第四章 平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入公開課

第四章平面向量、數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入

第一節(jié)平面向量的概念及其線性運算

小期前。跟目相辭想一想'辨一辨'試一試，全面打牢基礎

必過教材關(guān)

1.向量的有關(guān)概念

名稱定義備注

既有大小又有方向的量:向量的大小

向量平面向量是自由向量

叫做向量的長度（或稱模）

零向量長度為止的向量；其方向是任意的記作0

單位向量長度等于1個單位的向量非零向量。的單位向量為啥

平行向量方向相同或相反的非零向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共0與任一向量平行或共線

共線向量

線向量

兩向量只有相等或不等，不能比較大

相等向量長度相等且方向相同的向量

小

相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為0

2.向量的線性運算

法則

向量運算定義運算律

（或幾何意義）

外(1)交換律：

a

三角形法則

加法求兩個向量和的運算(2)結(jié)合律：

3

(a+b)+c=

平行四邊形法則a+S+c)

求a與5的相反向量一分

減法的和的運算叫做a與ba—5=a+（一力）

a

的差三角形法則

求實數(shù)7與向量a的積（l）Ra|=R||a|；加q)=G")a；

數(shù)乘

的運算（2）當2>0時，2a的方向與a+4)a=2a+〃a；

。的方向相同;當2V0時，A（a+b）=la+Ah

的方向與a的方向相反;

當2=0時，萩=0

3.共線向量定理

向量。3工0）與A共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)2,使得6=腦.

［小題體驗］

1.判斷下列四個命題：

①若a〃兒則。=力；②若|a|=|臼，則a=6；③若|。|=網(wǎng)，則?！╞；④若a=b,則同=

\b\.

其中正確的個數(shù)是（）

A.1B.2

C.3D.4

答案：A

2.（教材習通改編）化簡：

（1）（AB+MB）+B0+0M=.

（2）NQ+QP+MN-MP=.

答案：⑴AB（2）0

3.已知a與b是兩個不共線的向量，且向量a+助與一（。-3a）共線，貝IJ2=.

答案：V

??卜必過易錯關(guān)

i.在利用向量減法時，易弄錯兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導致錯

誤.

2.在向量共線的重要條件中易忽視，否則2可能不存在，也可能有無數(shù)個.

3.要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系.

［小題糾偏］

1.若a與》是共線向量，力與c是共線向量，則a與c的關(guān)系是.（填序號）

①共線；②不共線；③以上二者皆可能.

答案：③

2.若菱形ABC。的邊長為2,貝！||A豆一。9+。力|=.

解析：|檢一C后+C力\=\AB+BC+Cb\=\AD|=2.

答案：2

士想?°—盛!奧隨但主研'合作探,多面觀，全掃命題題點

考點一平面向量的有關(guān)概念（基礎送分型考點——自主練透）

［題組練透］

1.（易錯題）給出下列命題：

①若⑷=步|,則。=岳

②若A,B,C,。是不共線的四點，則4萬=。2是四邊形ABC。為平行四邊形的充

要條件；

③若a=Z>,b=c,貝!］a=c；

@a=b的充要條件是|a|=網(wǎng)且a//b；

⑤若a〃b,b//c,則a〃c.

其中正確命題的序號是（）

A.②@B,①②

C.@@D.@@

解析：選A①不正確.兩個向量的長度相等，但它們的方向不一定相同.

②正確.VAB=DC,.?.|4殖=|。形|且45〃06:,

又A,B,C,。是不共線的四點，

:.四邊形ABCD為平行四邊形；

反之，若四邊形ABQ9為平行四邊形，

則A不〃加且|%方|=|加因此，4豆=加.

③正確.'：a=b,：.a,》的長度相等且方向相同，

又b=c,：.b,c的長度相等且方向相同，

'.a,c的長度相等且方向相同，故a=c.

④不正確.當a〃方且方向相反時，即使⑷=網(wǎng)，也不能得到a=b,故⑷=網(wǎng)且a〃b不

是a=8的充要條件，而是必要不充分條件.

⑤不正確.考慮6=0這種特殊情況.

綜上所述，正確命題的序號是②③.

2.設的為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則”=|研的；②若a

與ao平行，貝!la=|a|ao；③若a與ao平行且|a|=l,則a=ao.假命題的個數(shù)是（）

A.（）B.1

C.2D.3

解析：選D向量是既有大小又有方向的量，〃與⑷的的模相同，但方向不一定相同，

故①是假命題；若。與Q)平行，則。與Go的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向

時〃=一|0|〃0,故②③也是假命題.綜上所述，假命題的個數(shù)是3?

［謹記通法］

向量有關(guān)概念的5個關(guān)鍵點

(1)向量：方向、長度.

(2)非零共線向量：方向相同或相反.

(3)單位向量：長度是一個單位長度.

(4)零向量：方向沒有限制，長度是0.

(5)相等相量：方向相同且長度相等.如“題組練透”第1題易混淆有關(guān)概念.

考點二向量的線性運算(基礎送分型考點——自主練透)

［題組練透］

1.(2015?全國卷I)設。為△45C所在平面內(nèi)一點，BC=3CD,貝！J()

一*?

3-+

A.

14

一

3-3一-A

33

C.A5=3?1月+；AC

D.AD=^AB—|AC

解析：選AAD=AC+CD=AC+1BC=AC+!(AC-AB)=|ACAB

14

-旭-

33Ac,

2.已知nABCD的對角線AC和80相交于0,且西=a,OB=b,則加=,

BC=(用a>b表不).

解析：如圖，DC=AB=OB-OA=b-a,BC=OC-入/C

OB=-OA-OB=-a-b.

答案：b—a-a-b

3.設O,E分另］是△ABC的邊48,8c上的點，AD=^AB,8E=5C.若。巨=九ZA

+hAC(九，七為實數(shù))，則九十22的值為.

解析：DE=DB+BEAB+1BC=1AB+^(BA+AC)=~2AB+1AC,

/A/JOJ

121

所以九=一不^2=3,即九+幺2=5.

答案：I

［謹記通法］

用幾個基本向量表示某個向量問題的4個步驟

(1)觀察各向量的位置；

(2)尋找相應的三角形或多邊形；

(3)運用法則找關(guān)系；

(4)化簡結(jié)果.

考點三共線向量定理的應用(重點保分型考點一師生共研)

［典例引領］

設兩個非零向量”與b不共線，

(1)若45=a+Z>,BC=2a+8/>,CD=3(a-b),

求證：A,B,。三點共線；

(2)試確定實數(shù)A,使和a+協(xié)同向.

解：(1)證明：VAB=a+b,BC=2a+8b,CD=3(a-b),

:.BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=2a+8b+3a~3b=5(a+b)=5AB.

：.AB,B力共線，

又?.,它們有公共點優(yōu)

：.A,B,。三點共線.

(2)\*ka+b與a+kb同向，

?,.存在實數(shù)4無>0),使版+)=23+協(xié))，

即ka+b=Aa+ikb.

:.(k—l)a=(2k—l)b.

Va,〃是不共線的兩個非零向量，

*-2=0,

弘一1=0,

又???力＞0,：.k=l.

［由題悟法］

共線向量定理的3個應用

(1)證明向量共線：對于向量a,b,若存在實數(shù)2,使。=乃，則。與b共線.

(2)證明三點共線：若存在實數(shù)人使A方=242,則A,B,C三點共線.

(3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值.

［提醒］證明三點共線時，需說明共線的兩向量有公共點.

［即時應用］

如圖，在△A"中，D,f分別是5C,AC的中點，AE=^AD,AB

AC=b.

(1)用a,b表示向量AD,AE,AF,BE,BF；

(2)求證：B9E,產(chǎn)三點共線.

解：⑴延長AD到G,

使AD=^AG,

連接BG,CG,得到口4〃GC,

所以AG=a+b,

ADAG=T(a+fr),

—2，；71

AE=-A￡>=§(a+b),

AF=3AC=：)，

BE=AE—AB=；(a+Z>)—2a),

BF=AF—AB=；b—a=1(b—2a).

(2)證明：由(1)可知5百=：3尸，

又因為5百，8戶有公共點優(yōu)

所以8,E,戶三點共線.

0目德祠青〒基礎練、題型練,能力練，全練力保全能

一抓基礎，多練小題做到眼疾手快

1.（2015?嘉興測試）在448。中，已知M是8c中點，設。=a,CA=b,則4而=

X^a—hB.]a+力

解析：選AAM=AC+CM=~CA+^CB=~b+^a,故選A.

2.在四邊形A8CD中，AB=a+2b,BC=-4a-b,。力=一5。一3分，則四邊形ABC。

的形狀是（）

A.矩形B.平行四邊形

C.梯形D.以上都不對

解析：選C由已知，得可力=4月+8。+e方=—8a—2A=2（—4a—b）=2萬。，故

4萬〃加.又因為A5與麗不平行，所以四邊形48CD是梯形.

3.已知。，4,5,C為同一平面內(nèi)的四個點，若2AC.+C公=0,則向量。。?等于（）

A.|OA~\OBB.-go/+,O后

C.20A—OBD.—OA-\-10B

解析：選C因為亞=而一麗，麗=麗一而，所以2元+函=2（而一

OA）+（OB-OC）=OC-20A+OB=0,所以。2=2。?一。瓦

4.如圖，在平行四邊形A8C。中，對角線AC與30交于點O,AB

+AD=1AO,貝！U=.

解析：因為A5C。為平行四邊形，

所以AB+AD=AC=2AO,

已知A后+AZ5=2A。，故2=2.

答案：2

5.設點M是線段8c的中點，點4在直線BC外，BC2=16,\AB+AC|=|Afi-

AC\,貝!J|而才|=.

解析：由|同+/1=1同一正|可知，ABJ.AC,

則AM為RtAABC斜邊8c上的中線，

因此，［而|=書就|=2.

答案：2

二保高考，全練題型做到高考達標

1.設〃是非零向量，2是非零實數(shù)，下列結(jié)論中正確的是()

A.a與北的方向相反B.a與22a的方向相同

C.|-xa|^|a|D.|-/la|^|z|-a

解析：選B對于A,當2>0時，a與〃的方向相同，當衣0時，a與3的方向相反，

B正確；對于C,|?—九i|=|一刁⑷，由于|一川的大小不確定，故與?的大小關(guān)系不確定；

對于D,|2|a是向量，而|一山|表示長度，兩者不能比較大小.

2.已知向量a,5，c中任意兩個都不共線，但a+b與c共線，且b+c與a共線，則向

量a+6+c=()

A.aB.b

C.cD.0

解析：選D依題意，設Q+〃=“ZC,b+c=nat則有(a+5)一(〃+。)=小。一即a—c

=機。一〃。?又。與c不共線，于是有m=-1,n=—l9a+b=—c9a+》+c=O.

3.設M是△A5C所在平面上的一點，且對5+="/+弓=0,。是AC的中點，

則湍的值為()

A.§B,2

C.1D.2

解析：選A丁。是AC的中點，延長M0至￡,使得?！?MD,工四邊形M4EC為

平行四邊形，：.MD=^ME=^(MA+MC).VMB+^MA+^MC=0,：.MB=-

^MA+MC)=-3MD,.\MD\_\MD\_1

,故選A.

4.設O,E,尸分別是的三邊BC,CA,AB上的點，且DC=2BD,CE=2EA,

AF=2FB,則AZ>+5笈+CF與5^()

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

解析：選A由題意得A力=B力=就,

BE=BA+AE=BA+|AC,

CF=CB+BF=CB+IBA,

因此通+而+函=詼+*前+/一瓶）

=CB+^BC=-^BC,

故通+礪+函與配反向平行.

5.設。在△4BC的內(nèi)部，。為4B的中點,且函+赤+2反=0,則△A8C的面

積與△40C的面積的比值為()

A.3B.4

C.5D.6

解析：選B為A3的中點,

則。力=^(OA+OB),

又0乂+09+20^=0,

/.OD=-OC,二。為C。的中點,

義?：D為AB中點,

SiMOC=aSAADC=WSzUBC,

1S^ABC.

則ra^----=4.

o^AOC

6.在oABCZ）中，AB=a,AD=b,AN=3NC,M為BC的中點，則M”=

（用a，b表示）.

解析：由萬9=3近，得4而▽=3AC：=3(a+〃)，AM=a+h,所以A/Z=%+

》)一(“+])=_/+%.

答案：-5+%

7.若點。是△A5C所在平面內(nèi)的一點，且滿足|0月一加\=\OB+OC-2OA\,

則△A3C的形狀為.

解析:通+說一2麗=麗一麗+而一函=荏+/，而一瓦=麗=

AB-AC,

：.\AB+AC\=\AB-AC\.

故A后△A5C為直角三角形.

答案：直角三角形

8.已知。，E,尸分別為△ABC的邊BC,CA,43的中點，且5(?=a,CA=b,給

出下列命題：①A5=%一仇?BE=a+^b;③=—%+/；@AL>+BE+CF

=0.

其中正確命題的個數(shù)為.

解析：BC=a,CA=b,AD={cB+AC=-^a~b,故①錯；

BE=BC+1CA=a+^b9故②正確；

CF=^(CB+CA)=^(—a+b)=~^a+^bf故③正確；

:.AZ)+BE+CF=一萬一；〃=0.

,正確命題為②③④.

答案：3

9.在△ABC中，D,E分別為5C,AC邊上的中點，G為BE上一點,B

且G5=2GE,設4》=a,AC—b,試用a,b表示4萬，AG.

解：A方=；(A月+AC)=$+5.

AG=AB+BG=AB+^BE=AB+京BA+BC)

=^AB+^(AC-AB)

=|AB+|AC

_1,1,

=3a+3b'

10.設e”e2是兩個不共線的向量，已知4萬=2ei-8e2，CB=?1+3?2,CD=

2d—02?

(1)求證：A,B,。三點共線；

(2)若3"=3ei—履2,且5,D,尸三點共線，求A的值.

解：(1)證明：由已知得3萬=。萬一=(2ei—e2)—?+3e2)=ei—4e2,

VAB=2ei-8e2,

AAB=2BD.

又：A后與5方有公共點￡

：.A,B,。三點共線.

(2)由(1)可知5萬=et—4ei,

VBF=3ei-ke2,且B,D,尸三點共線,

/.BF=1BD(z6R),

即3ei—#e2=4ei—4腹2,

解得&=12.

三上臺階，自主選做志在沖刺名校

1.在直角梯形ABCD中，N4=90°,NB=30°,AB=2小,BC=2,點E在線段

CO上，若4百=4萬+“4耳，則〃的取值范圍是.

解析：由題意可求得A￡>=1,CD=yj3,所以4月=2。2.

二,點E在線段C。上，

ADE=2DC(0W2W1).

,:AE=AD+DE,

又AE=AO+"AB=AD+2^DC=AD+詈DE,

:老=1,即WW1,

即4的取值范圍是0,I.

答案：[(),I]

2.已知O,A,8是不共線的三點，且0戶=帆0乂+"0》(m,nGR).

(1)若帆+〃=1,求證：A,Pfb三點共線；

(2)若A,P,B三點共線，求證：m+n=l.

證明】(1)若m+〃=l,

則。戶=mOA+(1—m)OB

=OB+"z(OA—OB),

，OP—OB=m(OA—OB),

即???3戶與反S共線.

又：5戶與5/有公共點優(yōu)

：.A,P,5三點共線.

(2)若A,P,8三點共線，

存在實數(shù);I,^.BP=2BA,

OP—OB=2(OA—OB).

又OR=mOA.+〃OB.

故有mOA+(?—1)OB=xOA—2OB,

即(小一乃OA+(n+A-l)OB=0.

'：0,A,8不共線，/.OA,0月不共線，

J/n-2=0,

AiA/?i+/i=l.

[n+A-l=0,

第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標表示

小抿前。屈昌將犀想一想,辨一辨'試一試，全面打牢基礎

必、過教材關(guān)

1.平面向量基本定理

如果ei,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量”，直且

只有一對實數(shù)21,久2，使。=2建1+久262.

其中，不共線的向量?,。2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

2.平面向量的坐標運算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模：

設。=(xi,力),6=(x2,”),則

a+-=(xi+x2,力+4)，a-b=(xi—yi-y2)>

2a=Gxi,2yi),\a\=yjxl+yl.

(2)向量坐標的求法：

①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.

②設A(xi,yi),B(X2fy2),則，豆=(X2—X],以―9),

IAB|=d(X2-Xl)2+(>2-")2.

3.平面向量共線的坐標表示

設。=(xi,yD，b=(x29yi)9其中力W0.

a//-Oxi?—X2yi=0?

[小題體驗]

1.已知向量a=(l,m),b=(m,2)9若。〃〃，則實數(shù)機等于()

A.一也B.^2

C.一也或鏡D.0

解析：選C由?！?，得1X2—小2=0,所以/=2,即機=±\/i,

2.(數(shù)材習題改編)已知a=(2,l),力=(—3,4),貝!|3a+4)=.

答案：(一6,19)

3.設ei,。2是平面內(nèi)一組基向量，且。=。1+262,b=—ei+e29則向量的+。2可以表示

為另一組基向量。，〃的線性組合，即d+々=。+b.

解析：由題意，設6［+。2=加。+〃瓦

因為。=61+2及,5=—。1+?2,

所以ei+。2=川(。1+2及)+〃(-+02)=(w-〃)ci+(2m+〃)。2?

機一〃=1,

由平面向量基本定理，得、

2m+n=l,

所以＜

答案常1

3

??卜必、過易錯關(guān)

1.若a,6為非零向量，當a〃?時，a,5的夾角為0°或180°,求解時容易忽視其中

一種情形而導致出錯；

2.要區(qū)分點的坐標與向量坐標的不同，盡管在形式上它們完全一樣，但意義完全不同，

向量坐標中既有方向也有大小的信息；

3.若a=(xi,yi),6=(X2,J2)?則?！╞的充要條件不能表示成段=9因為X2,以有

-*2yi

可能等于0,應表示為x\yi—xiy\=Q.

［小題糾偏］

1.(2015?全國卷I)已知點4(0,1),3(3,2),向量就=(一4,一3),則向量5c：=()

A.(-7,-4)B.(7,4)

C.(-1,4)D.(1,4)

解析：選A法一：設C(x,y),

則就=(工，y—1)=(—4,—3),

x=—4,

所以，

卜=一2,

從而86=(一4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A.

法二：=(3,2)-(0,1)=(3,1),

BC=AC—AB=(—4,—3)—(3,1)=(—7,—4).故選A.

2.(2015?江蘇高考)已知向量0=(2,1),8=(1,-2),若小〃+帥=(9,一8)(〃z,〃￡R),

則m—n的值為.

解析：*/ma+nb=(2m+n,機-2〃)=(9,—8),

f2m+n=99pn=2,

AiAlJ小一〃=2—5=-3.

m-2w=-8,［n=59

答案：一3

小解營°—點!奧摩I自主研,合作探'多面觀，全掃命題題點

考點一平面向量基本定理及其應用(基礎送分型考點——自主練透)

［題組練透］

1.如果eI，e2是平面a內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)

所有向量的一組基底的是()

A.ei與B.e\—2^2與ei+2e2

C.ei+e2與02D.ei+3e2與602+2^1

1=2,

解析：選D選項A中，設白+。2=：0,貝U無解；

,1=0

幺=1,

選項B中，設d一2e2=，ei+2e2),貝M無解；

1—2=22

選項C中，設d+。2=2(d一。2),貝M無解；

選項D中，外+3?2=；(6。2+2G)，所以兩向量是共線向量.

2.(易錯題)如圖，以向量函=a,。方=辦為鄰邊作“MDB,BM

=^BC,CN=\CD,用a,?表示OM,ON,MN.

解：VBA=OA-OB=a-b,

BM=/BA=*—，

OM=OB4-BM=%+%

oo

,:OD=a+b9

：.ON=0C+|CD=^0D+^0D

326

22

-電

3

3^

:.MN=ON—OM=3〃+于一不〃_今=呼―/.

綜上，OA/=/+，ON=|tz+|^,MN=1?—

［謹記通法］

用平面向量基本定理解決問題的一般思路

(1)先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運算

來解決.

(2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.另外，要熟練運用平面

幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第2題.

考點二平面向量的坐標運算(基礎送分型考點——自主練透)

［題組練透］

1.(2015?撫順二樓)若向量。=(2,1),6=(—1,2),c=(0,J),則c可用向量a,b表示為

()

A，2?+Z>B.一爹一b

331

+-A

cPP-2

z5、f2x-j=o,

解析：選A設c=m+yA,則(0,^J=(2x—j,x+2y),所以J_5解得

“[x+2y=5，

2.已知點M(5,—6)和向量〃=(1,-2),若MN=-3a,則點N的坐標為()

A.(2,0)B.(一3,6)

C.(6,2)D.(-2,0)

解析：選AMN=—3?=-3(1,-2)=(-3,6),

設N(x,v),則頡=(%—5,v+6)=(-3,6),

x-5=-3,fx=2,

所以J即，

口+6=6,ly=O.

3.已知A(—2,4),B(3,-1),C(-3,-4).設A方=o,BC=b9CA=c,且函=

3c,CN=-2b,

(1)求3。+5一3c；

(2)求滿足a=mb+nc的實數(shù)mf〃；

(3)求M,N的坐標及向量朋府的坐標.

解：由已知得a=(5,-5),6=(-6,—3),c=(l,8).

(1)3。+萬一3c=3(5,-5)+(-6,-3)—3(1,8)

=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).

mb+nc=(—6m+n,—3次+8〃)，

—6m+〃=5,［/n=-1,

：.\,解得，

-3JTI+8W=-5,

(3)設O為坐標原點，,:CM=OM-OC=3c,

OM=3c+OC=(3,24)+(-3,-4)=(0,20).

/.A/(0,20).

又；CN=ON-OC=-2b,

：.ON=-2b+OC=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),

：.N(9,2),：.MN=(9,-18).

［謹記通法］

平面向量坐標運算的技巧

(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向

線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.

(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.

考點三平面向量共線的坐標表示(重點保分型考點——師生共研)

［典例引領］

已知a=(l,0),6=(2,1).

(1)當A為何值時，履一b與。+2占共線；

(2)若4豆=2a+3b,BC=a+mb,且A,B,C三點共線，求機的值.

解：⑴,=(1,0),*=(2,1),

；?Aa一8=&(1,0)—(2,1)=(&-2,-1),

a+2*=(l,0)+2(2,l)=(5,2),

TA。一》與a+2方共線，

A2(*-2)-(-l)X5=0,

(2)AB=2(l,0)+3(2,l)=(8,3),

BC=(l,0)+/n(2,l)=(2/?4-l,m).

VA,B,C三點共線，

：.AB//^C,

A8m—3(2m+l)=0,

.3

??機=］

［由題悟法］

向量共線充要條件的2種形式

(l)a//b^a=Ab(b^O)；

(2)?〃尿=>*1以一xw=O(其中a=(x“W)，b=(X2,J2)).當涉及向量或點的坐標問題時一

般利用⑵比較方便.

［即時應用］

1.已知向量。X=(A,12),。方=(4,5),0(?=(一左10),且A,B,C三點共線，貝！|?

的值是()

A*~l

C,2D,3

解析：選AAB=OB—OA=(4-k,—7),

AC—OC—OA=(—2k,—2).

'：A,B,C三點共線，

AAB,共線，

:.-2X(4-*)=-7X(一24)，

2

解得k=-y

2.(2015?濰坊期中考試)已知向量a=(2,3),8=(—1,2),若加〃+45與°-2方共線，則機

的值為.

解析：ma+4b=(2m—4,3m+8),a—2b=(4,—1),

由于ma-{-4b與a—2b共線，

，一（2機-4）=4（3，〃+8）,解得機=一2.

答案：一2

局0目翁祠青〒基礎練、題型練,能力練，全練力保全能

一抓基礎，多練小題做到眼疾手快

1.如圖，在平行四邊形ABCQ中，E為。C邊的中點，且府=4,AI）=b,則由=

（）

C.a+,D.a~^b

解析：選ABE=BA+AD+DE=—a+b+^a=b—^a.

2.(2015?青島二模)若AC為平行四邊形ABC。的一條對角線，AB=(2,4),AC=(1,3)?

則AD=()

A.(一1,-1)B.(3,7)

C.(1,1)D.(2,4)

解析：選A由題意可得A力=5(?=?彳-4萬=(1,3)—(2,4)=(—1,—1).

3.(2015?廣東六校聯(lián)考)已知向量a=(5,2),b=(~4,—3),c=(x,y),若3a-2Z>+c=

0,則c=()

A.(-23,-12)B.(23,12)

C.(7,0)D.(-7,0)

23+x=0,

解析：選A由題意可得3a—26+c=(23+x,12+y)=(0,0),所以彳,解得

124-j=0,

x=~23,

所以c=(-23,-12).

4.(2015?洛陽一模)已知向量a=(l,3),Z>=(-2,1),c=(3,2).若向量c與向量Aa+b共

線，則實數(shù)4=.

解析：ka+b=k(l,3)+(-2,l)=(k-2,3k+l),因為向量c與向量履+》共線，所以2(無

-2)-30*+1)=0,解得《=-1.

答案：一1

5.若三點4(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共線，則實數(shù)a的值為.

解析：AB=(a—1,3),AC=(—3,4),

據(jù)題意知4萬〃通\/.4(?-1)=3\(-3),即4a=-5,

答案：一^

二保高考，全練題型做到高考達標

1.已知在S5co中，AD=(2,8),4月=(一3,4),對角線4(7與5。相交于點用,則4而

=()

BIT6)

解析:選B因為在。48。中，有ZC=A5+A力，4加=；4。,所以4癡=；(%5

+AD)=1x(—1,12)=^—1,6),故選B.

2.已知向量a,b不共線，c=ka+b(k&R),d=a-b,如果c〃d,那么()

A.4=1且c與d同向B.攵=1且c與d反向

C.4=一1且c與d同向D.A=-1且c與d反向

k=)、,

解析：選D由題意可得。與d共線，則存在實數(shù)2,使得。=〃，即解得k

U=T,

=-l?c=-a+b=-(a—b)=-d,故c與d反向.

3.如圖，在△048中，尸為線段A8上的一點，0A=x04+

yOB,且5戶=2。4,貝!1()/二X

82

A.x=yy

D.T，

解析：選A由題意知麗=麗+5戶，又8戶=2尸/,所以而=礪+：氏4=而

+^(0A—OB)=^0A+10B,所以x=g,j=1.

4.設向量a=(L-3),ft=(-2,4),c=(-l,-2),若表示向量4〃,4力一2G2(a-c),d

的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d=()

A.(2,6)B.(—2,6)

C.(2,-6)D.(—2,—6)

解析：選D設d=(x,y)9由題意知4a=(4,-12),45—2c=(—6,20),2(。-c)=(4,

—2),又4a+4萬-2c+2(〃-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,j)=(0,0),

解得x=—2,j=—6,所以d=(—2,—6).

5.已知平行四邊形ABC。中，AD=(3,7),AB=(-2,3),對角線AC與5。交于點O,

則CO的坐標為()

A?5)B.g5)

C.6-5)-5)

解析：選DAC=AB+AD=(-2,3)+(3,7)=(1,10).

:.OC=1AC=&5).

/.cd=(一：,-5).

6.在△ABC中，點尸在8c上，且B戶=2產(chǎn)乙，點。是AC的中點，若P/=(4,3),

PQ=(1,5),則5乙=.

解析：AQ=PQ-PA=(-3,2),

:.AC=2AQ=(—6,4).

PC=PA+AC=(-2,7),

ABC=3PC=(-6,21).

答案：(一6,21)

7.(2015?北京東城模板)如圖所示，在△A8C中，點O是8c的人

中點，過點0的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若AB/

AM,AC=nAN,則機+〃的值為.

___[_____________

解析：連接AO,則放)號(4巨+42)=與4而+34河.

又TM,O,N三點共線，

?W+g=l,即m+n=2.

答案：2

8.P={a|a=(-l,l)+/n(l,2),mGR},Q={b]b=(l,-2)+”(2,3),"GR}是兩個向量集

合，則PCQ等于.

解析：尸中，a=(-i+m,l+2m),

。中，b=(l+2n,-2+3〃).

[―1+/?=1+2?,{m=-12,

則，,得

[l+