3 firdf窗口法級數文案

DF窗口法（傅里葉級數法設所要求的DF的頻率響應是d)DF窗口法（傅里葉級數法設所要求的DF的頻率響應是d)，它可能是低通、通、帶通和帶阻DF，且是頻域的周期為2π函數，所它可以擴展成傅氏級數式中是傅立葉系數，也是一個單位取樣響應序列由傅立葉級數理論可得1 (ej)ejnh(n)dd1DigitalSignalProcessing,ZhangHd(ej)hd(n)e5.3.1基本原因此，所要求的DF系統(tǒng)函數便可求得顯然5.3.1基本原因此，所要求的DF系統(tǒng)函數便可求得顯然是非因果的，且的持續(xù)時間+∞，物理上不可實現但我們可以采用逼的方法首先把先截短為有限項然后把截短后的右移，使之變成因果性的序列2DigitalSignalProcessing,ZhangjHd Hd(z)hd(n)z即（1）截為2M+1項，hd(即（1）截為2M+1項，hd(n)z（2）為了H（z）具的形式，令H(z)z得于H(z)乘13DigitalSignalProcessing,Zhang H(z)zMH(z)h(n)z(nM)h(nM)z n MH(z) h(n)z n（3）令h(n)hd(n-Mn=0122M，頻率響（3）令h(n)hd(n-Mn=0122M，頻率響顯然是物理可實現的其沖激響應 的持續(xù)時間也是有限的(N- 4DigitalSignalProcessing,ZhangH(ej)h(n)eH(z)h(n)z窗口法：性能分|H(ejω)||H(ejω)|的逼dωω近。|H窗口法：性能分|H(ejω)||H(ejω)|的逼dωω近。|Hh(n)截短必然產生誤差，即dd定義逼近誤差為均方誤差ω)可以展開為Hd式中DigitalSignalProcessing,5Zhanga02hd anhd(n)hdbnj[hd(n)hd H(ej)h(n)ejn0acos(n)b 2 |H(ej)H(ej)|22 ω因為)|h(n短而產生的，假定d|n|>MAnω因為)|h(n短而產生的，假定d|n|>MAnBn=0所以把上述兩式代入逼近誤差中，利用三角函數的正交性可得由于上式中每一項都是正的，所以，只有A0a0AnanBnbnn12M最小6DigitalSignalProcessing,ZhangaA 2 a A2b B2 a b nMH(ej)0Acos(n) B 說明ωωωjj時，要j=min，的截短后的單位取樣響說明ωωωjj時，要j=min，的截短后的單位取樣響的系數必須等于所要求的幅頻響ω|H)|展成傅里葉級數的系h(n)dd②有限項傅氏級數是在最小均方意義上對原信號的最佳逼h2其逼近誤差為dn|M截短的長M大，逼近誤差ε2愈?。ㄒ騢(n愈?。ヾDigitalSignalProcessing,7Zhang吉伯斯（Gibbs）現將hd(n截相當吉伯斯（Gibbs）現將hd(n截相當于將hd(n)與一窗函數wR(n)相乘，其8DigitalSignalProcessing,Zhang1(n)hd(n)wRw(n) |n| h(n)hd |n| 根據時域相乘映射為頻域卷積，得其中根據時域相乘映射為頻域卷積，得其中其中N9DigitalSignalProcessing,Zhang sin(2M sinw(ej)w(n)ejn 2 sin sin H(ej)1H(ej)w(ej 1 H(ej)w[ej()]d(7.33)2 j)|是理想低通濾則上式變?yōu)?2j(j)|是理想低通濾則上式變?yōu)?2j(H(ej)jH)w1dR1[ej()cwRDigitalSignalProcessing,Zhang|Hd )- - 0 [ej()w式中積分等于θ的面[ej()w式中積分等于θ的面積–ωcωc區(qū)間內Rw]-0θ|H1(ej)|的大小產生波動DigitalSignalProcessing,Zhangw]0時-0θωωcw]-0θDigitalSw]0時-0θωωcw]-0θDigitalSignalProcessing,ZhangH121 j(0w H1j(-0θω=ωc-2π/N時：—正肩j(-0θω=ωc-2π/N時：—正肩w[ej()ωc-2/N-0θDigitalSignalProcessing,Zhang-0θωcω=ωc+2π/N時：—負-0θωcω=ωc+2π/N時：—負肩w[ej()-0θDigitalSignalProcessing,ZhangH11H12w0πw-0.0895H1cNDigitalSignalPH11H12w0πw-0.0895H1cNDigitalSignalProcessing,Zhangw 可見可見口頻譜的主瓣寬度。對于矩形窗wR(ej)此寬肩峰及波動：這是由窗函數的旁瓣引起的旁瓣越多，波動越快。相對值越大，波動越害，肩峰越強。肩峰與波動與所選窗函數有關DigitalSignalProcessing,Zhang吉伯斯（Gibbs）現對截短的結果，并吉伯斯（Gibbs）現對截短的結果，并且矩形窗函數的頻譜有較大的旁瓣，正是這些旁瓣在與Hd(e卷積時產長度N的改變只能改w坐標的比例及窗函的絕對大小，但不能改變肩峰和波動的相對大（因為不能改變窗函數主瓣和旁瓣的相對比例，而波動是由旁瓣引起的），即增加，只能使通、阻DigitalSignalProcessing,ZhangN=1100-01-01frequencyinpiunitsfrequencyinpiunitsN=N=1100-01-0frequencyinpiunits1N=1100-01-01frequencyinpiunitsfrequencyinpiunitsN=N=1100-01-0frequencyinpiunits1frequencyinpiunitsDigitalSignalProcessing,ZhangAmplitudesponsntgrtAmplitudeAmplitudesponsntgrtAmplitude思考為了減小吉伯斯思考為了減小吉伯斯現象，我們應該采取么樣的窗函數標準是什么DigitalSignalProcessing,Zhang常用窗函設計DF時，窗函數不常用窗函設計DF時，窗函數不僅可以影響渡帶寬度，還能影響肩峰和波動的大小此，選擇窗函數應使其頻譜①主瓣寬度盡量小，以使過渡帶盡量陡②旁瓣相對于主瓣越小越好，這樣可使肩波動減小，即能量盡可能集中于主瓣DigitalSignalProcessing,Zhang指標3dB帶寬B，單位最大旁瓣峰值阻帶的最小衰減DigitalSignalProcessing,ZhangN1、矩形1、矩形它的頻率響應函數為sinNjN2W()2Zhang2DigitalSignalProcessing,w(n) 0nN 以及它的振幅響應以及它的振幅響應如下矩形窗函示DigitalSignalProcessing,ZhangRectangularWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi1RectangularWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi11frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang最大旁瓣峰值為-13dB阻帶的最小衰減21dB，這的阻最大旁瓣峰值為-13dB阻帶的最小衰減21dB，這的阻帶衰與窗長N無關根據最小阻帶衰減，可以精確地計算出過渡帶寬wspN它大約是主瓣帶寬的一半。近似過渡帶寬4π/NDigitalSignalProcessing,Zhang2、升余弦漢寧窗、漢明窗、布萊克曼2、升余弦漢寧窗、漢明窗、布萊克曼窗都是升余弦窗的特例，和列的組合4π/(N-1)的余弦其為常數。升余弦窗的頻率特性比矩A、B、形窗有很大改DigitalSignalProcessing,Zhang2n 4nw(n)AB )C N N2、升余弦為常2、升余弦為常中，w=hanning(n)(hanning)窗。A=當時，為漢明（hamming)窗Matlab中，wA0.42，B=0.5，C=0.08時，為布萊克曼(blackman)窗。Matlab中，w=blackman(n)DigitalSignalProcessing,Zhang2n 4nw(n)AB )C N N（1）漢寧（Hanning）窗—升余弦w(n)sin2（1）漢寧（Hanning）窗—升余弦w(n)sin2n0.50.5cosn0,1,2,...,NN1N1=6.2π/N，近似過渡帶精確過渡帶A=-最小阻帶衰44dBDigitalSignalProcessing,ZhangW()0.5u()0.25 u2 N1 N1 HanningWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAccumulatedAmplitudeResponseAmplitude000frequencyinHanningWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAccumulatedAmplitudeResponseAmplitude000frequencyinpi11frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang(2).漢明（Hamming）窗—改進的升余弦(2).漢明（Hamming）窗—改進的升余弦N1=6.6π/N，近似過渡帶精確過渡帶A=-最小阻帶衰53dBDigitalSignalProcessing,ZhangW()0.54u()0.23u 0.23u2 N1 N1HammingWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi1frequencyHammingWindow:AmplitudeResponse100001nAccumfrequencyinpiAmplitudeulatedAmplitude000frequencyinpi1frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang(3).布萊克曼（Blackman）窗—二階升余弦(3).布萊克曼（Blackman）窗—二階升余弦n0,1,2,...,NN1N=11π/N，近似過渡帶精確過渡帶A=-最小阻帶衰74dBDigitalSignalProcessing,ZhangW()0.42u()0.25 u2 N N 0.04u4u4N N BlackmanWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAmplitudeAccumulatedAmplitudeResponse000frequencyBlackmanWindow:AmplitudeResponse100001nfrequencyinpiunitsAmplitudeAccumulatedAmplitudeResponse000frequencyinpi1frequencyinpiDigitalSignalProcessing,Zhang升余弦窗總結比較以升余弦窗總結比較以上窗函數，可以看到，矩形窗函漢寧Hanning窗的主瓣稍寬，但有著較的旁瓣和較大的衰減速度，因而被認為DigitalSignalProcessing,Zhang窗小矩形窗:精確過渡帶寬1.8π/N近似過渡帶寬4π/N，窗小矩形窗:精確過渡帶寬1.8π/N近似過渡帶寬4π/N，A=-13dB,最小阻帶衰減21dB。Hanning:精確過渡帶寬近似過渡帶寬，A=-最小阻帶衰44dBHamming:精確過渡帶寬近似過渡帶寬，A=-最小阻帶衰53dBBlackman:精確過渡帶寬11π/N近似過渡帶寬12π/NA=-最小阻帶衰減74dBDigitalSignalProcessing,Zhang窗口法：設計步性能要求Hd(e窗口法：設計步性能要求Hd(e(1Hd(ej)展成傅立葉級數，得到(2把自然截短到所需的長度沖激響應，這時窗函數以n=M對稱（當然窗函數也可直接加在hd(n)上，這時窗函數以原點為對稱利用h(n)，既可用硬件構成濾波器的系統(tǒng)函數（z），也可直接用計算機軟件實現濾。DigitalSignalProcessing,Zhang例5.1一個理想低通數字濾波器的頻率響應如圖所示，為|例5.1一個理想低通數字濾波器的頻率響應如圖所示，為|Hd)|周期的偶對稱-π-0ωcωDigitalSignalProcessing,ZhangH(ej)1, wc解1)由于Hd(ej)是一個偶對稱解1)由于Hd(ej)是一個偶對稱的實周期函數，式中DigitalSignalProcessing,Zhangh(n) (ejw)ejnd c1ejn 2 2 ejnwc ejnwcsinnwc Hd(ej)hd(n)ehd(n)移位，得：(4)然后乘以窗函wR(n)，得到最后h(n)對于wc=0.25π，由上式得DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)h(nM)sin[(nM)0.25 (nMh(n)h(nM)sin(nMd(nM當N=11時，M=5，求h(0)=當N=11時，M=5，求h(0)=h(10)=-0.045，h(1)=h(9)=0，h(2)==0.075，h(3)=h(7)=h(4h(60.2251，h(50.25當時，乘以漢明窗n0,1,2,...,NDigitalSignalProcessing,Zhangw(n)0.54 2ncosN1 00---50505100-0505DigitalSignalProcessing,Zhang00---50505100-0505DigitalSignalProcessing,Zhango當N增加時，通頻帶接o當N增加時，通頻帶接近于0.25pi,阻帶內波紋減小,但在通矩形矩形N增著N的繼續(xù)增加，這些波紋并不能消o使用漢明窗后，通帶內的振蕩基本消DigitalSignalProcessing,Zhang窗口法小結（1）對于能用解析式表窗口法小結（1）對于能用解析式表達，容易實現的濾波器Hd(ej)，付氏級數是設計FIRDF較為方便的一個方法，但如果hd(n不（2）用付氏級數法設計DF，一個重要問題是決定所用窗口及截短的長度NDigitalSignalProcessing,Zhangh(n) 1 H(ej)ejn 2 1）窗口的選擇1）窗口的選擇原則b,DigitalSignalProcessing,Zhang2）窗口長度N的選擇原則2）窗口長度N的選擇原則 過渡帶這DigitalSignalProcessing,Zhang相應的窗函數過渡帶Nceil 小結（3）截止頻率wc不小結（3）截止頻率wc不再標志某個增益點，而是對應于0.5增益點。（4）截止頻率wc的確定：對于非理想濾波器，其截止頻率wc不采用通帶邊緣頻率wp或阻帶DigitalSignalProcessing,Zhang 過渡帶寬度wwswp wp 所要求的通帶增設計中所用的截止頻所所要求的通帶增設計中所用的截止頻所要求的阻帶邊緣頻頻過渡帶寬DigitalSignalProcessing,Zhang例根據下列指標設計低通濾通帶邊緣頻率阻帶邊緣例根據下列指標設計低通濾通帶邊緣頻率阻帶邊緣頻阻帶衰40dB,取樣頻fs=10kHz解：過渡3kHz2kHz1kHz，轉換為21ffff 截止頻率 c2DigitalSignalProcessing,Zhangf 數字截止頻率cfssin脈沖響應h(n)f 數字截止頻率cfssin脈沖響應h(n)c140dB，可以選窗函數：因為阻帶衰Hanning窗，并且窗口長度為Nceil6.21DigitalSignalProcessing,w(n)0.50.5cos2n n0,1,2,,NN N=33一般長度選擇為奇數，因此，選則此濾波器的脈沖響應為計N=33一般長度選擇為奇數，因此，選則此濾波器的脈沖響應為計算得h(n)1--------------- -DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)h(n)w(n)sin[(n16)0.5] (nw(n)0.50.5cos2n32 w(n)00w(n)00h(n)0---------0-----DigitalSignalProcessing,Zhang可以得H(z)、可以得H(z)、和差分方程中差分方程為y(n)=-0.0002x(n-1)+0.0021x(n-3)-0.0064x(n-+0.0142x(n-7)-0.0272x(n-9)+0.0495x(n-11)0.0972x(n-13)+0.3153x(n-15)+0.5x(n-16)0.3153x(n-17)-0.0972x(n-19)+0.0495x(n-21)0.0272x(n-23)+0.0142x(n-25)-0.0064x(n-27)DigitalSignalProcessing,Zhang005Magnituh(n)de0012345DigitalSignalProcessing,Zhang005Magnituh(n)de0012345DigitalSignalProcessing,ZhangPole-210------0Real12DigitalSignalProcessing,ZhangImaginaryPole-210------0Real12DigitalSignalProcessing,ZhangImaginary設計高通、帶通等類型的設計高通、帶通等類型的FIR濾波解決方法：在[-頻帶圍內看，直接應用窗函數法，只是積區(qū)間發(fā)生了變化DigitalSignalProcessing,Zhang數字高通濾波|H )dc30令其數字高通濾波|H )dc30令其時域右M位后的幅頻特性為e-jMω，表示時域右（頻域MDigitalSignalProcessing,Zhangej H(ej) 0||c則求DigitalSignalProcessing,Zhang則求DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)sin[(nM)]sin[(nM)c (nMsin[(nM)]sin[(nM)c]h(n)h(n)(nM) (nM) h(n) cej(nM)d ej(nM) 2 2 ej(nM)cej(nM)ej(nM)ej(nM)cj2(nM [cos(nM)jsin(nM)cos(nMj2(nM jsin(nM)cos(nM)jsin(nM)cos(nMjsin(nM)c從這個結果可以看出：一個高通濾波器相當于用從這個結果可以看出：一個高通濾波器相當于用一個通濾波器（即ωc=π）減去一個低通濾波器Hhp(z)Hap(z)Hlp(z)傳輸函數脈沖響應DigitalSignalProcessing,Zhang數字帶通濾波j|Hd )0令其幅數字帶通濾波j|Hd )0令其幅頻特性為（頻域為e-jMω，表示時域右M則DigitalSignalProcessing,Zhangh(n) lej(nM)d 2 2ej ||H(ej) 求從這個結果可以看出：一個帶通濾波器相當于兩個低通求從這個結果可以看出：一個帶通濾波器相當于兩個低通濾波器減，其中一個截止頻率為ωh，另一個為ωlHbp(z)Hlph(z)Hlplhbp(n)hlph(n)hlpl傳輸函數脈沖函數DigitalSignalProcessing,Zhanghd(n)sin[(nM)h]sin[(nM)l(nM或者一個帶通濾波器相當于一個低通濾波器和一個高通濾波器相乘，即先經過一個LPDF，再經過一個HPDF。Hbp(z或者一個帶通濾波器相當于一個低通濾波器和一個高通濾波器相乘，即先經過一個LPDF，再經過一個HPDF。Hbp(z)Hlp(z)Hhphbp(n)hlp(n)hhp傳輸函數脈沖函數（頻域相乘，時域卷積DigitalSignalProcessing,ZhangHlp數字帶阻濾波|Hd)0令其幅數字帶阻濾波|Hd)0令其幅頻特性為e-jMω，表示時域右（頻域M則DigitalSignalProcessing,Zhangh(n) hej(nM)d ej(nM)d ej(nM) 2 2 2ej || || ||H(ej) 求從這個結果可以看出：一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波求從這個結果可以看出：一個帶阻濾波器相當于一個低通濾波器加上個高通濾波器，低通濾波器的截止頻率ωl，高通ωhHbp(z)Hlp(z)Hhphbp(n)hlp(n)hhp傳輸函數脈沖函數+DigitalSignalProcessing,Zhangh(n)sin[(nM)l]sin[(nM)]sin[(nM)h (nM例為取樣頻率為的系統(tǒng)設計一個帶通濾例為取樣頻率為的系統(tǒng)設計一個帶通濾波器，中心頻率為通帶邊緣在3.5kHz和4.5kHz，過渡帶寬50dB500Hz，阻帶解:過渡帶寬：500Hz，轉換為數字頻截止頻率ff fh0.5/23.50.250.5/24.50.25DigitalSignalProcessing,Zhang2f 0.5f 數字截止頻脈沖響應50dB，可以選窗函數：因為數字截止頻脈沖響應50dB，可以選窗函數：因為阻帶衰即窗DigitalSignalProcessing,Zhangw(n)0.540.46cos2n n0,1,2,,NN h(n)sin[(nM)wh]sin[(nM)wl (nM wl2 l0.3045wh2h 并且窗口長度為Nceil并且窗口長度為Nceil 1，則此濾波器的脈沖響應為h(n)sin[(n73)0.4318]sin[(n73)0.3045](nDigitalSignalProcessing,Zhang計算得---------h(n)- -0.00030.0008-0.0001計算得---------h(n)- -0.00030.0008-0.0001 ----0.0011- ……….0.00580.01780.00030.00830.0005-0.0023-0.00080.0003- -------------- ------- DigitalSignalProcessing,Zhang00Magnitude0023.5468DigitalSignalProcessing,Zhang00Magnitude0023.5468DigitalSignalProcessing,Zhang1 0-----10-1-1DigitalSignalProcessing,ZhangImaginary1 0-----10-1-1DigitalSignalProcessing,ZhangImaginary窗口法設計函實FIRb=fir1(n,wn,options)，單FIRbfir2(n,f,m,options)，多FIR濾波兩者可窗口法設計函實FIRb=fir1(n,wn,options)，單FIRbfir2(n,f,m,options)，多FIR濾波兩者可設計低通、高通、帶通、帶阻和通用多濾波具有以下多種形式bb=====參bnFIR波器的系1對應著奈氏頻率截止頻wn0對于高通濾波器high’；帶阻濾波器DigitalSignalProcessing,Zhang對于帶通或帶阻濾波器，wn包含通頻帶邊帶頻對于帶通或帶阻濾波器，wn包含通頻帶邊帶頻率的一個二元素向量[wn1,wn2]。window’表示所采用的窗函數類型。window的長度必須n+1（n為濾波器的階數），若window卻省，則使用漢明窗注意因為奇數階的II型濾波器（h(n)為偶對稱，長度N為偶數在高頻段的頻率響應為零，所fir1函數在高通和帶阻情況不設計型濾波器，因此，如n為奇數時，fir11I波器=也可設計加窗FIR濾波器，但它針對任意形狀的分段（piece-f01頻率點組成，其1示奈氏頻率，第一個點必須0，最后一個點必須1，頻率點必須是遞增的。m對應于