安徽省阜陽(yáng)市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 （含答案解析）

安徽省阜陽(yáng)市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（滬科版）一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.已知線段，，如果線段是線段和的比例中項(xiàng)，那么線段的長(zhǎng)度是（）A. B.8 C.9 D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線段的比例中項(xiàng)的定義得到，再代值求解即可．【詳解】解：∵線段b是線段a和c的比例中項(xiàng)，∴，∵，，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查線段的比例中項(xiàng)，能根據(jù)定義正確列出a、b、c的關(guān)系式是解答的關(guān)鍵．2.若拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為（）A.直線 B.直線 C.直線 D.直線【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，兩點(diǎn)的特點(diǎn)，可知點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性即可求解．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴當(dāng)時(shí)的函數(shù)值與的函數(shù)值相同，∴點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，∴二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性即對(duì)稱(chēng)軸的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．3.對(duì)于拋物線的說(shuō)法正確的是（）A.開(kāi)口向上 B.頂點(diǎn)坐標(biāo)是C.對(duì)稱(chēng)軸是直線 D.當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，逐項(xiàng)分析判斷即可．【詳解】解：對(duì)于拋物線，∵，∴該拋物線開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；其頂點(diǎn)坐標(biāo)為，故選項(xiàng)B說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；其對(duì)稱(chēng)軸是直線，故選項(xiàng)C說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，選項(xiàng)D說(shuō)法正確，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．4.已知兩個(gè)相似三角形的相似比為，則它們的周長(zhǎng)的比為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)中周長(zhǎng)比等于相似比即可求解．【詳解】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比為，∴它們的周長(zhǎng)的比為，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，理解并掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.已知某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開(kāi)口大小相同，開(kāi)口方向相反，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)式的頂點(diǎn)坐標(biāo)為的知識(shí)即可求解．【詳解】解：∵某拋物線與二次函數(shù)的圖像的開(kāi)口大小相同，開(kāi)口方向相反，∴某拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)為，∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為，∴該拋物線的解析為：，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握其圖形大小，開(kāi)口，頂點(diǎn)的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．6.如圖，已知D.E分別在△ABC的AB.AC邊上，△ABC與△AED相似，則下列各式成立的是（）A.； B.；C.； D.．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例列式解答即可.【詳解】∵△ABC與△AED相似，∴,∴.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，如果兩個(gè)三角形相似，那么它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.7.如圖所示，是一個(gè)長(zhǎng)、寬的矩形花園，根據(jù)需要將它的長(zhǎng)縮短、寬增加，要想使修改后的花園面積達(dá)到最大，則x應(yīng)為（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：由題意得修改后的花園面積，∵，∴當(dāng)時(shí)，修改后的花園面積達(dá)到最大，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列出修改后的花園面積與x之間的關(guān)系式．8.如圖，在平行四邊形中，，若，則（）A.27 B.18 C.9 D.3【答案】A【解析】【分析】此題考查學(xué)生對(duì)相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積、平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解與掌握．解決本題的關(guān)鍵是掌握相似三角形面積比是相似比的平方．根據(jù)是平行四邊形，推出，相似比等于．由相似三角形面積比是相似比的平方，即可求得答案．【詳解】解：，，是平行四邊形，，，，，，，．故選：A．9.如圖，在中，，，，將沿折疊，使點(diǎn)C落在邊上處，并且，則的長(zhǎng)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)勾股定理就可以求出AC的值，再根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)就可以得出，由得出就可以得出就可以求出結(jié)論．【詳解】解：∵，由勾股定理，得．∵與關(guān)于成軸對(duì)稱(chēng)，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．10.如圖，是的對(duì)角線，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F、P分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，若，且是等腰三角形，則的長(zhǎng)為（）A或 B.或 C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】分三種情況進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別畫(huà)出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】解：∵四邊形為平行四邊形，∴，，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵是的對(duì)角線，，，∴是直角三角形，，∴，∴，，當(dāng)時(shí)，如圖①，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)G，則．∵，∴，∴，，，又∵，∴，∴；當(dāng)時(shí)，如圖②，則，∴；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，不存在．綜上所述，的長(zhǎng)為或．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，等腰三角形的定義，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，畫(huà)出圖形，并進(jìn)行分類(lèi)討論．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11.如果線段，，那么的值為_(kāi)_____．【答案】8【解析】【分析】單位統(tǒng)一后根據(jù)比的定義進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵線段，，∴，答案為：8【點(diǎn)睛】此題考查了比，熟練掌握比的前項(xiàng)和后項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．12.如圖，在中，P為邊上一點(diǎn)，且，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的判定可得：，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出比例式求出，結(jié)合圖形即可求解．詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似和相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例是解決此題的關(guān)鍵．13.若正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，則的值是______．【答案】【解析】【分析】將點(diǎn)代入正比例函數(shù)表示出的值，再代入反比例函數(shù)表示出的值，根據(jù)兩個(gè)的值相等列式，最后計(jì)算分式方程的值即可求解．【詳解】解：∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，∴，則，，則，∴，整理得，，∴，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，的分母不為零，有意義，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，解分式方程的方法，掌握以上知識(shí)及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．14.已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，以為對(duì)角線作正方形．則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，正方形周長(zhǎng)的最小值是______．【答案】①.②.【解析】【分析】將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，的最小，正方形的周長(zhǎng)最下，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；∵四邊形是正方形，∴，∵點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到拋物線的頂點(diǎn)處時(shí)，的最小，∴當(dāng)時(shí)，，則有最小值，∴最小值是，正方形周長(zhǎng)的最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，二次函數(shù)與線段最小值的綜合，掌握二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算方法，線段最小值的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15.已知，求和值．【答案】，【解析】【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)和計(jì)算方法即可求解．【詳解】解：∵，∴，，∴，．【點(diǎn)睛】本題主要考查比的性質(zhì)和計(jì)算，掌握其運(yùn)算方法是解題的關(guān)鍵．16.如圖，已知二次函數(shù)們圖像分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，求該函數(shù)的解析式．【答案】二次函數(shù)的解析式為【解析】【分析】將點(diǎn)點(diǎn)，代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求解即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17.如圖，在中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，，．求長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】根據(jù)“對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)邊的夾角相等”可判定兩個(gè)三角形相似，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】證明：∵，，，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．（1）以原點(diǎn)為位似中心，在第一象限內(nèi)將縮小得到，相似比為，請(qǐng)畫(huà)出；（2）直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)（______，______）；（3）求出的面積．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）的面積為【解析】【分析】（1）根據(jù)的三個(gè)頂點(diǎn)，位似比的值，可算出點(diǎn)的坐標(biāo)，連接即可求解；（2）根據(jù)相似比即可求解；（3）根據(jù)圖形，運(yùn)用三角形面積的計(jì)算方法即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：∵，，，以原點(diǎn)為位似中心，相似比為，∴，∴，即，∴，則同理，，連接，如圖所示，∴即為所求圖形．【小問(wèn)2詳解】解：根據(jù)題意，，位似比為，∴，故答案為：．【小問(wèn)3詳解】解：∵，，∴，∴的面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查平面直角坐標(biāo)系中位似的運(yùn)用，掌握位似比的運(yùn)算，作圖，面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．五、（本大題共2小題，每小題10分，總計(jì)20分）19.如圖，一次函數(shù)是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．（1）求的值和該反比例函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式．（2）求的面積．【答案】（1），該反比例函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為（2）的面積為【解析】【分析】（1）把代入，可求出反比例函數(shù)解析，再把代入反比例函數(shù)解析式即可求解；（2）運(yùn)用代數(shù)系數(shù)法求出所在直線的解析式，并求出的坐標(biāo)，可確定的長(zhǎng)，由此即可求解．【小問(wèn)1詳解】解：把代入得，，解得，∴反比例函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式為，把代入得，，解得，∴．【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線的函數(shù)關(guān)系式為，把，分別代入，∴，解得，，∴直線的函數(shù)關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴的面積為12．【點(diǎn)睛】本題主要考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，幾何圖形的面積計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．20.已知：如圖，在中，、的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O的直線，分別交、于點(diǎn)D、E．（1）求證：；（2）若，，，求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義得到，，由平行線的性質(zhì)得到，，則，，利用等量代換即可得到結(jié)論；（2）求出，，由得到，代入數(shù)值即可得到答案．【小問(wèn)1詳解】證明：∵中，和分別平分和，∴，，又∵，∴，，∴，，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，，，∴，∵，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等角對(duì)等邊等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．六、（本題滿分12分）21.已知：如圖，點(diǎn)、分別在的邊、上，，點(diǎn)在上，且．求證：（1）；（2）．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）首先證明，易得，再結(jié)合，可得，進(jìn)而可得，即可證明；（2）結(jié)合，可得，由平行線分線段成比例定理可得，然后結(jié)合，可得，進(jìn)而可得，即可證明結(jié)論．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，又∵，∴；【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)并靈活運(yùn)用．七、（本題滿分12分）22.某玩具廠計(jì)劃生產(chǎn)一種玩具熊貓，每日最高產(chǎn)量為40只，且每日產(chǎn)出的產(chǎn)品全部售出．已知生產(chǎn)x只玩具熊貓的成本為R（元），售價(jià)每只為P（元），且R、P與x的關(guān)系式分別為R＝500＋30x，P＝170－2x．（1）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，每日獲得的利潤(rùn)為1750元？（2）當(dāng)日產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？【答案】（1）25；（2）35；1950元．【解析】【分析】（1）根據(jù)總利潤(rùn)=售價(jià)×數(shù)量－成本得出一元二次方程，然后解出答案，根據(jù)日最高產(chǎn)量為40只進(jìn)行驗(yàn)根；（2）設(shè)每天所獲利潤(rùn)為W，然后列出函數(shù)解析式，最后進(jìn)行配方得出最大值．【詳解】（1）由題意得：（170-2x）x-（500+30x）=1750，解得x1=25，x2=45（大于每日最高產(chǎn)量為40只，舍去）（2）設(shè)每天所獲利潤(rùn)為W，由題意得，W=（170-2x）x-（500+30x）=-2x2+140x-500=-2（x-35）2+1950．答：當(dāng)x=35時(shí)，W有最大值1950元．【點(diǎn)睛】考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用八、（本題滿分14分）23.如圖，四邊形中，平分，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)（1）求證：；（2）求證：；（3）若，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】本題考查相似三角形，直角三角形，平行線的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定和