代數(shù)方程，得到有關變量的拉氏變換表

達式；

應用拉氏反變換，得到微分方程的時域解。66原函數(shù)（微分方程的解）象函數(shù)微分方程象函數(shù)的代數(shù)方程拉氏反變換拉氏變換解代數(shù)方程拉氏變換法求解線性微分方程的過程67

實例設系統(tǒng)微分方程為：若xi

(t)

=1(t)，初始條件分別為x'o(0)、xo(0)，試求xo(t)。解：對微分方程左邊進行拉氏變換：

68即：對方程右邊進行拉氏變換：從而：6970所以：查拉氏變換表得：當初始條件為零時：71

應用拉氏變換法求解微分方程時，由于初始條件已自動地包含在微分方程的拉氏變換式中，因此，不需要根據(jù)初始條件求積分常數(shù)的值就可得到微分方程的全解。

如果所有的初始條件為零，微分方程的拉氏變換可以簡單地用sn代替dn/dtn得到。

由上述實例可見：

系統(tǒng)響應可分為兩部分：零狀態(tài)響應和零輸入響應72五、傳遞函數(shù)1、傳遞函數(shù)的概念和定義

傳遞函數(shù)

在零初始條件下，線性定常系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與引起該輸出的輸入量的拉氏變換之比。

零初始條件：

t<0時，輸入量及其各階導數(shù)均為0；

輸入量施加于系統(tǒng)之前，系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀態(tài)，即t<0時，輸出量及其各階導數(shù)也均為0；73

傳遞函數(shù)求解示例

質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：按照定義，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：74

R-L-C無源電路網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)

所有初始條件均為零時，其拉氏變換為：75

幾點結論

傳遞函數(shù)是復數(shù)s域中的系統(tǒng)數(shù)學模型，其參數(shù)僅取決于系統(tǒng)本身的結構及參數(shù)，與系統(tǒng)的輸入形式無關。

若輸入給定，則系統(tǒng)輸出特性完全由傳遞函數(shù)G(s)決定，即傳遞函數(shù)表征了系統(tǒng)內在的固有動態(tài)特性。

傳遞函數(shù)通過系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系來描述系統(tǒng)的固有特性。即以系統(tǒng)外部的輸入－輸出特性來描述系統(tǒng)的內部特性。76

傳遞函數(shù)的一般形式考慮線性定常系統(tǒng)當初始條件全為零時，對上式進行拉氏變換可得系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式：77令：則：N(s)=0稱為系統(tǒng)的特征方程，其根稱為系統(tǒng)的特征根。特征方程決定著系統(tǒng)的動態(tài)特性。N(s)中s的最高階次等于系統(tǒng)的階次。2、特征方程、零點和極點

特征方程式中，K稱為系統(tǒng)的放大系數(shù)或增益。當s=0時：

G(0)=bm/an=K78從微分方程的角度看，此時相當于所有的導數(shù)項都為零。因此K反應了系統(tǒng)處于靜態(tài)時，輸出與輸入的比值。

零點和極點將G(s)寫成下面的形式：N(s)=a0(s-p1)(s-p2)…(s-pn)=0的根s=pj

(j=1,2,…,n)，稱為傳遞函數(shù)的極點；決定系統(tǒng)瞬態(tài)響應曲線的收斂性，即穩(wěn)定性式中，M(s)=b0(s-z1)(s-z2)…(s-zm)=0的根s=zi(i=1,2,…,m)，稱為傳遞函數(shù)的零點；影響瞬態(tài)響應曲線的形狀，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性79系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點就是系統(tǒng)的特征根。零點和極點的數(shù)值完全取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)。

零、極點分布圖

將傳遞函數(shù)的零、極點表示在復平面上的圖形稱為傳遞函數(shù)的零、極點分布圖。圖中，零點用“O”表示，極點用“×”表示。

G(s)=S+2(s+3)(s2+2s+2)的零極點分布圖012312-1-2-3-1-2

j

803、傳遞函數(shù)的幾點說明

傳遞函數(shù)是一種以系統(tǒng)參數(shù)表示的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量之間的關系式；傳遞函數(shù)的概念通常只適用于線性定常系統(tǒng)；

傳遞函數(shù)是

s的復變函數(shù)。傳遞函數(shù)中的各項系數(shù)和相應微分方程中的各項系數(shù)對應相等，完全取決于系統(tǒng)結構參數(shù)；

傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的，即在零時刻之前，系統(tǒng)對所給定的平衡工作點處于相對靜止狀態(tài)。因此，傳遞函數(shù)原則上不能反映系統(tǒng)在非零初始條件下的全部運動規(guī)律；81

傳遞函數(shù)只能表示系統(tǒng)輸入與輸出的關系，無法描述系統(tǒng)內部中間變量的變化情況。

一個傳遞函數(shù)只能表示一個輸入對一個輸出的關系，只適合于單輸入單輸出系統(tǒng)的描述。4、脈沖響應函數(shù)初始條件為0時，系統(tǒng)在單位脈沖輸入作用下的輸出響應的拉氏變換為：即：g(t)稱為系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)（權函數(shù)）。系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)與傳遞函數(shù)包含關于系統(tǒng)動態(tài)特性的相同信息。825、典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)

環(huán)節(jié)具有某種確定信息傳遞關系的元件、元件組或元件的一部分稱為一個環(huán)節(jié)。經(jīng)常遇到的環(huán)節(jié)稱為典型環(huán)節(jié)。

任何復雜的系統(tǒng)總可歸結為由一些典型環(huán)節(jié)所組成。

典型環(huán)節(jié)示例

比例環(huán)節(jié)

輸出量不失真、無慣性地跟隨輸入量，兩者成比例關系。83其運動方程為：xo(t)=Kxi(t)xo(t)、xi(t)—分別為環(huán)節(jié)的輸出和輸入量；K—比例系數(shù)，等于輸出量與輸入量之比。比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：z1z2ni(t)no(t)齒輪傳動副R2R1ui(t)uo(t)運算放大器84

慣性環(huán)節(jié)

凡運動方程為一階微分方程：形式的環(huán)節(jié)稱為慣性環(huán)節(jié)。其傳遞函數(shù)為：T—時間常數(shù)，表征環(huán)節(jié)的慣性，和環(huán)節(jié)結構參數(shù)有關式中，K—環(huán)節(jié)增益（放大系數(shù)）；85如：彈簧-阻尼器環(huán)節(jié)xi(t)xo(t)彈簧-阻尼器組成的環(huán)節(jié)KC86

微分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的微分。運動方程為：傳遞函數(shù)為：式中，

—微分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)在物理系統(tǒng)中微分環(huán)節(jié)不獨立存在，而是和其它環(huán)節(jié)一起出現(xiàn)。87RCui(t)uo(t)i(t)無源微分網(wǎng)絡無源微分網(wǎng)絡

顯然，無源微分網(wǎng)絡包括有慣性環(huán)節(jié)和微分環(huán)節(jié)，稱之為慣性微分環(huán)節(jié)，只有當|Ts|<<1時，才近似為微分環(huán)節(jié)。

除了上述純微分環(huán)節(jié)外，還有一類一階微分環(huán)節(jié)，其傳遞函數(shù)為：88微分環(huán)節(jié)的輸出是輸入的導數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢，從而給系統(tǒng)以有關輸入變化趨勢的預告。因此，微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。

積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量對時間的積分。

運動方程為：傳遞函數(shù)為：式中，T—積分環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。89積分環(huán)節(jié)特點：

輸出量取決于輸入量對時間的積累過程。且具有記憶功能；

具有明顯的滯后作用。積分環(huán)節(jié)常用來改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。如當輸入量為常值

A時，由于：輸出量須經(jīng)過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。90如：有源積分網(wǎng)絡

+

CRi1(t)ui(t)uo(t)i2(t)a91液壓缸

Aqi(t)xo(t)92

振蕩環(huán)節(jié)

含有兩個獨立的儲能元件，且所存儲的能量能夠相互轉換，從而導致輸出帶有振蕩的性質，運動方程為：傳遞函數(shù)：式中，T—振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

—阻尼比，對于振蕩環(huán)節(jié)，0<

<1

K—比例系數(shù)93振蕩環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的另一常用標準形式為（K=1）：

n稱為無阻尼固有頻率。如：質量-彈簧-阻尼系統(tǒng)傳遞函數(shù)：式中，94當時，為振蕩環(huán)節(jié)。

二階微分環(huán)節(jié)

式中，

—時間常數(shù)

—阻尼比，對于二階微分環(huán)節(jié)，0<

<1

K—比例系數(shù)

運動方程：傳遞函數(shù)：95

延遲環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值；運動方程：傳遞函數(shù)：式中，

為純延遲時間。

延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~

時間內,

沒有輸出，但t=

之后，輸出完全等于輸入。延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別：96ALvhi(t)ho(t)軋制鋼板厚度測量

小結

環(huán)節(jié)是根據(jù)微分方程劃分的，不是具體的物理裝置或元件；97

一個環(huán)節(jié)往往由幾個元件之間的運動特性共同組成；

同一元件在不同系統(tǒng)中作用不同，輸入輸出的物理量不同，可起到不同環(huán)節(jié)的作用。六、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖1、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖

系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖是系統(tǒng)數(shù)學模型的圖解形式?？梢孕蜗笾庇^地描述系統(tǒng)中各元件間的相互關系及其功能以及信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程。注意：即使描述系統(tǒng)的數(shù)學關系式相同，其方框圖也不一定相同。98

方框圖的結構要素

信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。X(s),x(t)信號線

信號引出點（線）表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。

同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。

引出線X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)X(s)99

函數(shù)方框(環(huán)節(jié))G(s)X1(s)X2(s)函數(shù)方框函數(shù)方框具有運算功能，即：

X2(s)=G(s)X1(s)傳遞函數(shù)的圖解表示。

求和點（比較點、綜合點）信號之間代數(shù)加減運算的圖解。用符號“

”及相應的信號箭頭表示，每個箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號。

100相鄰求和點可以互換、合并、分解，即滿足代數(shù)運算的交換律、結合律和分配律。

X1(s)X2(s)X1(s)

X2(s)

ABA-BCA-B+C

A+C-BBCAA+C

ABA-B+CCA-B+C求和點可以有多個輸入，但輸出是唯一的。

101

求和點函數(shù)方框函數(shù)方框引出線Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)方框圖示例任何系統(tǒng)都可以由信號線、函數(shù)方框、信號引出點及求和點組成的方框圖來表示。

102

系統(tǒng)方框圖的建立

步驟

建立系統(tǒng)各元部件的微分方程,明確信號的因果關系（輸入/輸出）。

對上述微分方程進行拉氏變換，繪制各部件的方框圖。

按照信號在系統(tǒng)中的傳遞、變換過程，依次將各部件的方框圖連接起來，得到系統(tǒng)的方框圖。103

示例RCui(t)uo(t)i(t)無源RC電路網(wǎng)絡

無源RC網(wǎng)絡

拉氏變換得：104從而可得系統(tǒng)各方框單元及其方框圖。

Ui(s)Ui-UoI(s)Uo(s)(a)Uo(s)I(s)(b)

Ui(s)U(s)I(s)Uo(s)無源RC電路網(wǎng)絡系統(tǒng)方框圖105

機械系統(tǒng)

m1fi(t)K1Cx(t)0m2K2xo(t)0m1fi(t)m2fK1fK2fm1fm2fC106107

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)(a)K1

X(s)Xo(s)FK1(s)CsFC(s)(b)108

Xo(s)FC(s)FK2(s)FK1(s)

(c)K2Xo(s)FK2(s)(d)109

Fi(s)X(s)FC(s)FK1(s)

Xo(s)FK2(s)

K1

Xo(s)FK1(s)CsFC(s)K2機械系統(tǒng)方框圖110

系統(tǒng)方框圖的簡化

方框圖的運算法則

串聯(lián)連接

G1(s)G2(s)Gn(s)Xi(s)X1(s)X2(s)Xn-1(s)Xo(s)...G(s)=G1(s)G2(s)···Gn(s)Xi(s)Xo(s)111

并聯(lián)連接

Xo(s)G1(s)+Xi(s)G2(s)

++Gn(s)...Xi(s)Xo(s)G1(s)+G2(s)+

+Gn(s)112

反饋連接

G(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)

B(s)E(s)Xi(s)Xo(s)113

方框圖的等效變換法則

求和點的移動

G(s)

ABC±求和點后移G(s)

ABC±求和點前移G(s)

ABCG(s)±G(s)

ABC±114

引出點的移動引出點前移G(s)ACC引出點后移G(s)ACAG(s)ACG(s)CG(s)ACA115一般系統(tǒng)方框圖簡化方法：1)明確系統(tǒng)的輸入和輸出。對于多輸入多輸出系統(tǒng)，針對每個輸入及其引起的輸出分別進行化簡；2)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內無交叉回路，則根據(jù)環(huán)節(jié)串聯(lián)，并聯(lián)和反饋連接的等效從里到外進行簡化；3)若系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖內有交叉回路，則根據(jù)相加點、分支點等移動規(guī)則消除交叉回路，然后按每2）步進行化簡；注意：分支點和相加點之間不能相互移動。116例：求下圖所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

BH2(s)A解：1、A點前移；H1(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)G2(s)

Xo(s)H2(s)G3(s)1172、消去H2(s)G3(s)反饋回路H1(s)Xo(s)G1(s)

G3(s)H3(s)+Xi(s)H3(s)

Xi(s)Xo(s)3、消去H1(s)

反饋回路118Xi(s)Xo(s)4、消去H3(s)

反饋回路例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化119120例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化1212、梅遜公式

在相加點，對反饋信號為相加時取負號，對反饋信號為相減時取正號。條件：1）整個方框圖只有一條前向通道；2）各局部回路存在公共的傳遞函數(shù)方框。122例：系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖簡化1237、控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

考慮擾動的閉環(huán)控制系統(tǒng)G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++Xi(s)到Xo(s)的信號傳遞通路稱為前向通道；Xo(s)到B(s)的信號傳遞通路稱為反饋通道；

124

閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)也可定義為反饋信號B(s)和偏差信號

(s)之間的傳遞函數(shù)，即：將閉環(huán)控制系統(tǒng)主反饋通道的輸出斷開，即H(s)的輸出通道斷開，此時，前向通道傳遞函數(shù)與反饋通道傳遞函數(shù)的乘積G1(s)G2(s)H(s)稱為該閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。記為GK(s)。125

xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令n(t)=0，此時在輸入xi(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：G1(s)H(s)

Xi(s)Xo1(s)B(s)

(s)G2(s)xi(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)126

n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令xi(t)=0，此時在擾動n(t)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)（干擾傳遞函數(shù)）為：

G1(s)H(s)

N(s)Xo2(s)G2(s)n(t)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)127

結論

系統(tǒng)的固有特性與輸入、輸出的形式、位置均無關；同一個外作用加在系統(tǒng)不同的位置上，系統(tǒng)的響應不同，但不會改變系統(tǒng)的固有特性；

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)具有都有相同的特征多項式：

其中為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù),即閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點相同。

128

系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理，系統(tǒng)在輸入xi(t)及擾動n(t)共同作用下的總輸出為：若且，則：上式表明，采用反饋控制的系統(tǒng)，適當選擇元部件的結構參數(shù)，可以增強系統(tǒng)抑制干擾的能力。

1298、相似原理相似系統(tǒng)：能用相同形式的數(shù)學模型表示的系統(tǒng)，稱為相似系統(tǒng)。相似量：在相似系統(tǒng)的數(shù)學模型中，占據(jù)相同位置的物理量。輸入為f(t)，輸出為x(t)輸入為u(t)，輸出為電容器的電量q130相似量：131例：汽車懸掛系統(tǒng)的傳遞函數(shù)當汽車行駛時，輪胎的垂直位移作用于汽車懸掛系統(tǒng)上，系統(tǒng)的運動由質心的平移運動和圍繞質心的旋轉運動組成。車體車架質心汽車懸掛系統(tǒng)（垂直方向）132m2m1K2CK1xi(t)xo(t)x(t)簡化的懸掛系統(tǒng)（垂直方向）133K1X(s)Xo(s)Xi(s)134

例：液壓缸系統(tǒng)傳遞函數(shù)p—液壓缸工作腔壓力q—液壓缸輸入流量fL—負載力y—活塞位移m—負載質量（包括活塞、活塞桿等）C—粘性阻尼系數(shù)mpqCfLy135根據(jù)液流連續(xù)性原理，有：—漏損流量Kl

：液壓缸總泄漏系數(shù)A

：活塞有效工作面積其中，—使活塞移動的有效流量136—等效壓縮流量V

：液壓缸工作腔和進油管內油液體積

：油液的體積彈性模量活塞上的力平衡方程為：137初始條件為0時：Y(s)AsQ(s)AP(s)FL(s)138外負載FL(s)=0時：時間響應分析一、時間響應及其組成1、時間響應定義：在輸入作用下，系統(tǒng)的輸出（響應）在時域的表現(xiàn)形式，在數(shù)學上，就是系統(tǒng)的動力學方程在一定初始條件下的解。時間響應能完全反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程。

2、時域分析的目的2、典型示例分析在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點：直觀、簡便

則有：其解可分解為：3、一般情況其解可分解為：結論：1)系統(tǒng)的階次n和si取決于系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的初態(tài)無關。4、瞬態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應系統(tǒng)的特征根影響系統(tǒng)自由響應的收斂性和振蕩。若所有的Resi<0，則隨著時間的增加，自由響應逐漸衰減，當t->無窮時，自由響應趨于0（也就是系統(tǒng)的極點都在左半平面），系統(tǒng)穩(wěn)定，自由響應稱為瞬態(tài)響應；反之，若有一個Resi>0，則自由響應逐漸增大，當t->無窮時,自由響應趨于無窮，自由響應不稱為瞬態(tài)響應。穩(wěn)態(tài)響應一般就是指強迫響應。特征根的虛部影響自由響應項的振蕩情況，虛部絕對值越大，則自由響應項的振蕩越劇烈。二、典型輸入信號1、定義:一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸入，有時其函數(shù)形式也不可能事先獲得。在時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。2、作用:在實際中，輸入信號很少是典型輸入信號，但由于在系統(tǒng)對典型輸入信號的時間響應和系統(tǒng)對任意輸入信號的時間響應之間存在一定的關系，所以，只要知道系統(tǒng)對典型輸入信號的響應，再利用關系式：就能求出系統(tǒng)對任何輸入的響應。3、對典型輸入信號的要求

形式簡單，便于解析分析；

能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；

實際中可以實現(xiàn)或近似實現(xiàn)。4、常用的典型輸入信號Asin

t

正弦信號

1

(t)，t=0單位脈沖信號

單位加速度信號

t，

t

0單位速度(斜坡)信號

1(t)，t

0單位階躍信號

復數(shù)域表達式

時域表達式

名

稱

能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況；5、典型輸入信號的選擇原則如：若實際系統(tǒng)的輸入具有突變性質，則可選階躍信號；若實際系統(tǒng)的輸入隨時間逐漸變化，則可選速度信號。注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。三、一階系統(tǒng)的時間響應1、一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）極點（特征根）：-1/T2、一階系統(tǒng)的單位脈沖響應xo(t)1/T0t0.368

1T斜率xo(t)T

一階系統(tǒng)單位脈沖響應的特點

瞬態(tài)響應：(1/T)e–t/T；穩(wěn)態(tài)響應：0；

xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數(shù)衰減；

對于實際系統(tǒng)，通常應用具有較小脈沖寬度（脈沖寬度小于0.1T）和有限幅值的脈沖代替理想脈沖信號。

3、一階系統(tǒng)的單位階躍響應10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)t63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T

一階系統(tǒng)單位階躍響應的特點

響應分為兩部分

瞬態(tài)響應：表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動態(tài)/過渡過程）

穩(wěn)態(tài)響應：1表示t

時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)

xo(0)=0，隨時間的推移，xo(t)指數(shù)增大，且無振蕩。xo(

)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

xo(T)=1-e-1=0.632，即經(jīng)過時間T，系統(tǒng)響應達到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以通過實驗測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)T；

時間常數(shù)T反映了系統(tǒng)響應的快慢。通常工程中當響應曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95%

~98%時，認為系統(tǒng)響應過程基本結束。從而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T~4T。

將一階系統(tǒng)的單位階躍響應式改寫為：即ln[1-xo(t)]與時間t成線性關系。該性質可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)。tln[1-xo(t)]04、一階系統(tǒng)的單位速度響應0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te(

)=TT

一階系統(tǒng)單位速度響應的特點

瞬態(tài)響應：Te–t/T；穩(wěn)態(tài)響應：t–T；

經(jīng)過足夠長的時間(穩(wěn)態(tài)時，如t

4T)，輸出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為：

t–T，即輸出相對于輸入滯后時間T；

系統(tǒng)響應誤差為：5、線性定常系統(tǒng)時間響應的性質

系統(tǒng)時域響應通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。

注意到：對一階系統(tǒng)：即：系統(tǒng)對輸入信號導數(shù)的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數(shù)。同樣可知，系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，其積分常數(shù)由初始條件確定。這種輸入－輸出間的積分微分性質對任何線性定常系統(tǒng)均成立。6、不同時間常數(shù)下的響應情況由上圖可知，T越大，慣性越大。一階系統(tǒng)的性能指標：Ts,它是一階系統(tǒng)在階躍輸入作用下，達到穩(wěn)態(tài)值的(1-△)所需的時間(△為容許誤差)?！?2%,ts=4T,△=5%,ts=3T，調整時間反映系統(tǒng)響應的快速性，T越大，系統(tǒng)的慣性越大，調整時間越長，響應越慢。四、二階系統(tǒng)的時間響應1、二階系統(tǒng)其中，T為時間常數(shù)，也稱為無阻尼自由振蕩周期，

為阻尼比；

n＝1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。二階系統(tǒng)的特征方程：極點（特征根）：

欠阻尼二階系統(tǒng)（振蕩環(huán)節(jié)）：0<

<1具有一對共軛復數(shù)極點：系統(tǒng)時域響應含有衰減的復指數(shù)振蕩項：其中，稱為阻尼振蕩頻率。

臨界阻尼二階系統(tǒng)：

＝1具有兩個相等的負實數(shù)極點：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：

過阻尼二階系統(tǒng)：

>1具有兩個不相等的負實數(shù)極點：系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：

零阻尼二階系統(tǒng)：

＝0具有一對共軛虛極點：系統(tǒng)時域響應含有復指數(shù)振蕩項：

負阻尼二階系統(tǒng)：

<0極點實部大于零，響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。2、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應

0<

<1：

=1：

=0：

>1：3、二階系統(tǒng)的單位階躍響應

欠阻尼（0<

<1）狀態(tài)

其中，欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線5101500.20.40.60.811.21.41.61.82tpxo(t)

=0.2

=0.4

=0.6

=0.8t

欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應的特點

xo(

)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差；

瞬態(tài)分量為振幅等于的阻尼

正弦振蕩，其振幅衰減的快慢由

和

n決定。阻尼振蕩頻率；

振蕩幅值隨

減小而加大。10txo(t)

特點

單調上升，無振蕩、無超調；

xo(

)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。

臨界阻尼（

=1）狀態(tài)

過阻尼（

>1）狀態(tài)

01txo(t)

特點

單調上升，無振蕩，過渡過程時間長

xo(

)=1，無穩(wěn)態(tài)誤差。

無阻尼（

=0）狀態(tài)

210txo(t)

特點頻率為

n的等幅振蕩。

負阻尼（

<0）狀態(tài)

0txo(t)-1<

<0t0xo(t)

<-1-1<

<0：輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同。

<-1：輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同。

特點：振蕩發(fā)散

特點：單調發(fā)散

幾點結論

二階系統(tǒng)的阻尼比

決定了其振蕩特性：

<0時，階躍響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定；

1時，無振蕩、無超調，過渡過程長；0<

<1時，有振蕩，

愈小，振蕩愈嚴重，但響應愈快，

=0時，出現(xiàn)等幅振蕩。

工程中除了一些不允許產(chǎn)生振蕩的應用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產(chǎn)生過

大的振蕩。

一定時，

n越大，瞬態(tài)響應分量衰減越

迅速，即系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應

的快速性越好。5、例題

例1單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應為：求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：由題意Xi(s)=1，所以：

例2解：1）單位階躍輸入時已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)：求系統(tǒng)的單位階躍響應和單位脈沖響應。從而：

2）單位脈沖輸入時，由于因此：6、二階系統(tǒng)的性能指標

控制系統(tǒng)的時域性能指標

控制系統(tǒng)的性能指標是評價系統(tǒng)動態(tài)品質的定量指標，是定量分析的基礎。系統(tǒng)的時域性能指標通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：上升時間tr、峰值時間tp、調整時間ts、最大超調量Mp、振蕩次數(shù)N。

10tMp允許誤差

=0.05或0.02trtpts0.10.9xo(t)控制系統(tǒng)的時域性能指標

評價系統(tǒng)快速性的性能指標

上升時間tr響應曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。

峰值時間tp響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。

調整時間ts響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的

2%或

5%）內所需的時間。

最大超調量Mp響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分數(shù)表示：

評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標

若xo(tp)

xo(

)，則響應無超調。

振蕩次數(shù)N在調整時間ts內系統(tǒng)響應曲線的振蕩次數(shù)。實測時，可按響應曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半計數(shù)。

欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標

上升時間tr根據(jù)上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應為：從而：即：顯然，

一定時，

n越大，tr越??；

n一定時，

越大，tr越大。

峰值時間tp，并將t=tp代入可得：

令即：

根據(jù)tp的定義解上方程可得：

可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td＝2

/

d的一半。且

一定，

n越大，tp越??；

n一定，

越大，tp越大。

最大超調量

Mp顯然，Mp僅與阻尼比

有關。最大超調量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，Mp越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當

=0.4~0.8時，可以求得相應的Mp

=25.4%~1.5%。00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp

二階系統(tǒng)Mp—

圖

調整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩(wěn)態(tài)分量

1的指數(shù)曲線：

t01xo(t)T2T3T4T當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。因此利用：可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。當

一定時，

n越大，ts越小，系統(tǒng)響應越快。當0<

<0.7時，

振蕩次數(shù)NN僅與

有關。與Mp一樣直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。

越大，N越小，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。對欠阻尼二階系統(tǒng)，振蕩周期則

二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由

n和

決定。

結論

通常根據(jù)允許的最大超調量來確定

。

一般選擇在0.4~0.8之間，然后再調整

n以獲得合適的瞬態(tài)響應時間。

一定，

n越大，系統(tǒng)響應快速性越好，tr、

tp、ts越小。

增加

可以降低振蕩，減小超調量Mp和振蕩次數(shù)N，但系統(tǒng)快速性降低，tr、tp增加；

例題1圖a)所示機械系統(tǒng)，當在質量塊M上施加f(t)=8.9N的階躍力后，M的位移時間響應如圖b)。試求系統(tǒng)的質量M、彈性系數(shù)K和粘性阻尼系數(shù)C的值。

mf(t)KCxo(t)a)00.030.00292t/s13xo(t)/mtpb)解：根據(jù)牛頓第二定律：

其中，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：由于F(s)=L[f(t)]=L[8.9]=8.9/s，因此根據(jù)拉氏變換的終值定理：由圖b)知xo(

)=0.03m，因此：K=8.9/0.03=297N/m又由圖b)知：解得：

=0.6又由：代入

，可得

n=1.96rad/s根據(jù)解得M=77.3Kg，C=181.8Nm/s

例題2已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：求K=200時，系統(tǒng)單位階躍響應的動態(tài)性能指標。若K增大到1500或減小到13.5，試分析動態(tài)性能指標的變化情況。

解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：

1）K=200時

n=31.6rad/s，

=0.5452）K=1500時

n=86.2rad/s，

=0.2，同樣可計算得：

tr=0.021s，tp=0.037s，Mp=52.7%ts=0.174s，N=2.34可見，增大K，

減小，

n提高，引起tp減小，Mp增大，而ts無變化

即系統(tǒng)可以視為由兩個時間常數(shù)不同的一階系統(tǒng)串聯(lián)組成，其中

T1=0.481s,T2=0.0308s3）K=13.5時

n=8.22rad/s，

=2.1，系統(tǒng)工作于過阻尼狀態(tài)，傳遞函數(shù)可以改寫為：

對于過阻尼系統(tǒng)，tp，Mp，N已無意義，而調整時間ts間可以通過其中時間常數(shù)大的一階系統(tǒng)進行估算，即：

ts=3T1=1.443s(

=0.05)顯然，ts比前兩種情形要大得多，雖然系統(tǒng)無超調，但過渡過程緩慢。五、高階系統(tǒng)的時間響應1、高階系統(tǒng)的單位階躍響應考慮系統(tǒng)假設系統(tǒng)極點互不相同。其中，a,aj為Xo(s)在極點s=0和s=-pj處的留數(shù)；

bk、ck是與Xo(s)在極點處的留數(shù)有關的常數(shù)。當Xi(s)=1/s時，其中，

=arctg(bk/ck)。2、高階系統(tǒng)的單位階躍響應的特點

高階系統(tǒng)的單位階躍響應由一階和二階系統(tǒng)的響應函數(shù)疊加而成。

如果所有閉環(huán)極點都在

s平面的左半平面內，即所有閉環(huán)極點都具有負實部(pj、

k

k大于零)，則隨著時間t

，xo(

)=a。即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

極點距虛軸的距離決定了其所對應的暫態(tài)分量衰減的快慢，距離越遠衰減越快；3、系統(tǒng)零極點分布對時域響應的影響0

j

-

n-8

n-5

n-10

np1p2p3p4p5z10txo

(t)p1、p2p3p4、p5

通常如果閉環(huán)零點和極點的距離比其模值小一個數(shù)量級，則該極點和零點構成一對偶極子，可以對消。

系統(tǒng)零點影響各極點處的留數(shù)的大?。锤鱾€瞬態(tài)分量的相對強度），如果在某一極點附近存在零點，則其對應的瞬態(tài)分量的強度將變小，所以一對靠得很近的零點和極點其瞬態(tài)響應分量可以忽略。這對零極點稱為偶極子。

綜上所述，對于高階系統(tǒng)，如果能夠找到主導極點（通常選為一對共軛復數(shù)極點，即二階系統(tǒng)），就可以忽略其它遠離虛軸的極點和偶極子的影響，近似為二階系統(tǒng)進行處理。

主導極點（

距虛軸最近、實部的絕對值為其它極點實部絕對值的1/5或更小，且其附近沒有零點的閉環(huán)極點）對高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應起主導作用。

4、例題已知系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：求系統(tǒng)近似單位階躍響應。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的零極點形式為：-10-20-20.03-6071.4-71.40j

由系統(tǒng)零極點分布圖可見，零點z1＝-20.03和極點p1＝-20構成一對偶極子，可以消去，共軛復數(shù)極點p3,4＝-10±j71.4與極點p2＝-60相距很遠，p3,4為系統(tǒng)的主導極點，p2對響應的影響可以忽略，從而系統(tǒng)簡化為：系統(tǒng)的近似單位階躍響應為：

n=72.11rad/s，

=0.139txo(t)0原系統(tǒng)等效二階系統(tǒng)單位階躍響應txo

(t)0-10±j71.4-60-20瞬態(tài)輸出分量六、誤差分析和計算1、控制系統(tǒng)的偏差與誤差考慮圖示反饋控制系統(tǒng)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G(s)

偏差信號

(s)

(s)=Xi(s)－B(s)＝Xi(s)－H(s)Xo(s)偏差信號

(s)定義為系統(tǒng)輸入Xi(s)與系統(tǒng)主反饋信號B(s)之差，即：

誤差信號E(s)誤差信號e(s)定義為系統(tǒng)期望輸出Xor(s)與系統(tǒng)實際輸出Xo(s)之差，即：E(s)=Xor(s)－Xo(s)控制系統(tǒng)的期望輸出Xor(s)為偏差信號

(s)＝0時的實際輸出值，即此時控制系統(tǒng)無控制作用，實際輸出等于期望輸出：Xo(s)＝Xor(s)由：

(s)=Xi(s)－H(s)Xor(s)＝0可得：Xor(s)＝Xi(s)/H(s)對于單位反饋系統(tǒng)，H(s)＝1，Xor(s)＝Xi(s)

偏差信號

(s)與誤差信號E(s)的關系對單位反饋系統(tǒng)：E(s)＝

(s)2、穩(wěn)態(tài)誤差及其計算

穩(wěn)態(tài)誤差ess穩(wěn)態(tài)誤差：系統(tǒng)的期望輸出與實際輸出在穩(wěn)定狀態(tài)（t

）下的差值，即誤差信號e(t)的穩(wěn)態(tài)分量：當sE(s)的極點均位于s平面左半平面（包括坐標原點）時，根據(jù)拉氏變換的終值定理，有：

穩(wěn)態(tài)誤差的計算系統(tǒng)在輸入作用下的偏差傳遞函數(shù)為：

即：利用拉氏變換的終值定理，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差為：穩(wěn)態(tài)誤差：對于單位反饋系統(tǒng)：顯然，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差(誤差)決定于輸入Xi(s)和開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)，即決定于輸入信號的特性及系統(tǒng)的結構和參數(shù)。

例題已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：

G(s)=1/Ts求其在單位階躍輸入、單位單位速度輸入、單位加速度輸入以及正弦信號sin

t輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差。解：該單位反饋系統(tǒng)在輸入作用下的誤差傳遞函數(shù)為：在單位階躍輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：在單位加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為：sin

t輸入時：由于上式在虛軸上有一對共軛極點，不能利用拉氏變換的終值定理求穩(wěn)態(tài)誤差。對上式拉氏變換后得：穩(wěn)態(tài)輸出為：而如果采用拉氏變換的終值定理求解，將得到錯誤得結論：此例表明，輸入信號不同，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差也不相同。3、穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)的概念

穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)單位階躍輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)位置誤差（偏差）系數(shù)。其中，

穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)單位速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，對于單位反饋系統(tǒng)，易知：對于單位反饋系統(tǒng)，易知：

穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)單位加速度輸入時系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差稱為穩(wěn)態(tài)加速度誤差（偏差）系數(shù)。其中，

結論當輸入信號形式一定后，系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差取決于系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。

對于單位反饋系統(tǒng)，易知：

系統(tǒng)類型將系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)寫成如下形式：

則：

即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）取決于系統(tǒng)的開環(huán)增益、輸入信號以及開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)v。根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的多少，當

v=0,1,2,…時，系統(tǒng)分別稱為0型、I型、Ⅱ型、……系統(tǒng)。

不同類型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)誤差0型系統(tǒng)I型系統(tǒng)

Ⅱ型系統(tǒng)表1、系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)及穩(wěn)態(tài)偏差00K

II型

00K

I型

00K0型單位加速度輸入單位速度輸入單位階躍輸入KaKvKp穩(wěn)態(tài)偏差穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)系統(tǒng)類型

幾點結論

不同類型的輸入信號作用于同一控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差不同；相同的輸入信號作用于不同類型的控制系統(tǒng)，其穩(wěn)態(tài)誤差也不同。

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與其開環(huán)增益有關，開環(huán)增益越大，穩(wěn)態(tài)誤差越小。

在階躍輸入作用下，0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為定值，常稱為有差系統(tǒng)；I型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0，常稱為一階無差系統(tǒng)；

在速度輸入作用下，II

型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為

0，常稱為二階無差系統(tǒng)。

令

為輸入信號拉氏變換后s的階次，當

v時，無穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）；

-v=1時，偏差誤差）為常數(shù)；

-v=2時，偏差（誤差）為無窮大；

習慣上，稱輸出量為“位置”，輸出量的變化率為“速度”。在此位置和速度是廣義的概念。

盡管將階躍輸入、速度輸入及加速度輸入下系統(tǒng)的誤差分別稱之為位置誤差、速度誤差和加速度誤差，但對速度誤差、加速度誤差而言并不是指輸出與輸入的速度、加速度不同，而是指輸出與輸入之間存在一確定的穩(wěn)態(tài)位置偏差。xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)0型系統(tǒng)的單位階躍響應xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)I型系統(tǒng)的單位速度響應xi(t)xo(t)t0xi(t)xo(t)II型系統(tǒng)的單位加速度響應

系統(tǒng)在多個信號共同作用下總的穩(wěn)態(tài)偏差誤差）等于多個信號單獨作用下的穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）之和。如：總的穩(wěn)態(tài)偏差：

如果輸入量非單位量時，其穩(wěn)態(tài)偏差（誤差）按比例增加。

穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)只對相應的階躍、速度及加速度輸入有意義。七擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)總誤差

擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差

G1(s)H(s)

Xi(s)Xo(s)B(s)

(s)G2(s)

N(s)++擾動偏差傳遞函數(shù)為：即：所以，擾動引起的穩(wěn)態(tài)偏差：由擾動引起的輸出為：即系統(tǒng)誤差：穩(wěn)態(tài)誤差：對于單位階躍擾動，若G1(0)G2(0)H(0)>>1，則即

擾動作用點前的前向通道傳遞函數(shù)G1(0)越大，由一定的擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。

系統(tǒng)總誤差

當系統(tǒng)同時受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：穩(wěn)態(tài)誤差：

例題系統(tǒng)結構圖如下，其中K1、K2、K3、K4、T為常數(shù)，試求當輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。

K1

G0(s)Xi(s)Xo(s)+_

+_K4N(s)解：n(t)=0時K1

Xi(s)Xo(s)_

+K4系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：注：已知輸入作用下閉環(huán)傳遞函數(shù)時，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)通過穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)求解。要使系統(tǒng)對輸入xi(t)=1+t無穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1－K3

K4

=0?K4=1/K3

。只有擾動作用時(xi(t)=0)

+

G0(s)N(s)Xon(s)__

減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法

提高系統(tǒng)開環(huán)增益；

增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個數(shù)；

通過順饋控制或復合控制進行補償；第三章例題講解例3.1已知系統(tǒng)的單位階躍響應為：求：1）系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)；

2）系統(tǒng)阻尼比

和無阻尼固有頻率

n。解：1）

2）對比二階系統(tǒng)的標準形式：

有：

例3.2已知系統(tǒng)方框圖如下：圖中虛線方框稱為“比例＋微分”控制。求系統(tǒng)的上升時間tr、峰值時間tp、調節(jié)時間ts及最大超調量Mp。并分析“比例＋微分”控制對二階系統(tǒng)性能的影響。

dsXi(s)Xo(s)0<

<1解：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：其中：注意到上式為有零點的二階系統(tǒng)，不可應用典型二階系統(tǒng)的時域性能指標求解公式。當

d<1時，系統(tǒng)單位階躍響應為：其中，1)上升時間根據(jù)上升時間的定義有：從而：即：2)峰值時間令x'o1(t)=0，有：因此：

其中：3)最大超調量利用：解得：4)調節(jié)時間下面分析“比例＋微分”控制對系統(tǒng)性能的影響。由于：可見，“比例＋微分”控制不改變系統(tǒng)的固有頻率，但可增加系統(tǒng)的阻尼比，減少超調。其中：進一步，注意到：上式中第一項為典型的二階系統(tǒng)，第二項由“比例＋微分”控制作用引入的零點所產(chǎn)生，且第二項為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)乘以s以及微分時間常數(shù)

d，而s表示了微分算子，因此，從時域上看，第二項的時間響應等于原系統(tǒng)的時間響應的導數(shù)乘以

d。當

d<1時，典型二階系統(tǒng)的單位階躍響應為：其導數(shù)為：t(s)00.511.522.53-0.200.20.40.60.811.21.41.61.8xo(t)“比例＋微分”系統(tǒng)原系統(tǒng)xo1(t)

dx'o1(t)“比例＋微分”控制可提高系統(tǒng)的響應速度。即“比例＋微分控制”不影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。盡管如此，由于增加了系統(tǒng)的阻尼，因此在保證一定的動態(tài)性能條件下，允許系統(tǒng)選用較大的開環(huán)增益以改善穩(wěn)態(tài)精度。但是，微分的引入會導致系統(tǒng)抗噪性能下降。此外，引入“比例＋微分控制”后，系統(tǒng)仍為I型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)速度誤差系數(shù)不變：例3.3某系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：為了將調節(jié)時間減小為原來的1/10，同時系統(tǒng)維持原有的增益，采用增加負反饋的辦法，改造后的系統(tǒng)方框圖如下。試確定參數(shù)K1和Kh的取值。G(s)Xi(s)Xo(s)K1Kh解：期望的系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：引入負反饋后，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：對比上述兩式，求得：

Kh＝0.45；K1＝10－、引言頻率特性分析