高中數(shù)學講義-復數(shù)的乘、除運算

高中數(shù)學講義一復數(shù)的乘、除運算

目錄

1.教學大綱....................................................................1

2.知識點I復數(shù)的乘法與除法.................................................1

3.知識點2復數(shù)的乘除運算公式是什么？.......................................2

4.練習........................................................................3

5.探究點一復數(shù)的乘法運算...................................................3

6.探究點二復數(shù)的除法運算...................................................4

7.課堂作業(yè)....................................................................8

8.課時作業(yè)（十七）復數(shù)的乘、除運算...........................................9

1.教學大綱

新課程標準學業(yè)水平要求

1.結(jié)合多項式的乘法了解復數(shù)的理解復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算法則.（邏輯推

水平一

乘法法則.理）

2.能進行復數(shù)的除法以及分母實

水平二會進行復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.（數(shù)學運算）

數(shù)化.

2.知識點1復數(shù)的乘法與除法

1.復數(shù)的乘法法則

設zi=a+/?i,Z2=c+di(〃，b,c,dWR),

貝ljzi?Z2=(a+〃i)(c+di)=(〃c-=^)+(。6/++。)1?

2.復數(shù)乘法的運算律

對任意復數(shù)Zl,Z2,Z36C,有

交換律Z1Z2—Z2Z1

結(jié)合律(Z1Z2)Z3=Z1(Z2Z3)

分配律Z]⑶+Z3)=Z1Z2+ZIZ3

3.復數(shù)代數(shù)形式的除法法則

,,a+biac+bd,be-ad

…)-i尸'=壬士"i(a,b,c,d￡R,且c+di#O).

f點撥］對復數(shù)除法的兩點說明

第1頁共12頁

(1)實數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共輒復數(shù)C-di,化簡后即得結(jié)果，這

個過程實際上就是把分母實數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似；

(2)代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實部、虛部分開.

3.知識點2復數(shù)的乘除運算公式是什么？

1、加法法則

復數(shù)的加法按照以下規(guī)定的法則進行：設zl=a+bi,z2=c+di是任意兩個復

數(shù)，

則它們的和是

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i0

兩個復數(shù)的和依然是復數(shù)，它的實部是原來兩個復數(shù)實部的和，它的虛部

是原來兩個虛部的和。

2、減法法則

復數(shù)的減法按照以下規(guī)定的法則進行：設zl=a+bi,z2=c+di是任意兩個復

數(shù)，

則它們的差是(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)io

兩個復數(shù)的差依然是復數(shù)，它的實部是原來兩個復數(shù)實部的差，它的虛部

是原來兩個虛部的差。

3、乘法法則

規(guī)定復數(shù)的乘法按照以下的法則進行：

設zl=a+bi,z2=c+di(a、b、c、deR)是任意兩個復數(shù)，那么它們的積

(a+bi)(c+di]=(ac?bd]+(bc+ad]i。

其實就是把兩個復數(shù)相乘，類似兩個多項式相乘，展開得：

ac+adi+bci+bdi2,因為i2=-l,所以結(jié)果是(ac—bd)+(bc+ad)i。兩個復數(shù)的積

仍然是一個復數(shù)。

4、除法法則

復數(shù)除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數(shù)x+yi(x,yeR；)叫復數(shù)a+bi除

以復數(shù)c+di的商。

運算方法：可以把除法換算成乘法做，在分子分母同時乘上分母的共軌

所謂共朝你可以理解為加減號的變換，互為共貌的兩個復數(shù)相乘是個實常數(shù)。

相關內(nèi)容說明:

第2頁共12頁

復數(shù)的加法就是自變量對應的平面整體平移，復數(shù)的乘法就是平面整體旋

轉(zhuǎn)和伸縮，旋轉(zhuǎn)量和放大縮小量恰好是這個復數(shù)對應向量的夾角和長度。

二維平移和縮放是一維左右平移伸縮的擴展，旋轉(zhuǎn)是一個至少要二維才能

明顯的特征，限制在一維上，只剩下旋轉(zhuǎn)0度或者旋轉(zhuǎn)180度，對應于一維導

數(shù)正負值(小線段是否反向)。

4.練習

1.判斷正誤(正確的打“，錯誤的打“義”)

(1)兩個復數(shù)的積與商一定是虛數(shù).()

(2)兩個共規(guī)復數(shù)的和與積都是實數(shù).()

(3)復數(shù)加減乘除的混合運算法則是先乘除，后加減.()

(4)若Zl,Z2GC,且Z：+Z2=0,則Zl=Z2=0.()

答案：(l)x(2)V(3)V(4)X

2.復數(shù)(l+i)2(2+3i)的值為()

A.6-4iB.-6-4i

C.6+4iD.-6+4i

D](l+i)2(2+3i)=2i(2+3i)=-6+4i.故選D.]

3.在復平面內(nèi)，復數(shù)z=W(i為虛數(shù)單位)的共枕復數(shù)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

..__2i______2i(1—i)2i(1-i)_

D1*z=7+l=(1+i)(1-i)=2=1+n

..7=i-i,A7對應的點(i,一i)位于第四象限.]

4.已知復數(shù)z滿足(l+3i)z=10,則z=.

解析：因為復數(shù)z滿足(l+3i)z=10,則2=^4=1—3i.

答案：l-3i

5.探究點一復數(shù)的乘法運算

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(1)(2019?全國卷H)設z=i(2+i),則z=()

A.1+2iB.-1+2i

C.1—2iD.—■1—2i

(2)若復數(shù)(l—i)(a+i)在復平面內(nèi)對應的點在第二象限，則實數(shù)a的取值范

圍是()

A.(―0°,1)B.(—8,—1)

C.(1,+°°)D.(-1,+8)

解析：(1),.*z=i(2+i)=—1+2i,z=-1—2i.

(2)(1—i)(a+i)=3+l)+(l-a)i,因為對應的點在第二象限，所以

?+1<0,

L、，、解得?！匆?.

\~a>0,

答案：(1)D(2)B

方法技巧

兩個復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算步驟

(1)首先按多項式的乘法展開；

(2)再將i2換成一1；

(3)然后再進行復數(shù)的加、減運算，并將其化簡為復數(shù)的代數(shù)形式.

[對點訓練]

1.計算：(1—i)2—(2—3i)(2+3i)=()

A.2-13iB.13+2i

C.13—13iD.113—2i

D[(1一講一(2—3。(2+3。=1-21+12—(4-912)=—13—21故選D.]

2.復數(shù)zi=3+i,Z2=l—i,則z=zi?Z2在復平面內(nèi)的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

D[由題設知z=(3+i)(l—i)=4—2i,在復平面內(nèi)對應的點為(4,-2),位

于第四象限.故選D.]

6.探究點二復數(shù)的除法運算

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(1)(2019?全國卷I)設2=*^,則|z|=()

A.2B.小

C.巾D.1

(2)如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)zi,Z2對應的向量分別是為，OB，則復數(shù)孑

對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3—i(3-i)(l-2i)l-7i

解析：所以|z|=

(l)'z—l+2i一(l+2i)(l-2i)5

71-----Z------1

(2)由復數(shù)的幾何意義知，zi=-2—i,Z2=i,所以==一-—=—l+2i,

所以對應的點在第二象限.

答案：(1)C(2)B

方法技巧

兩個復數(shù)代數(shù)形式的除法運算步驟

(1)首先將除式寫為分式；

⑵再將分子、分母同乘以分母的共姬復數(shù)；

(3)然后將分子、分母分別進行乘法運算，并將其化為復數(shù)的代數(shù)形式.

［對點訓練］

2陽+i

1.復數(shù)z=17(^eR,i為虛數(shù)單位)是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值為()

-O

AC.Ba.

1

-1

4

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2m+i(1—2i)(2m+i)2m+2+(1—4/T?)i

「.?復數(shù)Z=,=(l—2i)(l+2i)=------------5------------為純

55

虛數(shù)，?.<?.m=-1.

〃

H1-—W4?。，

2.已知i是虛數(shù)單位，7是復數(shù)Z的共舸復數(shù)，若(z.z)i+2=2z,則口

在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

A[設z=a+歷(a,bSR),則z=a一機由(z?z)i+2=2z,得(/+02)i+

2=2a,a=1,z+12+i

2=2。+2歷，解得，z=l+i,：

[a2+b2=2b,力=1，1-i1-i

言-MI44i,?.?言在復平面內(nèi)對應的點的坐標為&1)，位

于第一象限.]

探究點三復數(shù)范圍內(nèi)方程根的問題

在復數(shù)范圍內(nèi)解下列方程.

⑴*+5=0；

(24+4x+6=0.

解析：(1)因為f+5=0,所以fn—S,

又因為(小i)2=(一小i)2=-5,

所以x=±\/5i,

所以方程F+5=0的根為i.

(2)方法一：因為￡+4%+6=0,

所以(X+2)2=-2.

因為(啦i)2=(—A/2i)2=-2,

所以％+2=6i或X+2=—i,

即x=-2+啦i或x=-2一啦i,

所以方程f+4尤+6=0的根為x=—2±^/2i.

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方法二：由f+4x+6=0知J—42—4X6=—8<0,

所以方程f+4x+6=0無實數(shù)根.

在復數(shù)范圍內(nèi)，設方程X2+4X+6=0的根為+歷（a,且0W0）,

則（。+歷）2+4（。+歷）+6=0,

所以屋+2〃萬一居+4〃+4加［+6=0,

整理得（/一及+4a+6）+（2M+4/?）i=0,

［a2—b2+4a+6=0

所以12H+4b=0,9

又因為0W0,

a2―/?2+4a+6=0,

所以c」

12a+4=0n,

解得a=-2,b=±\［2,

所以x=—2/i,

即方程/+4無+6=0的根為x=—i.

方法技巧

復數(shù)范圍內(nèi)實系數(shù)一元二次方程的解法

(1)求根公式法

①當心。時，尸土爛逅；

②當/(0時，尸二困一；尸山.

(2)利用復數(shù)相等的定義求解

設方程的根為x=〃?+〃i("z,〃eR),將此式代入方程以2+/?x+c=0(aW0),

化簡后利用復數(shù)相等的定義求解.

［對點訓練］

已知x=i—1是方程x2+ax+b=0的一個根.

(1)求實數(shù)a,的值；

(2)結(jié)合根與系數(shù)的關系，猜測方程的另一個根，并給予證明.

解析：(1)把x=i-1代入％2+以+8=0,得(一a+Z?)+(a—2)i=0,.,.a=

2,b=2.

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(2)設另一個根為X2,由根與系數(shù)的關系，得i—l+x2=-2,

/?X2=-1—i.

把X2=—1—i代入方程，得(一1—講+2(—1—i)+2=2i—2—2i+2=0,

故X2=—1—i是方程的另一個根.

7.課堂作業(yè)

1.若復數(shù)zi=l+i,Z2=3—i,則ziz2等于()

A.4+2iB.24-i

C.2+2iD.3+i

A[ZIZ2=(1+i)(3—i)=lX3-iXi+(3-l)i=4+2i.]

2.在復數(shù)范圍內(nèi)，方程21—3彳+2=0的解是()

3+由i3—訴

A?44

4u-4

D[由求根公式，得X=里1.]

3.已知復數(shù)zo=3+2i,其中i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足z-zo=3z+zo,則復

數(shù)z的模等于

解析：方法一：由題意可設z=o+bi(a,b￡R),則由z?zo=3z+zo,得(3

+2i)(a+bi)=3(。+bi)+3+2i,整理，得(3a—2b)+(2a+3b)i=(3+3a)+(2+

a=1,

3。-2力=3+3。,3

33i,所以解得3故復數(shù)z=l—力，它的模|z|=

2a+3b=2+3h,〃=一52

方法二：由z-zo=3z+zo,得z-(zo—3)=zo,所以z=—=丁，則Iz=

2萼=1-|i,所以復數(shù)Z的模|才=[12+(一|)=羋或團=|警|=

|3+2i|V13

|2i|-2

第8頁共12頁

答案:

4.計算:

(2)(4-i5)(6+2i7)+(7+i11)(4-3i).

2+2i/回20202+2i,(2}1010

解析：⑴TRIP+11+1J=F+W

m1010

=i(l+i)+^J

=-l+i+(-i)1010=-l+i+i=-l+2i.

(2)原式=(4—i)(6—2i)+(7—i)(4—3i)

=22-14i+25-25i=47-39i.

8.課時作業(yè)(十七)復數(shù)的乘、除運算

(本欄目內(nèi)容，在學生用書中以獨立形式分冊裝訂！)

[A級基礎達標]

1.設zi=3—4i,Z2=2—3i,則zi?Z2在復平面內(nèi)對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

C[zi?Z2=(3—4i)(2—3i)=6—9i—8i+12i2=16—17i,zi?z2在復平面內(nèi)

對應的點為(-6,-17),所以zi?Z2在復平面內(nèi)對應的點位于第三象限，故選

C.]

2,復數(shù)(l—i)(l+2i)=()

A.-1B.-i

4.D.|-i

C.51

l-3i

[根據(jù)復數(shù)的運算法貝可得(

l-i)(1+2+3+i

(l-3i)(3~i)

歹=-i.故選B.]

(3+i)(3—i)

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3.已知a>0,i為虛數(shù)單位，ai(a+i)的實部與虛部互為相反數(shù)，則a=()

A.4B.3

C.2D.1

D[因為ai(a+i)=a2i+ai2=—a+a2i,又ai(a+i)的實部與虛部互為相反

數(shù)且a>0,所以-a+a2=o,所以。=1.]

4.已知復數(shù)2=廣十門.、2，Z是Z的共趣復數(shù)，則Z的虛部等

1—1(1—1)

于()

A.2B.2i

C.-2D.-2i

c「上日卉*,曰2,2212(1+i),.

C[由正思何，Z一口+(1_02一口―：-(j-i)(1+i)+1

=(1+i)+i=1+2i,/.z=1—2i,z的虛部等于-2.]

5.若復數(shù)Z=Ry(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應的點在第一象限，則實數(shù)

。的取值范圍是()

A.(―0°,—1)B.(1,+°0)

C.(-1,1)D.(—8,-1)U(1,4-oo)

.hh?后a+i(a+i)(1-i)<z+1,1-a.1e.

C[由就思付，z=]+j=(]+j)(]_j)=2--2-L因為z在復

a+l>0,

平面內(nèi)對應的點在第一象限，所以彳,所以一

1一。>0,

z

6.已知幣=2+i,則復數(shù)z=

解析：因為許=2+i,所以z=(l+i)(2+i)=l+3i,所以z=l—3i.

答案：l-3i

7.已知i是虛數(shù)單位，復數(shù)z的共加復數(shù)z,(l+2i)z=4+3i,則z=

e山,.-，?一、，-4+3i(4+3i)(1-2D

解析:因為(1+21)z=4+31’所以z=i+2i=(l+2i)—(1—2i)

第10頁共12頁

10-5i

=5

所以z=2+i.

答案：2+i

8.在復數(shù)范圍內(nèi)，方程》2+6尤+10=0的根為x=

解析：因為左一4ac=62—4X1X10=—4<0,

-6±\/-(62—40)i2-6±^i-6±2i

所以X=cxz1=C=o=-3±i

答案：一3±i

9.計算：

(l)(4-i5)(6+2i7)+(7+i,l)(4-3i)；

⑵2++一%:

解析：(1)原式=(4—i)(6—2i)+(7—i)(4—3i)

=24-8i-6i+2i2+28-21i-4i+3i2

=47-39i.

22

(2)原式=2+上(1+i)

一(羊)22

(2i)11

=2+i一_211-

=2+i+i

=2+2i.

10.已知1+i是關于x的方程f+bx+c=0的一個根S，c為實數(shù)).

⑴求江c的值；

(2)試說明l-i也是該方程的一個根.

解析：(1)因為1+i是關于x