大學(xué)物理第9章靜電場(chǎng)習(xí)題參考答案

第9章靜電場(chǎng)

9-1兩小球處于如題9-1圖所示的平衡位置時(shí)，每小球受到張力T,重力mg以及庫(kù)侖力F

的作用，則有7cose=和Tsineu77,，尸=根8吆。，由于夕很小，故

mgtg?xmgsin。=mg一

4%x

習(xí)題9-1圖

9-2設(shè)夕在。點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)分別為E和后2,則有

14

4您°喧

=1.8xlO4Vm-'

方向沿AC方向

習(xí)題9-2圖

=9x個(gè)x=2.7X1。4V.m-i

O.(M2

方向沿CB方向

二C點(diǎn)的合場(chǎng)強(qiáng)E的大小為:

E=《E：+E；=7(1.8X104)2+(2.7X104)2=3.24xlO4V-m-,

設(shè)E的方向與CB的夾角為a,則有

9-3坐標(biāo)如題9-3圖所示，帶電圓弧上取一電荷元dq=；ld/,它在圓心0處的場(chǎng)強(qiáng)為

d耳=一'—"，方向如題9-3圖所示，由于對(duì)稱性，上、下兩+

R2+

帶電圓弧中對(duì)應(yīng)電荷元在圓心0處產(chǎn)生的d￡,和d&在X方向分量相

互抵消。習(xí)題9-3圖

E\=0,圓心O處場(chǎng)強(qiáng)E的y分量為

r,V3、

L1加.ccd61ARd0sin"上一

Ev=2卜--------sin6>=21----

'J。4GR2J。4宓■(；R~2/()R2

7

方向沿y軸正向。

9-4(1)如題9-4圖(a),取與棒端相距小的P點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),x軸向右為正。設(shè)帶電細(xì)棒

電荷元dq=aix至P點(diǎn)的距離x,它在P點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小為

1/IcU

dEp方向沿x軸正向

4%x2

各電荷元在P點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)方向相同，于是

1「4dr

4您oJ-(4+L)A：2

=jL__Q

4-(44+“

8

=9X1()9X3X10-f―-----5~7

(8x10-228x10-2)

=2.41xlO3V-m-1

方向沿X軸方向。

(2)坐標(biāo)如題9-4圖(b)所示，在帶電細(xì)棒上取電荷元dq=/ldx與Q點(diǎn)距離為r,電荷

1jJ

元在Q點(diǎn)所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)dE=-----丁，由于對(duì)稱性，場(chǎng)dE的x方向分量相互抵消，所

4您0r

以￡=0,場(chǎng)強(qiáng)dE的y分量為

dE=dEsin。=---

4您°廣

因r=(12cscax=d2/g(6-]2

=-d2ctg0,dx=d2esc0(\0

dE=---^^sin8=——-——sin閔8習(xí)題9-4圖(b)

4宓0廠4^5,od2

Ev=fd￡v=[--------sin^6=-------(cos仇-cosa)

>J)也4在oL4^od2'

L/2L/2

其中cosgCOS%

Jd；+(L/2)2Jd；+(1/2)2

代入上式得

「義L

Ex—■/=

4/0&Jd；+（L/2）2

=9'必3'10.0.2?=5.27x10V/

8x10-2[（8x10-2）2+（02/2求

方向沿y軸正向。

9-5帶電圓弧長(zhǎng)/=2欣—2=2x3.4x0.50—0.02=3.12m，電荷線密度

2=g=**二=i.（）xlO-9c.mT。帶電圓弧在圓心。處的場(chǎng)強(qiáng)等價(jià)于一個(gè)閉合帶電

I3.12

圓環(huán)（線密度為4）和一長(zhǎng)為d、電荷線密度為-4的小段圓弧在O處場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。帶電

閉合圓環(huán)在圓心處的場(chǎng)強(qiáng)為零，而d?R,...小段帶電圓弧可視為點(diǎn)電荷，所帶電量

，9

<7=/W=1.0X10-0.02=2X10-"C,故圓心處的場(chǎng)強(qiáng)，

1d2x1011

E=—4=9xI（）9x———=0.72V?mt,方向由圓心指向空隙中心。

4%R20.52

9-6（1）點(diǎn)電荷q位于一立方體中心，則通過(guò)立方體每一面的電通量相等，???通過(guò)每一

面的電通量①?為總通量中的,,即

6

①]=[EdS=-fEdS=--^-=-^-

M6J646%

（2）如果這點(diǎn)電荷移到立方體的一個(gè)角上，則電荷q所在頂角的三個(gè)面上，因?yàn)楦鼽c(diǎn)應(yīng)平

行于該面，所以這三個(gè)面的電通量均為零，另三個(gè)面的電通量相等。如果要把q全部包圍需

要有8個(gè)立方體，相當(dāng)于有24個(gè)面，每一面上通過(guò)的電通量為總通量的,即

24

①i=fE-dS=—<f^-dS=--^-=—

J

氐2424￡024?

9-7解法（一）通過(guò)圓形平面的電通量與通過(guò)以A為球心，AB=&+R2=「為半徑,

以圓平面的周界為周界的球冠面的電通量相等，該球冠面的面積S=2玄H,通過(guò)整個(gè)球面

50=4萬(wàn)2的電通量中0=2，所以通過(guò)該球冠面的電通量為

￡。

...SqZTTTHqH

①=①?！?=———

So4"-2%r

習(xí)題9-7圖（a）

qr—rcosa

24

解法（二）在圖形平面上取一同心面元環(huán)，設(shè)其中半徑為r,寬為dr,此面元的面積

由=2勿4八設(shè)此面元對(duì)A點(diǎn)的半張角為6,見(jiàn)圖所示，

cos^27rrdr

9-8通過(guò)此半球面的電通量與通過(guò)以0為圓心的圓平面電通量相等，無(wú)限大平面外任一點(diǎn)

的場(chǎng)強(qiáng)為上二，通過(guò)該球面的電通量為

2號(hào)

不廣。a(77iR-

①=E-5=--TTR-=---------

242%

9-9設(shè)想地球表面為一均勻帶電球面，則它所帶總電量為

2

q=4..曲=-￡0ES=-￡04-7rRE

=-8.85xlO-12x4乃x(6.4xlO6)2xl30

=-5.92x105c

9-10設(shè)均勻帶電球殼內(nèi)、外半徑分別為4和R2,它所產(chǎn)生的電場(chǎng)具有球?qū)ΨQ性，以任意

半徑r作一與均勻帶電球殼同心的高斯球面S,由高斯定理可得

4

%

E=

4笳（/

當(dāng)r=5cmvR]時(shí)，=0,E、-0

R]<r=Scm<R2

Mi=J：pdV=J：/4/dr=g?(r3-R；)

4您°廠34I

2x10-8x10-2.(6x10-2)3

3x8.85x1()72(8x10-2)2

=3.48xl()4v-mT

r=12cm>R2以=g卯(用-M)

.吊)。(*用)

4在o，34r2

2X10-5(0.13-0.063)…T

=--------——r：-----V=4.1x1I0N4VW-m

3x8.85X10-12X0.122

9-11無(wú)限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面產(chǎn)生的電場(chǎng)具有軸對(duì)稱性，方向垂直柱面，以斜半徑r作一與

兩無(wú)限長(zhǎng)圓柱面的同車圓柱面以及兩個(gè)垂直軸線的平面所形成的閉合面為高斯面，由高斯定

理可得

{EdS=27trlE=

Js￡0

2%rl

(1)當(dāng)KRI,Zq[=0,E[-0;

(2)當(dāng)K(r<R?時(shí)Z%=刀

.L1M2

?.%=-------=------；

2%rl2您()r

(3)當(dāng)尸>&時(shí)，=0,E3=0

9-12見(jiàn)題9-12圖所示，由于平面無(wú)限大，電荷分布均勻，且對(duì)中心面So(圖中虛線)對(duì)

稱，電場(chǎng)分布也應(yīng)具有均勻性和對(duì)稱性，即在與帶電板平行且位于中心面So兩側(cè)距離相等

的平面上場(chǎng)強(qiáng)大小應(yīng)處處相等，且方向垂直該平面。過(guò)板內(nèi)P點(diǎn)或板外Q點(diǎn)作軸線與x軸

平行，兩底面積為S且相對(duì)中心面So對(duì)稱的閉合正圓柱面為高斯面，由高斯定理可得：

(1)平板內(nèi)

，后?dS=2E內(nèi)S=-Mi_2xSpI_

%-LixU

*'?E內(nèi)=—x

方向垂直板面向外H—d—H

習(xí)題9T2圖

(2)平板外

，后.瓶=2E外S=05&

￡。

方向垂直板面向外。

9-13由于電荷分布具有軸對(duì)稱性，故其場(chǎng)強(qiáng)必沿柱體的徑向，其大小也具有軸對(duì)稱性，

故在圓柱體內(nèi)取下同心薄圓筒，其半徑為心厚度“，長(zhǎng)/,見(jiàn)右圖示，根據(jù)高斯定理可得

=1[Q。

2E7rrl2勿“心

2^0Jo(l+(r/a)2)2

2

.后_a"Po「rdr_tzpor習(xí)題9-13圖

22222

￡orJ°(a+r)2c0(a+r)

9-14設(shè)想原來(lái)不帶電的小空腔內(nèi)同時(shí)存在電荷體密度為±0的兩種電荷，則原帶電荷等價(jià)

于一個(gè)半徑為R,電荷體密度為+0的均勻帶電球體和一個(gè)半徑為r,電荷體密度為-Q的

均勻帶電球體的組合，空間各處的場(chǎng)強(qiáng)等于這兩個(gè)均勻帶電球體產(chǎn)生場(chǎng)強(qiáng)的矢量和。對(duì)于球

心O處，及=耳+艮，由于均勻帶電球體球心處的場(chǎng)強(qiáng)為零，所以

方向由O指向O'。

習(xí)題9-14圖

對(duì)于球心0'處，Eo.=Ei+E2=Ei

,d—4jrR3aP

E_七_(dá)cZ_3____dp

一j-/n3一/n3一與

4吟R4您°R3%

方向由。指向。'。

對(duì)于空腔內(nèi)的任一點(diǎn)P，位置如圖所示。

:欣3盧:加3〃

qaqb

E=Ej+E2

4宏4至4您()R34宓O/

3々3々343%

以上計(jì)算表明空腔任意點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小均為包且方向均由0指向。'，所以，空腔內(nèi)

3%

為勻強(qiáng)電場(chǎng)。

9-15電偶極子在均勻電場(chǎng)中所受的力矩為g乃地

_____g/e?廠

M=PEsin0。為電矩RF/?

一qg

-7T

與E兩方向間的夾角，當(dāng)。=5時(shí)，外電場(chǎng)作用于電偶極子上習(xí)題9-15圖

的力矩最大

5-3

Mmax=^EJ=1.0xl0^xl.0xl0x2xl0

=2.0xl0-4N-m

9-16外力所作的功為

1^21<41

A=W2—W]=0（如一%）=%

（4在0r24至0八

一%%11

4%I〃rl?

=1.5xl0-8x3.0xl0-8x9xl09|—1-

<0.250.42；

=6.56x10-6j

9-17（1）氫原子內(nèi)負(fù)電荷的總電量為

q-qe+\pir^Ttr'Ar=qe-\4a?dr

兀a3

『叱

I",2"=52=0.67/

(2)由于負(fù)電荷呈球狀對(duì)稱分布，故可采用高斯定理計(jì)算負(fù)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度E

的大小為

g4+=_L14「/。。4仃2”

%"加。

E\=q?2J

您0廠。0

_隨（2r22r1々“他心

---------------7―z-H-------r1eH-------------

4宓。廠（&aaJ4在r

正電荷+成在球心，其產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度瓦的大小為

q?

E-

24處o,

則在距球心r處的總電場(chǎng)強(qiáng)度為E=Et+E2,其大小為

E—E2—E]—

4宓0廠Ia-aQJ

后的方向沿徑向向外。

9-18電場(chǎng)力的功

■/IIc\

A）C=%（〃0-%）=%。----------------

（47%37?4/°RJ

q°q

6廟0R

9-19由高斯定理可求得是空間場(chǎng)強(qiáng)分布（略）

1rQ

r<R

4在0R3

E=v

1Q

r>R

4Gr~

離球心為?—</?）處的電勢(shì)

1rQ.1Q

u=------------dr+2dr

Jr4在（）R"「與加。r

=W，（R2-2）+q

4您（）R'24在（）R

二C（37?2-2）

8宏（）/?3

9-20（1）電荷線密度;l=",坐標(biāo)如題9-20圖（a）所示，距原點(diǎn)O為x處取電荷元

dq^Mx,它在P點(diǎn)的電勢(shì)d〃=—!---獨(dú)一

4您,0（r-x）

/?P點(diǎn)的總電勢(shì)習(xí)題9-20圖（a）

1

u=^du=Adx

一，4宓0r-x

4您（）r-l

q]r+/

---In----

8%/r-l

（2）坐標(biāo)如題9-20圖（b）所示,電荷元dq=Adx在Q點(diǎn)的

....1Adx

電勢(shì)=------/

4您o\r2+x2

習(xí)題9-20圖（b）

Q點(diǎn)的總電勢(shì)

1Adx2

-In1+7FT7

1。4叫Jr2+x22宓o

"-In/+J/+/

4-

9-21半圓環(huán)中心O的場(chǎng)強(qiáng)（或電勢(shì)）是兩段帶電直線和帶電半圓環(huán)在該處場(chǎng)強(qiáng)（或電勢(shì)）

的迭加，由于兩直線對(duì)O對(duì)稱，所以兩帶電直線在O處的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反，相互

抵消，因而O處的場(chǎng)強(qiáng)就是帶電半圓環(huán)在O處的場(chǎng)強(qiáng)，取電荷元d4=/ld/,它在O處場(chǎng)強(qiáng)

1；（］/--

d￡=-------9，由于對(duì)稱性，各盤的x分量相互抵消?！?0,西的丫分量為

4%R2

d￡,=dEsin。

-J竭=J全,sin"/「sin田。

Z

2加qR

O處的電勢(shì)

邛14dx1Ad/21c4r*

U—W1++〃3=2-------—In2+-----兀R

R您您理

40x'°4oR204煙o(wú)R

41c%

—ln2+——

2宓044

2

9-22由高斯定理可求得兩無(wú)限長(zhǎng)同軸圓柱面間的場(chǎng)強(qiáng)為-----，所以兩圓柱面間的電勢(shì)

2偵”

辛人九八2凡

差=------dr=-----In—

丸2宓（/2在（）&

9-23靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體球殼內(nèi)、外表面均有感應(yīng)電荷，由于帶電系統(tǒng)具有球?qū)ΨQ性，所以

內(nèi)表面均勻分布有-q電荷，外表面均勻分布+q電荷，可判斷電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ性，以任

意半徑r作一與球殼同心的高斯球面S,由高斯定理可得

（EdS=4m2E=

J4

4%/

當(dāng)〃<a=q?-Ei=-~~-~~-

4宓

R]<r<R2Mj=+9一q=0E2=0

r>R2%=q

24在。廠

由電勢(shì)定義式可求得電勢(shì)分布

r</?!

Jjdr+JfCOU”

ux=Ejdrd-

R]<r<R2

“2=J￡2"+'即廣

4宓0-4加0R2

r>R2

11

=E,dr=--------dr

〃3JrJr4您0廠

二iq

4您0r

9-24(1)內(nèi)球電荷q均勻分布在外表面，外球內(nèi)表面均勻感應(yīng)電荷-q,外表面均勻分布

電荷q+Q,由高斯定理可求得電場(chǎng)分布(略)

r<Ryg=0

R]<r<R2E2=—^-4

,224%r2

R2<r<R3E3=0

1q+Q

r>R}

47K"or~

由電勢(shì)定義可求得內(nèi)球電勢(shì)

4宓°r

4(111Iq+Q

4次°〔尺^(guò)2)4煙。&

=9xl09xl.0xl0-1°(—------—|+9xlO912xlQ-10

(0.010.03J0.04

=3.30X102V

q+Q=9x]()912xlQ-'°

dr=1q+Q

r24%&0.04

=2.70xIO?v

(2)用導(dǎo)線把兩球連接起來(lái)時(shí)，內(nèi)球和外球內(nèi)表面電荷中和，這時(shí)只有外球的外表面

帶有q+Q電荷，外球殼外場(chǎng)強(qiáng)不變，外球電勢(shì)不變，這時(shí)兩球是等勢(shì)體，其電勢(shì)均為原外

球殼電勢(shì)270V。

(3)若外球殼接地，外球電勢(shì)為零，外球外表面電荷為零，內(nèi)球的電荷以及外球內(nèi)表

面電荷分布不變，所以內(nèi)球的電勢(shì)

r?21q,q(11

=------^dr=------------

J%4在°r'4宓R2

=9X109X1.0X10-,OX(—------—|=60V

<0.010.03J

9-25由于帶電系統(tǒng)具有軸對(duì)稱性，所以電荷分布和電場(chǎng)分布也應(yīng)具有軸對(duì)稱，靜電平衡時(shí),

圓柱形導(dǎo)體電荷均勻分布在其外表面，單位長(zhǎng)度電量為4,導(dǎo)體圓筒內(nèi)表面均勻分布有感

應(yīng)電荷，其單位長(zhǎng)度的電量為-4,外表面電荷均勻分布，單位長(zhǎng)度的電量為4+丸2。以

任意半徑一作同軸封閉圓柱面為高斯面，則由高斯定理得：

^E-dS-=ITTTIE=E=

%2您()〃

當(dāng)"Cl必=0E[==0

_4

a<r<b2%=Z2jE2-

2宓orl2^or

b<r<c必,=0E3=0

r>cE/=/(4+丸2)

.E—44+4)_4+幾2

2腐2欣。丫

9-26(1)A板帶正電荷q分布在左右兩表面上，設(shè)B板感應(yīng)電荷為?qi，C板感應(yīng)電荷為

-q2，則

q、+%=q

AB、AC間均可視為勻強(qiáng)電場(chǎng)

q

E^B

%S

q、_EAB

%EAC

依題意UA—UB=—〃C

ABAB=ACAC

Fd1

可得

^EAC~d-2乙

-77

qx=1.0xl0Cq2=2.0X10-C

即B板上感應(yīng)電荷為—q=—1.0x10-7(2,C板上感應(yīng)電荷為一生=-2.0xl0-7C

A板的電勢(shì)

=^d

“AEdc/AioB

￡°S

1.0X10-7X4.0X10-3

=2.3X103V

-8.85x10-12x200xlO-4

（2）當(dāng)AB間充以電介質(zhì)時(shí)，則有下列關(guān)系

%+%=q

%EAC=^-

EAB=ACc

￡/oS%s

q、_JEAB_￡4AC_工

%E,“.dAB2

-7

仍可解得q=2.14xl0-7c,q2=0.86X10C

7

所以B板上的感應(yīng)電荷為q{=-2.14X10-C

7

C板上感應(yīng)電荷為q2=-0.86x10C

A板上電勢(shì)

(7,

UdAB

A=EAB'dAB

2.14x10-7x4.0x10-3

=9.7X102V

-5x8.85xl0-l2x200xlO-4

9-27設(shè)AB兩板各面上的電荷面密度分別為巧、＜72、be空間各處場(chǎng)強(qiáng)方向應(yīng)與

板面垂直，作如題9-27圖所示的閉合圓柱面為高斯面，由于導(dǎo)體內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)處處為零，A、B兩

板間場(chǎng)強(qiáng)方向平行于圓柱側(cè)面，所以通過(guò)高斯面的電通量為零，由高斯定理

AB

^E-dS_。2sl3sl_0

%

??2=一巴(1)

A板內(nèi)的P點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)為

習(xí)題9-27圖

E”。2。30~4_0

p2424242%

??(2)

若A板帶電QA，5板帶電板面積為S,則有

（巧+%）5=QA(3)

（。3+。4）=。6(4)

由⑴、(2)、由)、(4)式可得

QA+QH

%

2S

6xlQ-8+4xlO~8

=5xl()-6c-m-2

2x100x10-4

QA-QH

=一％

%2s

6x10-8-4xi()-8

=1.0xl0-6C-m-2

2x100x10-4

9-28點(diǎn)電荷q使金屬球上產(chǎn)生感應(yīng)電荷，，由于金屬球與地相聯(lián)，其電勢(shì)為零，球心處

的電勢(shì)應(yīng)是點(diǎn)電荷q和球上感應(yīng)電荷,在此處產(chǎn)生電勢(shì)之和，即

「，組+上=0

4您03RJo4您0R4您03R4您()7?

q'=—q/3

即金屬球上感應(yīng)q/3的負(fù)電荷。

q)S8.85x10-12x02

9-29(1)=1.77xlO-,oF

~d~~1.0x10-2

-13-7

(2)e=C()?0=1.77xl0°x3xl0=5.31xlOC

u3xlQ3

0=3xlO5Vm-1

⑶E。了一l.OxlO-

「Q5.31x10-7

(4)=5.31xlO-loC

ul.OxlO3

l.OxlQ3

EL--M=1.0xl05Vm-1

d1.0x10-2

tf

(5)設(shè)極化電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為E',則￡=&,一￡'=￡—J=其中/

￡o%￡。

為極板上極化電荷面密度，a'=a-s()E,則極化電荷

Q'=(yrS=aS—“)ES—Q—%ES

=5.31x10,-8.85xl0-l2xl05X0.2

=3.54X10-7C

3xlO5.

(6)j=」=--------=3

El.OxlO5

c_5.31

或￡,.

9-30(1)以任意r為半徑作金屬球的同心球面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理得

D-dS=-Zq：D=%

4次

D=%

￡。34延ojr?

當(dāng)r<R2/=0A=0Ej=0

R<"R'"EL0,

4叫叫丁

2

r>R'%=。。3=白

4k4您o.

(2)由電勢(shì)定義式可得

y'Q,rQ

-~~7dr+dr

r4宓()￡,1-R4麻。產(chǎn)

、

Q

\rR'J

Q

〃外=

f4%/4把

(3)產(chǎn)-~Q~rd」r+f8—^Q-d」r

,?4在O￡J2k4在0產(chǎn)

Q11

4宓ojlRR'

Q

4位oJ(RR')

126

9-31(I)D=6￡=^f￡=8.85xl0x3xl.0xl0

=2.66xl(T5c.m々

5-2

(2)<T0=D=2.66x10Cm

aa

(3)E=E0-E'=^-

%

6

k=o-0-s()E=2.66XIO--8.85xlO^xl.Ox10

=1.78x10""

<T_2.66xIO-5

(4)0=3.0xl06Vm-'

4-8.85xl0-'2

"1.78x10-5

=2.0xl06V-m-1

丁8.85xl()T2

9-32設(shè)A、B兩導(dǎo)體球分別帶有電荷Q和-Q,則兩球的電勢(shì)差為

'1Q__IQW1Q__1_2"

、4在0a4宏°LJ(4在。L4宓°a?

——工x工

2您0。2至0乙2位（）。

「Q。

C=----------=2在（）Q

"A一"B

9-33用導(dǎo)線連接二導(dǎo)體，這相當(dāng)將電容Ci和C2并聯(lián)，此時(shí)等效電容和總電量分別為

C=C14-C2Q=c}u]+c2u2

根據(jù)電容。=。/%,故聯(lián)接二導(dǎo)體后它們的電勢(shì)為

C]￡/]I

u=Q/C=

G+C2

這時(shí)電容G上的電量為

=

.+c（G，l+。2“2）

則由導(dǎo)體1流向?qū)w2的電量為

^Q=Q'2-Q2=GCM+C2W2）-CI?1

?"4"Cx2

GG,、

=_—_（%一〃2）

G+C2

9-34（1）以任意半徑r作金屬球的同心球面為高斯面，由介質(zhì)中的高斯定理可得:

DdS=D-4^r2=E/

。=包￡_D_z%

2，乙一一42

4加￡(A4在ojL

當(dāng)r<R2/=0A=0罵=0

_e_E-

R<r<aE%=QD2=

A2匚2A2

4"4^0r