北師大版九年級上第一章 特殊平行四邊形2 矩形的性質(zhì)與判定 全國優(yōu)質(zhì)課一等獎

矩形的性質(zhì)與判定情景導(dǎo)入

小華想要做一個矩形像框送給媽媽做生日禮物，于是找來兩根長度相等的短木條和兩根長度相等的長木條，你有什么辦法可以檢測他做的是矩形像框嗎？看看誰的方法可行？本節(jié)課我們就來研究這個問題.1.對角線

的

是矩形.2.有三個角是

的

是矩形.相等平行四邊形直角四邊形新識探究（1）先截出兩對符合規(guī)格的鋁合金窗料如圖①，使AB=CD，EF=GH；（2）擺成四邊形（如第②個圖），這時窗框的形狀是平行四邊形；（3）將直角尺緊靠窗框的一個角（如第③個圖），調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無縫隙時，說明窗框合格，這時窗框是矩形.新識探究定義判定：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。（方法一）你還有其它的判定方法嗎？ABCD∠A=900四邊形ABCD是矩形∵∴（已知）（矩形的定義）幾何語言：新識探究

工人師傅為了檢驗兩組對邊相等的四邊形窗框是否成矩形，一種方法是量一量這個四邊形的兩條對角線長度，如果對角線長相等，則窗框一定是矩形，你知道為什么嗎？猜想：對角線相等的平行四邊形是矩形。新識探究命題：對角線相等的平行四邊形是矩形。已知：平行四邊形ABCD，AC=BD。求證：四邊形ABCD是矩形。ABCD新識探究證明：

∴AB=CD,BC=BC（平行四邊形對邊相等）∴△ABC≌△DCB（SSS）∵四邊形ABCD是平行四邊（已知）在△ABC和△DCB中AB=CD（已證）BC=BC（已證）AC=BD（已知）∴

∠ABC=∠DCB（全等三角形對應(yīng)邊相等）又∵

∠ABC+∠DCB=180°（平行四邊形鄰角互補）

∴∠ABC=90°（等式的性質(zhì)）又∵四邊形ABCD是平行四邊形（已知）∴四邊形ABCD是矩形（矩形的定義）ABCD新識探究對角線相等的平行四邊形是矩形矩形的判定方法：幾何語言：∵AC=BD，四邊形ABCD是平行四邊形（已知）∴四邊形ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）ABCDO新識探究

李芳同學(xué)用四步畫出了一個四邊形，她的畫法是“邊——直角、邊——直角、邊——直角、邊”這樣，她說這就是一個矩形，她的判斷對嗎？為什么？猜想：你能證明上述結(jié)論嗎？有三個角是直角的四邊形是矩形。新識探究命題：有三個角是直角的四邊形是矩形。已知：四邊形ABCD，∠A=∠B=

∠C=90°

。求證：四邊形ABCD是矩形。ABCD新識探究ABCD證明：∵四邊形ABCD，∠A=∠B=90°，∵四邊形ABCD，∠B=

∠C=90°，∴AD∥BC，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵

∠A=90°

，∴四邊形ABCD是矩形。（矩形的定義）知識點一1.如圖，已知ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2,④AB⊥BC中，能說明ABCD是矩形的有

（填寫序號）.2.(2014,濟(jì)寧中考模擬）下列說法正確的是（）A.有一個角是直角的四邊形是矩形B.兩條對角線相等的四邊形是矩形C.兩條對角線垂直的四邊形是矩形D.四個角都是直角的四邊形是矩形①④D3.如圖，四邊形ABCD的對角線互相平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BDD知識點二4.（宿遷中考）如圖，一個平行四邊形的活動框架，對角線是兩根橡皮筋.若改變框架的形狀，則∠α也隨之變化，兩條對角線長度也在發(fā)生改變.當(dāng)∠α為

度時，兩條對角線長度相等.5.順次連接四邊形ABCD各邊中點得到四邊形EFGH，要使四邊形EFGH是矩形，可以添加的一個條件是（）A.AD∥BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AD=AB90C點點對接例1：如圖，將ABCD的邊DC延長到點E，使CE=DC，連接AE，交BC于點F.（1）求證：△ABF≌△ECF;(2)若∠AFC=2∠D，連接AC、BE，求證：四邊形ABEC是矩形.點點對接證明：（1）∵AB=EC，AB∥EC，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∴∠BAE=∠FEC.又∵∠AFB=∠EFC，∴△ABF≌△ECF；（2）∵FA=FE，F(xiàn)B=FC.又∠ABF=∠D，∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABF.∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，點點對接例2：已知ABCD的對角線AC、BD相交于點O，△AOB是等邊三角形，AB=4cm,求這個平行四邊形的面積.解析：首先根據(jù)△AOB是等邊三角形及平行四邊形對角線互相平分的性質(zhì)判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理計算邊長，從而得到面積值.點點對接解：∵四邊形ABCD是平行四邊形.∵AO=BO，∴AC=BD.∴□ABCD是矩形（對角線相等的平行四邊形是矩形）.在Rt△ABC中，∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,6.如圖，在ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，在不添加任何輔助線和字母的情況下，請?zhí)砑右粋€條件，使得ABCD變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是

..（寫出一個即可）7.如圖，DE∥BC，AC=BC，AE=EC，延長DE到F，使EF=DE，連結(jié)AF、FC、CD，則圖中四邊形ADCF是

.AC=BD或矩形∠ABC=90°8.下列關(guān)于矩形的說法中正確的是（）A.對角線相等的四邊形是矩形B.對角線互相平分的四邊形是矩形C.矩形的對角線互相垂直且平分D.矩形的對角線相等且互相平分9.在□

ABCD中，增加一個條件就為矩形，則增加的條件是（）

A.AB=CDB.∠B+∠D=180°C.AC=2ABD.對角線互相垂直DB10.（白銀中考）如圖，在△ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于點F，且AF=BD，連接BF.（1）BD與CD有什么數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)△ABC滿足什么條件時，四邊形AFBD是矩形？并說明理由.解：（1）BD=CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中點，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD.∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，（2）當(dāng)△ABC滿足：AB=AC時，四邊