數制與邏輯電路

教學目的學習計算機中數據信息的表示方式和各種表示方式之間的內在聯(lián)系、二進制的定點與浮點表示及其原碼反碼補碼表示，使大家對數值數據的表示方式有所了解。

教學重點不同進制數之間的轉換二進制數的原碼、反碼及補碼表示1.1

數制教學引入

計算機可以處理各種各樣的數據，如文本、圖像、聲音、動畫等，那么這些信息在計算機內部是如何保存的？

返回下一頁按形表示按一定的編碼方法來表示數據按值表示要求在選定的進位制中正確地表示出數值，包括數字符號、小數點位置及正負符號等。表示數據信息的兩種基本方法12上一頁

返回下一頁1.特點：⑴10個有序的數字符號：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9其中：“十”為進位基數(Base/Radix)，⑶“逢十進一”的計數規(guī)則⑵小數點符號：“.”2.表示法：并列表示法PositionalNotation

多項式表示法PolynomialNotation簡稱基數(R)。十進制數上一頁

返回下一頁例：十進制數12345.67809②多項式表示法

:將并列式按“權”展開為按權展開式，稱為多項式表示法。如下例：10410310210110010-110-210-310-410-5

如上所示，處在不同位置的數字具有不同的“權”，并列計數法，也稱位置表示法。萬千百十個位位位位位小數點十百千萬十萬分分分分分位位位位位①并列表示法12345.67809=1×104+2×103+3×102+4×101+5×100+6×10-1+7×10-2+8×10-3+0×10-4+9×10-

5上一頁

返回下一頁進位制數

所謂“數制”，即各種進位計數制。在R進制中，具有R個數字符號，它們是0，1，2，…，（R-1）在R進制中，由低位向高位是按“逢R進一”的規(guī)則進行計數。

R進制的基數（base）是R，R進制數的第i位的權(weight)為“Ri”，并約定整數最低位的位序號i=0（i=n,…2，1，0，-1，-2…）。小數點右移一位擴大Ｒ倍，左移一位縮小為原來的1/Ｒ倍。1.1.1

進位制數及其相互轉換上一頁

返回下一頁不同數制表示在數碼的右下角注明數制或在數的后面加一個字母。

B：二進制數

Q：八進制數

D：十進制數

H：十六進制數不同數制特點進位計數制方式:每種數制使用數碼個數R稱為基數，進位計數制編碼符合“逢R進位”規(guī)則。位權表示法:數制中每一固定位置對應的單位值稱為權，處于不同位置數碼代表的值與它所在位置權值有關。121.1.1進位制數及其相互轉換（序）上一頁

返回下一頁進位制二進制八進制十進制

十六進制規(guī)則基數數碼

權形式表示逢二進一R=20,12iB逢八進一R=80,1,2,…78iQ逢十進一R=100,1,2,…,910iD逢十六進一R=160,1,…,9,A,B,C,D,E,F16iH計算機中常用進制數的表示重點上一頁

返回下一頁使用按權相加法，即將各位進制數碼與它對應的權相乘，其積相加，和數即為與該R進制數相對應的十進制數。

整數的轉換:采用除R取余法。從最后一次除得余數讀起（即從高位到低位）。小數部分的轉換:采用乘R取整法，將所得小數從第一次乘得整數讀起，就是這個十進制小數所對應的R進制小數R進制數→十進制數十進制數→R進制數不同數制之間的轉換重點上一頁

返回下一頁

分析：使用按權相加法，即將各位進制數碼與它對應的權相乘，其積相加，和數即為與該R進制數相對應的十進制數。(1100101.101)2=1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20+1×2-1+0×2-2+1×2-3=64+32+0+0+4+0+1+0.5+0.125=（101.625）10即（1100101.101）2=（101.625）10例1：求（1100101.101）2的等值十進制數。上一頁

返回下一頁33解:先求（66）10等值二進制數余數

266 即（66）10=（1000010)2再求小數部分

積的整數部分

0.625×2=1.250

10.250×2=0.500

0

0.500×2=1.000

1

即(0.625)10=(0.101)2所以：(66.625）10=(1000010.101）2注意：十進制小數不一定都能轉換成完全等值的二進制小數，所以有時要取近似值，有換算誤差存在。01684210100001例2：求（66.625）10等值二進制數

分析：將此數分成整數和小數兩部分分別轉換，然后再拼接起來。上一頁

返回下一頁二進制、八進制、十六進制間轉換二進制數→八進制數

“三位并一位”以小數點為基準，整數部分從右至左，每三位一組，最高位不足三位時，添0補足三位；小數部分從左至右，每三位一組最低有效位不足三位時，添0補足三位。各組三位二進制數按22，21，20權展開后相加，得到一個八進制數八進制數→二進制數

“一位拆三位”把一位八進制寫成對應的三位二進制，然后按權連接即可二進制數→十六進制數

“四位并一位”以小數點為基準，整數部分從右至左，每四位一組，最高位不足四位時，添0補足四位；小數部分從左至右，每四位一組最低有效位不足四位時，添0補足四位。各組四位二進制數按23,

22，21，20權展開后相加，得到一個十六進制數十六進制數→二進制數

“一位拆四位”把一位十六進制寫成對應的四位二進制，然后按權連接即可重點上一頁

返回下一頁解：

001

010

111011.001

011

100

127

3.1

3

4

即：(1010111011.0010111)2=(1273.134)8例3：將（1010111011.0010111)2轉換為八進制數

分析：按照“三位并一位”的原則，對二進制數進行處理。例4：將（2754.41)8轉換成二進制數

分析：按照“一位拆三位”的原則，對八進制數進行處理。解：2

754

.4

1

010111101

100.100

001

即：（2754.41)8=(10111101100.100001)2上一頁

返回下一頁解：

001011010101·01110100

2D

5.7

4

即：（1011010101.011101)2=(2D5.74)16例5：將（1011010101.011101)2轉換成十六進制數

分析：按照“四位并一位”的原則，對二進制數進行處理。例6：將（5A0B.0C)16轉換成二進制數

分析：按照“一位拆四位”的原則，對十六進制數進行處理。解：5A

0

B

·0

C

01011010

0000

1011.0000

1100

即：（5A0B.0C)16=(101101000001011.000011)2上一頁

返回下一頁1.1.2.二進制數的定點表示概念指計算機中的小數點位置固定不變的數的表示方式。功能分類定點整數：小數點固定在數的最低位之后。設字長為８位，能表示的數值范圍為：00000000-01111111即0-（２7－１）定點小數：小數點固定在數的最高位之前。設字長為８位，能表示的范圍為：0.0000000~0.1111111即0-（1-２-7

）上一頁

返回下一頁浮點表示法:指計算機中的小數點位置不是固定的，或者說是“浮動”的數的表示方式：通過階碼和尾數表示：N=2±E×(±S)

E稱為階碼，它是一個二進制正整數；

E前的±為階碼的符號，稱為階符（Ef）；

S稱為尾數，它是一個二進制正小數；

S前的±為尾數的符號，稱為尾符(Sf)；“２”是階碼E的底數。二進制數的浮點表示上一頁

返回下一頁階碼尾數階符尾符例：二進制數＋101.1和－10.11的浮點表示形式為上一頁

返回下一頁真值一個數的正號用十表示；負號用”一”表示，即為該數的真值。例如：十進制數+13.5→二進制的真值為+1101.1;十進制數-13.5→二進制的真值為-1101.1機器數以0表示正數的符號，以1表示負數的符號，并且每一位的數值也用0和1表示之后，這樣的數叫機器數，有時也叫做機器碼符號化好處可以方便的存儲；在做乘法或除法時，把數的符號位按位相加后，就得到結果的符號位。其規(guī)則是正數乘正數，符號按位相加得0；正數乘負數，符號按位相加得1；負數乘負數，符號按位相加得0。1.1.3.二進制的原碼、反碼及補碼表示數符（+/-）+尾數（數值的絕對值）符號（+/-）數碼化；最高位：“0”表示“+”，“1”表示“-機器數的分類原碼、反碼、補碼上一頁

返回下一頁原碼是一種機器數。數的原碼表示是在機器中用符號位的0和1表示數的正號和負號，而其余位表示數的本身。對于正數，X=+Xn-2Xn-3……X0，則原碼為：［X］原=0Xn-2Xn-3……X0

對于負數，X=-Xn-2Xn-3……X0，則原碼為：［X］原=1Xn-2Xn-3……X0原碼表示法的特點:優(yōu)點:簡單易懂，與真值的轉換方便。缺點:異號相加時機器首先應判斷數的符號，然后比較兩數的絕對值，增加了機器的復雜程度。符號位+尾數部分（真值）原碼表示法上一頁

返回下一頁表示方法對于正數其反碼與原碼相同；對于X=+Xn-2Xn-3……X0，則反碼為：［X］反=0Xn-2Xn-3……X0對于負的二進制數，符號位不變，數值各位取反，即0變?yōu)椋保琹變?yōu)?。對于X=-Xn-2Xn-3……X0，則反碼為［X］反=1特點:在計算機中容易實現，如觸發(fā)器，一邊表示原碼，另一邊表示反碼。正數：尾數部分與真值形式相同；負數：尾數為真值數值部分按位取反反碼表示法上一頁

返回下一頁表示方法對于正數其補碼與原碼相同；對于X=+Xn-2Xn-3……X0，則補碼為：［X］補=0Xn-2Xn-3……X0

對于負數,除了符號位之外數值各位取反，末尾位加1。對于X=－Xn-2Xn-3……X0，則補碼為：［X］補=1+1特點:負數用補碼表示時，可把減法轉化成加法，可以用加法器實現減法，簡便、經濟

正數：尾數部分與真值形式相同；負數：尾數為真值數值部分按位取反加1補碼表示法上一頁

返回下一頁符號＋、－←→S0、1數值位不變原碼、反碼和補碼間關系x真值[x]原[x]反[x]補S不變，數值位不變(S=0)變反(S=1)S不變，數值位不變(S=0)變反后加1(S=1)注：S表示符號位記住規(guī)律上一頁

返回下一頁例7：已知計算機字長為8位，試寫出二進制＋101010和－101010的機器中表示的原碼、反碼和補碼。解：設該機器采用定點整數表示,則其真值形式為:X=+0101010Y=-0101010

［Ｘ］原

=［Ｘ］反

=［Ｘ］補

=00101010

［Y］原

=10101010

［Y］反

=11010101

［Y］補

=11010110原碼、反碼、補碼應用舉例上一頁

返回下一頁例8：已知［X]補＝101101，求真值X解：先由［X］補求出［X］反，則得:

［X］反=［X］補－1＝101101－1＝101100

［X］反的符號位為1，故其所對應的真值為負，且數值為［X］反的各位取反，即：

［X］反＝101100X=-10011原碼、反碼、補碼應用舉例上一頁

返回下一頁位（Bit）：度量數據的最小單位字節(jié)（Byte）：最常用的基本單位K（kilobyte）字節(jié)

1KB=210B=1024ByteM（megabyte）字節(jié)

1MB=220B=1024KBG（gigabyte）字節(jié)

1GB=230B=1024MBT（terabyte）字節(jié)

1TB=240B=1024GBb7b6b5b4b3b2b1b010010101=27+24+22+20=149信息的存儲單位上一頁

返回下一頁教學小結進位制數及其相互轉換二進制數的定點和浮點表示；二進制數的原碼、反碼及補碼表示。

返回上一頁教學目的

本講主要介紹二進制與十進制的算術運算的基本知識，通過本講的學習使大家對計算機中的基本運算方法有所了解。教學重點二進制補碼運算1.2

運算基礎教學引入1+1=21+1=101+1=1?

返回下一頁計算機中的基本運算

算術運算：包括加、減、乘、除等四則運算。

邏輯運算：包括邏輯乘、邏輯加、邏輯非及邏輯異或等運算運算規(guī)則：＋、－、×、÷

加法規(guī)則：0+0=00+1=1+0=11+1=0

減法規(guī)則：0－0=01－0=11－1=00－1=1

乘法規(guī)則：0×0=00×1=1×0=01×1=1

除法規(guī)則

0÷1=01÷1=1(0不能作除數)1.2.1二進制的四則運算上一頁

返回下一頁例9.（1010）2+（0101）2=（？）2

1010

+0101

1111

10

+ 5

15

二進制數的加法運算上一頁

返回下一頁例10.（1110）2?

（1001）2=（？）2

1110

?1001

0101

14?9

5

二進制數的減法運算上一頁

返回下一頁例11.（1100）2×（1001）2=（？）2

被乘數1100

×)乘數1001

1

1

00

0

0

00

0

0

0

0

1

1

0

0乘積1

1

0

1

1

00

12× 9

108

二進制數的乘法運算上一頁

返回下一頁例12.（1001011）2÷（101）2=（？）2

101）10

0

1

0

1

1

101

1000

101

111101

101

1010005)75111115252505二進制數的除法運算上一頁

返回下一頁二進制乘法可以由“加法”和“移位”兩種操作實現。除法可以由“減法”和“移位”兩種操作實現因此，運算器中只需進行加減法及左右移位操作便可實現四則運算。計算機中，加減法通常都用補碼進行。數的乘除法運算的特點上一頁

返回下一頁分析：運算公式［x］補+［y］補

=［x+y］補例16

設x=+0110110，y=－1111001

求：

x+y=?解：在計算機中，真值x，y表示為下列補碼形式：［x］補=0,0110110［y］補=1,0000111

有：0，0110110

［x］補

+1，0000111

［y］補

1，0111101

［x］補＋［y］補即［x+y］補＝［x］補＋［y］補＝1，0111101求得x+y=－1000011

結果正確例：二進制補碼加法運算上一頁

返回下一頁例17設x=+1010011，y=+0100101

求x+y=?解：在計算機中，真值x，y表示為下列補碼形式：［x］補=0,1010011［y］補=0,0100101

有：0，1010011

［x］補

+0，0100101

［y］補

0，1111000

［x］補＋［y］補即［x+y］補＝［x］補＋［y］補＝0,1111000

求得x+y=+1111000

結果正確例：二進制補碼加法運算上一頁

返回下一頁例18設x=-1000011，y=-0100001

求x+y=?解：在計算機中，真值x，y表示為下列補碼形式：［x］補=1,0111101［y］補=1,1011111

有：1,0111101

［x］補

+1,1011111

［y］補

11,0011100

［x］補＋［y］補丟失即［x+y］補＝［x］補＋［y］補＝1,0011100

求得x+y=-1100100

結果正確例：二進制補碼加法運算上一頁

返回下一頁例19設x=+1000101，y=+1100111

求：

x+y=?解：在計算機中，真值x，y表示為下列補碼形式：［x］補=0,1000101［y］補=0,1100111

有：0,1000101

［x］補

+0,1100111

［y］補

1,0101100

［x］補＋［y］補即［x+y］補＝［x］補＋［y］補＝1,0101100求得x+y=－1010100

結果錯誤●思考：如何判斷溢出現象？例：二進制補碼加法運算上一頁

返回下一頁例17設x=+1010101，y=+1100001

求：

x-y=?解：［x］補=0,1010101

-y=-1100001

［-y］補=1,0011111

有： 0，1010101

［x］補

+ 1，0011111

［-y］補

1，1110100

［x］補＋［-y］補即［x-y］補＝［x］補＋［-y］補＝1,1110100求得x-y=－0001100

［x－y］補=［x+（－y）］補=［x］補＋［－y］補例：二進制補碼減法運算上一頁

返回下一頁數字電路的特點及描述工具

數字電路是一種開關電路；輸入、輸出量是高、低電平，可以用二元常量（0，l）來表示。輸入量和輸出量之間的關系是一種邏輯上的因果關系。仿效普通函數的概念，數字電路可以用邏輯函數的的數學工具來描述。邏輯變量

邏輯代數是一種雙值代數，其變量只有０、１兩種取值。邏輯代數的變量簡稱邏輯變量，可用字母Ａ、Ｂ、Ｃ等表示。邏輯變量只有三種最基本的運算，即邏輯加、邏輯乘及邏輯非。1.3

邏輯運算上一頁

返回下一頁定義邏輯代數中的函數（簡稱邏輯函數）也是一種變量，只是這種變量隨其它變量的變化而改變，可表示為F=f（A1，A2，…

Ai，…An）方法序卡諾圖：是由很多小方格組成的矩陣，每個小方格對應一個可能的變量組合，并且用這個變量組合作為方格的標號。方法邏輯表達式：是用公式表示函數與變量關系的一種方法。真值表：采用一種表格來表示邏輯函數的運算關系，其中輸入部分列出輸入邏輯變量的所有可能組合，輸出部分給出相應的輸出邏輯變量值。邏輯函數上一頁

返回下一頁

定義：實現邏輯變量之間的運算稱為邏輯運算算術運算的主要區(qū)別：邏輯運算的操作數和結果都是單個數位的操作位與位之間沒有進位和借位的聯(lián)系分類：

邏輯加法（又稱邏輯“或”運算）；邏輯乘法（又稱邏輯“與”運算）；邏輯否定（又稱邏輯“非”運算）；1.3.1

邏輯運算（序）重點上一頁

返回下一頁“或”（OR）運算的規(guī)則如下：

０∨０＝００∨１＝１１∨０＝１１∨１＝１運算符號:“∨”、“＋”、“∪”只有決定某一事件條件中有一個或一個以上成立，這一事件才能發(fā)生

功能定義：由兩個變量A和B所組成的函數有如下關系：F（A，B）＝A∨B＝01當A=B=0時當A＝l或B＝l時

0

1

0

101

0

1∨1

1

0010

1

0

1

1

0111

111.邏輯“或”運算（邏輯加）上一頁

返回下一頁“與”（OR）運算的規(guī)則如下：

０∧

０＝００∧

１＝0

１∧

０＝0１∧

１＝１運算符號:“∧”、“×”、“∩”、“．”只有決定某一事件的所有條件全部具備，這一事件才能發(fā)生

功能定義：由兩個變量A和B所組成的函數有如下關系：F（A，B）＝A∧B＝10當A=B=1時當A＝0或B＝0時2.邏輯“與”運算（邏輯乘）

0

1

0

101

0

1∧1

1

0010

1

0

0

1

0000

00上一頁

返回下一頁“與”（OR）運算的規(guī)則如下：

＝０＝0

運算符號:

~當決定某一事件的條件滿足時，事件不發(fā)生；反之事件發(fā)生

功能定義：由變量A組成的函數有如下關系：

F（A）＝＝10當A=0時當A＝1時3.邏輯“非”運算

1

1

0010

1

0

0

0

1101

01ˉˉˉˉˉˉˉˉ上一頁

返回下一頁“異或”（EOR）運算的規(guī)則如下：

0⊕０＝0 ０⊕１＝1

1⊕０＝１１⊕１＝0運算符號:

⊕功能定義：由變量A、B組成的函數有如下關系：F（A，B）＝A∧B＝10（當A≠B時）（當A＝B時）4.邏輯“異或”運算

0

1

0

101

0

1⊕1

1

0010

1

0

1

0

0111

11上一頁

返回下一頁教學小結二進制數補碼加法運算；二進制的邏輯運算;

返回上一頁

教學目的本講主要介紹分析和設計邏輯電路所用的數學工具——邏輯代數的基本知識，并簡要介紹計算機中常用的幾種邏輯電路。教學重點與難點

邏輯代數中的常用公式；邏輯代數的簡單應用；1.4

邏輯代數與邏輯電路教學引入

計算機內部處理的是0、1信息，具體到計算機內部的硬件如何處理這些信息？

返回下一頁A+0=AA?0=0A+1=1A?1=AA+A=AA?A=AA+A=1A?A=0A=AA＋B=B＋AA?B=B

?AA＋(B＋C)=(A＋B)＋CA?(B?C)=(A?B)?CA＋B?C=(A＋B)?(A＋C)A?(B＋C)=A?B＋A?C

0-1律重疊律互補律對合律交換律結合律分配律上一頁

返回下一頁邏輯代數的常用公式重點ABC（A+B)?(A+C)B?CA+B?CA+BA+C0000010100111001011101110001000100011111001111110101111100011111由此證明A+B?C=(A+B)(A+C)成立。例：證明分配律A＋B?C=(A＋B)?(A＋C)成立證明方法利用真值表上一頁

返回下一頁1邏輯電路所用門的數量少每個門的輸入端個數少降低成本邏輯函數的簡化2邏輯電路構成級數少邏輯電路保證能可靠地工作提高電路工作速度和可靠性上一頁

返回下一頁

門電路：信息從輸入端進入電路，通過電路的轉換產生新的信息從輸出端流出。這種電路稱為“門電路”?？捎脕韺崿F二進制數的算術運算和邏輯運算。1.4.1基