2024屆廣東省實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題含解析

2024屆廣東省實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末監(jiān)測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比.若，，，數(shù)列的前n項和為，則當取最大值時，n的值為（）A．8 B．9 C．8或9 D．172．已知圓C與直線和直線都相切，且圓心C在直線上，則圓C的方程是（）A． B．C． D．3．若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是()A． B． C．5 D．64．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a﹣b＝ccosB﹣ccosA，則△ABC的形狀為（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形5．向量，，若，則（）A．2 B． C． D．6．已知直線的傾斜角為，在軸上的截距為2，則此直線方程為（）A． B． C． D．7．我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺,兩鼠對穿,初日各一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,問幾何日相逢？”現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,則輸出結(jié)果n=()A．2 B．3 C．4 D．58．若函數(shù)（）有兩個不同的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知向量滿足.為坐標原點，.曲線，區(qū)域.若是兩段分離的曲線，則()A． B． C． D．10．德國數(shù)學(xué)家科拉茨1937年提出了一個著名的猜想：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，不斷重復(fù)這樣的運算，經(jīng)過有限步后，一定可以得到1.對于科拉茨猜想，目前誰也不能證明，也不能否定，現(xiàn)在請你研究：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1（注：1可以多次出現(xiàn))，則的所有不同值的個數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．32二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數(shù)列，若，則______.12．當實數(shù)a變化時，點到直線的距離的最大值為_______.13．已知是第二象限角，且，且______.14．在中，，，為角，，所對的邊，點為的重心，若，則的取值范圍為______.15．設(shè)扇形的半徑長為，面積為，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是16．設(shè)滿足約束條件，則目標函數(shù)的最大值為______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，令，求18．如圖所示，經(jīng)過村莊有兩條夾角為的公路，根據(jù)規(guī)劃要在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)修建一工廠，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫（異于村莊），要求（單位：千米），記.（1）將用含的關(guān)系式表示出來；（2）如何設(shè)計（即為多長時），使得工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最?。垂S與村莊的距離最大）？19．已知，，且與的夾角為.（1）求在上的投影；（2）求.20．半期考試后，班長小王統(tǒng)計了50名同學(xué)的數(shù)學(xué)成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)頻率分布直方圖，估計這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績；用分層抽樣的方法從成績低于115的同學(xué)中抽取6名，再在抽取的這6名同學(xué)中任選2名，求這兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在中的概率．21．在中，角所對的邊分別為．且．（1）求的值；（2）若，求的面積．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】∵為等比數(shù)列，公比為，且∴∴，則∴∴∴，∴數(shù)列是以4為首項，公差為的等差數(shù)列∴數(shù)列的前項和為令當時，∴當或9時，取最大值.故選C點睛：（1）在解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算問題時，有兩個處理思路：一是利用基本量將多元問題簡化為一元問題；二是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問題的快捷方便的工具；（2）求等差數(shù)列的前項和最值的兩種方法：①函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項和的函數(shù)表達式，通過配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解；②鄰項變號法：當時，滿足的項數(shù)使得取得最大值為；當時，滿足的項數(shù)使得取得最小值為.2、B【解題分析】

設(shè)出圓的方程，利用圓心到直線的距離列出方程求解即可【題目詳解】∵圓心在直線上，∴可設(shè)圓心為，設(shè)所求圓的方程為，則由題意，解得∴所求圓的方程為．選B【題目點撥】直線與圓的問題絕大多數(shù)都是轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離公式進行求解3、C【解題分析】

由已知可得，則，所以的最小值，應(yīng)選答案C．4、D【解題分析】

用正弦定理化邊為角，再由誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式化簡變形可得．【題目詳解】∵a﹣b＝ccosB﹣ccosA，∴，∴,∴，∴或，∴或，故選：D.【題目點撥】本題考查正弦定理，考查三角形形狀的判斷．解題關(guān)鍵是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用．5、C【解題分析】試題分析：，，得得，故選C.考點：向量的垂直運算，向量的坐標運算.6、D【解題分析】

由題意可得直線的斜率和截距，由斜截式可得答案．【題目詳解】解：∵直線的傾斜角為45°，∴直線的斜率為k＝tan45°＝1，由斜截式可得方程為：y＝x+2，故選：D．【題目點撥】本題考查直線的斜截式方程，屬基礎(chǔ)題．7、C【解題分析】開始，輸入，則，判斷，否，循環(huán)，，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，否，循環(huán)，則，判斷，是，輸出，結(jié)束.故選擇C.8、A【解題分析】

函數(shù)（）有兩個不同的零點等價于函數(shù)在均有一個解，再解不等式即可.【題目詳解】解：因為，由函數(shù)（）有兩個不同的零點，則函數(shù)在均有一個解，則，解得：，故選：A.【題目點撥】本題考查了分段函數(shù)的零點問題，重點考查了分式不等式的解法，屬中等題.9、A【解題分析】

不妨設(shè)，由得出點的坐標，根據(jù)題意得出曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓，區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)，再由是兩段分離的曲線，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系得出的取值.【題目詳解】不妨設(shè)則，所以，則曲線表示一個以為圓心，為半徑的圓因為區(qū)域，所以區(qū)域表示以為圓心，內(nèi)徑為，外徑為的圓環(huán)由于是兩段分離的曲線，則該兩段曲線分別為上圖中的要使得是分離的曲線，則所在的圓與圓相交于不同的兩點所以，即故選：A【題目點撥】本題主要考查了集合的應(yīng)用以及由圓與圓的位置關(guān)系確定參數(shù)的范圍，屬于中檔題.10、A【解題分析】

由題意：任給一個正整數(shù)，如果是偶數(shù)，就將它減半(即)；如果是奇數(shù)，則將它乘3加1(即)，我們可以從第六項為1出發(fā)，逐項求出各項的取值，可得的所有不同值的個數(shù).【題目詳解】解：由題意：如果對正整數(shù)(首項)按照上述規(guī)則施行變換后的第6項為1，則變換中的第5項一定是2，變換中的第4項一定是4，變換中的第3項可能是1，也可能是8，變換中的第2項可能是2，也可能是16，則的可能是4，也可能是5，也可能是32，故的所有可能的取值為，故選：A.【題目點撥】本題主要考查數(shù)列的應(yīng)用及簡單的邏輯推理，屬于中檔題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

利用等差數(shù)列的通項公式直接求解.【題目詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為，由，得，解得.故答案：.【題目點撥】本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．12、【解題分析】

由已知直線方程求得直線所過定點，再由兩點間的距離公式求解．【題目詳解】由直線，得，聯(lián)立，解得．直線恒過定點，到直線的最大距離．故答案為：．【題目點撥】本題考查點到直線距離最值的求法，考查直線的定點問題，是基礎(chǔ)題．13、【解題分析】

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，然后利用誘導(dǎo)公式可求出的值.【題目詳解】是第二象限角，則，由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.【題目點撥】本題考查利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式求值，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.14、【解題分析】

在中，延長交于，由重心的性質(zhì)，找到、和的關(guān)系，在和中利用余弦定理分別表示出和，求出，再利用余弦定理表示出，利用基本不等式和的范圍求解即可.【題目詳解】畫出，連接，并延長交于，因為是的重心，所以為中點，因為，所以，由重心的性質(zhì)，，在中，由余弦定理得，，在中，由余弦定理得，因為，所以，又，所以，在中，由余弦定理和基本不等式，，又，所以，故.故答案為：【題目點撥】本題主要考查三角形重心的性質(zhì)、余弦定理解三角形和基本不等式求最值，考查學(xué)生的分析轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.15、2【解題分析】試題分析：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為α，則扇形面積為S=αr2=α×22=4解得：α=2考點：扇形面積公式．16、7【解題分析】

首先畫出可行域，然后判斷目標函數(shù)的最優(yōu)解，從而求出目標函數(shù)的最大值.【題目詳解】如圖，畫出可行域，作出初始目標函數(shù)，平移目標函數(shù)，當目標函數(shù)過點時，目標函數(shù)取得最大值，，解得,.故填：7.【題目點撥】本題考查了線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

試題分析：(1)利用得到相鄰兩項的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題；(2)利用裂項相消法求和.試題解析：（1）由，得得∴是等比數(shù)列，且公比為（2）由（1）及得，18、（1），；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)正弦定理，得到，進而可求出結(jié)果；（2）由余弦定理，得到，結(jié)合題中數(shù)據(jù)，得到，取最大值時，噪聲對居民影響最小，即可得出結(jié)果.【題目詳解】（1）因為，在中，由正弦定理可得：，所以，；（2）由題意，由余弦定理可得：，又由（1）可得，所以，當且僅當，即時，取得最大值，工廠產(chǎn)生的噪聲對居民影響最小，此時.【題目點撥】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，熟記正弦定理與余弦定理即可，屬于?？碱}型.19、(1)-2.(2).【解題分析】分析：(1)根據(jù)題中所給的條件，利用向量的數(shù)量積的定義式，求得，之后應(yīng)用投影公式，在上的投影為，求得結(jié)果；(2)應(yīng)用向量模的平方等于向量的平方，之后應(yīng)用公式求得結(jié)果.詳解：（1）在上的投影為（2）因為，，且與的夾角為所以所以點睛：該題考查的是有關(guān)向量的投影以及向量模的計算問題，在解題的過程中，涉及到的知識點有向量的數(shù)量積的定義式，投影公式，向量模的平方和向量的平方是相等的，靈活運用公式求得結(jié)果.20、（1）（2）【解題分析】

⑴用頻率分布直方圖中的每一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)乘以對應(yīng)的概率并求和即可得出結(jié)果；⑵首先可通過分層抽樣確定6人中在分數(shù)段以及分數(shù)段中的人數(shù)，然后分別寫出所有的基本事件以及滿足題意中“兩名同學(xué)數(shù)學(xué)成績均在中”的基本事件，最后兩者相除，即可得出結(jié)果．【題目詳解】⑴由頻率分布表，估計這50名同學(xué)的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)椋?；⑵由頻率分布直方圖可知分數(shù)低于115分的同學(xué)有人，則用分層抽樣抽取6人中，分數(shù)在有1人，用a表示，分數(shù)在中的有5人，用、、、、表示，則基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共15個，滿足條件的基本事件為、、、、、、、、、，共10個，所以這兩名同學(xué)分數(shù)均在中的概率為．【題目點撥】本題考查了頻率分布直