第8章 二元一次方程組壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練（教師版）-2023年初中數(shù)學(xué)7年級(jí)下冊(cè)同步壓軸題

第八章二元一次方程組壓軸題考點(diǎn)訓(xùn)練1．若方程組的解是，則方程組的解是(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】將變形為，再設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，列出方程組，再得其解即可．【詳解】解：將變形為,設(shè)-3x+1=x’，-2y=y’，則原方程變形為：，因?yàn)榉匠探M的解是，所以，解得：，所以方程組的解是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解與二元一次方程組的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．新冠狀病毒傳染性非常強(qiáng)，多是通過飛沫，接觸，還有氣溶膠傳播。所以一定要做好個(gè)人防護(hù)，盡量少外出，更不要聚集，佩戴醫(yī)用外科口罩是非常有效的個(gè)人防護(hù)。為了個(gè)人防護(hù)，小紅用40元錢買了A，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩(兩種型號(hào)都買)，A型每包6元，B型每包4元，在40元全部用盡的情況下，有幾種購(gòu)買方案(

)A．2種 B．3種 C．4種 D．5種【答案】B【分析】解：小紅用40元錢買了A型號(hào)口罩x包，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩y包，根據(jù)小紅用40元錢買了A，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩(兩種型號(hào)都買)列出二元一次方程，根據(jù)A，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩都買得到x的取值范圍，從而求出二元一次方程的正整數(shù)解即可．【詳解】解：小紅用40元錢買了A型號(hào)口罩x包，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩y包，由題意可得：，解得，，A，B兩種型號(hào)的醫(yī)用外科口罩都買，，所有購(gòu)買方案為，，，有3種購(gòu)買方案，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的正整數(shù)解，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．3．方程組中，若未知數(shù)x、y滿足x-y>0，則m的取值范圍是(

)A．m＞1 B．m＜1 C．m＞-1 D．m＜-1【答案】B【詳解】解方程組得，∵x、y滿足x-y>0，∴，∴3－3m>0,∴m<1.故選B.4．設(shè)，，…，是從1，0，-1這三個(gè)數(shù)取值的一列數(shù)，若++…+=69，，則，，…，中為0的個(gè)數(shù)是(

)A．173 B．888 C．957 D．69【答案】A【詳解】解：(a1+1)2+(a2+1)2+…+(a2018+1)2=a12+a22+…+a20182+2(a1+a2+…+a2018)+2018=a12+a22+…+a20142+2×69+2018=a12+a22+…+a20142+2156，設(shè)有x個(gè)1，y個(gè)-1，z個(gè)0∴化簡(jiǎn)得x-y=69，x+y=1845，解得x=888，y=957，z=173，∴有888個(gè)1，957個(gè)-1，173個(gè)0，故答案為173．5．“今有四十鹿進(jìn)舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍幾何？(改編自《緝古算經(jīng)》)”大意為．今有40只鹿進(jìn)圈舍，小圈舍可以容納4頭鹿，大圈舍可以容納6頭鹿，且恰好每個(gè)圈舍都能放滿，求所需圈舍的間數(shù)．設(shè)所需大圈舍間，小圈舍間，則求得的結(jié)果有___________種．【答案】3【分析】根據(jù)題意，得，整理得，根據(jù)x，y都是整數(shù)，討論求解即可．【詳解】設(shè)所需大圈舍x間，小圈舍y間，根據(jù)題意，得，整理得，所以，因?yàn)閤，y都是整數(shù)，所以，解得，所以x的值可能是1，2，3，4，5，6，因?yàn)槭钦麛?shù)，所以一定也是偶數(shù)，故x的值為2，4，6，y對(duì)應(yīng)的值為7，4，1，故的值有3種可能，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的整數(shù)解，熟練掌握方程整數(shù)解的解題方法是解題的關(guān)鍵．6．已知方程組的解是，則方程組的解是_______．【答案】【分析】把第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以9，通過換元替代的方法即可得到一個(gè)關(guān)于x，y的方程組，即可求解．【詳解】解：∵方程組的解是，∴將第二個(gè)方程組的兩個(gè)方程的兩邊都除以9，得：∴，解得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程組的解，正確觀察已知方程的系數(shù)之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．7．小明問數(shù)學(xué)老師的年齡，數(shù)學(xué)老師微笑著說：“我像你這么大的時(shí)候，你剛好3歲；你到我這么大時(shí)，我就42歲了，”那么數(shù)學(xué)老師今年的年齡是______歲．【答案】29【分析】設(shè)小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，根據(jù)題意可得等量關(guān)系：老師今年的年齡?學(xué)生今年的年齡=學(xué)生今年的年齡；老師42歲?老師今年的年齡=老師今年的年齡?學(xué)生今年的年齡，根據(jù)等量關(guān)系列出方程，即可解答．【詳解】解：設(shè)小明和老師今年的年齡分別為x歲、y歲，由題意得：，解得：，故數(shù)學(xué)老師今年的年齡是29歲，故答案為：29．【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程組，再求解．8．甲、乙兩人共同解方程組由于甲看錯(cuò)了方程①中的a，得到方程組的解為乙看錯(cuò)了方程②中的b，得到方程組的解為則的值為________.【答案】0【分析】根據(jù)方程組的解的定義，解應(yīng)滿足方程，解應(yīng)滿足方程，將它們分別代入方程，，就可得到關(guān)于，的二元一次方程組，解得，的值，代入代數(shù)式即可．【詳解】甲看錯(cuò)了①式中的系數(shù)，解得，但滿足式的解，所以，解得；同理乙看錯(cuò)了式中的系數(shù)，解滿足式的解，所以，解得．把，代入，∴.【點(diǎn)睛】此題主要考查了二元一次方程組解的定義、解二元一次方程組的基本方法以及乘方的運(yùn)算．9．年冬，重慶新冠疫情期間，某火鍋店舉辦“云端火鍋，共抗疫情”活動(dòng)，將火鍋底料及菜品打包成“便利火鍋包”送至附近小區(qū)大門處，由居民自行前往提?。鶕?jù)菜品種類分為A、、三類，三個(gè)品類成本價(jià)分別是元，元，元．且A類和類火鍋的標(biāo)價(jià)一樣，該店對(duì)這三個(gè)品類全部打折銷售．若三個(gè)品類的銷量相同，則火鍋店能獲得的利潤(rùn)，此時(shí)A品類利潤(rùn)率為．若A、、三類銷量之比是，則火鍋店銷售A、、類便利火鍋包的總利潤(rùn)率為_______．(利潤(rùn)率)【答案】【分析】可設(shè)A、B、C三類的標(biāo)價(jià)分別為x元，x元，y元，根據(jù)所給的條件可列出三元一次方程組，解方程組得出相應(yīng)的x，y的值，從而可求解．【詳解】解：設(shè)A、B、C三類的標(biāo)價(jià)分別為x元，x元，y元，依題意得：，解得：，故B類的利潤(rùn)率為：，C類的利潤(rùn)率為：，當(dāng)A、B、C三類銷量之比是，則火鍋店銷售A、B、C類便利火鍋包的總利潤(rùn)率為：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意找到等量關(guān)系列出方程組．10．已知，，則______．【答案】【分析】用將表示出來，代入式子，求解即可．【詳解】解：聯(lián)立，可得，即，解得將代入可得，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了三元一次方程組的求解，解題的關(guān)鍵是正確用將表示出來，并代入代數(shù)式求解．11．隨著“低碳生活，綠色出行”理念的普及，新能源汽車正逐漸成為人們喜愛的交通工具，某汽車銷售公司計(jì)劃購(gòu)進(jìn)一批新能源汽車嘗試進(jìn)行銷售，據(jù)了解2輛A型汽車、3輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛A型汽車、2輛B型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元．(1)求A、B兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為多少萬元？(2)若該公司計(jì)劃正好用180萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車(兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買)，請(qǐng)你幫助該公司設(shè)計(jì)購(gòu)買方案；(3)若該汽車銷售公司銷售1輛A型汽車可獲利8000元，銷售1輛B型汽車可獲利6000元，在(2)中的購(gòu)買方案中，假如這些新能源汽車全部售出，哪種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？【答案】(1)、兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為25萬元、10萬元；(2)方案一：購(gòu)買2輛型汽車，購(gòu)買13輛型汽車；方案二：購(gòu)買4輛型汽車，購(gòu)買8輛型汽車；方案三：購(gòu)買6輛型汽車，購(gòu)買3輛型汽車；(3)購(gòu)買2輛型汽車，購(gòu)買13輛型汽車獲利最大，最大值為94000元．【分析】(1)根據(jù)2輛型汽車、3輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)80萬元；3輛型汽車、2輛型汽車的進(jìn)價(jià)共計(jì)95萬元，可以列出相應(yīng)的二元一次方程組，然后求解即可；(2)根據(jù)(1)中的結(jié)果和該公司計(jì)劃正好用180萬元購(gòu)進(jìn)以上兩種型號(hào)的新能源汽車(兩種型號(hào)的汽車均購(gòu)買)，可以得到相應(yīng)的二元一次方程，然后求解即可；(3)根據(jù)(2)中的結(jié)果和題意，可以分別計(jì)算出各種方案獲得的利潤(rùn)，從而可以得到最大利潤(rùn)．【詳解】(1)解：設(shè)種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬元，種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)為萬元，由題意可得，解得，答：、兩種型號(hào)的汽車每輛進(jìn)價(jià)分別為25萬元、10萬元；(2)解：設(shè)購(gòu)買型號(hào)的汽車輛，種型號(hào)的汽車輛，由題意可得且，，解得或或，該公司共有三種購(gòu)買方案，方案一：購(gòu)買2輛型汽車，購(gòu)買13輛型汽車；方案二：購(gòu)買4輛型汽車，購(gòu)買8輛型汽車；方案三：購(gòu)買6輛型汽車，購(gòu)買3輛型汽車；(3)解：當(dāng)，時(shí)，獲得的利潤(rùn)為：(元)，當(dāng)，時(shí)，獲得的利潤(rùn)為：(元)，當(dāng)，時(shí)，獲得的利潤(rùn)為：(元)，由上可得，最大利潤(rùn)為94000元，購(gòu)買2輛型汽車，購(gòu)買13輛型汽車獲利最大，最大值為94000元．【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．12．我們知道，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)A和表示數(shù)b的點(diǎn)B之間的距離AB可以用來表示．例如：表示5和1在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離．(1)在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足，則________，________，A、B兩點(diǎn)之間的距離為________．(2)點(diǎn)M在數(shù)軸上，且表示的數(shù)為m，且，求m的值．(3)若點(diǎn)M、N在數(shù)軸上，且分別表示數(shù)m和n，且滿足，，求M、N兩點(diǎn)的距離．【答案】(1)-1，4，5(2)或(3)4045【分析】(1)根據(jù)絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性得出值，運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可；(2)根據(jù)題意可知在數(shù)軸上的幾何意義是：表示有理數(shù)的點(diǎn)到及到的距離之和為；然后分時(shí)、時(shí)、時(shí)分別化簡(jiǎn)絕對(duì)值，解方程即可；(3)根據(jù)題意可得，，然后分情況討論即可得出答案．【詳解】(1)解：，，解得：，A、B兩點(diǎn)之間的距離為，故答案為：-1，4，5；(2)在數(shù)軸上的幾何意義是：表示有理數(shù)的點(diǎn)到及到的距離之和為，當(dāng)時(shí)，，解得：；當(dāng)時(shí)，，無解，故此種情況不存在；當(dāng)時(shí)，，解得：；綜上所述：或；(3)，，，，，，若，解得，此時(shí)M、N兩點(diǎn)的距離為；若，此方程無解；若，此方程無解；若，解得，此時(shí)，不符合題意；綜上所述：M、N兩點(diǎn)的距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值的性質(zhì)以及數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)得出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵．13．閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，欲求的結(jié)果不是每一個(gè)未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的一個(gè)代數(shù)式的值．如以下問題：已知實(shí)數(shù)x、y滿足，，求和的值．本題常規(guī)思路是將①，②聯(lián)立組成方程組，解得、的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案．常規(guī)思路計(jì)算量比較大，其實(shí)本題還可以仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系，通過適當(dāng)變形整體求得代數(shù)式的值，如由①－②可得，由①＋②×2可得．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：(1)已知二元一次方程組，則______，______；(2)試說明在關(guān)于x、y的方程組中，不論a取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變；(3)某班級(jí)組織活動(dòng)購(gòu)買小獎(jiǎng)品，買3支鉛筆、5塊橡皮、1本筆記本共需21元，買4支鉛筆、7塊橡皮、1本筆記本共需28元，則購(gòu)買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需多少元？【答案】(1)－1；3(2)見解析(3)購(gòu)買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元【分析】(1)①－②可求出，可求出；(2)證明為定值即可；(3)設(shè)鉛筆、橡皮、筆記本的單價(jià)分別為x，y，z元，根據(jù)題意列方程組，利用整體思想求出即可．【詳解】(1)解：①－②得：，得：，等式兩邊同時(shí)除以3得：，故答案為：－1；3．(2)證明：得：，等式兩邊同時(shí)除以2得：，得：，等式兩邊同時(shí)除以2得：，因此不論a取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變．(3)解：設(shè)鉛筆、橡皮、筆記本的單價(jià)分別為x，y，z元，由題意得，得：，等式兩邊同時(shí)乘以2得：，得：，故，即購(gòu)買10支鉛筆、10塊橡皮、10本筆記本共需70元．【點(diǎn)睛】本題考查利用整體思想解方程組，讀懂題意，熟練掌握并靈活運(yùn)用整體思想是解題的關(guān)鍵．14．如果一個(gè)三位數(shù)滿足各數(shù)位上的數(shù)字都不為0，且百位數(shù)字比十位數(shù)字大1，則稱這個(gè)數(shù)為“階梯數(shù)”．若s，t都是“階梯數(shù)”，將組成s的各數(shù)位上的數(shù)字中最大數(shù)字作為十位數(shù)字，組成t的各數(shù)位上的數(shù)字中最小數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)新兩位數(shù)m叫做s，t的“萌數(shù)”，將組成s的各數(shù)位上的數(shù)字中最小數(shù)字作為十位數(shù)字，組成t的各數(shù)位上的數(shù)字中最大數(shù)字作為個(gè)位數(shù)字，得到一個(gè)新兩位數(shù)n叫做s，t的“曲數(shù)”，記F(s，t)＝2m＋n．例如：因?yàn)?﹣1＝1，6﹣1＝5，所以211和654都是“階梯數(shù)”，211和654的“萌數(shù)”m＝24，“曲數(shù)”n＝16，F(xiàn)(211，654)＝2×24＋16＝64.(1)判斷435(填“是”或“否”)為“階梯數(shù)”；(2)若s＝，t＝(其中2≤a＜5，6≤b＜9，且a，b都是整數(shù))，且F(s，t)=167，求滿足條件的s、t的值；(3)若p、q都是“階梯數(shù)”，其中p＝100x＋10y＋3，q＝200＋10a＋b(其中2≤x≤3，1≤y≤8，2≤b≤8且a，b，x，y都是整數(shù))，當(dāng)F(p，132)＋F(q，824)＝157時(shí)，求F(p，q)的值．【答案】(1)是(2)436，765(3)75【分析】(1)按照階梯數(shù)的定義求解，即4?3=1，可知435是“階梯數(shù)”；(2)由題意知組成s的三個(gè)數(shù)中最大的為6，最小的為(a?1)，組成t的三個(gè)數(shù)中最大的為(b+1)，最小的為5，故有F(s，t)中m=65，n=10(a?1)+(b+1)，F(xiàn)(s，t)=2×65+10(a?1)+(b+1)=167，解得10a+b=46，由a，b的取值范圍可得滿足條件的a，b的值，進(jìn)而表示出s、t即可；(3)根據(jù)定義、p，q的形式、x，y，a，b的取值范圍，表示組成p的三個(gè)數(shù)中最大與最小的的數(shù)，組成q的三個(gè)數(shù)中最大與最小的數(shù)，根據(jù)定義求解F(p，132)，F(xiàn)(q，824)，求解得到x+2b=8，根據(jù)取值范圍，最終確定x，b的值，進(jìn)而得到p，q，然后計(jì)算F(p，q)的值即可．【解析】(1)解：∵4?3=1，∴435是“階梯數(shù)”．故答案為：是；(2)解：∵，∴組成s的三個(gè)數(shù)中最大的為6，最小的為．∵，∴組成t的三個(gè)數(shù)中最大的為，最小的為5．∴中，，，∴，整理得：．∵，，且都為整數(shù)，∴由a，b的取值范圍可得，∴滿足條件的s、t的值分別為：436，765；(3)解：由題意知，，∴．∵，∴組成p的三個(gè)數(shù)中最大的為3，最小的為．∵，∴組成q的三個(gè)數(shù)中最大的為b，最小的為1，∵132中最大的為3，最小的為1，824中最大的為8，最小的為2，∴F(p，132)中，；F(q，824)中，，∴F(p，132)；F(q，824)∴F(p，132)+F(q，824)，解得：，∵，，且都為整數(shù)，故可分類討論：①當(dāng)x=2時(shí)，代入中，得：，解得：b=3；②將x=3時(shí)，代入中，得，解得：(舍)∴，∴p為213，組成p的三個(gè)數(shù)中最大的為3，最小的為1，q為213，組成q的三個(gè)數(shù)中最大的為3，最小的為1，∴F(213，213)中m=31，n=13，∴F(213，213)，即F(p，q)的值為75．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義下的實(shí)數(shù)運(yùn)算．解題的關(guān)鍵在于理解題意．15．2021年是中國(guó)歷史上的超級(jí)航天年，渝飛航模專賣店看準(zhǔn)商機(jī)，8月初推出了“天問一號(hào)”和“嫦娥五號(hào)”兩款模型．每個(gè)“天問一號(hào)”模型的售價(jià)是90元，每個(gè)“嫦娥五號(hào)”模型的售價(jià)是100元．(1)若8月份銷售“天問一號(hào)”模型的數(shù)量比“嫦娥五號(hào)”模型數(shù)量多200個(gè)，銷售兩種模型的總銷售額為56000元，求銷售“天問一號(hào)”模型和“嫦娥五號(hào)”模型的數(shù)量各是多少？(2)該店決定從9月1日起推出“逐夢(mèng)航天、仰望星空”優(yōu)惠活動(dòng)，9月份，每個(gè)“天問一號(hào)”模型的售價(jià)與8月份相同，銷量比8月份增加a%；每個(gè)“嫦娥五號(hào)”模型的售價(jià)在8月份的基礎(chǔ)上降價(jià)a%，銷量比8月份增加a%．①用含有a的代數(shù)式填表(不需化簡(jiǎn))：9月份的售價(jià)(元)9月份銷量“天問一號(hào)”模型90

“嫦娥五號(hào)”模型

②據(jù)統(tǒng)計(jì)，該店在9月份的銷售總額比8月份的銷售總額增加a%，求a的值．【答案】(1)銷售天問一號(hào)模型和嫦娥五號(hào)模型的數(shù)量各是400個(gè)與200個(gè)(2)①100(1-a%)；400(1+a%)；200(1+a%)；②10【分析】(1)首先設(shè)銷售“天問一號(hào)”模型和“嫦娥五號(hào)”模型的數(shù)量