四川省瀘縣二中2024屆數(shù)學高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

四川省瀘縣二中2024屆數(shù)學高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．函數(shù)的圖象如圖所示，則y的表達式為（）A． B．C． D．2．把函數(shù)的圖像上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖像所表示的函數(shù)是（）A． B．C． D．3．已知向量，，，若，則（）A．1 B．2 C．3 D．44．若a,b,c∈R，且滿足a>b>c，則下列不等式成立的是（）A．1a<C．a(chǎn)c25．為數(shù)列的前n項和,若,則的值為()A．-7 B．-4 C．-2 D．06．向正方形ABCD內(nèi)任投一點P，則“的面積大于正方形ABCD面積的”的概率是（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，那么下列式子：①；②；③；④；其中恒成立的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④8．一個圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑，設圓柱的側(cè)面積為，球的表面積為，則()A． B． C． D．19．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，，則球的表面積為（）A． B． C． D．10．若數(shù)列滿足（，為常數(shù)）,則稱數(shù)列為“調(diào)和數(shù)列”.已知數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，且，則的最大值是（）A．50 B．100 C．150 D．200二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．________.12．等差數(shù)列，，存在正整數(shù)，使得，，若集合有4個不同元素，則的可能取值有______個.13．若直線l1：ax＋3y＋1＝0與l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，則a的值為________．14．已知，且這三個數(shù)可適當排序后成等差數(shù)列，也可適當排序后成等比數(shù)列，則_______________.15．函數(shù)的最小正周期是____.16．正方體中，異面直線和所成角的余弦值是________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設a為實數(shù)，函數(shù)，（1）若，求不等式的解集；（2）是否存在實數(shù)a，使得函數(shù)在區(qū)間上既有最大值又有最小值？若存在，求出實數(shù)a的取值范圍；若不存在，請說明理由；（3）寫出函數(shù)在R上的零點個數(shù)（不必寫出過程）．18．已知數(shù)列，.(1)記，證明:是等比數(shù)列；(2)當是奇數(shù)時，證明:；(3)證明:.19．已知.（1）求；（2）求向量與的夾角的余弦值.20．設常數(shù)，函數(shù)．（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）若，求方程在區(qū)間上的解．21．如圖，已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，點，分別為和的中點.（1）若，求三棱柱的體積；（2）證明：平面；（3）請問當為何值時，平面，試證明你的結(jié)論.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解題分析】

根據(jù)圖像最大值和最小值可得，根據(jù)最大值和最小值的所對應的的值，可得周期，然后由，得到，代入點，結(jié)合的范圍，得到答案.【題目詳解】根據(jù)圖像可得，，即，根據(jù)，得，所以，代入，得，所以，，所以，又因，所以得，所以得到，故選B.【題目點撥】本題考查根據(jù)函數(shù)圖像求正弦型函數(shù)的解析式，屬于簡單題.2、C【解題分析】

根據(jù)左右平移和周期變換原則變換即可得到結(jié)果.【題目詳解】向左平移個單位得：將橫坐標縮短為原來的得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查三角函數(shù)的左右平移變換和周期變換的問題，屬于基礎題.3、A【解題分析】

利用坐標表示出，根據(jù)垂直關系可知，解方程求得結(jié)果.【題目詳解】，，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查向量垂直關系的坐標表示，屬于基礎題.4、C【解題分析】

通過反例可依次排除A,B,D選項；根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷出C正確.【題目詳解】A選項：若a=1，b=-2，則1a>1B選項：若a=1，b=12，則1aC選項：c2+1>0又a>b∴ac2D選項：當c=0時，ac=bc本題正確選項：C【題目點撥】本題考查不等式性質(zhì)的應用，解決此類問題通常采用排除法，利用反例來排除錯誤選項即可，屬于基礎題.5、A【解題分析】

依次求得的值，進而求得的值.【題目詳解】當時，；當時，，；當時，；故.故選：A.【題目點撥】本小題主要考查根據(jù)遞推關系式求數(shù)列每一項，屬于基礎題.6、C【解題分析】

由題意，求出滿足題意的點所在區(qū)域的面積，利用面積比求概率.【題目詳解】由題意，設正方形的邊長為1，則正方形的面積為1，要使的面積大于正方形面積的，需要到的距離大于，即點所在區(qū)域面積為，由幾何概型得，的面積大于正方形面積的的概率為.故選：C.【題目點撥】本題考查幾何概型的概率求法，解題的關鍵是明確概率模型，屬于基礎題.7、A【解題分析】

根據(jù)正弦函數(shù)的周期性及對稱性，逐項判斷，即可得到本題答案.【題目詳解】由，得，所以的最小正周期為，即，故①正確；由，令，得的對稱軸為，所以是的對稱軸，不是的對稱軸，故②正確，③不正確；由，令，得的對稱中心為，所以不是的對稱中心，故④不正確.故選：A【題目點撥】本題主要考查正弦函數(shù)的周期性以及對稱性.8、D【解題分析】

由圓柱的側(cè)面積及球的表面積公式求解即可.【題目詳解】解：設圓柱的底面半徑為，則，則圓柱的側(cè)面積為，球的表面積為，則，故選：D.【題目點撥】本題考查了圓柱的側(cè)面積的求法，重點考查了球的表面積公式，屬基礎題.9、A【解題分析】設外接圓半徑為，三棱錐外接球半徑為，∵，∴，∴，∴，∴，由題意知，平面，則將三棱錐補成三棱柱可得，，∴，故選A．點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點構成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解．10、B【解題分析】

根據(jù)調(diào)和數(shù)列定義知為等差數(shù)列，再由前20項的和為200知，最后根據(jù)基本不等式可求出的最大值。【題目詳解】因為數(shù)列為調(diào)和數(shù)列，所以，即為等差數(shù)列又，又大于0所以【題目點撥】本題考查了新定義“調(diào)和數(shù)列”的性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)及其前n項公式、基本不等式的性質(zhì)，屬于難題。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

直接利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，即可得到結(jié)果．【題目詳解】．故答案為：.【題目點撥】本題考查兩角和與差的余弦函數(shù)公式，以及特殊角的三角函數(shù)值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力．12、4【解題分析】

由題意得為周期數(shù)列，集合有4個不同元素，得，在分別對取值討論即可.【題目詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則，，由題意，存在正整數(shù)，使得，又集合有4個不同元素，得，當時，，即，，或（舍），，取，則，在單位圓上的4個等分點可取到4個不同的正弦值，即集合可取4個不同元素；當，，即，，在單位圓上的5個等分點不可能取到4個不同的正弦值，故舍去；同理可得：當，，，集合可取4個不同元素；當時，，單位圓上至少9個等分點取4個不同的正弦值，必有至少3個相等的正弦值，不符合集合的元素互異性，故不可取應舍去.故答案：4.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的通項公式、集合元素的性質(zhì)以及三角函數(shù)的周期性，理解分析問題能力，屬于難題.13、-3【解題分析】試題分析：由兩直線平行可得：，經(jīng)檢驗可知時兩直線重合，所以．考點：直線平行的判定．14、5【解題分析】

試題分析：由題意得，為等差數(shù)列時，一定為等差中項，即，為等比數(shù)列時，-2為等比中項，即，所以.考點：等差，等比數(shù)列的性質(zhì)15、【解題分析】

將三角函數(shù)化簡為標準形式，再利用周期公式得到答案.【題目詳解】由于所以【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的化簡，周期公式，屬于簡單題.16、【解題分析】

由，可得異面直線和所成的角，利用直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)果.【題目詳解】因為，所以異面直線和所成角，設正方體的棱長為，則直角三角形中，，，故答案為.【題目點撥】本題主要考查異面直線所成的角，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角，先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質(zhì)及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結(jié)果一定要取絕對值.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）不存在這樣的實數(shù),理由見解析（3）見解析【解題分析】

（1）代入的值,通過討論的范圍,求出不等式的解集即可；（2）通過討論的范圍,求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,再求出函數(shù)的最值,得到關于的不等式組,解出并判斷即可；（3）通過討論的范圍,判斷函數(shù)的零點個數(shù)即可【題目詳解】（1）當時,,則當時,,解得或,故；當時,,解集為,綜上,的解集為（2）,顯然,,①當時,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為函數(shù)在上既有最大值又有最小值,所以,,則,即,解得,故不存在這樣的實數(shù)；②當時,則在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因為函數(shù)在上既有最大值又有最小值,故,,則,即,解得,故不存在這樣的實數(shù)；③當時,則為上的遞增函數(shù),故函數(shù)在上不存在最大值和最小值,綜上,不存在這樣的實數(shù)（3）當或時,函數(shù)的零點個數(shù)為1；當或時,函數(shù)的零點個數(shù)為2；當時,函數(shù)的零點個數(shù)為3【題目點撥】本題考查分段函數(shù)的應用,考查利用函數(shù)的單調(diào)性求最值,考查函數(shù)的零點個數(shù),著重考查分類討論思想18、(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析【解題分析】

（1）對遞推關系進行變形得，從而證明是等比數(shù)列；（2）由(1)得，代入所證式子，再利用放縮法進行證明；（3）由(2)可知，對分偶數(shù)和奇數(shù)計論，放縮法和等比數(shù)列求和，即可證明結(jié)論.【題目詳解】(1)∵，∴，且所以，數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列.(2)由(1)可知當k是奇數(shù)時，(3)由(2)可知，當為偶數(shù)時，當為奇數(shù)時，所以.【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的定義證明、等比數(shù)列前項和、不等式的放縮法證明，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意討論的突破口.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)題意求出，即可求解；（2）向量與的夾角的余弦值為：代入求值即可得解.【題目詳解】（1）由題：，解得：（2）向量與的夾角的余弦值為：【題目點撥】此題考查平面向量數(shù)量積的運算，根據(jù)運算法則求解數(shù)量積和模長，求解向量夾角的余弦值.20、(1);(2)或或.【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和三角形的函數(shù)的性質(zhì)即可求出，（2）先求出a的值，再根據(jù)三角形函數(shù)的性質(zhì)即可求出．【題目詳解】（1）∵，∴，∵為偶函數(shù)，∴，∴，∴，∴；（2）∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，或，∴，或，∵，∴或或【題目點撥】本題考查了三角函數(shù)的化簡和求值，以及三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．21、（1）4；（2）證明見解析；（3）時，平面，證明見解析.【解題分析】

（1）直接根據(jù)三棱柱體積計算公式求解即可；（2）利用中位線證明面面平行，再根據(jù)面面平行的