高考 第五節(jié)　數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入 講義

第五節(jié)數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

固基礎?自主落實I

要求

內容

ABC

考綱傳真復數(shù)的概念V

復數(shù)的四則運算V

復數(shù)的幾何意義V

1.復數(shù)的有關概念

(1)復數(shù)的概念：形如a+bi(a,b￡R)的數(shù)叫復數(shù)，其中a,b分

別是它的實部和虛部.若6=0,則。+歷為實數(shù)，若回，則。+從

為虛數(shù)，若c/=0且則。+萬為純虛數(shù).

(2)復數(shù)相等：a+b\=c+di^a=c,b=d(a,b,c,t/GR).

(3)共枕復數(shù)：a-\-hi與c+di共―臺a=c,b=—d(a,h,c,de

R).

(4)共輾復數(shù)：把實部相等,虛部互為相反數(shù)的兩個復數(shù)叫做互

為共枕復數(shù)，復數(shù)z=a+為(a,h￡R)的共甄復數(shù)記做3,則3=a—

bi(a,〃￡R).

(5)復數(shù)的模：向量0Z的模叫做復數(shù)z=a+bi的模，記作|z|或

+歷|,即|z|=I"+=日層+尻

2.復數(shù)的運算

設zi=a+hi,Z2=c+di,a,h,c,d￡R,

zi±Z2=(a+歷)±(c+di)—(。士c)+(Z?±J)i.

z\-Z2=(a+0i)(c+di)=(4c-im+(7?c+q60i.

zia-\-hiac+bd,bc-ad,

-?7='2??Jc*(c+^i^O).

Z2c+dic2+<rr+tr

3.復數(shù)的幾何意義

復數(shù)z—a+hi一一對應復平面內的點Z(a,垃---對應平面向量

OZ=(a,b).

圖4-5-1

復數(shù)加減法可按向量的平行四邊形法則或三角形法則進行.

如圖4-5-1所示給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)

加減法的幾何意義，即0Z=0Zi+0Z2,ZiZ2=OZ2-。4.

4.復數(shù)模的性質

①|ZI-Z2|表示復平面內Zi，Z2對應兩點間的距離，

2||W|Z1±Z2|W|ZiI+

②|出|一憶\Z2\.

③憶向=閡閡.

⑷Z2比「

⑤|zF=|Z『=憶2|=|Z2|=Z.Z.

1.(夯基釋疑)判斷下列結論的正誤.(正確的打“J”，錯誤的

打“X”)

(1)復數(shù)1—i的實部為1，虛部為一i.()

(2)2i比i大.()

(3)實軸上的點表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù).()

(4)復數(shù)的模實質上就是復平面內復數(shù)對應的點到原點的距離，

也就是復數(shù)對應的向量的模?()

［解析］⑴錯，1-i的虛部為-1.(2)錯,虛數(shù)不能比較大小.⑶

錯，虛軸上除原點外都表示純虛數(shù).(4)正確，依模的定義及復數(shù)的

幾何意義.

［答案］(1)X(2)X(3)X(4)V

2.(教材習題改編)復數(shù)z=(l—i)i的虛部為.

［解析］因為z=(l—i)i=l+i,所以虛部為1.

［答案］1

3.若復數(shù)鋁為純虛數(shù)，則實數(shù)。=____.

1+1

.__c.o+2i(a+2i)(l—i)。+2+(2一a)i,,、、?

［解析］因為［???=?丁=5，由已知該艮

1+1(1十1)(1—1)2

數(shù)為純虛數(shù)，所以〃+2=0,即〃=一2.

［答案］一2

4.(2013?江蘇高考)設z=(2—i>(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z的模為

［解析］z=(2—i)2=3—4i,

所以|z|=|3—4”=^/32+(-4)2=5.

［答案］5

5.(2014?江蘇高考)已知復數(shù)z=(5+2i)2(i為虛數(shù)單位),則z的

實部為.

［解析］因為z=(5+2i)2=25+20i+(2i)2=25+20i—4=21+

20i,所以z的實部為21.

［答案］21

提知能-典例探究I

考向1復數(shù)代數(shù)形式的運算(高頻考點)

命題視角復數(shù)代數(shù)形式的四則運算是每年高考的必考內容.題

型為選擇題或填空題，難度較小，屬容易題.

高考對復數(shù)代數(shù)形式的運算的考查主要有以下幾個命題角度：

(1)復數(shù)的乘法運算；

(2)復數(shù)的除法運算；

(3)利用復數(shù)相等求參數(shù).

【典例1］(1)(2013?浙江高考改編)已知i是虛數(shù)單位，則(2+

i)(3+i)=.

fl+i)

(2)(2014,北京高考)復數(shù)T—2=.

(3)(2013?天津高考)已知a,i是虛數(shù)單位.若(a+i)(l+i)

—hi,則a+b1—.

［思路點撥］(1)類似多項式乘法展開，再合并，把i2換成一1求

解.

(2)先分子、分母分別乘方，再用完全平方公式展開化簡或先對

小括內式子戶化簡再乘方.

(3)把左邊整理成％+yi(%,y￡R)形式，再根據(jù)兩復數(shù)相等的充要

條件得到關于dh的方程組，求出a,b.

［解析］(l)(2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.

fl+ill+i2+2ii

=i+i2-2i=^i=-1-

(3)由(a+i)(l+i)=bi可得(a—l)+(a+l)i=Z?i,因此a—1=0,a

+1=b,解得a=l,b=2,故a+Z?i=l+2i.

［答案］(l)5+5i(2)-1(3)1+2i

【通關錦囊】

復數(shù)代數(shù)形式運算問題的常見類型及解題策略：

(1)復數(shù)的乘法.復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含

有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不含i的看作另一類同類項，分別

合并即可.

(2)復數(shù)的除法.除法的關鍵是分子、分母同乘以分母的共軻復

數(shù)，解題中要注意把i的箱寫成最簡形式.

(3)利用復數(shù)相等求參數(shù).a+bi=c+di<4a=c,b—d(a,b,c,d

eR).

【變式訓練1］(1)(2014?遼寧高考改編)設復數(shù)z滿足(z-2i)(2

—i)=5,貝！Jz=.

(2)(2014?山東高考改編)已知a,b&R,i是虛數(shù)單位.若“T與

2+歷互為共輾復數(shù)，則3+歷＞=.

［解析］(1)由(z-2i)(2—i)=5,得z=2i+±=2i+Q寶％)

=2i+2+i=2+3i.

22

(2)由題意知Q—i=2一萬，.?.a=2,b=1,/.(a+Z?i)=(2+i)=3

+4i.

［答案］(l)2+3i(2)3+4i

考向2復數(shù)的有關概念

【典例2］(1)(2014?湖南高考)復數(shù)\7(i為虛數(shù)單位)的實部等

于

⑵(2013?安徽高考改編)設i是虛數(shù)單位，若復數(shù)。一黑(a￡R)

是純虛數(shù)，則Q的值為

［解析］(1)\'辛^="；=—3—i,—3—i的實部等于一3.

l0(3+i)J0(3+i)_

⑵因為a--=a(3-i)(3+i)—a10?3)b由'電

虛數(shù)的定義，知a—3=0,所以a=3.

［答案］(1)—3(2)3

【規(guī)律方法】

解決復數(shù)概念問題的方法及注意事項

(1)復數(shù)的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數(shù)的實部與

虛部應該滿足的條件問題，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛

部滿足的方程(不等式)組即可.

(2)解題時一定要先看復數(shù)是否為a+歷(a,b￡R)的形式，以確定

實部和虛部.

【變式訓練2］(1)(2013?山東高考改編)復數(shù)z滿足(z—3)(2—i)

=5(i為虛數(shù)單位)，則z的共輾復數(shù)3為.

(2)(2013?課標全國卷I改編)若復數(shù)z滿足(3—4i)z=|4+3i|,則z

的虛部為.

［解析］(1)由(z—3)(2—i)=5,得z=5］+3=(2莖，+3=

5(2+i),,-

-~~+3=5+i,z=5—i.

…I.14+3115(3+4i)34.

—

(2).(3—4i)z—|4+3i|,..z—3_g一~255-*"5^

、4

.*.z的虛部為亍

［答案］(l)5-i(2)1

考向3復數(shù)的幾何意義

【典例3］(1)(2014?重慶高考改編)復平面內表示復數(shù)i(l-2i)

的點位于第象限.

(2)(2014?課標全國卷II改編)設復數(shù)zi，Z2在復平面內的對應點關

于虛軸對稱，zi=2+i,則z1Z2=.

［解析］(l)i(l-2i)=2+i,在復平面內對應點的坐標為(2,1),位

于第一象限.

(2)：zi=2+i在復平面內的對應點的坐標為(2,1),又Z］與Z2在復

平面內的對應點關于虛軸對稱，則Z2的對應點的坐標為(-2,1),即

Z2=-2+i,.?.Z］Z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-5.

［答案］⑴一(2)—5

【規(guī)律方法】

1.判斷復數(shù)在平面內的點的位置的方法

首先將復數(shù)化成h￡R)的形式，其次根據(jù)實部。和虛部

b的符號來確定點所在的象限.

—?

2.(1)復數(shù)z=a+bi(a,Z?￡R)與點Z(。，刀及向量0Z——對應，

相等向量表示同一復數(shù).

(2)復數(shù)加減法運算可借助向量的平行四邊形法則和三角形法則

進行.

【變式訓練3】(1)(2014通州期中考試)在復平面內，復數(shù)z=

J—+i2014表示的點所在的象限是________.

1—1

(2)(2013?湖北高考)i為虛數(shù)單位，設復數(shù)zi，Z2在復平面內對應

的點關于原點對稱，若zi=2—3i,則Z2=.

［解析］(1)根據(jù)題意得Z=J-+i2°l4=/%2+i4X503+2=

1—1(1—1)(1+1)

%2+i2=—?+*,對應點的坐標為(一方

,故在第二象限.

(2)(2,一3)關于原點的對稱點是(一2,3),

，Z2=-2+3i.

［答案］（1）第二象限（2）—2+3i

I名師微博I

明確1個分類對復數(shù)z=a+bi（a,Z?￡R）,當8=0時，z為實

數(shù)；當bWO時，z為虛數(shù)；當。=0,時，z為純虛數(shù).

熟用2個技巧（1）設2=。+歷（a,。金R）,利用復數(shù)相

等和相關性質將復數(shù)問題實數(shù)化是解決復數(shù)問題的常用方法.（2）

在復數(shù)代數(shù)形式的四則運算中，力口、減、乘運算按多項式運算法則進

行，除法則需分母實數(shù)化.

掌握3個結論（1）（1士i>=±2i；￡=i；M=一力（2）一。十0

=i（a+bi）；（3）i4"=l,i4z,+1=i,i4rt+2=-l,i4rt+3=-i,i4/I+i4w+1+i4n

+2+j4"+3=0,〃￡N*.

啟智慧?高考研析I探規(guī)往專項培優(yōu)

創(chuàng)新探究之6復數(shù)命題新動向

—例題（2013?江西高考改編）已知集合加={1,2,zi},i為虛數(shù)

單位，N={3,4},MCN={4},則復數(shù)z=.

（2）（2014?南京調研）已知復數(shù)（1—2i）i（其中i為虛數(shù)單位）在復平面

內對應的點M在直線丁=3+〃上，其中如2>0且加，/?eR,則'+

:的最小值為.

4

［解析］(1)由MGN={4}知4￡M,所以zi=4,于是z=;=-4i.

⑵由題意得M的坐標為(2,1),且(l-2i)i=2+i,：.2m+n=l,

—+-=f~+~y(2m+n)=3+~4--^3+2^/2,

mn\mn)y/mnv

當且僅當'=手，即〃=爽機時取等號.

［答案］(1)—4i(2)3+2近

【智慧心語】

創(chuàng)新點撥：本題不同于以往的復數(shù)高考題，不是單獨考查復數(shù)的

基本知識，而是與解析幾何、不等式、集合交匯出題，是高考題的一

個新動向.

應對措施：1.(1)弄清集合中的元素、結合交集定義，得zi=4,

再根據(jù)復數(shù)運算求z.

(2)把復數(shù)(l-2i)i對應點的坐標代入直線方程得關于m,n的方

程，依據(jù)基本不等式求最值.

2.解決此類問題的關鍵是把握復數(shù)的有關概念，根據(jù)復數(shù)的運

算法則準確進行化簡運算.

【類題通關】(1)設集合M={y|y=|cos2%—si/尤x￡R},N=

%一；＜色，i為虛數(shù)單位，入￡R■,則MGN=.

。I,

(2)(2014?蘇北四市調研)若i為虛數(shù)單位，已知a-\-b'\=~~^a,b

eR),則點3，。)與圓/+產=2的關系為點在圓________.

［解析］(1)對于集合M,函數(shù)y=|cos2x|,其值域為?？冢?/p>

M=［0,l］.根據(jù)復數(shù)模的計算方法得不等式產口＜也，即x2＜\,

所以N=(-l,l),則MGN=［O,1).

,2+i(2+i)(l+i)1,3―

(2)Va+Z>i=y~==]+/i(a,Z?eR),

?"=］1'f3，或fll+,舊f3Y=55>2,

點住,皆在圓好+9二？夕卜.

［答案］(1)［0,1)(2)

外課后限時自測

［/級基礎達標練］

一'填空題

1.(2014?南通期末測試)復數(shù)z=±(其中i是虛數(shù)單位)的虛部

為?

［解析］由題意可得z=^==^^=~4+|

2—1(2—"i)米X(2］+i)333

.、?

i,故虛部為亍

2

［答案］5

2.(2014?蘇、錫'常'鎮(zhèn)四市調研)若復數(shù)2=罟％為虛數(shù)單

位)，則|z|=.

.,,l+3i-2+4i

［解析］法一：因為丁r=-5—=-l+2i,所以團=書r.

11乙

法二：利用復數(shù)模的性質求解，即團=%粵=噌=3.

［答案］于

z?z

3.已知復數(shù)z=-l+i(i為虛數(shù)單位)，則一==.

Z-Z

z?z

［解析］由Z=-1+i,得Z=-1—i,所以----=

Z-Z

(-l+i)?(—l-i)1+1

(―1+i)—(―1—i)2iL

［答案］-i

4.(2014?南京'鹽城模擬)若復數(shù)z=(l+i)(3—ai)(i為虛數(shù)單位)

為純虛數(shù)，則實數(shù).

［解析］先由復數(shù)乘法化為(3+。)+(3—a)i,再由純虛數(shù)的概念

得3+Q=0,3—aWO,即a=-3.

［答案］一3

3

_(2-1)-2—yi

5.(2014?江蘇高三數(shù)學大聯(lián)考)已知z=——上不—一貝1JI#

—i1卜制3立.3

|2-i|221

［解析］|z|=|z|=

|4-3i|5?

4—3i

［答案當

6.(2014?蘇北四市高三第一次質量檢測)設復數(shù)zi=2—i,Z2=m

+i(zn￡R,i為虛數(shù)單位)，若z/Z2為實數(shù)，則根的值為.

=

［解析］ZI-Z2(2—i)(m+i)=(2/n+1)+(2—m)i,因為z「Z2是實

數(shù)，所以"2=2.

［答案］2

7.(2014?揚州中學檢測)設％是純虛數(shù)，y是實數(shù)，且2%—1+i

=y-(3—y)i,則x+y等于.

［解析］因為％為純虛數(shù)，因此我們設％=疝(〃?￡R),

則等式2x~1+i=j—(3—y)i化為2mi—1+i=y—(3—y)i,

即一l+(2m+l)i=y—(3—y)i,

—i=y,

因此,',

2m+1=-3+y,

p=T，

解得15

\m=~T

從而x+y=_/i-l.

［答案］一1一|i

8.(2013?四川高考改編)如圖4-5-2,在復平面內，點A表示復數(shù)

z,則圖中表示z的共甄復數(shù)的點是.

y

??_____?。

B*o*cx

圖4-5-2

［解析］設z=a+bi(a,Z?eR),且。<0,。>0,貝"z的共軌復數(shù)為

a-bi,其中Q<0,—b<0,故應為B點.

［答案B

二'解答題

租2—租—6

9.當實數(shù)機為何值時，z=―加+3—+(m2+5m+6)i,(1)為實

數(shù)；(2)為虛數(shù)；(3)為純虛數(shù)；(4)復數(shù)z對應的點在復平面內的第二

象限.

m24_5m4_6=0,

［解］⑴若z為實數(shù)，則解得根=-2.

yn十3r(),

，"+5m+6W0,

(2)若z為虛數(shù)，則

［m+37^0,

解得mW—2且/篦W—3.

卜/+5m+6:#:0,

(3)若z為純虛數(shù)，則(—m—6_解得m=3.

［m+3°’

稗一加一6

m+3'

｛m2+5m+6>0,

mV—3或-2<機<3,.

即J.*.77/<—3或一2Vm<3.

-2,

10.已知Z是復數(shù)，z+2i,資均為實數(shù)(i為虛數(shù)單位)，且復數(shù)

(z+〃i)2在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)。的取值范圍.

［解］設z=%+yi(%,y￡R),則z+2i=x+(y+2)i,

由題意得y=-2.

zx—2i1

=rmr=+—2i)(2+i)

=|(2A：+2)+1(X—4)i,

由題意得％=4,.,.z=4—2i

*/(z+ai)2=(12+4a—Q2)+8(Q—2)i,

12+4。一42>0,

根據(jù)條件，可知，

8(a-2)>0,

解得2VQV6.，實數(shù)a的取值范圍是(2,6).

［8級能力提升練］

一、填空題

—?

1.(2014?鹽城調研)設z=x+yi(x,y￡R),點尸在|z|=1上,OQ=

->

3+4i,則儼。|的最大值為.

［解析］點尸的軌跡方程為￡+產=1,其表示圓心為原點，半徑

—?—?

為1的圓.|。。|=5,|PQ|max=5+l=6.

［答案］6

2.復數(shù)Zi=l+2i,Z2=-2+i,Z3=-l—2i,它們在復平面上

的對應點是一個正方形的三個頂點，則這個正方形的第四個頂點對應

的復數(shù)為.

［解析］如圖，Z1、Z2、Z3分別對應點A、B、C.

：.AB=OB-OA,

.?.A3所對應的復數(shù)為z2-zi=(-2+i)-(l+2i)=-3-i,

—>—?

在正方形ABCD中，DC=AB,

.?.oc所對應的復數(shù)為一3一i,

義DC=OC-OD,

.?.OZ)=OC-DC所對應的復數(shù)為z3-(-3-i)=2-i,

第四個頂點對應的復數(shù)為2—i.

［答案］2-i

二'解答題

3.如圖4-5-3所示，平行四邊形0ABC,頂點O,A,C分別表

示0,3+2i,—2+4i,試求：

圖4-5-3

(l)AO所表示的復數(shù)，3c所表示的復數(shù)；

(2)對角線C4所表示的復數(shù)；

(3)求8點對應的復數(shù).

—?-?—>

［解］(1)AO=-OA,，AO所表示的復數(shù)為一3一21

-A-?-A

\'BC=AO,...Be所表示的復數(shù)為一3一2i.

(2)C4=O4—OC,「.CA所表示的復數(shù)為(3+2i)—(-2+句=5—

2i.

(3)O8=OA+AB=OA+OC,

二.OB所表示的復數(shù)為(3+2i)+(—2+4i)=l+6i,

即B點對應的復數(shù)為l+6i.

專題突破二高考三角函數(shù)與平面向量問題的求解策略

類型1三角變換與三角函數(shù)的圖象性質

三角函數(shù)的圖象與性質是高考的熱點，求解這類問題不僅要熟練

掌握正弦（余弦）函數(shù)的性質與圖象，而且要靈活利用兩角和（差）公式、

倍角公式以及同角關系進行恒等變換，這是進一步研究函數(shù)性質、三

角函數(shù)式化簡求值的基礎.

【典例1】（2014?南通調研）已知函數(shù)段）=2cos2①x—1+2"V5COS

TT

cousinct>A：（0<ft）<l）,直線是凡x）圖象的一條對稱軸.

（1）試求CD的值；

（2）已知函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=?r）圖象上各點的橫坐標伸長

到原來的2倍，然后再向左平移空個單位長度得到的，若g（2a+W）=

a￡（0,舒，求sina的值.

［思路點撥］（1）先將/U）的解析式化為?x）=4sin（口x+夕）的形式

再根據(jù)對稱軸求①.

(2)根據(jù)圖象變換求g(%),再由g(2a+§=,,求cos(a+5)與

sinja+1，最后由兩角差的正弦公式得sina=sin|ja+1一季.

［規(guī)范解答］j(x)=2cos2cox—1+2-\/3coscousincox

=cos20尤+小sin2cox

=2sin(2a)jc+^l.

⑴由于直線是函數(shù)段）=25山（25+/圖象的一條對稱軸,

（2兀.兀）

sin|w<w十「=±1.

2n,n,,Ti,3,.1,

..可切+[=%加+2（%￡Z）,①=/+]（%￡Z）.

又0V①VI,A

從而k=U,.,.①=；.

(2)由(1)知?x)=2sin(%+看|,

由題意可得g(%)=2sinf^+y^|+1,

即g(x)=2cos鼻,

得cosa+z

又a￡

.兀,7T2加

??廣。+廣了，

4

?\sin予

Asina=sin

=siT+6)cosf-cosl.兀

=4x^j_31

-5X25X2

4^3~3

=10,

【反思啟迪】1.解答本題時，利用三角恒等變換得到加)=

2sin(2s+W是解題的關鍵所在，應確保化簡的準確性.

2.函數(shù)圖象的對稱軸過圖象的最高點或最低點，如本例中，由

%=亨是加)的一條對稱軸知是最值.

3.三角函數(shù)圖象平移是對"%”而言，sin①x向左平移a個單位得

到sin①(x+e),當①#1時一定要化工的系數(shù)為1.

4.給值求值時，一定要注意角的變換技巧，如本例中，a=(a+,

一j

【變式訓練1］(2014.連云港調研)設函數(shù)段)=6(：052%—2小5也

%COSX.

(1)求八r)的最小正周期和值域；

(2)在銳角△ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若夫8)

4

=0且。=2,cosA=g,求Q和sinC.

［解］(1-%)=6X?2X—Ssin2r=3cos2%—小sin2%+3

=2小cos(2x+5+3,

27r

所以兀設)的最小正周期為T=~^=ll,

值域為［3—25，3+2?。?

(2)由犬3)=0,得cos(23+1］=一坐.

?Z為銳角,.4V2B+太普，??.25+尹金???3節(jié)

43

VcosA￡(0,it),sinA=

5-

9y3

_Z?sinA____5_4\/3

在△ABC中，由正弦定理得

~sinB~^/3~5,

2

(2n1裊sA+品

sinC=sin(7r—A—jB)=sinl^-A1=

類型2三角形中的三角變換

【典例2】(2014?天津曷考)在△ABC中，內角A,B,。所對

的邊分別為a,b,c,已知Q—c=乎。，sinB=A/6sinC.

(1)求cosA的值；

(2)求cos(2A一看)的值.

［思路點撥］(1)由正弦定理將Q—c=*。轉化成角的關系，聯(lián)立

sinB=4sinC,再轉化為邊的關系，用余弦定理求cosA；(2)由(1)

知cosA的值，求出sinA,進而求出cos2A,sin2A,用兩角差的余

弦公式表示.

bc

［規(guī)范解答］(1)在△ABC中，由不大=/彳及sin8=#sinC,

ol11LJOJillv.?

可得b=?c,又由a—c=*。，有Q=2C,

〃+/一/6C24-C2—4C2Jg

所以cosA=-痂一=一2濠一=4-

(2)在△A8C中，由cosA=乎，可得sinA

1

-

于是cos2A=2cos-A—1=4

J15

sin2A=2sinA-cosA=~^~.

所以cos(2A—聿兀-n-\/15—^3

=cos2A-cos7+sin2A-sin=

668

【反思啟迪】本題考查正、余弦定理的應用，倍角公式、兩角

差的余弦公式、平方和公式等三角恒等變換，關鍵要提高運算能力，

熟練應用公式.

【變式訓練2】(2014?山東高考)△ABC中，角A,B,C所對

的邊分別為a,b,c.已知。=3,cosA=q-,6=A+/.

⑴求。的值；

(2)求△ABC的面積.

._______

[解](1)在△ABC中，由題意知，sinA=yj1—cos2A=3，

TV

又因為B=A+g,

所以sinB=sin^A+^j=cos4=乎.

3X小

由正弦定理，得”=詈普=言~=341

3

TT

(2)由B=A+1,得

cosB=cosG+條-si”一坐

由A+8+C=7T,得C=TT-(A+3).

所以sinC=sin[n-(/+6]=sin(A+8)=sinAcos8+cosAsinB

=%(-陰+乎X乎+

因此△ABC的面積

S=^absinC=^X3X3A/2X1=^^.

類型3平面向量與三角函數(shù)的綜合

【典例3】（2014?遼寧高考）在△ABC中，內角A,B,。的對

邊分別為a，b,c,且a>c,已知5A-3C=2,cosB=^,。=3.求:

(l)a和c的值；

(2)cos(8—C)的值.

［思路點撥］(1)結合條件34BC=2,。=3和余弦定理可求；

(2)先由基本關系式求出sin8,再由正弦定理求出sinC,進而根

據(jù)條件求出cosC,即可求得cos(3-C).

[規(guī)范解答](1)由848C=2得cacos8=2.

又cos8=：,所以ac=6.

由余弦定理，得。2+/=。2+2。比053.

又力=3,所以。2+/=9+2><6><g=:13.

ac=6,a=2,a=3,

解得或，

a2+c2=13,c=3c=2.

因為a>c,所以Q=3,C=2.

(2)在△A3c中，

sinB=A/1—cos2B=1-[I]2=^3^?

由正弦定理，得sinC=jin8='x2^="今

因為a=b>c,所以。為銳角，

因此cosC=yJ1—sin21-邛^2=^.

于是COS(JB—Q=cosBcosC+sinBsinC

=172^24^2=23

-3939-27-

【反思啟迪】本題主要考查了向量的數(shù)量積、正余弦定理、基

本關系式、和角公式等知識點.在第(2)問中，正確求出cosC是解決

本問的關鍵.

【變式訓練3】(2014彳余州調研)已知向量/n=(sin%,-1),n

=(、/5cos%,一；］，函數(shù)八%)=，/+機2.

(1)求?x)的最大值，并求取最大值時％的取值集合；

(2)已知a,b,c分別為△ABC內角A,B,。的對邊，且a,h,

c成等比數(shù)列，角B為銳角，且式3)=1,求人+高的值.

Ldll/iLdll

［解］

=sin2A：+1+Ssin%cosx+；-2

1—cos2x,51

---2---+2s^n2%一/

^sin2.-|cos2x

=sinl2A—^1.

兀兀

故4%)max=l,此時2%—4=2E+］,kGZ,

兀

得％=br+§,kGZ,

.；/(%)取最大值時工的取值集合為

kez>.

(2MB)=sid2B-^=l,V0<B<^,

.兀，一c兀，5兀

**——6RR——6V—6,

Ttn7T

2B~6=rB=g

*22:

由h=ac及正弦定理得sinJB=sinAsinC,于是

11cosA,cosC

tanAtanCsinAsinC

sinCeos4+cosCsinA

sinAsinC

sin(A+C)12小

sin2B_sinB-3,

專題突破練（二）

［/級基礎達標練］

一、填空題

1.（2014.蘇州市調研）已知sin卜+：）=,

則tanx

.3..f?3.｛啕4p.,3也.

［用牛析］由51111%十41=5，sinlA：-1=sin-x+cosx=~5,‘in%

4^2丁.7^2y/2sin%

—cosx=,從而sin%=,cosx=—圻以tan%==—

5c'10'in10''cosx

7.

［答案］一7

2.（2014.鹽城模擬）設0VcoV4,函數(shù)?x）=sin（Gx+9）的圖象若

向右平移專個單位長度所得到的圖象與原圖象重合，若向左平移居個

JJL4

單位長度所得到的圖象關于y軸對稱，貝han（①°）的值為.

［解析］???/(%)的圖象向右平移至個單位長度所得到的圖象與原

2Ji27r2it

圖象重合，所以〃T=丁，即〃?］=與■，???①=3〃(〃￡Z),V0<w<4,

TT

co=3,f(x)=sin(3x+9)向左平移直個單位長度得y=

，兀、7171

sin［3x+a+q|,它的圖象關于y軸對稱，.?.4+9=?+/,：.(p=kit+

71

4(Z￡Z).

.\tan(①°)=tan(3E+引=-1.

［答案］一1

7?

3.(2014.南通'揚州'泰州'宿遷四市調研)設不是函數(shù)八%)=sin(2x

+9)的一個零點，則函數(shù)/U)在區(qū)間(0,2九)上所有極值點之和為

［解析］函數(shù)的周期為兀，極值點為函數(shù)的最高及最低點，結合

函數(shù)的圖象，所有極值點之和為［d+j+匕+力+匕+力+匕+力

14K

=于

［答案］中

4.(2014?鹽城模擬)若a￡(0,.cos住—a)=2啦cos2a,則sin2a

［解析］由cos仔-a［=2mcos2a得乎(cosa+sina)=2媳(cos2a

—sin2a),*/aG［0,

，sina+cosa#0,/.cos?—sin?=4,兩邊平方得1—sin2a=

1.?一15

而..sin2?—

［答案］.

5.(2013?江西高考)設於)=，5sin3x+cos3%,若對任意實數(shù)工

都有l(wèi)/U)|Wa,則實數(shù)。的取值范圍是.

［解析］由于/(%)=d§sin3JC+COS3X=

繳)13%+,,則氏%)|=2sin13%+磯W2,要使恒成立，

貝”心2.

［答案］［2,+°°)

6.(2014.鎮(zhèn)江調研)若入￡(0,皆,且sin2%=；,則於)=恒&—1

的值為.

［解析］_/(%)=&sinb—T=sin%—cos%,

3

f(x)=1—2sinxcosx=1—sin2x=^,

又％￡(0,AsinJC—cos^<0,

［答案］一半

7.(2014?無錫市檢測)已知a=(cosa,sina),ft=(cos/?,sinp),

47r

若。山=5，a=g，則tan(a+￡)的值為.

44

［解析］\'ab=-^,.\cos(?—/?)=-,

33

.?.sin(a一夕)=±予tan(?—^)=±4，

71

■:a~\~B=2a~~(a~8)=3—(a~~馀,

「兀11-tan(?-/?)

...tan(a+￡)=tan［］(a-為『j：不記為

31.

Vtan(a—y9)=±4，???tan(a+￡)=］或7.

［答案］；或7

8.(2014.徐州期中檢測)已知△ABC中，a,b,c分別是角A,B,

C的對邊，a=p,A=45。，8=60。，那么△ABC的面積S&ABC=

［解析］由正弦定理得，8=黑y=仍.

Sill/I

而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=4,

.".S^ABc=^absinC=g義小義小x。；"=小

^.小+3

［r答Zr案=±=1］七一

二'解答題

9.(2014?常州調研)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為m

b,c.設向量zn=(a,c),7z=(cosC,cosA).

(1)若，〃〃小c=-\［3a,求角A；

4

(2)若wr〃=3bsin3,cosA=5,求cosC的值.

［解］(1)V/M//H,/.tzcosA=ccosC.由正弦定理,

得sinAcosA=sinCeosC.

化簡,得sin2A=sin2c.

VA,Ce(0,Jr),...2A=2C或2A+2c=九，

,:c=/a,.,.A=C(舍)或A+C=5,

a、37i

在RtZ\ABC中，tanA=~=,A=^.

(2)m-n=3bsinB,acos,C+ccosA=3/?sinB.

由正弦定理，得sinAcosC+sinCeosA=3sin2B,

從而sin(A+C)=3sin2R

,.?A+8+C=7r,.*.sin(A+C)=sinB.

從而sinB=g.

4公兀13

VcosA=^>0,AG(0,7i),/.AS10,2LsinA=y

?「sinA>sinB,

2、傷

.'.a>h,從而A>3,3為銳角，cosB=3.

/.cosC=—cos(A+B)=—COSACOSB+sinAsinB

=_4X2^23I=3-8V2

10.(2014?蘇州調研)已知向量機=(cosA,—sinA),n=(cosB,

sinB),m-/z=cos2C,其中A,B,C為△ABC的內角.

(1)求角C的大?。?/p>

―?-?

(2)若A3=6,且CAC3=18,求AC,3c的長.

［解］(1)/??〃=cosAcosB—sinAsinB=cos(A+B)=—cosC,

—cosC=cos2C,即2cos2C+cosC~1=0,

故cosC=g或