2024屆黑龍江省哈爾濱師范大學青岡實驗中學校數(shù)學高一下期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2024屆黑龍江省哈爾濱師范大學青岡實驗中學校數(shù)學高一下期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)若關(guān)于的方程恰有兩個互異的實數(shù)解，則的取值范圍為A． B． C． D．2．在中，已知，，，則的形狀為（）A．鈍角三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．不能確定3．已知等邊三角形ABC的邊長為1，，那么（）.A．3 B．-3 C． D．4．某班的60名同學已編號1,2,3，…，60，為了解該班同學的作業(yè)情況，老師收取了號碼能被5整除的12名同學的作業(yè)本，這里運用的抽樣方法是()A．簡單隨機抽樣 B．系統(tǒng)抽樣C．分層抽樣 D．抽簽法5．已知，則的值構(gòu)成的集合為（）A． B． C． D．6．某單位共有老、中、青職工430人，其中有青年職工160人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍．為了解職工身體狀況，現(xiàn)采用分層抽樣方法進行調(diào)查，在抽取的樣本中有青年職工32人，則該樣本中的老年職工人數(shù)為()A．9 B．18 C．27 D．367．某市在“一帶一路”國際合作高峰論壇前夕，在全市高中學生中進行“我和‘一帶一路’”的學習征文，收到的稿件經(jīng)分類統(tǒng)計，得到如圖所示的扇形統(tǒng)計圖．又已知全市高一年級共交稿2000份，則高三年級的交稿數(shù)為（）A．2800 B．3000 C．3200 D．34008．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．249．公元263年左右，我國數(shù)學家劉徽發(fā)現(xiàn)當圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加時，多邊形面積可無限逼近圓的面積，并創(chuàng)立了“割圓術(shù)”，利用“割圓術(shù)”劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點后兩位的近似值，這就是著名的“徽率”。如圖是利用劉徽的“割圓術(shù)”思想設(shè)計的一個程序框圖，則輸出的值為（）（參考數(shù)據(jù)：）A．48 B．36 C．24 D．1210．直線l：的傾斜角為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿開_______.12．設(shè)為三條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列四個判斷:①若則；②若是在內(nèi)的射影，，則；③底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；④若球的表面積擴大為原來的16倍，則球的體積擴大為原來的32倍；其中正確的為___________.13．函數(shù)的最小正周期是________．14．等比數(shù)列中首項，公比，則______.15．已知數(shù)列的通項公式為，的前項和為，則___________.16．和的等差中項為__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）設(shè)，數(shù)列的前項和為，求證：.18．已知f（x）＝ax+ka﹣x（a＞0且a≠1）是R上的奇函數(shù)，且f（1）．（1）求f（x）的解析式；（2）若關(guān)于x的方程f（1）+f（1﹣3mx﹣2）＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)只有一個解，求m取值集合；（3）是否存在正整數(shù)n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立？若存在，求出所有n的值若不存在，說明理由19．在銳角中，角，，的對邊分別為，，，若.（1)求角；（2）若，則周長的取值范圍.20．設(shè)的內(nèi)角所對應的邊長分別是，且.（Ⅰ）當時，求的值；（Ⅱ）當?shù)拿娣e為時，求的值．21．已知函數(shù)=的定義域為=的定義域為(其中為常數(shù)).(1)若,求及;(2)若,求實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】

畫出圖象及直線，借助圖象分析．【題目詳解】如圖，當直線位于點及其上方且位于點及其下方，或者直線與曲線相切在第一象限時符合要求．即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范圍是．故選D．【題目點撥】根據(jù)方程實根個數(shù)確定參數(shù)范圍，常把其轉(zhuǎn)化為曲線交點個數(shù)，特別是其中一條為直線時常用此法．2、A【解題分析】

由正弦定理得出，從而得出可能為鈍角或銳角，分類討論這兩種情況，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【題目詳解】由正弦定理得可能為鈍角或銳角當為鈍角時，,符合題意，所以為鈍角三角形；當為銳角時，由于在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以，即為鈍角三角形綜上，為鈍角三角形故選：A【題目點撥】本題主要考查了利用正弦定理判斷三角形的形狀，屬于中檔題.3、D【解題分析】

利用向量的數(shù)量積即可求解.【題目詳解】解析：.故選：D【題目點撥】本題考查了向量的數(shù)量積，注意向量夾角的定義，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解題分析】由題意，抽出的號碼是5,10,15，…，60，符合系統(tǒng)抽樣的特點：“等距抽樣”，故選B.5、B【解題分析】

根據(jù)的奇偶分類討論．【題目詳解】為偶數(shù)時，，為奇數(shù)時，設(shè)，則．∴的值構(gòu)成的集合是．故選：B．【題目點撥】本題考查誘導公式，掌握誘導公式是解題基礎(chǔ)．注意誘導公式的十字口訣：奇變偶不變，符號看象限．6、B【解題分析】試題分析：根據(jù)條件中職工總數(shù)和青年職工人數(shù)，以及中年和老年職工的關(guān)系列出方程，解出老年職工的人數(shù)，根據(jù)青年職工在樣本中的個數(shù)，算出每個個體被抽到的概率，用概率乘以老年職工的個數(shù)，得到結(jié)果．設(shè)老年職工有x人，中年職工人數(shù)是老年職工人數(shù)的2倍，則中年職工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得該單位老年職工共有90人，∵在抽取的樣本中有青年職工32人，∴每個個體被抽到的概率是用分層抽樣的比例應抽取×90=18人．故選B．考點：分層抽樣點評：本題是一個分層抽樣問題，容易出錯的是不理解分層抽樣的含義或與其它混淆．抽樣方法是數(shù)學中的一個小知識點，但一般不難，故也是一個重要的得分點，不容錯過7、D【解題分析】

先求出總的稿件的數(shù)量，再求出高三年級交稿數(shù)占總交稿數(shù)的比例，再求高三年級的交稿數(shù).【題目詳解】高一年級交稿2000份，在總交稿數(shù)中占比，所以總交稿數(shù)為，高二年級交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級交稿數(shù)占總交稿數(shù)的，所以高三年級交稿數(shù)為．故選D【題目點撥】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖的有關(guān)計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解題分析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【題目詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【題目點撥】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.9、C【解題分析】

由開始，按照框圖，依次求出s，進行判斷?！绢}目詳解】，故選C.【題目點撥】框圖問題，依據(jù)框圖結(jié)構(gòu)，依次準確求出數(shù)值，進行判斷，是解題關(guān)鍵。10、C【解題分析】

由直線的斜率，又，再求解即可.【題目詳解】解：由直線l：，則直線的斜率，又，所以，即直線l：的傾斜角為，故選：C.【題目點撥】本題考查了直線傾斜角的求法，屬基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】甲、乙兩人下棋，只有三種結(jié)果，甲獲勝，乙獲勝，和棋；甲不輸，即甲獲勝或和棋，甲不輸?shù)母怕蕿?2、①②【解題分析】

對四個命題分別進行判斷即可得到結(jié)論【題目詳解】①若，垂足為，與確定平面，，則，，則，，則，故，故正確②若，是在內(nèi)的射影，，根據(jù)三垂線定理，可得，故正確③底面是等邊三角形，側(cè)面都是有公共頂點的等腰三角形的三棱錐是正三棱錐，故不正確④若球的表面積擴大為原來的倍，則半徑擴大為原來的倍，則球的體積擴大為原來的倍，故不正確其中正確的為①②【題目點撥】本題主要考查了空間中直線與平面之間的位置關(guān)系、球的體積等知識點，數(shù)量掌握各知識點然后對其進行判斷，較為基礎(chǔ)。13、【解題分析】

根據(jù)周期公式即可求解.【題目詳解】函數(shù)的最小正周期故答案為：【題目點撥】本題主要考查了正弦型函數(shù)的周期，屬于基礎(chǔ)題.14、9【解題分析】

根據(jù)等比數(shù)列求和公式，將進行轉(zhuǎn)化，然后得到關(guān)于和的等式，結(jié)合，討論出和的值，得到答案.【題目詳解】因為等比數(shù)列中首項，公比，所以成首項為，公比為的等比數(shù)列，共項，所以整理得因為所以可得，等式右邊為整數(shù)，故等式左邊也需要為整數(shù)，則應是的約數(shù)，所以可得，所以，當時，得，此時當時，得，此時當時，得，此時，所以，故答案為：.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列求和的基本量運算，涉及分類討論的思想，屬于中檔題.15、【解題分析】

計算出，再由可得出的值.【題目詳解】當時，則，當時，則，當時，.，，因此，.故答案為：.【題目點撥】本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出數(shù)列的規(guī)律，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.16、【解題分析】

設(shè)和的等差中項為，利用等差中項公式可得出的值.【題目詳解】設(shè)和的等差中項為，由等差中項公式可得，故答案為：.【題目點撥】本題考查等差中項的求解，解題時要充分利用等差中項公式來求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見證明；（2）見證明【解題分析】

（1）由，得，兩式作差可得，利用等比數(shù)列的定義，即可作出證明；（2）由（1）可得，得到，利用裂項法求得數(shù)列的和，即可作出證明.【題目詳解】（1）證明：由，得，兩式作差可得：，即，即，又，得，所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可得，數(shù)列的通項公式為，又由，所以.所以.【題目點撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及數(shù)列“裂項法”求和的應用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和通項，以及合理利用數(shù)列的“裂項法”求得數(shù)列的前n項和是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）f（x）＝1x﹣1﹣x（2）（﹣∞，2]∪{4}（1）存在正整數(shù)n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立，且n的值為1，2，1【解題分析】

（1）利用奇函數(shù)的性質(zhì)及f（1）列出方程組，解方程組即可得到函數(shù)解析式；

（2）結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性脫去符號，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點分布求解；

（1）分離得，由，得到的范圍，由此得出結(jié)論．的范圍【題目詳解】（1）由題意，，解得，∴f（x）＝1x﹣1﹣x；（2）由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）＝1x﹣1﹣x為R上的增函數(shù)，故方程f（91）+f（1﹣1mx﹣2）＝0即為，即故g（x）＝2mx2﹣（4+m）x+2＝0在區(qū)間[0，1]內(nèi)只有一個解，①當m＝0時，，符合題意；②當m≠0時，由g（0）＝2＞0，故只需g（1）＝2m﹣4﹣m+2≤0，則m≤2且m≠0；③當△＝（4+m）2﹣16m＝0時，m＝4，此時，符合題意；綜上，實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，2]∪{4}；（1）f（2x）≥（n﹣1）f（x）即為，∵1x+1﹣x≥2，當且即當“x＝0”時取等號，∴n﹣1≤2，即n≤1，∴存在正整數(shù)n，使不得式f（2x）≥（n﹣1）f（x）對一切x∈[﹣1，1]均成立，且n的值為1，2，1．【題目點撥】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)與方程的綜合運用，考查轉(zhuǎn)化思想及分類討論思想，屬于中檔題．19、（1）（2）【解題分析】

（1）利用切化成弦和余弦定理對等式進行化簡，得角的正弦值；（2）利用成正弦定理把邊化成角，從而實現(xiàn)的周長用角B的三角函數(shù)進行表示，即周長，再根據(jù)銳角三角形中角，求得函數(shù)值域.【題目詳解】（1）由，得到，又，所以.（2），，設(shè)周長為，由正弦定理知，由合分比定理知，即，，即.又因為為銳角三角形，所以.，周長.【題目點撥】對運動變化問題，首先要明確變化的量是什么？或者選定什么量為變量？然后，利用函數(shù)與方程思想，把所求的目標表示成關(guān)于變量的函數(shù)，再研究函數(shù)性質(zhì)進行問題求解