河南省鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末模擬數(shù)學(xué)試題（一）

鄭州市第十八中學(xué)2023-2024學(xué)年度期末考試模擬題一試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘一?單選題1.已知是等差數(shù)列，且是和的等差中項(xiàng)，則的公差為（）A.1 B.2 C.-2 D.-1【答案】B【解析】【分析】利用等差中項(xiàng)的性質(zhì)得導(dǎo)方程，利用通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程，即可求得公差的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d.由已知條件，得，即，解得.故選B.2.棱長(zhǎng)為的正四面體中，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得的值.【詳解】.故選：A.3.直線與圓交于A，兩點(diǎn)，則當(dāng)弦最短時(shí)直線的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求直線所過(guò)定點(diǎn)，結(jié)合圖形分析，由直線l與CP垂直時(shí)弦最短可解.更多優(yōu)質(zhì)資源可進(jìn)入/【詳解】由得，則令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，由，則圓心，半徑，當(dāng)時(shí)，弦最短，直線的斜率，則直線的斜率，故直線為，則．故選：D4.若，則“”是“方程表示橢圓”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方程表示橢圓求出實(shí)數(shù)的取值范圍，再利用集合的包含關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】若方程表示橢圓，則，解得或，因?yàn)榛颍虼?，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：D.5.已知等差數(shù)列的公差為2，為其前項(xiàng)和，若，則=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)已知條件判斷，再利用通項(xiàng)公式代入計(jì)算，解出即可.【詳解】由知，，即，解得.故選：D.6.雙曲線（）的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則的方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由橢圓的焦點(diǎn)確定雙曲線的焦點(diǎn)，得到，再結(jié)合漸近線知，解得參數(shù)a，b，即得的方程.【詳解】依題意橢圓的焦點(diǎn)為，故雙曲線的焦點(diǎn)也是，故，又由漸近線可知，解得，故的方程為.故選：A.7.已知數(shù)列為等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項(xiàng)和有最大值，那么取得最小正值時(shí)為（）A.11 B.12 C.7 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，判斷出，的符號(hào)，再根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的計(jì)算公式，即可求得.【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和有最大值，故可得，因，故可得，即，所以，可得，又因?yàn)?，故可得，所以?shù)列的前6項(xiàng)和有最大值，且，又因?yàn)?，，故取得最小正值時(shí)n等于.故選：A.8.已知過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，易得，代入橢圓方程可得，又，兩式相結(jié)合即可求解【詳解】不妨設(shè)在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)，是線段的三等分點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，則即，所以，，將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得，即，又，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：B二?多選題9.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.為等差數(shù)列 B.C.最小值為 D.為單調(diào)遞增數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)求出，并確定為等差數(shù)列，進(jìn)而可結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)以及前項(xiàng)和分析求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，時(shí)滿足上式，所以,所以，所以為等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B，由上述過(guò)程可知，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，?duì)稱軸為，又因?yàn)椋援?dāng)或3時(shí)，最小值為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由上述過(guò)程可知的公差等于2，所以為單調(diào)遞增數(shù)列，故D正確.故選:BC.10.已知曲線，則下列判斷正確的是（）A.若，則是圓，其半徑為B.若，則是雙曲線，其漸近線方程為C.若，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上D.若，則是兩條直線【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)橢圓，雙曲線的幾何性質(zhì)，圓的定義逐個(gè)進(jìn)行判斷即可【詳解】若時(shí)，轉(zhuǎn)化為，半徑為，故A錯(cuò)誤；若，當(dāng)，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)，是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，無(wú)論焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上，令，整理可得均是的漸近線，故B正確；若，轉(zhuǎn)化為，由于可知，是焦點(diǎn)在軸上的橢圓，故C正確；若，轉(zhuǎn)化為，是雙曲線不是兩條直線，故D錯(cuò)誤.故選：BC11.設(shè)，分別為雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)為的左支上一點(diǎn)，的焦距等于，且，則（）A.為銳角三角形 B.雙曲線C的離心率為C.為鈍角三角形 D.雙曲線C的離心率為【答案】AD【解析】【分析】在焦點(diǎn)三角形中，利用余弦定理列式得關(guān)于的等式，即可求得離心率，然后再利用余弦定理計(jì)算三角形中的最大角的余弦值，即可判斷最大角為銳角.【詳解】在中，，根據(jù)余弦定理，即，得，所以離心率為，可得，因?yàn)椋宰畲蠼鞘卿J角，所以為銳角三角形故選：AD【點(diǎn)睛】雙曲線上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，稱為雙曲線的焦點(diǎn)三角形，與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的計(jì)算或證明常利用正弦定理、余弦定理、，得到的關(guān)系．12.已知三棱錐B-ACD的側(cè)棱兩兩垂直，E為棱CD的中點(diǎn)，且，，，則（）A.B.異面直線BE與AD所成角的正弦值為C.平面ABE與平面ABD不垂直D.平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為【答案】ACD【解析】【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，A．證明，所以該選項(xiàng)正確；B．利用向量法求出異面直線BE與AD所成角的正弦值為，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.反證法證明平面ABE與平面ABD不垂直，所以該選項(xiàng)正確；D.利用向量法證明平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為，所以該選項(xiàng)正確.【詳解】因?yàn)槿忮FB-ACD的側(cè)棱兩兩垂直，所以建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則,A.，所以，所以該選項(xiàng)正確；B.，所以異面直線BE與AD所成角的余弦值為所以異面直線BE與AD所成角的正弦值為，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.假設(shè)平面ABE與平面ABD垂直，因?yàn)槠矫鍭BE與平面ABD交于,,平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所?顯然不成立，所以平面ABE與平面ABD不垂直，所以該選項(xiàng)正確；D.設(shè)平面ABE的法向量為所以，所以，設(shè)平面ACD的法向量為所以，所以，所以平面ABE與平面ACD所成銳二面角的余弦值為.所以該選項(xiàng)正確.故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：二面角的求法方法一：（幾何法）找作（定義法、三垂線法、垂面法）證（定義）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出兩個(gè)平面的法向量；再代入公式（其中分別是兩個(gè)平面的法向量，是二面角的平面角.）求解.（注意先通過(guò)觀察二面角的大小選擇“”號(hào)）.三?填空題13.設(shè)向量，，，則實(shí)數(shù)________.【答案】【解析】【分析】利用向量數(shù)量積坐標(biāo)計(jì)算公式直接求解.【詳解】因?yàn)椋?，解?故答案為：.【點(diǎn)睛】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來(lái)選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．14.已知圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，請(qǐng)寫出滿足上述條件的一條直線方程__________.（寫出一個(gè)正確答案即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】找出一條滿足條件的直線方程即可.【詳解】圓的圓心為，半徑為2，若要使圓上有且僅有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于1，則圓心到直線的距離應(yīng)該為1，則直線可以為：，此時(shí)由圓得圓心為：，半徑為2，則如圖所示：由圖可知圓上只有點(diǎn)到直線的距離為1，故答案為：（答案不唯一）.15.已知雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則離心率為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)可得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線方程得，由離心率公式即可求解.【詳解】雙曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，解得，所以雙曲線方程為，所以雙曲線焦點(diǎn)在軸上，，所以它的離心率為.故答案為：.16.已知點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.【答案】【解析】【分析】由的幾何意義以及拋物線的定義，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離.【詳解】由，得，則的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：.幾何意義是點(diǎn)到與點(diǎn)的距離之和，根據(jù)拋物線的定義點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，所以的最小值為.故答案為：.四?解答題17.已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)累加迭代即可求解通項(xiàng)；（2）根據(jù)等差數(shù)列的求和公式即可求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，滿足上式，；【小問2詳解】，則，所以是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故，.18.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)，G分別是DD1，BD，BB1的中點(diǎn)，（1）求證：（2）求EF與CG所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，易知坐標(biāo)表示，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算易得，故；（2）在（1）的條件下，易知的坐標(biāo)表示，利用可求得EF與CG所成角的余弦值.【小問1詳解】依題意，建立以D為原點(diǎn)，以DA，DC，分別為x，y，z軸的空直角坐標(biāo)系，如圖，則，則，所以，故，即EFCF.【小問2詳解】由（1）得，則，所以，所以EF與CG所成角的余弦值為.19.已知，，為平面內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）若直線為，求直線被曲線截得的弦的長(zhǎng)度.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)首先設(shè)點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離表示，化簡(jiǎn)求軌跡方程；（2）代入直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【小問1詳解】由題意可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由及兩點(diǎn)間的距離公式可得，整理得.【小問2詳解】由（1）可知，曲線圓心到直線的距離，所以弦的長(zhǎng)度.20.如圖，在多面體中，四邊形是菱形，，，，平面，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于，則是的中點(diǎn)連結(jié)，則，從而平面，再由，即可得到平面，由此能證明平面平面．（2）連接，即可證明平面，如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與面成的角的正弦值．【小問1詳解】證明：連接交于，則是的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，，平面，平面，平面；又，平面，平面，平面，又與相交于點(diǎn)，平面，所以平面平面．【小問2詳解】解：連接，因?yàn)樗倪呅问橇庑?，所以，又，，所以為等邊三角形，所以，又，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)面的法向量為，依題意有，則，令，，，則，所以，所以直線與面成的角的正弦值是．21.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線的兩條漸近線的夾角為．（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使為定值？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)及這個(gè)定值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）存在；定點(diǎn)，【解析】【分析】（1）由漸近線夾角得出漸近線的傾斜角，從而得的值，再由求得得雙曲線方程；（2）當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入雙曲線方程，設(shè)點(diǎn)，得，再設(shè)，計(jì)算，由其為常數(shù)求得，同時(shí)驗(yàn)證當(dāng)直線斜率為0時(shí)，此值也使得為剛才的常數(shù)，即得結(jié)論．【小問1詳解】雙曲線的漸近線為，又，，故其漸近線的傾斜角小于，而雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則漸近線的的傾斜角為，則，即．又，則．所以雙曲線的方程是．【小問2詳解】當(dāng)直線不與軸重合時(shí)，設(shè)直線的方程為，代入，得，即．設(shè)點(diǎn)，則．設(shè)點(diǎn)，則令，得，此時(shí)．當(dāng)直線與軸重合時(shí)，則點(diǎn)為雙曲線的兩頂點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)．對(duì)于點(diǎn)．所以存在定點(diǎn)，使為定值．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查求雙曲線方程，圓錐曲線中的的定值問題，解題方法是設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線方程并代入圓錐曲線方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得（或），代入題設(shè)要得定值的式子，利用定值得出參數(shù)值．并驗(yàn)證特殊表形下也成立．22.已知直線與垂直,且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求的方程;（2）若與圓相交于兩點(diǎn),求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得直線的斜率為，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用直線與圓的弦長(zhǎng)公式，即可求解.【小問1詳解】解：由直線，可得斜率，因?yàn)?，所以直線的斜率為，又因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.小問2詳解】解：由圓，可得圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，又由圓的弦長(zhǎng)公式，可得弦長(zhǎng).附加：23.已知拋物線和圓交于兩點(diǎn),且，其中O為坐標(biāo)