01-01-基礎知識 映射與函數(shù)

第一章函數(shù)與極限二、映射三、函數(shù)一、集合第一節(jié)映射與函數(shù)元素a屬于集合M,記作元素a不屬于集合M,記作一、集合1.定義及表示法定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集

,記作

.

(或).表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實數(shù)集合

x為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間無限區(qū)間點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.半開區(qū)間去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:是B的子集

,或稱B包含A,2.集合之間的關(guān)系及運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,

若設有集合記作記作必有機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積例:記為平面上的全體點集或二、映射1.映射的概念某校學生的集合學號的集合按一定規(guī)則編號某班學生的集合某教室座位的集合按一定規(guī)則入座引例1.定義4.設X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應規(guī)則f,使得有唯一確定的與之對應,則稱f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像

,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.注意:1)映射的三要素—定義域,對應規(guī)則,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.X(數(shù)集或點集

)說明:在不同數(shù)學分支中有不同的慣用X(≠

)Y(數(shù)集)f稱為X

上的泛函X(≠

)Xf稱為X

上的變換

Rf稱為定義在X

上的為函數(shù)映射又稱為算子.名稱.例如,2.逆映射與復合映射(1)逆映射的定義定義:若映射為單射,則存在一新映射使習慣上,的逆映射記成例如,映射其逆映射為其中稱此映射為f

的逆映射.(2)復合映射手電筒D引例.復合映射定義.則當由上述映射鏈可定義由D

到Y(jié)

的復設有映射鏈記作合映射

,時,或注意:

構(gòu)成復合映射的條件不可少.以上定義也可推廣到多個映射的情形.定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為f(D)稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量(對應規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應規(guī)律的表示方法:解析法、圖象法、列表法使表達式及實際問題都有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域例4.

已知函數(shù)求及解:函數(shù)無定義并寫出定義域及值域.定義域值域2.函數(shù)的幾種特性設函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性(2)單調(diào)性使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)無界.稱為有上界稱為有下界當時,稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記(4)周期性且則稱為周期函數(shù),若稱

l

為周期(一般指最小正周期).周期為

周期為注:周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄里克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3.反函數(shù)與復合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在逆映射習慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)(2)復合函數(shù)則設有函數(shù)稱為由①,②確定的復合函數(shù)

,①—復合映射的特例②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:函數(shù)但函數(shù)鏈不能構(gòu)成復合函數(shù).可定義復合4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).小組任務：反三角函數(shù)第一組：反三角函數(shù)第二組：反余弦函數(shù)第三組：反正切函數(shù)第四組：反余切函數(shù)講清楚：為了給三角函數(shù)定義反函數(shù)，需要做什么原函數(shù)的定義域與值域，反函數(shù)的定義域與值域原函數(shù)與反函數(shù)的圖像草圖

用反三角函數(shù)求解角的值的例子，例如非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當x>0當x=0當x<0取整函數(shù)當內(nèi)容小結(jié)1.集合及映射的概念定義域?qū)?guī)律3.函數(shù)的特性