新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第6章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示課件新人教A版必修第二冊(cè)

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.5平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示必備知識(shí)?探新知關(guān)鍵能力?攻重難課堂檢測(cè)?固雙基素養(yǎng)目標(biāo)?定方向素養(yǎng)目標(biāo)?定方向1．掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．2．能運(yùn)用坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的夾角和模，會(huì)利用坐標(biāo)運(yùn)算判斷向量垂直．通過推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及求夾角和模及向量垂直的判斷中體會(huì)邏輯推理素養(yǎng)及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).必備知識(shí)?探新知

平面向量的數(shù)量積與向量垂直的坐標(biāo)表示

知識(shí)點(diǎn)

1設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).數(shù)量積兩個(gè)向量的數(shù)量積等于________________________，即a·b＝________________兩個(gè)向量垂直a⊥b?___________________它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0想一想：公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉與a·b＝x1x2＋y1y2有什么區(qū)別與聯(lián)系？提示：公式a·b＝|a||b|cos<a，b>與a·b＝x1x2＋y1y2都是用來(lái)求兩向量的數(shù)量積的，沒有本質(zhì)區(qū)別，只是書寫形式上的差異，兩者可以相互推導(dǎo)．若題目中給出的是兩向量的模與夾角，則可直接利用公式a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解；若已知兩向量的坐標(biāo)，則可選用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．[提醒]

對(duì)比記憶平行與垂直的條件已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b與a⊥b的坐標(biāo)表示如下：a∥b?x1y2＝x2y1，即x1y2－x2y1＝0；a⊥b?x1x2＝－y1y2，即x1x2＋y1y2＝0.兩個(gè)結(jié)論不能混淆，可以對(duì)比學(xué)習(xí)，分別簡(jiǎn)記為：縱橫交錯(cuò)積相等，橫橫縱縱積相反．練一練：1．已知向量a＝(x－5,3)，b＝(2，x)，且a⊥b，則由x的值構(gòu)成的集合是(

)A．{2,3} B．{－1,6}C．{2} D．{6}[解析]

∵a⊥b，∴2(x－5)＋3x＝0，∴x＝2.故選C．C2．設(shè)a＝(1，－2)，b＝(3,1)，c＝(－1,1)，則(a＋b)·(a－c)等于(

)A．11 B．5C．－14 D．10[解析]

a＋b＝(4，－1)，a－c＝(2，－3)．所以(a＋b)·(a－c)＝4×2＋(－1)×(－3)＝11.故選A．A平面向量的模與夾角的坐標(biāo)表示

知識(shí)點(diǎn)

2設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則有下表：想一想：若兩個(gè)非零向量的夾角θ滿足cosθ>0，則兩向量的夾角θ一定是銳角，對(duì)嗎？提示：不對(duì)，當(dāng)兩向量同向共線時(shí)，cosθ＝1>0，但夾角θ＝0，不是銳角．20關(guān)鍵能力?攻重難

(1)(2023·遼寧朝陽(yáng)期中)已知a＝(－2,1)，b＝(3,2)，則a·(a＋b)＝(

)A．1 B．2C．3 D．4題|型|探|究題型一數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算典例1A0[解析]

(1)因?yàn)閍＝(－2,1)，b＝(3,2)，所以a·(a＋b)＝(－2,1)·(1,3)＝－2＋3＝1.故選A．(3)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸、AD為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，[歸納提升]

平面向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的兩條途徑進(jìn)行向量的數(shù)量積運(yùn)算，前提是牢記有關(guān)的運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)．解題時(shí)通常有兩條途徑：一是先將各向量用坐標(biāo)表示，直接進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算；二是先利用數(shù)量積的運(yùn)算律將原式展開，再依據(jù)已知計(jì)算．

(1)設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝(

)A．12 B．0C．－3 D．－11(2)已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，則x＝(

)A．6 B．5C．4 D．3(3)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，|c|＝5，則向量c的坐標(biāo)為__________________.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?CC(3,4)或(4,3)[解析]

(1)∵a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，∴a＋2b＝(－5,6)，∴(a＋2b)·c＝(－5)×3＋6×2＝－3.(2)由題意可得，8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，∴18＋3x＝30，解得x＝4.題型二與平面向量模有關(guān)的問題

(1)平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝(

)C．4 D．12(2)已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－1)，則|a－2b|＝______.典例2B[歸納提升]

求向量的模的兩種基本策略(1)字母表示下的運(yùn)算：利用|a|2＝a2，將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題．(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：

(1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a與b平行，則|a－b|＝______.(2)已知向量a＝(1，－2)，b＝(m,2)，且a⊥b，則|ma＋b|＝_______.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?[解析]

(1)已知a＝(1,2)，b＝(x,4)，且a與b平行，所以2×x＝1×4，所以x＝2，所以b＝(2,4)，所以a－b＝(－1，－2)，10(2)因?yàn)橄蛄縜＝(1，－2)，b＝(m,2)，且a⊥b，所以1·m－2×2＝0，解得m＝4.所以b＝(4,2)．故ma＋b＝(4，－8)＋(4,2)＝(8，－6)，故答案為10.題型三向量夾角和垂直問題

已知點(diǎn)A(2,1)，B(3,2)，D(－1,4)．(1)求證：AB⊥AD；(2)要使四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)以及矩形ABCD兩對(duì)角線所夾銳角的余弦值．典例3[歸納提升]

利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求兩向量夾角的步驟(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式求出這兩個(gè)向量的數(shù)量積．

(1)已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b與a－3b垂直，則k的值為_______.對(duì)點(diǎn)練習(xí)?1960°[解析]

(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．a(chǎn)－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b與a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0，得k＝19.易|錯(cuò)|警|示忽視向量共線致誤

已知a＝(1，－2)，b＝(1，λ)，且a與b的夾角θ為銳角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是(

)典例4A[錯(cuò)解]

∵a與b的夾角θ為銳角，[正解]

∵a與b的夾角θ為銳角，∴cosθ>0且cosθ≠1，即a·b>0且a與b方向不同，[誤區(qū)警示]

對(duì)于非零向量a與b，設(shè)其夾角為θ，則θ為銳角?cosθ>0，且cosθ≠1?a·b>0，且a≠mb(m>0)；θ為鈍角?cosθ<0，且cosθ≠－1?a·b<0，且a≠mb(m<0)；θ為直角?cosθ＝0?a·b＝0.(1)若點(diǎn)A，B，C三點(diǎn)共線，求實(shí)數(shù)x，y滿足的關(guān)系；(2)若x＝1且∠ACB為鈍角，求實(shí)數(shù)y的取值范圍．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?課堂檢測(cè)?固雙基1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，則x等于(

)A．3 B．－3[解析]

a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.A2．設(shè)向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．|a|＝|b| B．a(chǎn)·b＝0C．a(chǎn)∥b D．(a－b)⊥b[解析]

a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.D3．設(shè)平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，則|2a－b|等于(

)A．4 B．5[解析]

由a∥b得y＋4＝0，D4．已知a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，則a與b的夾角為(

)B5．已知向量a＝(3，－1)，b＝(1，－2)，求：(1)a·b；(2)(a＋b)2；(3)(a＋b)·(a－b)．[