電子測(cè)量與智能儀器2測(cè)量誤差分析與數(shù)據(jù)處理

電子丈量與智能儀器第二章丈量誤差分析與數(shù)據(jù)處置2021年3月溫州大學(xué)甌江學(xué)院第2章丈量誤差分析與數(shù)據(jù)處置2.1丈量誤差的根本原理2.1.1研討誤差的目的2.1.2丈量誤差的表示方法2.1.3電子丈量?jī)x器誤差的表示方法2.1.4一次直接丈量時(shí)最大誤差的估計(jì)2.2丈量誤差的分類2.2.1誤差的來(lái)源2.2.2丈量誤差的分類2.2.3丈量結(jié)果的評(píng)選作業(yè)布置12.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法2.3.1丈量值的數(shù)學(xué)期望與規(guī)范差2.3.2貝塞爾公式及其運(yùn)用2.3.3均勻公布情況下的規(guī)范差2.3.4非等精細(xì)度丈量2.4系統(tǒng)誤差的特征及其減小的方法2.4.1系統(tǒng)誤差的特征2.4.2判別系統(tǒng)誤差的方法2.4.3減小系統(tǒng)誤差的方法2.5疏失誤差及判別準(zhǔn)那么2.5.1丈量結(jié)果的置信問(wèn)題2.5.2不確定度與壞值的剔除準(zhǔn)那么2.6丈量數(shù)據(jù)的處置2.6.1數(shù)據(jù)舍入規(guī)那么2.6.2等精細(xì)度丈量結(jié)果的處置步驟2.6.3曲線修勻2.6.4最小二乘法原理2.6.5丈量不確定度2.7誤差的合成與分配2.7.1誤差傳送公式2.7.2常用函數(shù)的合成誤差2.7.3系統(tǒng)誤差的合成2.7.4按系統(tǒng)誤差一樣的原那么分配誤差2.7.5按對(duì)總誤差影響一樣的原那么分配誤差2.7.6微小誤差準(zhǔn)那么2.8最正確丈量條件確實(shí)定與丈量方案的設(shè)計(jì)2.8.1最正確丈量條件確實(shí)定2.8.2丈量方案設(shè)計(jì)2.1丈量誤差的根本原理2.1.1研討誤差的目的研討誤差的目的，歸納起來(lái)可有以下幾個(gè)方面：正確認(rèn)識(shí)誤差的性質(zhì)和來(lái)源，以減小丈量誤差。正確處置丈量數(shù)據(jù)，以得到接近真值的結(jié)果。合理地制定丈量方案，組織科學(xué)實(shí)驗(yàn)，正確地選擇丈量方法和丈量?jī)x器，以便在條件允許的情況下得到理想的丈量結(jié)果。設(shè)計(jì)儀器時(shí)，需求用誤差實(shí)際進(jìn)展分析并適當(dāng)控制這些誤差要素，使儀器的丈量準(zhǔn)確程度到達(dá)設(shè)計(jì)要求。2.1.2丈量誤差的表示方法1、丈量誤差的分類丈量誤差按表示方法分，有絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差；當(dāng)用于表示丈量?jī)x器時(shí)還有“援用誤差〞。按誤差的來(lái)源分，有器具誤差、人身誤差、影響誤差及方法誤差等。按誤差的性質(zhì)分，有系統(tǒng)誤差、隨機(jī)〔偶爾〕誤差和疏失〔粗大〕誤差。2、絕對(duì)誤差〔1〕定義由丈量所得到的被丈量值x與其真值A(chǔ)0的差，稱為絕對(duì)誤差。Δx=x-A0Δx是具有大小、正負(fù)和量綱的數(shù)值。它的大小和符號(hào)分別表示測(cè)得值偏離真值的程度和方向。例：一個(gè)被測(cè)電壓，其真值U0為100V，用一只電壓表丈量，其指示值U為101V，那么絕對(duì)誤差ΔU=U-U0=101-100=1V為了區(qū)別起見(jiàn)，稱滿足規(guī)定規(guī)范度的用來(lái)替代真值運(yùn)用的量值為實(shí)踐值，用A表示。這時(shí)絕對(duì)誤差寫成Δx=x-A這是通常運(yùn)用的表達(dá)式〔2〕修正值〔校正值〕與絕對(duì)誤差的絕對(duì)值大小相等，但符號(hào)相反的量值稱為修正值，用C表示C=-Δx=A-x在丈量時(shí)，利用測(cè)得值與知的修正值相加，即可算出被丈量的實(shí)踐值。A=x+C例2.1.2一臺(tái)晶體管毫伏表的10mV擋，當(dāng)用其進(jìn)展丈量時(shí)，示值為8mV，在檢定時(shí)8mV處的修正值是-0.03mV，那么被測(cè)電壓的實(shí)踐值為U=8+〔-0.03〕=7.97(mV)闡明有誤差的測(cè)得值加上修正值后就可以減小誤差影響。留意：利用修正值，應(yīng)在儀器的檢定有效期內(nèi)，否那么要重新檢定。必需指出：修正值本身也有誤差，修正后的數(shù)據(jù)只是比較接近實(shí)踐值而已。普通規(guī)定：絕對(duì)誤差和修正值的量綱必需與測(cè)得值一致。

絕對(duì)誤差雖然可以闡明測(cè)得值偏離實(shí)踐值的程度，但不能闡明丈量的準(zhǔn)確程度。例2.1.3丈量?jī)蓚€(gè)電壓，其實(shí)踐值為U1=100V，U2=5V；而測(cè)得值分別為101V和6V。那么絕對(duì)誤差為ΔU1=101-100=1VΔU2=6-5=1V3、相對(duì)誤差〔1〕定義丈量的絕對(duì)誤差與被丈量的真值之比〔用百分?jǐn)?shù)表示〕，稱為相對(duì)誤差用γ0表示。

普通情況下，可用絕對(duì)誤差與實(shí)踐值之比表示相對(duì)誤差〔有必要區(qū)分時(shí)稱為實(shí)踐相對(duì)誤差〕，用γA表示例：

用相對(duì)誤差可以恰當(dāng)?shù)乇碚髡闪康臏?zhǔn)確程度。相對(duì)誤差是一個(gè)只需大小和符號(hào)，而沒(méi)有量綱的數(shù)值。在誤差較小或要求不太嚴(yán)厲的場(chǎng)所，也可以用儀器的測(cè)得值替代實(shí)踐值。這時(shí)的相對(duì)誤差稱為示值相對(duì)誤差，用γx表示。

式中，Δx由所用儀器的準(zhǔn)確度等級(jí)定出。由于x中含有誤差，所以γx只適用于近似丈量?！?〕分貝誤差用對(duì)數(shù)方式表示的誤差稱為分貝誤差，常用于表示增益或聲強(qiáng)等傳輸函數(shù)的值。例：電壓增益的分貝值：又由于那么所以令例2.1.4丈量一個(gè)放大器，知Ui=1.2mV，Uo=6000mV。設(shè)Ui的誤差忽略不計(jì)，而Uo的丈量誤差γu為±3%時(shí)，求放大倍數(shù)的絕對(duì)誤差ΔA、相對(duì)誤差γx及分貝誤差γdB測(cè)得值的相對(duì)誤差愈小，表示它的準(zhǔn)確度愈高。所以評(píng)價(jià)丈量程度時(shí)該當(dāng)用相對(duì)誤差來(lái)比較，它是誤差計(jì)算中最常用的一種表達(dá)方式。當(dāng)表示增益時(shí)γdB=10lg(1+γp)dB2.1.3電子丈量?jī)x器誤差的表示方法任務(wù)誤差是在額定條件下測(cè)定的儀器誤差極限。即來(lái)自儀器外部的各種影響量〔例如溫度、濕度、大氣壓力、供電電源等〕和影響特性〔儀器的一個(gè)任務(wù)特性的變化對(duì)另一個(gè)任務(wù)特性的影響，如低頻信號(hào)發(fā)生器的頻率變化對(duì)輸出電壓的影響〕為恣意能夠的組合時(shí)，儀器的任務(wù)誤差能夠到達(dá)的最大極限值。優(yōu)點(diǎn)：對(duì)運(yùn)用者非常方便，可以利用任務(wù)誤差直接估計(jì)丈量結(jié)果誤差的最大范圍。缺陷：是在最不利的條件下給出的，而實(shí)踐運(yùn)用中構(gòu)成最不利組合的能夠性很小。因此用儀器的任務(wù)誤差來(lái)估計(jì)丈量結(jié)果的誤差會(huì)偏大。固有誤差是當(dāng)儀器的各種影響量與影響特性處于基準(zhǔn)條件時(shí)，儀器所具有的誤差。這種誤差目的可以更準(zhǔn)確地反映儀器所固有的性能，便于在一樣條件下對(duì)同類儀器進(jìn)展比較的校準(zhǔn)。3、影響誤差是當(dāng)一個(gè)影響量在其額定運(yùn)用范圍內(nèi)〔或一個(gè)影響特性在其有效范圍內(nèi)〕取任一值，而其他影響量和影響特性均處于基準(zhǔn)條件下所得的誤差。只需當(dāng)某一影響量在任務(wù)誤差中起重要作用時(shí)才給出，它是一種誤差極限。4、穩(wěn)定誤差穩(wěn)定誤差是儀器的標(biāo)稱值在其他影響量及影響特性堅(jiān)持恒定的情況下，于規(guī)定時(shí)間內(nèi)所產(chǎn)生的誤差極限。習(xí)慣上以相對(duì)誤差方式或者注明最長(zhǎng)延續(xù)任務(wù)時(shí)間。例：DS-33型交流數(shù)字電壓表就是用這四種誤差標(biāo)注的。任務(wù)誤差：50Hz~1MHz，10mV~1V量程為〔±1.5%讀數(shù)±滿量程的0.5%〕；固有誤差：1kHz，1V時(shí)為讀數(shù)的±0.4%±1個(gè)字；溫度影響誤差：1kHz，1V時(shí)溫度系數(shù)為10-4/oC；頻率影響誤差：50Hz~1MHz為〔±0.5%讀數(shù)±滿量程的0.1%〕；穩(wěn)定誤差：在溫度-10~+40oC，相對(duì)濕度80%以下，大氣壓力86~106kPa的環(huán)境內(nèi)，延續(xù)任務(wù)7小時(shí)。目前還有一些電子丈量?jī)x器仍根據(jù)1965年制定的<無(wú)線電丈量?jī)x器總技術(shù)條件〔草案〕>按運(yùn)用條件根本誤差及附加誤差。〔1〕根本誤差指儀器在規(guī)定的正常任務(wù)條件下所具有的誤差。與前述固有誤差的意義根本一樣，但這里所限定的測(cè)試條件較寬。滿度相對(duì)誤差是絕對(duì)誤差與丈量范圍上限或量程滿度值xm的比值〔用百分號(hào)表示〕，即式中，Δxm是儀器儀表整個(gè)刻度線上出現(xiàn)的最大誤差。γm是儀器在正常任務(wù)條件下不應(yīng)超越的最大相對(duì)誤差。對(duì)丈量者來(lái)說(shuō)，在沒(méi)有修正值的情況下，該當(dāng)以為指針在不同偏轉(zhuǎn)角時(shí)的示值誤差處處相等，即在一個(gè)量程內(nèi)各處示值的最大絕對(duì)誤差Δxm是個(gè)常數(shù)。普通稱此為誤差的整量化。這種誤差表示方法比較多地用在電工儀表中，其準(zhǔn)確度等級(jí)分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0共7級(jí)，分別表示它們滿度相對(duì)誤差百分?jǐn)?shù)的分子能夠出現(xiàn)的最大數(shù)值〔指絕對(duì)值〕。對(duì)于電子丈量?jī)x器，援用誤差的優(yōu)先數(shù)列為1，2，3，5，7。上述等級(jí)值通常用S表示。例如，S=1闡明儀器的滿度相對(duì)誤差不超越±1%?！?〕附加誤差它是指由于儀器超出規(guī)定的正常任務(wù)條件時(shí)所添加的誤差在運(yùn)用時(shí)，除思索儀器本身的根本誤差外，還要加上附加誤差。采用根本誤差和附加誤差的方式，對(duì)運(yùn)用者來(lái)說(shuō)，掌握各項(xiàng)誤差的大小是有利的，但在估計(jì)儀器的總誤差時(shí)要進(jìn)展誤差合成計(jì)算。2.1.4一次直接丈量時(shí)最大誤差的估計(jì)設(shè)在只需根本誤差的情況下，儀器儀表的最大絕對(duì)誤差為Δxm=±S%·xmΔxm與示值x的比值，即最大的示值相對(duì)誤差這個(gè)關(guān)系可以用以下圖闡明0255075100γx分度值S%xm+Δxm-Δxm校正曲線相對(duì)誤差與刻度線分度值的關(guān)系曲線圖所以，當(dāng)儀器儀表的準(zhǔn)確度給定時(shí)，示值愈接近滿度值，示值的準(zhǔn)確度愈高。例2.1.5用MF-20型晶體管萬(wàn)用表交流電壓的30V擋，分別丈量6V及20V電壓，求最大示值相對(duì)誤差。此表交流電壓擋的準(zhǔn)確度等級(jí)為4級(jí)。例2.1.6被丈量的實(shí)踐值U=10V?，F(xiàn)有：①150V，0.5級(jí)和②15V，2.5級(jí)兩只電壓表，問(wèn)選擇哪只表丈量誤差較??？所以要合理選擇儀器儀表的量程及準(zhǔn)確度等級(jí)，不能單純追求儀器儀表的級(jí)別綜上所述，儀表準(zhǔn)確度的級(jí)別對(duì)丈量結(jié)果的影響很大。但一定不要把儀器儀表的準(zhǔn)確度等級(jí)和丈量結(jié)果的準(zhǔn)確度混為一談。2.2丈量誤差的分類2.2.1誤差的來(lái)源1、儀器誤差儀器儀表本身及其附件所引入的誤差稱為儀器誤差。2、影響誤差由于各種環(huán)境要素與要求的條件不一致所呵斥的誤差稱為影響誤差。3、方法誤差和實(shí)際誤差由于丈量方法不合理所呵斥的誤差稱為方法誤差。用近似公式或近似值計(jì)算丈量結(jié)果時(shí)所引起的誤差稱為實(shí)際誤差。4、人身誤差由于丈量者的分辨才干、視覺(jué)疲勞、固有習(xí)慣或缺乏責(zé)任心等要素引起的誤差稱為人身誤差。2.2.2丈量誤差的分類1、系統(tǒng)誤差在一樣條件下，多次丈量同一個(gè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)堅(jiān)持不變，或在條件改動(dòng)時(shí)，按一定規(guī)律變化的誤差稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是，丈量條件一經(jīng)確定，誤差就為一確切的數(shù)值。用多次丈量取平均值的方法并不能改動(dòng)誤差的大小。產(chǎn)生這種誤差的緣由有：丈量?jī)x器設(shè)計(jì)原理及制造上的缺陷；丈量時(shí)的實(shí)踐溫度、濕度及電源電壓等環(huán)境條件與儀器要求的條件不一致等；采用近似的丈量方法或近似的計(jì)算公式等。丈量人員估計(jì)讀數(shù)時(shí)，習(xí)慣偏于某一方向或有滯后傾向等緣由所引起的誤差。2、隨機(jī)誤差在一樣條件下，多次丈量同一個(gè)量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)均以不可預(yù)定方式變化的誤差稱為隨機(jī)誤差。這一類誤差的特點(diǎn)是，在多次丈量中誤差絕對(duì)值的動(dòng)搖有一定的界限，即具有有界性；正負(fù)誤差出現(xiàn)的時(shí)機(jī)一樣，即具有對(duì)稱性。根據(jù)上述特點(diǎn)，可以經(jīng)過(guò)對(duì)多次丈量值取算術(shù)平均值的方法來(lái)消弱隨機(jī)誤差對(duì)丈量結(jié)果的影響。產(chǎn)生這種誤差的緣由丈量?jī)x器中零部件配合的不穩(wěn)定或有摩擦，儀器內(nèi)部器件產(chǎn)生噪聲等；溫度及電源電壓的頻繁動(dòng)搖，電磁場(chǎng)干擾，地基振動(dòng)等；丈量人員覺(jué)得器官的無(wú)規(guī)那么變化，讀數(shù)不穩(wěn)定等緣由所引起的誤差均可呵斥隨機(jī)誤差，使丈量值產(chǎn)生上下起伏的變化。3、疏失誤差〔粗大誤差〕在一定的丈量條件下，丈量值明顯地偏離實(shí)踐值所構(gòu)成的誤差稱為疏失誤差。凡確認(rèn)含有疏失誤差的丈量數(shù)據(jù)稱為壞值，該當(dāng)剔除不用。產(chǎn)生這種誤差的緣由有：普通情況下，它不是儀器本身固有的，主要是丈量過(guò)程中由于忽略而呵斥的。這是產(chǎn)陌生失誤差的客觀緣由。由于丈量條件的忽然變化引起儀器示值的改動(dòng)。這是產(chǎn)陌生失誤差的客觀緣由。2.2.3丈量結(jié)果的評(píng)定為了正確地闡明丈量結(jié)果，通常用準(zhǔn)確度、精細(xì)度和準(zhǔn)確度來(lái)評(píng)定丈量結(jié)果，它們的意義如下：〔1〕準(zhǔn)確度是指丈量值與真值的接近程度。反映系統(tǒng)誤差的影響，系統(tǒng)誤差小那么準(zhǔn)確度高?！?〕精細(xì)度是指丈量值反復(fù)一致的程度。精細(xì)度用以表示丈量值的反復(fù)性，反映隨機(jī)誤差的影響?！?〕準(zhǔn)確度反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差綜合的影響程度。準(zhǔn)確度高，闡明準(zhǔn)確度及精細(xì)度都高，意味著系統(tǒng)誤差及隨機(jī)誤差都小。誤差來(lái)源、分類及丈量結(jié)果的關(guān)系流程圖如下丈量誤差儀器人身方法影響疏失隨機(jī)系統(tǒng)準(zhǔn)確度可取性精細(xì)度準(zhǔn)確度丈量結(jié)果評(píng)定來(lái)源分類表征評(píng)定作業(yè)布置〔P59，習(xí)題〕2.1某電壓表的刻度為0~10V，在5V處的校準(zhǔn)值為4.95V，求其絕對(duì)誤差、修正值、實(shí)踐相對(duì)誤差及示值相對(duì)誤差。假設(shè)以為此處的絕對(duì)誤差最大，問(wèn)該電壓表應(yīng)定為幾級(jí)？2.2假設(shè)丈量10V左右的電壓，手頭上有現(xiàn)場(chǎng)電壓表，其中一塊量程為150V，0.5級(jí)；另一塊是15V，2.5級(jí)。問(wèn)選用哪一塊電壓表丈量更準(zhǔn)確？2.3隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及其估算方法2.3.1丈量值的數(shù)學(xué)期望與規(guī)范差1、數(shù)學(xué)期望等精度丈量：在一樣條件下，用一樣的儀器和方法，由同一丈量者以同樣細(xì)心的程度進(jìn)展多次丈量，稱為等精度丈量。設(shè)對(duì)某一被丈量x進(jìn)展丈量次數(shù)為n的等精度丈量，得到的丈量值xi(i=1,2,…,n)為隨機(jī)變量。其算術(shù)平均值為式中，稱為樣本平均值。當(dāng)丈量次數(shù)n→∞時(shí)，樣本平均值的極限稱為丈量值的數(shù)學(xué)期望。這里的Ex也稱為總體平均值隨機(jī)誤差：系統(tǒng)誤差：所以絕對(duì)誤差：闡明：絕對(duì)誤差等于隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的代數(shù)和2、算術(shù)平均值原理〔1〕算術(shù)平均值的意義對(duì)于有限次丈量，當(dāng)丈量次數(shù)足夠多時(shí)那么近似以為即由此可知，當(dāng)ε=0〔且無(wú)xk值〕時(shí)，丈量值的數(shù)學(xué)期望可以視為被丈量的相對(duì)真值。因此通常把這里經(jīng)多次等精度丈量的算術(shù)平均值稱為真值的最正確估計(jì)值，寫為〔2〕剩余誤差各次丈量值與其算術(shù)平均值之差，稱為剩余誤差〔又稱殘差〕。對(duì)剩余誤差求和即當(dāng)n足夠大時(shí)剩余誤差的代數(shù)和為0。利用這一性質(zhì)可以檢驗(yàn)所計(jì)算的算術(shù)平均值能否正確。例2.3.1用電壓表對(duì)某一被測(cè)電壓丈量10次，設(shè)已消除系統(tǒng)誤差及疏失誤差，得到數(shù)據(jù)如表所示〔單位：V〕3、方差與規(guī)范差定義：當(dāng)n→∞時(shí)，丈量值與期望值之差的平方的統(tǒng)計(jì)平均值。將此式開(kāi)方，取正平方根，得上式中，σ2稱為丈量值數(shù)列的樣本方差，σ稱為丈量值數(shù)列的規(guī)范誤差或樣本規(guī)范差，簡(jiǎn)稱規(guī)范差。δi取平方的目的是用來(lái)描畫隨機(jī)誤差的分散程度。求和再平均后，使個(gè)別較大的誤差在式中占的比例也較大，即規(guī)范差對(duì)較大的誤差反映靈敏，所以它是表征精細(xì)度的參數(shù)。2.3.2貝塞爾公式及其運(yùn)用1、隨機(jī)誤差的正態(tài)分布概率論中的中心極限定理闡明，假設(shè)被研討的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量之和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于總和只起微小的作用，那么可以為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，又稱高斯分布。在δi影響下，丈量數(shù)據(jù)xi的分布大多服從正態(tài)分布，其分布密度可以寫成Φ〔xi〕與xi的曲線如下圖：0ExxiΦ〔xi〕0uiΦ〔ui〕σ1<σ2<σ31232、貝塞爾〔Bessel〕公式當(dāng)n為有限次丈量時(shí)，可以用剩余誤差來(lái)表示規(guī)范差。因設(shè)那么思索到用剩余誤差表示有限次丈