系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性(第五章)

第五章系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性5.1外部穩(wěn)定性和內(nèi)部穩(wěn)定性外部穩(wěn)定性〔BIBO穩(wěn)定性〕：稱一個(gè)因果系統(tǒng)為外部穩(wěn)定，如果對(duì)任意一個(gè)有界輸入u(t),即滿足條件對(duì)應(yīng)的輸出y(t)均為有界，即有結(jié)論5.1對(duì)零初始條件的線性時(shí)變系統(tǒng)結(jié)論5.2對(duì)零初始條件的線性時(shí)不變系統(tǒng)結(jié)論5.3對(duì)零初始條件的線性時(shí)不變系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定真或嚴(yán)真?zhèn)鬟f函數(shù)矩陣所有極點(diǎn)均具有負(fù)實(shí)部?jī)?nèi)部穩(wěn)定性〔漸近穩(wěn)定性〕如果由時(shí)刻任意非零初始條件引起的狀態(tài)零輸入響應(yīng)對(duì)所有為有界，并滿足漸近屬性即成立結(jié)論5.4線性時(shí)變自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定結(jié)論5.5線性時(shí)不變自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定結(jié)論5.6線性時(shí)不變自治系統(tǒng)漸近穩(wěn)定〔對(duì)時(shí)變系統(tǒng)不成立〕結(jié)論5.7線性時(shí)不變系統(tǒng)漸近穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定反之不一定成立，但假設(shè)系統(tǒng)既能控又能觀測(cè)，那么成立。5.2李亞普諾夫意義下運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的概念李亞普諾夫第一方法：小范圍內(nèi)穩(wěn)定性分析方法，泰勒展開(kāi)，線性化。李亞普諾夫第二方法：廣義能量屬性的李亞普諾夫函數(shù)。自治系統(tǒng)：平衡狀態(tài)：受擾運(yùn)動(dòng)：自治系統(tǒng)由初態(tài)引起的運(yùn)動(dòng)李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性稱自治系統(tǒng)的孤立平衡狀態(tài)在時(shí)刻是李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的，如果對(duì)任給一個(gè)實(shí)數(shù)，都對(duì)應(yīng)存在另一個(gè)依賴于和的實(shí)數(shù)，使得滿足的任一初始狀態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)都滿足李亞普諾夫意義下的一致穩(wěn)定：與無(wú)關(guān)圖5.1李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定性的平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定:(i)在時(shí)刻為李亞普諾夫意義下穩(wěn)定的。(ii)對(duì)實(shí)數(shù)和任給實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)地存在實(shí)數(shù)，使得滿足的任一初態(tài)出發(fā)的受擾運(yùn)動(dòng)還同時(shí)滿足(a)(b)圖5.2漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)一致漸近穩(wěn)定：定義中與無(wú)關(guān)

時(shí)不變系統(tǒng)：一致漸近穩(wěn)定漸近穩(wěn)定大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定：為漸近穩(wěn)定線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定不穩(wěn)定5.3李亞普諾夫第二方法李亞普諾夫主穩(wěn)定性原理：為孤立平衡狀態(tài)即對(duì)所有假設(shè)可構(gòu)造對(duì)和有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，且對(duì)所有非零狀態(tài)有:(i)正定且有界，即存在兩個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)和，其中和,并對(duì)所有和所有成立：(ii)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)負(fù)定且有界，即存在一個(gè)連續(xù)的非減標(biāo)量函數(shù)，其中，使對(duì)所有和所有成立：(iii)當(dāng)，有即。那么系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍一致漸近穩(wěn)定。圖5.4結(jié)論條件(i)的幾點(diǎn)說(shuō)明圖5.5對(duì)選取的幾何說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)適用于線性/非線性，時(shí)變/時(shí)不變系統(tǒng)；(2)物理含義：“廣義能量〞有界，“廣義能量的變化率〞為負(fù)，那么系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)最終回到平衡狀態(tài)；(3)李亞普諾夫函數(shù)(4)候選李亞普諾夫函數(shù)(5)判據(jù)的充分性屬性時(shí)不變系統(tǒng)李亞普諾夫主穩(wěn)定定理：為孤立平衡狀態(tài)假設(shè)可構(gòu)造具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)，,且：那么系統(tǒng)的原點(diǎn)平衡狀態(tài)為大范圍漸進(jìn)近定。例5.1為惟一平衡狀態(tài)大范圍漸近穩(wěn)定5.5連續(xù)時(shí)間線性系統(tǒng)的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性判據(jù)線性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)為平衡狀態(tài)結(jié)論5.22[特征值判據(jù)]李亞普諾夫意義下穩(wěn)定A的特征值具有非正實(shí)部，且零實(shí)部特征值只能為A的最小多項(xiàng)式的單根。結(jié)論5.23漸近穩(wěn)定A的特