專題03 勾股定理（原卷版）

專題03勾股定理知識點框架知識點講解勾股定理的概念：如果直角三角形的兩直角邊分別為，，斜邊為，那么。變式：，，,,.適用范圍：勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定理時，必須明了所考察的對象是直角三角形。用拼圖的方法驗證勾股定理的思路是：1）圖形進過割補拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會改變2）根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理勾股定理的證明方法：方法一（圖一）：，，化簡可證．方法二（圖二）：四個直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個直角三角形的面積與小正方形面積的和為大正方形面積為，所以方法三（圖三）：，，化簡得證圖一圖二圖三勾股數(shù)概念：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，，，為正整數(shù)時，稱，，為一組勾股數(shù)常見的勾股數(shù)：如；；；等典型題型考查題型一用勾股定理解三角形1．（2022·江蘇常州·八年級期中）如圖，在中，，，，則點到直線的距離是（

）A． B．3 C． D．22．（2022·江蘇宿遷·八年級期中）如圖，長為8cm的橡皮筋放置在直線l上，固定兩端A和B然后把中點C豎直向上拉升3cm至點D處，則拉長后橡皮筋的長為（）A．8cm B．11cm C．18cm D．10cm3．（2022·江蘇南京·八年級期中）在中，的對應(yīng)邊分別是，則下列式子成立的是（）A． B． C． D．4．（2022·江蘇·南京市第二十九中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，點D是上的一點，且，則的值為（

）A．4 B．9 C．16 D．25考查題型二勾股數(shù)的問題5．（2022·江蘇鹽城·八年級期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的一組是（）A．6、7、8 B．3、4、5 C．0.6、0.8、1 D．2、4、56．（2022·江蘇·宿遷市宿豫區(qū)教育局教研室八年級期中）下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（

）．A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，617．（2022·江蘇無錫·八年級期中）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，考查題型三以直角三角形三邊為邊長的圖形面積8．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）用三張正方形紙片，按如圖所示方式構(gòu)成圖案，若要使所圍成陰影部分的三角形是直角三角形，則選取的三個正方形紙片的面積不可以是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，59．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）如圖，已知正方形B的面積為144，正方形C的面積為169時，那么正方形A的面積為（

）A．313 B．144 C．169 D．2510．（2022·江蘇·星海實驗中學(xué)八年級期中）如圖，在中，，分別以AB、AC、BC為直徑向外作半圓，它們的面積分別記作、、，若，，則為（

）A．9 B．11 C．32 D．4111．（2022·江蘇南通·八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，，分別以AB，BC，CD，DA為一邊向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁來表示它們的面積，那么下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．考查題型四勾股定理與網(wǎng)格問題12．（2022·江蘇南通·八年級期末）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，若小正方形的邊長是1，則任意兩個格點間的距離不可能是（

）A． B． C．3 D．13．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）如圖，若每個小方格的面積為1，則圖中以格點為端點且長度為的線段有（）A．2條 B．3條 C．4條 D．5條14．（2022·江蘇南通·八年級期中）如圖，△ABC的頂點A、B、C在邊長為1的正方形網(wǎng)格的格點上，BD⊥AC于點D．則BD的長為（）A． B． C． D．考查題型五利用溝谷定理求兩條線段的平方和（差）15．（2022·江蘇鹽城·八年級期中）在直角三角形ABC中，斜邊AB=2，則AB2+BC2+AC2=

（

）A．2 B．4 C．6 D．816．（2022·江蘇·泰州市海陵學(xué)校八年級期末）如圖，在中，，，．以為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（

）A． B． C． D．17．（2021·江蘇揚州·八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M為AD上任一點，則MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45考查題型六勾股定理的證明18．（2022·福建·漳州三中八年級期中）意大利著名畫家達·芬奇用一張紙片剪拼出不一樣的空洞，而兩個空洞的面積是相等的，如圖所示，證明了勾股定理，若設(shè)圖1中空白部分的面積為，圖2中空白部分的面積為，則下列對，所列等式不正確的是（

）A． B． C． D．19．（2022·河北邢臺·八年級期末）課堂上，王老師要求學(xué)生設(shè)計圖形來證明勾股定理，同學(xué)們經(jīng)過討論，給出兩種圖形，能證明勾股定理的是（

）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行20．（2022·重慶市南坪中學(xué)校八年級期中）我國是最早了解勾股定理的國家之一．據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，勾股定理的公式與證明是在商代由商高發(fā)現(xiàn)的，故又稱之為“商高定理”；三國時代的蔣銘祖對《蔣銘祖算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細注釋，并給出了另外一個證明，下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（

）A．B．C．D．21．（2022·河北承德·八年級期末）如圖，已知直角三角形的直角邊分別為a、b，斜邊為c，以直角三角形的三邊為邊（或直徑），分別向外作等邊三角形、半圓、等腰直角三角形和正方形．那么，這四個圖形中，直角三角形外，其他幾個圖形面積分別記作、、．結(jié)論Ⅰ：、、滿足只有（4）；結(jié)論Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．對于結(jié)論Ⅰ和Ⅱ，判斷正確的是（

）．A．Ⅰ對Ⅱ不對 B．Ⅰ不對Ⅱ?qū)．Ⅰ和Ⅱ都對 D．Ⅰ和Ⅱ都不對考查題型七以弦圖為背景的計算題22．（2022·江蘇·陽山中學(xué)八年級期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為129．則小正方形的邊長為（

）A．13 B．10 C．15 D．923．（2022·江蘇·蘇州市胥江實驗中學(xué)校八年級期中）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為（）A．90 B．100C．110 D．12124．（2022·江蘇·星海實驗中學(xué)八年級期中）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（）A．3 B．4 C．5 D．625．（2022·江蘇無錫·八年級期中）如圖是用4個全等的直角三角形與1個小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形面積為49，小正方形面積為4，若用，表示直角三角形的兩直角邊（），下列四個說法：①，②，③，④.其中說法正確的是(

)A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④26．（2022·江蘇無錫·八年級期中）勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，在我國古算書（周髀算經(jīng)）中早有記載；如圖1，以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形，再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)若直角三角形兩直角邊分別為6和8，則圖中陰影部分的面積為（

）A．20 B．24 C．28 D．無法求出考查題型八用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題27．（2022·江蘇無錫·八年級期末）如圖，已知釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為，某釣魚者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉(zhuǎn)動到的位置，此時露在水面上的魚線為，則的長為（

）A． B． C． D．28．（2022·江蘇宿遷·八年級期中）為加強疫情防控，云南某中學(xué)在校門口區(qū)域進行人校體溫檢測．如圖，人校學(xué)生要求沿著直線AB單向單排通過校門口，測溫儀C與直線AB的距離為3m，已知測溫儀的有效測溫距離為5m，則學(xué)生沿直線AB行走時測溫的區(qū)域長度為（

）A．4m B．5m C．6m D．8m29．（2022·江蘇南通·八年級期末）△ABC中，，，高，則△ABC的面積為（

）A．66 B．126 C．54或44 D．126或66考查題型九勾股定理與無理數(shù)30．（2022·江蘇無錫·八年級期中）如圖，點A所表示的實數(shù)為（）

A． B． C． D．2.531．（2022·江蘇鹽城·八年級期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P坐標(biāo)為(－2，3)，以點O為圓心，以O(shè)P的長為半徑畫弧，交x軸的負半軸于點A，則點A的橫坐標(biāo)介于（

）A．－4和－3之間 B．3和4之間 C．－5和－4之間 D．4和5之間32．（2