專題16 二次函數(shù)（解析版）-2022中考數(shù)學高頻考點

2/2高頻考點：二次函數(shù)一、二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)【高頻考點精講】1、二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可以看作由二次函數(shù)y＝ax2的圖象向右或向左平移||個單位，再向上或向下平移||個單位得到的。2、二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（﹣，），對稱軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：（1）當a＞0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜﹣時，y隨x的增大而減小；x＞﹣時，y隨x的增大而增大；x＝﹣時，y取得最小值，即頂點是拋物線的最低點。（2）當a＜0時，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜﹣時，y隨x的增大而增大；x＞﹣時，y隨x的增大而減??；x＝﹣時，y取得最大值，即頂點是拋物線的最高點。（3）當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左側；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右側，拋物線與y軸交于（0，c）。（4）△＝b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△＝b2﹣4ac＝0時，拋物線與x軸有1個交點；△＝b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點。（5）拋物線與x軸的兩個交點關于對稱軸對稱，設兩個交點分別是（x1，0），（x2，0），則其對稱軸為x＝?！緹狳c題型精練】1．（2021?深圳中考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A．B．C．D．解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＝1，對稱軸為直線x＝﹣，由直線可知，a＞0，b＜0，直線經(jīng)過點（﹣，0），故本選項符合題意；B、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經(jīng)過點（﹣，0），故本選項不符合題意；C、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經(jīng)過點（﹣，0），故本選項不符合題意；D、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經(jīng)過點（﹣，0），故本選項不符合題意；答案：A．2．（2021?濟南中考）新定義：在平面直角坐標系中，對于點P（m，n）和點P′（m，n′），若滿足m≥0時，n′＝n﹣4；m＜0時，n′＝﹣n，則稱點P′（m，n′）是點P（m，n）的限變點．例如：點P1（2，5）的限變點是P1′（2，1），點P2（﹣2，3）的限變點是P2′（﹣2，﹣3）．若點P（m，n）在二次函數(shù)y＝﹣x2+4x+2的圖象上，則當﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是（）A．﹣2≤n′≤2 B．1≤n′≤3 C．1≤n′≤2 D．﹣2≤n′≤3解：由題意可知，當m≥0時，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，∴當0≤m≤3時，﹣2≤n′≤2，當m＜0時，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，∴當﹣1≤m＜0時，﹣2＜n′≤3，綜上，當﹣1≤m≤3時，其限變點P′的縱坐標n'的取值范圍是﹣2≤n′≤3，答案：D．3．（2021?日照中考）拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸是直線x＝﹣1，其圖象如圖所示．下列結論：①abc＜0；②（4a+c）2＜（2b）2；③若（x1，y1）和（x2，y2）是拋物線上的兩點，則當|x1+1|＞|x2+1|時，y1＜y2；④拋物線的頂點坐標為（﹣1，m），則關于x的方程ax2+bx+c＝m﹣1無實數(shù)根．其中正確結論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1解：①∵拋物線圖象開口向上，∴a＞0，∵對稱軸在直線y軸左側，∴a，b同號，b＞0，∵拋物線與y軸交點在x軸下方，∴c＜0，∴abc＜0，故①正確．②（4a+c）2﹣（2b）2＝（4a+c+2b）（4a+c﹣2b），當x＝2時ax2+bx+c＝4a+c+2b，由圖象可得4a+c+2b＞0，由圖象知，當x＝﹣2時，ax2+bx+c＝4a+c﹣2b，由圖象可得4a+c﹣2b＜0，∴（4a+c）2﹣（2b）2＜0，即（4a+c）2＜（2b）2，故②正確．③|x1+1|＝|x1﹣（﹣1）|，|x2+1|＝|x2﹣（﹣1）|，∵|x1+1|＞|x2+1|，∴點（x1，y1）到對稱軸的距離大于點（x2，y2）到對稱軸的距離，∴y1＞y2，故③錯誤．④∵拋物線的頂點坐標為（﹣1，m），∴y≥m，∴ax2+bx+c≥m，∴ax2+bx+c＝m﹣1無實數(shù)根．故④正確，綜上所述，①②④正確，答案：B．4．（2021?無錫中考）設P（x，y1），Q（x，y2）分別是函數(shù)C1，C2圖象上的點，當a≤x≤b時，總有﹣1≤y1﹣y2≤1恒成立，則稱函數(shù)C1，C2在a≤x≤b上是“逼近函數(shù)”，a≤x≤b為“逼近區(qū)間”．則下列結論：①函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”；②函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”；③0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”；④2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”．其中，正確的有（）A．②③ B．①④ C．①③ D．②④解：①y1﹣y2＝﹣2x﹣7，在1≤x≤2上，當x＝1時，y1﹣y2最大值為﹣9，當x＝2時，y1﹣y2最小值為﹣11，即﹣11≤y1﹣y2≤﹣9，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝3x+2在1≤x≤2上是“逼近函數(shù)”不正確；②y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在3≤x≤4上，當x＝3時，y1﹣y2最大值為1，當x＝4時，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤1，故函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x在3≤x≤4上是“逼近函數(shù)”正確；③y1﹣y2＝﹣x2+x﹣1，在0≤x≤1上，當x＝時，y1﹣y2最大值為﹣，當x＝0或x＝1時，y1﹣y2最小值為﹣1，即﹣1≤y1﹣y2≤﹣，當然﹣1≤y1﹣y2≤1也成立，故0≤x≤1是函數(shù)y＝x2﹣1，y＝2x2﹣x的“逼近區(qū)間”正確；④y1﹣y2＝﹣x2+5x﹣5，在2≤x≤3上，當x＝時，y1﹣y2最大值為，當x＝2或x＝3時，y1﹣y2最小值為1，即1≤y1﹣y2≤，故2≤x≤3是函數(shù)y＝x﹣5，y＝x2﹣4x的“逼近區(qū)間”不正確；∴正確的有②③，答案：A．5．（2021?岳陽中考）定義：我們將頂點的橫坐標和縱坐標互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．如圖，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），則互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是（）A．4，﹣1 B．，﹣1 C．4，0 D．，﹣1解：如圖，由題意可得，互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m的頂點（m，﹣m）在直線y＝﹣x上運動，在正方形OABC中，點A（0，2），點C（2，0），∴B（2，2），從圖象可以看出，當函數(shù)圖象從左上向右下運動時，若拋物線與正方形有交點，先經(jīng)過點A，再逐漸經(jīng)過點O，點B，點C，最后再經(jīng)過點B，且在運動的過程中，兩次經(jīng)過點A，兩次經(jīng)過點O，點B和點C，∴只需算出當函數(shù)經(jīng)過點A及點B時m的值，即可求出m的最大值及最小值．當互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過點A（0，2）時，m＝2或m＝﹣1；當互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m經(jīng)過點B（2，2）時，m＝或m＝．∴互異二次函數(shù)y＝（x﹣m）2﹣m與正方形OABC有交點時m的最大值和最小值分別是，﹣1．答案：D．6．（2021?菏澤中考）定義：[a，b，c]為二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的特征數(shù)，下面給出特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的一些結論：①當m＝1時，函數(shù)圖象的對稱軸是y軸；②當m＝2時，函數(shù)圖象過原點；③當m＞0時，函數(shù)有最小值；④如果m＜0，當x＞時，y隨x的增大而減小．其中所有正確結論的序號是①②③．解：由特征數(shù)的定義可得：特征數(shù)為[m，1﹣m，2﹣m]的二次函數(shù)的表達式為y＝mx2+（1﹣m）x+2﹣m．∵此拋物線的對稱軸為直線x＝＝＝，∴當m＝1時，對稱軸為直線x＝0，即y軸．故①正確；∵當m＝2時，此二次函數(shù)表達式為y＝2x2﹣x，令x＝0，則y＝0，∴函數(shù)圖象過原點，故②正確；∵當m＞0時，二次函數(shù)圖象開口向上，函數(shù)有最小值，故③正確；∵m＜0，∴對稱軸x＝＝，拋物線開口向下，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而減?。磝＞時，y隨x的增大而減?。?，故④錯誤．答案：①②③．7．（2021?巴中中考）y與x之間的函數(shù)關系可記為y＝f（x）．例如：函數(shù)y＝x2可記為f（x）＝x2．若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），則f（x）是偶函數(shù)；若對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），則f（x）是奇函數(shù)．例如：f（x）＝x2是偶函數(shù)，f（x）＝是奇函數(shù)．若f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函數(shù)，則實數(shù)a＝5．解：∵f（x）＝ax2+（a﹣5）x+1是偶函數(shù)，∴對于自變量取值范圍內(nèi)的任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），即a（﹣x）2+（a﹣5）?（﹣x）+1＝ax2+（a﹣5）x+1，∴（10﹣2a）x＝0，可知10﹣2a＝0，∴a＝5，答案：5．8．（2021?長春中考）如圖，在平面直角坐標系中，點A（2，4）在拋物線y＝ax2上，過點A作y軸的垂線，交拋物線于另一點B，點C、D在線段AB上，分別過點C、D作x軸的垂線交拋物線于E、F兩點．當四邊形CDFE為正方形時，線段CD的長為﹣2+2．解：把A（2，4）代入y＝ax2中得4＝4a，解得a＝1，∴y＝x2，設點C橫坐標為m，則CD＝CE＝2m，∴點E坐標為（m，4﹣2m），∴m2＝4﹣2m，解得m＝﹣1﹣（舍）或m＝﹣1+．∴CD＝2m＝﹣2+2．答案：﹣2+2．9．（2021?安徽中考）已知拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對稱軸為直線x＝1．（1）求a的值；（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比較y1與y2的大小，并說明理由；（3）設直線y＝m（m＞0）與拋物線y＝ax2﹣2x+1交于點A、B，與拋物線y＝3（x﹣1）2交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．解：（1）根據(jù)題意可知，拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對稱軸為直線：x＝﹣＝＝1，∴a＝1．（2）由（1）可知，拋物線的解析式為：y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，∵a＝1＞0，∴當x＞1時，y隨x的增大而增大，當x＜1時，y隨x的增大而減小，∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴1＜1﹣x1＜2，0＜x2﹣1＜1，結合函數(shù)圖象可知，當拋物線開口向上時，距離對稱軸越遠，值越大，∴y1＞y2．（3）聯(lián)立y＝m（m＞0）與y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，可得A（1+，m），B（1﹣，m），∴AB＝2，聯(lián)立y＝m（m＞0）與y＝3（x﹣1）2，可得C（1+，m），D（1﹣，m），∴CD＝2×＝，∴＝．10．（2021?徐州中考）如圖，點A、B在y＝x2的圖象上．已知A、B的橫坐標分別為﹣2、4，直線AB與y軸交于點C，連接OA、OB．（1）求直線AB的函數(shù)表達式；（2）求△AOB的面積；（3）若函數(shù)y＝x2的圖象上存在點P，使△PAB的面積等于△AOB的面積的一半，則這樣的點P共有4個．解：（1）∵點A、B在y＝x2的圖象上，A、B的橫坐標分別為﹣2、4，∴A（﹣2，1），B（4，4），設直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，解得，∴直線AB的解析式為y＝+2；（2）在y＝+2中，令x＝0，則y＝2，∴C的坐標為（0，2），∴OC＝2，∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）過OC的中點，作AB的平行線交拋物線兩個交點P1、P2，此時△P1AB的面積和△P2AB的面積等于△AOB的面積的一半，作直線P1P2關于直線AB的對稱直線，交拋物線兩個交點P3、P4，此時△P3AB的面積和△P4AB的面積等于△AOB的面積的一半，所以這樣的點P共有4個，故答案為4．二、二次函數(shù)圖象與幾何變換【高頻考點精講】拋物線平移后形狀不變，所以系數(shù)a不變，求平移后拋物線解析式一般有兩種方法：1、求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標，利用待定系數(shù)法求出解析式。2、求出平移后的頂點坐標，求出解析式?！緹狳c題型精練】11．（2021?蘇州中考）已知拋物線y＝x2+kx﹣k2的對稱軸在y軸右側，現(xiàn)將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線正好經(jīng)過坐標原點，則k的值是（）A．﹣5或2 B．﹣5 C．2 D．﹣2解：∵拋物線y＝x2+kx﹣k2的對稱軸在y軸右側，∴x＝﹣＞0，∴k＜0．∵拋物線y＝x2+kx﹣k2＝（x+）2﹣．∴將該拋物線先向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度后，得到的拋物線的表達式是：y＝（x+﹣3）2﹣+1，∴將（0，0）代入，得0＝（0+﹣3）2﹣+1，解得k1＝2（舍去），k2＝﹣5．答案：B．12．（2021?眉山中考）在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣4x+5與y軸交于點C，則該拋物線關于點C成中心對稱的拋物線的表達式為（）A．y＝﹣x2﹣4x+5 B．y＝x2+4x+5 C．y＝﹣x2+4x﹣5 D．y＝﹣x2﹣4x﹣5解：由拋物線y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1知，拋物線頂點坐標是（2，1）．由拋物線y＝x2﹣4x+5知，C（0，5）．∴該拋物線關于點C成中心對稱的拋物線的頂點坐標是（﹣2，9）．∴該拋物線關于點C成中心對稱的拋物線的表達式為：y＝﹣（x+2）2+9＝﹣x2﹣4x+5．答案：A．13．（2021?廣西中考）如圖，已知點A（3，0），B（1，0），兩點C（﹣3，9），D（2，4）在拋物線y＝x2上，向左或向右平移拋物線后，C，D的對應點分別為C′，D′．當四邊形ABC′D′的周長最小時，拋物線的解析式為y＝（x﹣）2．解：過C、D作x軸平行線，作A關于直線y＝4的對稱點A'，過A'作A'E∥CD，且A'E＝CD，連接BE交直線y＝9于C'，過C'作C'D'∥CD，交直線y＝4于D'，如圖：作圖可知：四邊形A'ECD和四邊形C'D'DC是平行四邊形，∴A'E∥CD，C'D'∥CD，且A'E＝CD，C'D'＝CD，∴C'D'∥A'E且C'D'＝A'E，∴四邊形A'EC'D'是平行四邊形，∴A'D'＝EC'，∵A關于直線y＝4的對稱點A'，∴AD'＝A'D'，∴EC'＝AD'，∴BE＝BC'+EC'＝BC'+AD'，即此時BC'+AD'轉化到一條直線上，BC'+AD'最小，最小值為BE的長度，而AB、CD為定值，∴此時四邊形ABC′D′的周長最小，∵A（3，0）關于直線y＝4的對稱點A'，∴A'（3，8），∵四邊形A'ECD是平行四邊形，C（﹣3，9），D（2，4），∴E（﹣2，13），設直線BE解析式為y＝kx+b，則，解得，∴直線BE解析式為y＝﹣x+，令y＝9得9＝﹣x+，∴x＝﹣，∴C'（﹣，9），∴CC'＝﹣﹣（﹣3）＝，即將拋物線y＝x2向右移個單位后，四邊形ABC′D′的周長最小，∴此時拋物線為y＝（x﹣）2，答案：y＝（x﹣）2．14．（2021?安徽中考）設拋物線y＝x2+（a+1）x+a，其中a為實數(shù)．（1）若拋物線經(jīng)過點（﹣1，m），則m＝0；（2）將拋物線y＝x2+（a+1）x+a向上平移2個單位，所得拋物線頂點的縱坐標的最大值是2．解：（1）點（﹣1，m）代入拋物線解析式y(tǒng)＝x2+（a+1）x+a，得（﹣1）2+（a+1）×（﹣1）+a＝m，解得m＝0．答案：0．（2）y＝x2+（a+1）x+a向上平移2個單位可得，y＝x2+（a+1）x+a+2，∴y＝（x+）2﹣（a﹣1）2+2，∴拋物線頂點的縱坐標n＝﹣（a﹣1）2+2，∵﹣＜0，∴n的最大值為2．答案：2．15．（2021?荊州中考）小愛同學學習二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)圖象關于y軸對稱；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是﹣1＜a＜0．（2）延伸思考：將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍．解：（1）觀察探究：①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)圖象關于y軸對稱；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是﹣1＜a＜0．故答案為函數(shù)圖象關于y軸對稱；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．（2）將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象向右平移2個單位，向上平移3個單位可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象，當2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍是0＜x＜4且x≠2．三、二次函數(shù)的最值【高頻考點精講】1、當a＞0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點，所以函數(shù)有最小值，當x＝時，y＝。2、當a＜0時，拋物線在對稱軸左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點，所以函數(shù)有最大值，當x＝時，y＝。3、確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值?！緹狳c題型精練】16．（2021?貴港中考）我們規(guī)定：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則?＝x1x2+y1y2．例如＝（1，3），＝（2，4），則?＝1×2+3×4＝2+12＝14．已知＝（x+1，x﹣1），＝（x﹣3，4），且﹣2≤x≤3，則?的最大值是8．解：根據(jù)題意知：?＝（x+1）（x﹣3）+4（x﹣1）＝（x+1）2﹣8．因為﹣2≤x≤3，所以當x＝3時，?＝（3+1）2﹣8＝8．即?的最大值是8．答案：8．17．（2021?廣東中考）設O為坐標原點，點A、B為拋物線y＝x2上的兩個動點，且OA⊥OB．連接點A、B，過O作OC⊥AB于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（）A． B． C． D．1解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點E、F，設OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝x2，則AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BF于H，交y軸于點G，連接AB交y軸于點D，設點D（0，m），∵DG∥BH，∴△ADG∽△ABH，∴，即．化簡得：m＝ab．∵∠AOB＝90°，∴∠AOE+∠BOF＝90°，又∠AOE+∠EAO＝90°，∴∠BOF＝∠EAO，又∠AEO＝∠BFO＝90°，∴△AEO∽△OFB．∴，即，化簡得ab＝1．則m＝ab＝1，說明直線AB過定點D，D點坐標為（0，1）．∵∠DCO＝90°，DO＝1，∴點C是在以DO為直徑的圓上運動，∴當點C到y(tǒng)軸距離為＝時，點C到y(tǒng)軸的距離最大．答案：A．18．（2021?廣東中考）我國南宋時期數(shù)學家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（）A． B．4 C．2 D．5解：∵p＝，p＝5，c＝4，∴5＝，∴a+b＝6，∴a＝6﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝，當b＝3時，S有最大值為＝2．答案：C．19．（2020?德陽中考）若實數(shù)x，y滿足x+y2＝3，設s＝x2+8y2，則s的取值范圍是s≥9．解：由x+y2＝3，得：y2＝﹣x+3≥0，∴x≤3，代入s＝x2+8y2得：s＝x2+8y2＝x2+8（﹣x+3）＝x2﹣8x+24＝（x﹣4）2+8，當x＝3時，s＝（3﹣4）2+8＝9，∴s≥9；答案：s≥9．20．（2020?寧夏中考）如圖（1）放置兩個全等的含有30°角的直角三角板ABC與DEF（∠B＝∠E＝30°），若將三角板ABC向右以每秒1個單位長度的速度移動（點C與點E重合時移動終止），移動過程中始終保持點B、F、C、E在同一條直線上，如圖（2），AB與DF、DE分別交于點P、M，AC與DE交于點Q，其中AC＝DF＝，設三角板ABC移動時間為x秒．（1）在移動過程中，試用含x的代數(shù)式表示△AMQ的面積；（2）計算x等于多少時，兩個三角板重疊部分的面積有最大值？最大值是多少？解：（1）解：因為Rt△ABC中∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵∠E＝30°，∴∠EQC＝∠AQM＝60°，∴△AMQ為等邊三角形，過點M作MN⊥AQ，垂足為點N．在Rt△ABC中，，∴EF＝BC＝3，根據(jù)題意可知CF＝x，∴CE＝EF﹣CF＝3﹣x，，∴，∴，而，∴，（2）由（1）知BF＝CE＝3﹣x，，∴＝﹣﹣（3﹣x）×（3﹣x）＝，所以當x＝2時，重疊部分面積最大，最大面積是．四、二次函數(shù)的應用【高頻考點精講】1、利用二次函數(shù)解決利潤問題在商品經(jīng)營活動中，經(jīng)常會遇到求最大利潤、最大銷量等問題，解決此類題目的關鍵是通過題意，確定二次函數(shù)的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問題有意義，因此在求二次函數(shù)的最值時，一定要注意自變量x的取值范圍。2、幾何圖形中的最值問題①幾何圖形中面積的最值；②用料最佳方案；③動態(tài)幾何中的最值討論。3、構建二次函數(shù)模型解決實際問題利用二次函數(shù)解決拋物線形的隧道、大橋和拱門等實際問題時，要恰當?shù)貙⑦@些實際問題中的數(shù)據(jù)落實到平面直角坐標系中的拋物線上，從而確定拋物線的解析式，通過解析式解決問題?！緹狳c題型精練】21．（2021?北京中考）如圖，用繩子圍成周長為10m的矩形，記矩形的一邊長為xm，它的鄰邊長為ym，矩形的面積為Sm2．當x在一定范圍內(nèi)變化時，y和S都隨x的變化而變化，則y與x，S與x滿足的函數(shù)關系分別是（）A．一次函數(shù)關系，二次函數(shù)關系 B．反比例函數(shù)關系，二次函數(shù)關系 C．一次函數(shù)關系，反比例函數(shù)關系 D．反比例函數(shù)關系，一次函數(shù)關系解：由題意得，2（x+y）＝10，∴x+y＝5，∴y＝5﹣x，即y與x是一次函數(shù)關系．∵S＝xy＝x（5﹣x）＝﹣x2+5x，∴矩形面積滿足的函數(shù)關系為S＝﹣x2+5x，即滿足二次函數(shù)關系，答案：A．22．（2021?臺州中考）以初速度v（單位：m/s）從地面豎直向上拋出小球，從拋出到落地的過程中，小球的高度h（單位：m）與小球的運動時間t（單位：s）之間的關系式是h＝vt﹣4.9t2．現(xiàn)將某彈性小球從地面豎直向上拋出，初速度為v1，經(jīng)過時間t1落回地面，運動過程中小球的最大高度為h1（如圖1）；小球落地后，豎直向上彈起，初速度為v2，經(jīng)過時間t2落回地面，運動過程中小球的最大高度為h2（如圖2）．若h1＝2h2，則t1：t2＝：1．解：由題意，t1＝，t2＝，h1＝＝，h2＝＝，∵h1＝2h2，∴v1＝v2，∴t1：t2＝v1：v2＝：1，答案：：1．23．（2021?連云港中考）某快餐店銷售A、B兩種快餐，每份利潤分別為12元、8元，每天賣出份數(shù)分別為40份、80份．該店為了增加利潤，準備降低每份A種快餐的利潤，同時提高每份B種快餐的利潤．售賣時發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，每份A種快餐利潤每降1元可多賣2份，每份B種快餐利潤每提高1元就少賣2份．如果這兩種快餐每天銷售總份數(shù)不變，那么這兩種快餐一天的總利潤最多是1264元．解：設每份A種快餐降價a元，則每天賣出（40+2a）份，每份B種快餐提高b元，則每天賣出（80﹣2b）份，由題意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴總利潤W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴當a＝6時，W取得最大值1264，即兩種快餐一天的總利潤最多為1264元．答案：1264．24．（2021?錦州中考）某公司計劃購進一批原料加工銷售，已知該原料的進價為6.2萬元/t，加工過程中原料的質(zhì)量有20%的損耗，加工費m（萬元）與原料的質(zhì)量x（t）之間的關系為m＝50+0.2x，銷售價y（萬元/t）與原料的質(zhì)量x（t）之間的關系如圖所示．（1）求y與x之間的函數(shù)關系式；（2）設銷售收入為