條件概率課件

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)教研室

賀麗娟第一講隨機(jī)事件及其運(yùn)算第三講條件概率與派生概率公式第二講概率定義及其算法第四講獨(dú)立性與派生貝努里概型第一章隨機(jī)事件及其概率那么,當(dāng)

n充分大時在的次數(shù)為設(shè)隨機(jī)事件，即事件A發(fā)生的頻率為

統(tǒng)計(jì)概率次重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生

設(shè)試驗(yàn)E的樣本空間由n個樣本點(diǎn)構(gòu)成，A為E的任意一個事件，且包含

k個樣本點(diǎn)，則事件A出現(xiàn)的概率記為:古典概型中事件概率的計(jì)算公式稱此為概率的古典定義.

古典概率

設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的樣本空間是Ω

。如果E的每一事件

A都被賦予某個實(shí)數(shù)

P(A)，且事件函數(shù)

P(·)滿足條件：（1）對任一事件

A都有（2）（3）設(shè)A1，A2，…是兩兩互不相容的事件，即對于i≠j，AiAj=

，i，j=1,2,…,總有那么，就稱實(shí)數(shù)P(A)為事件A的概率。公理化概率第三講

條件概率與派生概率公式認(rèn)識事件的相對性觀念與條件概率、乘法公式、全概率公式與Bayes公式一.條件概率的公理化定義同理可得為事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率.說明：條件概率仍為事件的概率，因此也滿足概率的三個公理（非負(fù)性，規(guī)范性，可列可加性）及概率的各條性質(zhì)。注：與的區(qū)別

（2）從樣本空間上講，計(jì)算的樣本空間為，計(jì)算的樣本空間為（1）從語言敘述來講，“在…發(fā)生的條件下，…”

“在…時候，…”，“已知…，…”等等都是條件概率。例1甲、乙兩城市位于長江下游，根據(jù)氣象資料知：甲、乙兩地一年中雨天占的比例分別為20％和18%.兩地同時下雨的比例為12％。求下列事件的概率：1、已知乙地為雨天，甲地也是雨天。2、甲、乙兩地至少有一地為雨天。解設(shè)A:“甲地為雨天”B:“乙地為雨天”則

設(shè)

A

表示“能活20歲以上”

的事件，B

表示

“能活25歲以上”的事件,則有解例2

某種動物由出生算起活20歲以上的概率為0.8,活到25歲以上的概率為0.4,如果現(xiàn)在有一個20歲的這種動物,問它能活到25歲以上的概率是多少?因?yàn)橛谑莿t解記甲每天參加課后體育活動乙每天參加課后體育活動因?yàn)檩^小，較大,兩人去活動可能是相約的，故可推斷甲、乙相識

Ex.根據(jù)長期觀察知道甲、乙兩學(xué)生每天參加課后體育活動的比率分別為和兩人同時參加體育活動的比率為試問甲、乙兩學(xué)生是否相識？則所求概率為Ex.

設(shè)10件產(chǎn)品中有4件不合格品，從中任取2件，已知所取2件產(chǎn)品中有1件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。

解

設(shè)A

表示“

2件中至少1件不合格”，

B

表示“

2件都不合格”,1.乘法公式二、基于條件概率的乘法原理2.廣義乘法公式類似地例3

透鏡落地即碎的概率為1/2，若頭次不碎，第二次碎的概率為7/10，若前二次皆不碎，第三次碎的概率為9/10。求落地三次都不碎的概率。解以記“第次落地而碎”的事件，則所求概率為例4

據(jù)以往資料表明，某一3口之家患某種傳染病 的概率有以下規(guī)律：P｛孩子得?。?.6，

P｛母親得病|孩子得?。?.5,

P｛父親得病|孩子及母親得?。?.4。求：母親及孩子得病但父親未得病的概率。分別表示孩子、母親及父親解以得病，由題設(shè)有：求母親及孩子得病但父親未得病的概率

例5

甲乙丙三廠的次品率依次為1/10,1/15與1/20.此產(chǎn)品庫房現(xiàn)存各5,3,2箱.任開此10箱的一箱任取一產(chǎn)品.求所取之品恰為正品的概率.

解以Ai(i=1,2,3)依次表取品來自甲乙丙廠，以B表取品為正品,則所求的概率即

設(shè)B1，B2，…Bn是某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω的一個劃分，且P(Bi)≠0，i

=1，2，…n。那么，對該隨機(jī)試驗(yàn)中的任何事件A，都將有

P（A）=

。劃分：事件對立概念的延伸三、全概率公式說明全概率公式的主要用處在于它可以將一個復(fù)雜事件的概率計(jì)算問題分解為若干個簡單事件的概率計(jì)算問題,最后應(yīng)用概率的可加性求出最終結(jié)果.Ex1.

人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)的價格變化，往往會去分析影響股價的基本因素，如利率的變化?，F(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率.Ex2.

甲乙兩選手進(jìn)行乒乓球單打比賽.甲先發(fā)球，甲發(fā)球成功后，乙回球失誤的概率為0.3；若乙回球成功，甲回球失誤的概率為0.4；若甲回球成功，乙再次回球失誤的概率為0.5，試計(jì)算這幾個回合中乙輸?shù)粢环值母怕?Ex1.

人們?yōu)榱肆私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)的價格變化，往往會去分析影響股價的基本因素，如利率的變化。現(xiàn)假設(shè)人們經(jīng)分析估計(jì)利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率.

解記A為事件“利率下調(diào)”，記B為事件“股價上漲”,由題意可知所求的概率即所求的概率即

解記A為事件“利率下調(diào)”，記B為事件“股價上漲”,則所求的概率即Ex2.

甲乙兩選手進(jìn)行乒乓球單打比賽.甲先發(fā)球，甲發(fā)球成功后，乙回球失誤的概率為0.3；若乙回球成功，甲回球失誤的概率為0.4；若甲回球成功，乙再次回球失誤的概率為0.5，試計(jì)算這幾個回合中乙輸?shù)粢环值母怕?

解記A表示甲回球失誤，

Bi(i=1,2)

表示乙第i次回球失誤，

則由題意可知所求的概率為P(乙輸?shù)?分)

解記A表示甲回球失誤，

Bi(i=1,2)

表示乙第i次回球失誤，

則由題意可知所求的概率為P(乙輸?shù)?分)

例6

甲乙丙三廠的次品率依次為1/10,1/15與1/20.此產(chǎn)品庫房現(xiàn)存各5,3,2箱.任開此10箱的一箱任取一產(chǎn)品.若所取之品恰為正品,求其來自甲廠的概率.

解仍以Ai(i=1,2,3)依次表取品來自甲乙丙廠，以B表取品為正品,則所求的概率即

設(shè)B1，B2，…Bn是某隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω的一個劃分，且P(Bi)≠0，i=1，2，…n。那么，對該隨機(jī)試驗(yàn)中的任何事件A，只要P(A)≠0

，就必有

四、Bayes公式Bayes公式：集乘法公式與全概率公式于一身的公式

Ex.

某地區(qū)患有H1N1的人占0.005，患者對一種試驗(yàn)的反應(yīng)是陽性的概率為0.95，正常人對此試驗(yàn)反應(yīng)為陽性的概率為0.04，現(xiàn)抽查了一個人，試驗(yàn)反應(yīng)是陽性，問：此人為H1N1患者的概率為多大？

解以A表示此人為H1N1患者，以B表示對試驗(yàn)反應(yīng)為陽性,則所求的概率即一場精彩的足球賽將要舉行,5個球迷好不容易才搞到一張入場券.大家都想去,只好用抽簽的方法來解決.

入場券5張同樣的卡片,只有一張上寫有“入場券”,其余的什么也沒寫.將它們放在一起,洗勻,讓5個人依次抽取.后抽比先抽的確實(shí)吃虧嗎？

“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大.”概率用途小議到底誰說的對呢？讓我們用概率論的知識來計(jì)算一下,每個人抽到“入場券”的概率到底有多大?“大家不必爭先恐后，你們一個一個按次序來，誰抽到‘入場券’的機(jī)會都一樣大.”“先抽的人當(dāng)然要比后抽的人抽到的機(jī)會大?！蔽覀冇肁i表示“第i個人抽到入場券”

i＝1,2,3,4,5.顯然，P(A1)=1/5，P()＝4/5第1個人抽到入場券的概率是1/5.也就是說，則表