第三章 立體的投影

第3章立體的投影3.2平面與立體外表的交線—截交線3.3兩回轉(zhuǎn)體外表的交線—相貫線3.1根本體的投影及其外表取點編輯課件外表由平面和曲面或曲面圍成的立體，稱為曲面立體。幾何體可分為平面立體和曲面立體兩種。外表都是由平面圍成的立體，稱為平面立體。立體——外表由假設(shè)干面圍成的幾何體。根本幾何體——根本體編輯課件3.1根本體的投影及其外表取點編輯課件平面立體：外表由假設(shè)干多邊形所圍成的立體。平面立體投影的繪制：將組成立體的平面和棱線表示出來，然后判別其可見性，可見的棱線用粗實線表示，不可見的棱線畫成虛線。常用的平面立體：棱柱、棱錐。立體外表取點：立體外表上點的一個投影，求其余兩個投影。常用的外表取點方法：積聚性法輔助直線法一、平面立體的投影及其外表取點編輯課件1、棱柱〔1〕棱柱的投影

由頂面和底面及六個側(cè)棱面組成。側(cè)棱面與側(cè)棱面的交線叫側(cè)棱線，側(cè)棱線相互平行。

六棱柱的頂面和底面為水平面，水平投影反映實形，正面投影和側(cè)面投影都積聚成直線段。以正六棱柱為例編輯課件前、后兩棱面是正平面，正面投影反映實形，水平投影和側(cè)面投影積聚成直線段。其余四個側(cè)棱面是鉛垂面，它們的水平投影都積聚成直線，并與正六邊形的邊線重合，在正面投影和側(cè)面投影面上的投影為類似形〔矩形〕。六棱柱的六條棱線均為鉛垂線，在水平投影面上的投影積聚成一點，正面投影和側(cè)面投影都互相平行且反映實長。動畫演示編輯課件☆作圖步驟：①先用點畫線畫出水平投影的中心線，正面投影和側(cè)面投影的對稱線;③

根據(jù)投影規(guī)律，再連接頂面和底面的對應(yīng)頂點的正面投影和側(cè)面投影，即為棱線,棱面的投影。④最后檢查清理底稿，按規(guī)定線型加深。②畫正六棱柱的水平投影〔正六邊形〕，根據(jù)正六棱柱的高度畫出頂面和底面的正面投影和側(cè)面投影。動畫演示編輯課件點的可見性判斷：點所在外表的投影可見,點的投影也可見；假設(shè)點所在外表的投影不可見，點的投影也不可見；假設(shè)點所在外表的投影積聚成直線，點的投影認(rèn)為可見。a、確定點所在的平面并分析該平面的投影特性；b、根據(jù)投影規(guī)律作出點的投影，并判別可見性〔2〕棱柱外表取點A

a

(b

)(B)

b

a

a

b

動畫演示編輯課件2.棱錐(1)棱錐的投影

由一個底面和三個側(cè)棱面組成。側(cè)棱線交于有限遠(yuǎn)的一點—錐頂。

棱錐處于圖示位置時，其底面ABC是水平面，在俯視圖上反映實形，正面投影和側(cè)面投影積聚成水平直線段。ABCS

以正三棱錐為例編輯課件ABCS

a′b′c′a〞(c〞)b〞s〞s′abcs

棱面SAC為側(cè)垂面，側(cè)面投影積聚成直線段,正面投影和水平投影為類似形。另兩個棱面〔SAB,SBC)為一般位置平面，三投影均不反映實形。編輯課件()

k

k

k

b

s

n

n

n

ABCS

s

s

N

abc☆作圖步驟：①畫反映實形的底面的水平投影〔等邊三角形〕，再畫ΔABC的正面投影和側(cè)面投影，它們分別積聚成水平直線段；②根據(jù)錐高再畫頂點S的三面投影；

a

c

a

(c

)b

③最后將錐頂S與點A、B、C的同面投影相連，即得到三棱錐的投影圖。④最后檢查清理底稿，按規(guī)定線型加深?！?〕棱錐外表取點一般采用輔助線法。判別可見性

K動畫演示編輯課件二、曲面立體及其外表取點外表由曲面或曲面和平面構(gòu)成的立體稱為曲面立體，常見的曲面立體有圓柱、圓錐、圓球和圓環(huán)等。曲面可看作由一條運動的線按一定的規(guī)律運動所形成，運動的線稱為母線，而曲面上任一位置的母線稱為素線。母線繞軸線旋轉(zhuǎn)，那么形成回轉(zhuǎn)面。編輯課件1.圓柱

圓柱由圓柱面、頂面、底面所圍成。圓柱面可看作直線繞與它相平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

編輯課件〔1〕圓柱的投影

a

a

a

A1A直線AA1稱為母線,母線在廻轉(zhuǎn)面的任一位置稱為素線。圓柱面上的素線都是平行于軸線的直線。OO1利用投影的積聚性最左素線最右素線最后素線最前素線圓柱面的俯視圖積聚成一個圓，在另兩個視圖上分別以兩個方向的輪廓素線的投影表示。輪廓素線的投影與曲面可見性的判斷OO1

A〔2〕圓柱面上取點編輯課件圓柱外表取點()()A(D)CBc”編輯課件2.圓錐圓錐由圓錐面、底面所圍成。圓錐面可看作直線繞與它相交的軸線旋轉(zhuǎn)而成。編輯課件

S稱為錐頂，直線SA稱為母線。圓錐面上過錐頂?shù)娜我恢本€稱為圓錐面的素線。O1O〔1〕圓錐體的投影輪廓素線的投影與曲面可見性的判斷〔2〕圓錐面上取點

k

★輔助素線法★輔助圓法

(n

)s●n

k(n

)●

k

●SA過錐頂S和點K作一輔助素線。圓的半徑？最左素線最后素線最前素線最右素線

s

●

s

●(N)●K過N點作一平行于底面的水平輔助圓，該圓的正面投影為過n

且平行底面的直線段。該圓錐俯視圖為一圓。另兩個視圖為等腰三角形，三角形的底邊為圓錐底面的投影，兩腰分別為圓錐面不同方向的兩條輪廓素線的投影。編輯課件3.球球是由球面圍成的。球面可看作圓繞其直徑為軸線旋轉(zhuǎn)而成。編輯課件三個視圖分別為三個和圓球的直徑相等的圓，它們分別是圓球三個方向轉(zhuǎn)向輪廓線的投影。〔1〕球的投影輪廓線的投影與曲面可見性的判斷〔2〕球外表取點

k

輔助圓法

k

k

圓的半徑？球面上平行于H面的最大圓球面上平行于W面的最大圓球面上平行于V面的最大圓上下分界圓前后分界圓左右分界圓

K動畫演示編輯課件

小結(jié)

重點掌握：根本體三面投影的畫法及外表取點的方法。⒈平面體外表取點，利用平面上找點的方法。⒉圓柱體外表取點，利用投影的積聚性。⒊圓錐體外表取點，用輔助線法和輔助圓法。⒋球體外表取點，用輔助圓法。編輯課件3.2截切體3.2.1截切平面立體的三視圖3.2.2截切曲面立體的三視圖編輯課件截交線的概念平面與立體相交在立體外表產(chǎn)生交線稱為截交線，該平面稱為截平面。截交線是截平面和立體外表的共有線，截交線上的點是截平面與立體外表上的共有點，它既在截平面上又在立體外表上。由于任何立體都有一定的空間范圍，所以截交線一定是封閉的線條，通常是一條平面曲線或者是由曲線和直線組成的平面圖形或多邊形。截平面截交線編輯課件截交線的性質(zhì)①截交線是截平面與立體外表的共有線，截交線上的點是截平面與立體外表的共有點。②截交線一般是封閉的平面圖形。③截交線形狀取決于立體外表的形狀和截平面與立體的相對位置。編輯課件3.2.1截切平面立體的三視圖由于平面立體是由平面圍成的,截交線是封閉的平面多邊形，多邊形的邊是截平面與平面立體外表的交線。求截交線的問題可以簡化為求平面與平面的交線問題，進(jìn)而簡化為求直線與平面交點的問題。編輯課件例1三棱錐被一正垂面所截切，求截交線的投影。s’a’b’c’asbcs

a(c)b

BAⅠⅡⅢ1

2

3

1yy23

1

2

3編輯課件例2求帶切口三棱錐的投影s'ss"b'c'c"b"a"a'bca1"yyyy1"'233'2'1'3"2"解題步驟1分析截交線的正面投影，水平投影和側(cè)面投影未知；2求出截交線上的折點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；整理輪廓線。編輯課件例3求立體截切后的投影2351

11

6

6

5

3

2

6Ⅴ

（5

）2

（3

）ⅣⅥⅢⅡⅠ編輯課件3.2.2截切曲面立體的三視圖曲面立體截交線通常是封閉的平面曲線，或是由曲線和直線所圍成的平面圖形或多邊形。編輯課件作圖步驟：

〔1〕根據(jù)截平面位置與曲面立體外表的性質(zhì)、判別截交線的形狀和性質(zhì)。

〔2〕求出截交線上的特殊點。

〔3〕根據(jù)需要求出假設(shè)干個一般點。

〔4〕光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性。

〔5〕最后，補(bǔ)全可見與不可見局部的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓素線。特殊點：是指繪制曲線時有影響的各種點。極限位置點曲線的最高、最低、最前、最后、最左和最右點。轉(zhuǎn)向輪廓點曲線上處于曲面投影轉(zhuǎn)向輪廓線上的點，它們是區(qū)分曲線可見與不可見局部的分界點。特征點曲線本身具有特征的點，如橢圓長短軸上四個端點。結(jié)合點截交線由幾局部不同線段組成時結(jié)合處的點。編輯課件1.截切圓柱圓垂直軸線矩形平行軸線橢圓傾斜軸線編輯課件例求斜切圓柱的截交線8711'1"4"3"2'2"2653ⅦⅧⅥⅤⅢⅣⅠⅡ7'8'7"8"3‘(4‘)5‘6'5"6"解題步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3求出假設(shè)干個一般點Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ；光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。4編輯課件例5求切口圓柱的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟1分析截交線的水平投影為橢圓，側(cè)面投影為圓；2求出截交線上的點Ⅰ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅷ；3順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；編輯課件例6求截切圓柱的水平投影和側(cè)面投影。作圖步驟1分析截交線的水平投影為圓的一局部，側(cè)面投影為矩形；2求出截交線上的點Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ；3順次地連接各點，作出截交線并判別可見性；整理輪廓線。編輯課件2.截切圓錐θ=90°θ＝ααθ＞＞90°0°≤θ＜α過錐頂兩相交直線圓橢圓拋物線雙曲線ααθαθαθ編輯課件解題步驟例1圓錐與正垂面P相交，求截交線的投影。1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影均為橢圓；2求出截交線上的特殊點；3求出一般點；光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。編輯課件例2求正平面與圓錐的截交線。解題步驟1分析截交線的水平投影和側(cè)面投影，正面投影為雙曲線并反映實形；2求出截交線上的特殊點Ⅰ、ⅡⅢ；3求出一般點ⅣⅤ；光滑且順次地連接各點，作出截交線，并且判別可見性；5整理輪廓線。11’1〞2〞(3〞)4〞(5〞)4’5’2’3’2453編輯課件例3求帶缺口圓錐的水平投影和側(cè)面投影。11’1〞2’(3’)2〞3〞235’(6’)5〞6〞65’〞編輯課件3.截切球平面與圓球相交,截交線為圓編輯課件例1正垂面所截切球的正面投影,求其余兩面投影。編輯課件例2求帶凹槽半球的水平投影和側(cè)面投影。編輯課件[例題6]想象出物體及其側(cè)面投影的形狀編輯課件分析并想象出圓球穿孔后的投影編輯課件3.3相貫體3.3.1利用積聚性法求相貫線3.3.2利用輔助平面法求相貫線3.3.3相貫線特殊情況編輯課件相貫線的性質(zhì)立體與立體相交在兩個立體外表產(chǎn)生的交線稱為相貫線。相貫線是兩曲面立體外表的共有線，相貫線上的點是兩曲面立體外表的共有點。不同的立體以及不同的相貫位置、相貫線的形狀不同。兩回轉(zhuǎn)體相貫，相貫線一般是封閉的空間曲線,特殊情況下為平面曲線或直線。編輯課件相貫線的性質(zhì)

3)形狀—相貫線的形狀決定于回轉(zhuǎn)體的形狀、大小以及兩回轉(zhuǎn)體之間的相對位置〔一般情況下相貫線是空間曲線，特殊情況下為平面曲線或直線〕。2)封閉性—由于立體的外表是封閉的，因此相貫線一般是封閉的線框。1)共有性—相貫線是兩相交回轉(zhuǎn)體外表的共有線和分界線，線上所有點都是兩相交回轉(zhuǎn)體外表的共有點。是求相貫線投影的作圖依據(jù)。編輯課件相貫線性質(zhì)圖例編輯課件3.3.1利用積聚性法求相貫線當(dāng)相貫的兩立體外表的某一投影具有積聚性時，相貫線的一個投影必積聚在這個投影上，相貫線的其余投影可按著曲面立體外表取點的方法求出,這種求作相貫線的方法又稱為外表取點法。編輯課件例1兩圓柱的三面投影,求作其相貫線的投影。yyyyded'e'a'c'b'a"b"c"d"e"bac分析求特殊點求一般點判別可見性完成相貫線編輯課件首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，進(jìn)一步分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況〔平面曲線或直線〕。分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性，哪個投影有積聚性。根據(jù)兩立體的相對位置分析相貫線的對稱情況分析相貫線哪個投影是的，哪個投影是要求作的。分析編輯課件求特殊點確定相貫線投影范圍和變化趨勢的點稱為特殊點包括：

相貫線極限位置點最左、最右、最前、最后、最高、最低各點；

曲面立體轉(zhuǎn)向輪廓線上的點兩曲面立體上下、左右、前后轉(zhuǎn)向輪廓線上的各個點。編輯課件求相貫線的一般步驟〔1〕分析首先分析兩曲面立體的幾何形狀、相對大小和相對位置，然后分析相貫線是空間曲線，還是處于特殊情況分析兩曲面立體對投影面的相對位置，兩曲面立體的投影是否有積聚性。分析相貫線哪個投影的，哪個投影是要求作的?！?〕求特殊點相貫線上的特殊點包括極限位置點、輪廓轉(zhuǎn)向點、曲線特征點和結(jié)合點四種?！玻场城笠话泓c根據(jù)需要求出假設(shè)干個一般點?！?〕判別可見性當(dāng)相貫線上的點同時處于兩立體外表的可見局部時這些點才可見，否那么不可見。〔５〕完成相貫線順次光滑連接各點，作出相貫線。補(bǔ)全可見與不可見局部的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線，并擦除被切割掉的輪廓線或轉(zhuǎn)向輪廓線。編輯課件圓柱外表交線的三種情況兩外外表相交外外表與內(nèi)外表相交兩內(nèi)外表相交編輯課件兩正交圓柱相貫線的變化趨勢〔一〕編輯課件兩正交圓柱相貫線的變化趨勢〔二〕編輯課件例2求軸線交叉垂直圓柱相貫線的投影。

a“(b“)a'b'c“c'abcdd"d'e“(f“)efe'f'ghyyg“(h“)g'h'編輯課件3.3.2利用輔助平面法求相貫線假想用一個平面在相貫兩立體的相貫區(qū)域內(nèi)去截切相貫的兩立體，分別在兩立體外表上產(chǎn)生截交線，兩截交線交點就是兩立體外表與輔助平面三者的共有點，即相貫線上的點。這個假想的平面是輔助平面。作出一系列的輔助平面，求出相貫線上一系列點的投影，依次光滑連接，即得相貫線的投影。編輯課件選擇輔助平面的原那么：(1)所選輔助平面與兩曲面立體外表的輔助截交線的投影應(yīng)是簡單易畫的直線或圓。常選用特殊位置平面作為輔