2023-2024學(xué)年四川省成都重點中學(xué)高二（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）（含解析）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年四川省成都重點中學(xué)高二（上）第三次月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.甲乙兩位同學(xué)進行乒乓球比賽，甲獲勝的概率為0.4，現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計這兩位同學(xué)打3局比賽甲恰好獲勝2局的概率：先利用計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù)，制定1，2，3，4表示甲獲勝，用5，6，7，8，9，0表示乙獲勝，再以每三個隨機數(shù)為一組，代表3局比賽的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了30組隨機數(shù)：

102

231

146

027

590

763

245

207

310

386

350

481

337

286

139

579

684

487

370

175

772

235

246

487

569

047

008

341

287

114

據(jù)此估計，這兩位同學(xué)打3局比賽甲恰好獲勝2局的概率為(

)A.13 B.310 C.252.與圓x2+y2=1A.一個橢圓上 B.一個圓上 C.一條拋物線上 D.雙曲線的一支上3.若直線l1：mx+y+1=0與直線lA.2 B.?2 C.12 4.圖1為一種衛(wèi)星接收天線，其曲面與軸截面的交線為拋物線的一部分，已知該衛(wèi)星接收天線的口徑AB=6，深度MO=2，信號處理中心F位于焦點處，以頂點O為坐標原點，建立如圖2所示的平面直角坐標系xOy，若PA.4 B.3 C.2 D.15.設(shè)F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0A.2 B.3 C.2 6.三棱錐P?ABC中，△PAB和△ABC都是等邊三角形，AB=A.12 B.1 C.32 D.與7.設(shè)圓C：x2+y2=3，直線l：x+3y?6=0，點A.[?12,1] B.[8.已知橢圓C1：x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)與雙曲線C2：x2a2A.7 B.27 C.4二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yA.平均數(shù) B.方差 C.眾數(shù) D.極差10.已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，A.橢圓焦距為3 B.橢圓方程為x24+y2=11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，A.BE?BF=6

B.B1G⊥平面BEF12.在矩形ABCD中，AB=23，BA.當(dāng)EA+EC=8時，四棱錐E?ABCD體積的最大值為8

B.當(dāng)EA2+EC2=16時，四棱錐E?AB三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.空間直角坐標系中，兩平面α與β分別以n1=(2,1,1)與n2=14.口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，事件A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個黃球”，C=“取出的2球至少有一個白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個白球”.下列判斷中正確的序號為______．

①A與D為對立事件；②B與C是互斥事件；③C與15.已知拋物線M：x2=8y，直線l：y=kx+2與拋物線交于A，D兩點，與圓：N：x2+y2?416.在平面直角坐標系xOy中，A(?12,0)，B(0,6)，點P四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題10分)

為進一步增強疫情防控期間群眾的防控意識，使廣大群眾充分了解新冠肺炎疫情防護知識，提高預(yù)防能力，做到科學(xué)防護，科學(xué)預(yù)防．某組織通過網(wǎng)絡(luò)進行新冠肺炎疫情防控科普知識問答．共有100人參加了這次問答，將他們的成績(滿分100分)分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]這六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．

18.(本小題12分)

已知雙曲線C和橢圓x24+y21=1有公共的焦點，且離心率為3．

(Ⅰ)求雙曲線C的方程．

(Ⅱ)經(jīng)過點M(2,1)作直線l交雙曲線19.(本小題12分)

如圖：三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=a,CB=b,CC1=c,C20.(本小題12分)

已知圓C的圓心在y軸上，點P是圓C的上任一點，且當(dāng)點P的坐標為(?95,?75)時，P到直線3x+4y?24=0距離最大．

(1)求圓的方程；

21.(本小題12分)

如圖，四棱臺ABCD?A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且側(cè)面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E、F分別為DC、BC的中點，上下底面中心的連線O1O垂直于上下底面，且O1O與側(cè)棱所在直線所成的角為45°．

(122.(本小題12分)

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，點A(?1,32)在橢圓C上，點P是y軸正半軸上的一點，過橢圓C的右焦點答案和解析1.【答案】B

【解析】【分析】本題考查隨機模擬，隨機事件發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題．

由隨機模擬產(chǎn)生了30組隨機數(shù)中，表示打3局比賽甲恰好獲勝2局的有9組隨機數(shù)，根據(jù)概率公式，得到結(jié)果．【解答】

解：由題意知模擬打3局比賽甲恰好獲勝2局的結(jié)果，經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了30組隨機數(shù)，

在30組隨機數(shù)中表示打3局比賽甲恰好獲勝2局的有：102，146，245，310，481，337，139，235，246，共9組隨機數(shù)，

∴所求事件的概率為930=310．2.【答案】D

【解析】解：由x2+y2?8x+12=0，得(x?4)2+y2=4，

畫出圓x2+y2=1與(x?4)2+y2=4的圖象如圖，

設(shè)圓P3.【答案】D

【解析】解：∵直線mx+y+1=0與直線2x+y?2=0互相垂直，

∴?4.【答案】B

【解析】解：設(shè)拋物線的方程為y2=2px(p>0)，

因為AB=6，MO=2，

所以點A(2,3)在拋物線上，

所以9=4p，故p=94，

所以拋物線的方程為y2=92x，

所以拋物線的焦點F的坐標為(98,0)，準線方程為x=?98，

在方程y2=92x中取x=155.【答案】A

【解析】【分析】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，屬于中檔題．

方法一：根據(jù)題意畫圖，由圖形的對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a的關(guān)系，可求雙曲線的離心率．

方法二：由題意畫出圖形，先求出|PQ|，再由|【解答】

解：方法一：設(shè)PQ與x軸交于點A，由對稱性可知PQ⊥x軸，

又∵|PQ|=|OF|=c，

∴|PA|=c2，

∴PA為以O(shè)F為直徑的圓的半徑，

∴A為圓心，|OA|=c2，

∴Pc2,c2，又P點在圓x2+y2=a2上，

∴c24+c24=a2，即c22=6.【答案】A

【解析】解：如圖所示，

取AB的中點E，連接PE，CE，

∵△PAB，△ABC為等邊三角形，

∴PE⊥AB，CE⊥AB，∵PE∩CE=E，

∴AB⊥面PEC，∵PC?面7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，屬于較難題．

解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形，利用幾何知識，判斷出PO【解答】

解：圓C外有一點P，圓上有一動點Q，∠OPQ在PQ與圓相切時取得最大值，

因為sin∠OPQ=QOPO，QO為定值，即半徑，

PO變大，則sin∠OPQ變小，由于∠OPQ∈(0,π2)，

所以∠OPQ也隨之變小，可以得知，

當(dāng)∠OPQ=60°，且PQ與圓相切時，PO=2，

而當(dāng)PO>2時，Q在圓上任意移動，∠OPQ8.【答案】B

【解析】解：設(shè)P為第一象限的交點，|PF1|=m、|PF2|=n，

則m+n=2a1、m?n=2a2，

解得m=a1+a2、n=a1?a2，

在△PF1F29.【答案】BD【解析】解：兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)均相差為c，故AC錯誤，

由D(X+b)=D(X)線性公式可知，方差不變，故B正確；

由極差的定義可知，極差不變，故10.【答案】BC【解析】解：因為△AF1B的周長為8，所以4a=8，得a=2，

因為y=x?3過F2，所以c=3，所以b2=a2?c=c2=4?3=1，所以橢圓的焦距為23，故A錯誤；

所以橢圓的方程為程為x24+y2=1，故B正確；11.【答案】AB【解析】解：建系如圖，則根據(jù)題意可得：

B(0,0,0)，E(1,2,2)，F(xiàn)(0,2,1)，G(2,1,0)，B1(0,0,2)，

∴BE=(1,2,2)，BF=(0,2,1)，B1G=(2,1,?2)，EF=(?1,0,?1)，

12.【答案】AB【解析】解：在矩形ABCD中，AB=23，BC=2，E為平面ABCD外一點，

對于A，由EA+EC=8>AC=AB2+BC2=4，

則在平面ACE內(nèi)，點E的軌跡為以A，C為焦點的橢圓上，

易知該橢圓的焦距AC=4=2c，EA+EC=2a=8，

則b=a2?c2=23，

由橢圓的性質(zhì)，可知點E到AC的距離最大值為EF=23，

此時EF⊥AB且AF=BF，如圖：

當(dāng)EF為四棱錐E?ABCD的高時，四棱錐E?ABCD的體積可取得最大值，如圖：

此時平面ABE⊥平面ABCD，則四棱錐E?ABCD的體積可取得最大值13?EF?AB?BC=13×23×23×2=8，故13.【答案】(1【解析】解：設(shè)直線l的一個方向向量為a=(x,y,z)，

由兩平面α與β分別以n1=(2,1,1)與n2=(0,2,1)為其法向量，

可得a?n1=2x+y+14.【答案】①④【解析】解：口袋里裝有1紅，2白，3黃共6個形狀相同的小球，從中取出2球，

事件A=“取出的兩球同色”，B=“取出的2球中至少有一個黃球”，

C=“取出的2球至少有一個白球”，D=“取出的兩球不同色”，E=“取出的2球中至多有一個白球”．

在①中，A與D為對立事件，故①正確；

在②中，B與C能同時發(fā)生，不是互斥事件，故②錯誤；

在③中，C與E能同時發(fā)生，不是對立事件，故③錯誤：

在④中，∵C∪E=Ω，∴P(C∪E)=1，故④正確；15.【答案】9+【解析】解：因為拋物線M的方程為x2=8y，

所以拋物線M的焦點為F(0,2)，準線y=?2，

則直線y=kx+2過拋物線的焦點F，

當(dāng)k=0時，聯(lián)立y=2與x2=8y可得，x=±4

所以|AF|=|DF|=4，則1|AF|+1|DF|=12；

當(dāng)k≠0時，如圖，

過A作AK⊥y軸于K，設(shè)拋物線的準線交y軸于E，

則|EK|=|EF|+|FK|=p+|16.【答案】[?【解析】【分析】本題主要考查圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，及數(shù)形結(jié)合思想的運用，屬于中檔題．

利用平面向量數(shù)量積坐標運算，結(jié)合圓與圓位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合可得．【解答】

解：設(shè)P(x,y)，由PA?PB?20，得(?12?x)(?聯(lián)立方程組x解得x=1,y=7或x=?5,17.【答案】解：(1)由圖可知，10×(2×0.005+a+0.02+0.025+0.03)=1，解得a=0.015．

這100人問答成績的平均數(shù)約為45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．

(2)用分層隨機抽樣的方法從問答成績在[60,80)內(nèi)的人中抽取一個容量為5的樣本，

則問答成績在[60,70)內(nèi)的有22+3×5=2人，分別記為A，B；

問答成績在【解析】(1)由頻率之和為1即可求解a，由平均數(shù)的計算公式即可求解平均數(shù)，

(218.【答案】解：(Ⅰ)橢圓x24+y21=1焦點F1(?3,0)，F(xiàn)2(3,0)，

設(shè)雙曲線C的方程為x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，

由題意可知，c=3a2+b2=c2e=ca=3，解得a2=【解析】(Ⅰ)根據(jù)已知條件，結(jié)合橢圓、雙曲線的性質(zhì)，即可求解；

(Ⅱ)根據(jù)已知條件，設(shè)出直線l的方程，再與雙曲線的方程聯(lián)立，再結(jié)合韋達定理，以及中點坐標公式，即可求解．

本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．19.【答案】解：(1)A1N=A1A+AN=?AA1+12AB=?CC1+12(CB?CA)=?12a+12b?c，【解析】(1)先將A1N用a,b,c表示，再根據(jù)向量的模和數(shù)量積的運算律即可得解；

(2)先將20.【答案】解：(1)由題意，PC垂直直線3x+4y?24=0，設(shè)圓心C(0,a)，

當(dāng)P的坐標為(?95,?75)時，kPC=a+7595=5a+79，

∴5a+79?(?34【解析】(1)當(dāng)P到直線3x+4y?24=0距離最大時，PC與3x+4y?24=21.【答案】解：(1)證明：因為OO1⊥平面ABCD，

以點O為坐標原點，DA,OF,OO1的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系．

因為側(cè)棱所在直線與上下底面中心的連線OO1所成的角為45°，

所以O(shè)O1=2，

則B(2,2,0)，D1(?1,?1,2)，C1(?1,1,2)，F(xiàn)(0,2,0