專題46 與正方形有關(guān)的三垂線問題（解析版）-中考數(shù)學二輪復習經(jīng)典問題專題訓練

專題46與正方形有關(guān)的三垂線問題【規(guī)律總結(jié)】【典例分析】例1．（2020·江蘇常州市·八年級期中）如圖，四邊形AFDC是正方形，和都是直角，且E，A，B三點共線，，則圖中陰影部分的面積是（）A．12 B．10 C．8 D．6【答案】C【分析】易證△AEC≌△FBA，得AB=EC，即可求得．【詳解】∵四邊形AFDC是正方形∴AC=AF，∠FAC=90°∴∠CAE+∠FAB=90°又∵∠CAE+∠ACE=90°∴∠ACE=∠FAB又∵∠CEA=∠FBA=90°∴△AEC≌△FBA∴AB=EC=4∴圖中陰影部分的面積=故選C【點睛】本題考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定條件是解題的關(guān)鍵．例2．（2021·上海九年級專題練習）正方形ABCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知A點的坐標（0，4），B點的坐標（﹣3，0），則點D的坐標是_____．【答案】（4，1）．【分析】過點D作DE⊥y軸于E，由“AAS”可證△ABO≌△DAE，可得AE＝OB，DE＝OA，即可求解．【詳解】解：如圖，過點D作DE⊥y軸于E，∵∠BAO+∠DAE＝∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠BAO＝∠ADE，在△ABO和△DAE中，，∴△ABO≌△DAE（AAS），∴AE＝OB，DE＝OA，∵A（0，4），B（﹣3，0），∴OA＝4，OB＝3，∴OE＝4﹣3＝1，∴點D的坐標為（4，1）．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．例3．（2020·渠縣清溪中學九年級期末）已知，如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，點D為直線BC上一動點(點D不與點B，C重合)．以AD為邊作正方形ADEF，連接CF，當點D在線段BC的反向延長線上，且點A，F(xiàn)分別在直線BC的兩側(cè)時．(1)求證：△ABD≌△ACF；(2)若正方形ADEF的邊長為，對角線AE，DF相交于點O，連接OC，求OC的長度．【答案】(1)證明見解析；(2)【分析】（1）由題意易得AD＝AF，∠DAF＝90°，則有∠DAB＝∠FAC，進而可證AB＝AC，然后問題可證；（2）由（1）可得△ABD≌△ACF，則有∠ABD＝∠ACF，進而可得∠ACF＝135°，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)可求解．【詳解】(1)證明：∵四邊形ADEF為正方形，∴AD＝AF，∠DAF＝90°，又∵∠BAC＝90°，∴∠DAB＝∠FAC，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABD≌△ACF(SAS)；(2)解：由(1)知△ABD≌△ACF，∴∠ABD＝∠ACF，∵∠ABC＝45°，∴∠ABD＝135°，∴∠ACF＝135°，由(1)知∠ACB＝45°，∴∠DCF＝90°，∵正方形ADEF邊長為，∴DF＝4，∴OC＝DF＝×4＝2．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)及等腰直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【好題演練】一、單選題1．（2020·吉林長春市·九年級期中）如圖，在正方形中，點E在邊上，于點G，交于點F.若，，則的面積與四邊形的面積之比是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先證△AED≌△BFA，得S△ABF=S△DAE，兩者都減去△AEG的面積后可得S△AGD=S四邊形EGFB，那么只需求△AEC和△AGD的面積關(guān)系即可；Rt△AED中，AG⊥ED，易證得△AEG∽△DAG，根據(jù)它們的相似比（可由AE、BE的比例關(guān)系求得），即可求得面積比，由此得解．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠B=90°，AB=DA；∵，∴∴∴∠EAG=∠EDA,∴△AED≌△BFA(ASA)；∴；∴,即；∵∠EAG=∠EDA,∠AGE=∠DGA=90°，∴△AEG∽△DAG；∴∴的面積與四邊形的面積之比是,故選D.【點睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠發(fā)現(xiàn)是解答此題的關(guān)鍵.2．（2020·福建福州市·九年級開學考試）如圖，點，點在射線上勻速運動，運動的過程中以為對稱中心，為一個頂點作正方形，當正方形的面積為40時，點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作軸于，軸于E，根據(jù)的坐標求得直線的斜率，進一步得出直線的斜率為，通過證得，得出，，可設(shè)，則，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得直線的斜率為，整理得，然后根據(jù)勾股定理得出，代值求解即可．【詳解】解：作軸于，軸于E，設(shè)直線的解析式為，∵點∴∵四邊形是正方形，∴∴直線的斜率為又∵，∴，∴又∵∴∴，設(shè)，則設(shè)直線的解析式為，∴解得：∴整理得：∵正方形面積為40∴∴在中，，即：解得：∴∴故答案選B【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用等，根據(jù)直線的斜率列出方程是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2021·上海九年級專題練習）如圖，正方形ABCD中，E為BC上一點，過B作BG⊥AE于G，延長BG至點F使∠CFB＝45°，延長FC、AE交于點M，連接DF、BM，若C為FM中點，BM＝5，則FD的長為_____．【答案】【分析】過C點作CH⊥BF于H點，過B點作BK⊥CM于K，過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q，只要證明△AGB≌△BHC，△BKC≌△CQD即可解決問題．【詳解】解：如圖，過C點作CH⊥BF于H點，過B點作BK⊥CM于K，過D作DQ⊥MF交MF延長線于Q．∵∠CFB＝45°∴CH＝HF，∵∠ABG+∠BAG＝90°，∠FBE+∠ABG＝90°，∴∠BAG＝∠FBE，∵AG⊥BF，CH⊥BF，∴∠AGB＝∠BHC＝90°，在△AGB和△BHC中，∵∠AGB＝∠BHC，∠BAG＝∠HBC，AB＝BC，∴△AGB≌△BHC（AAS），∴AG＝BH，BG＝CH，∵BH＝BG+GH，∴BH＝HF+GH＝FG，∴AG＝FG；∵CH⊥GF，∴CH∥GM，∵C為FM的中點，∴CH＝GM，∴BG＝GM，∵BM＝5，∴BG＝，GM＝2，∴AG＝2，AB＝5，∴HF＝，∴CF＝×＝，∴CM＝，∵CK＝CM＝CF＝，∴BK＝，∵在△BKC和△CQD中，∵∠CBK＝∠DCQ，∠BKC＝∠CQD＝90°，BC＝CD，∴△BKC≌△CQD（AAS），∴CQ＝BK＝，DQ＝CK＝，∴QF＝CQ﹣CF＝﹣＝，∴DQ＝QF＝，∴DF＝×＝．故答案為．【點睛】此題考查的是全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定及性質(zhì)、等腰三角形的判定及性質(zhì)和正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．4．（2020·三明市第四中學八年級月考）如圖在直線上一次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別為1，2，3，正放置的四個正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋2S2＋2S3＋S4=__．【答案】6【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠ABD=90°，AB=DB，再根據(jù)等角的余角相等得到∠CAB=∠DBE，則可根據(jù)“AAS”判斷△ABC≌△BDE，于是有AC=BE，然后利用勾股定理得到DE2+BE2=BD2，代換后有DE2+AC2=BD2，根據(jù)正方形的面積公式得到S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，所以S1+S2=1，利用同樣方法可得到S2+S3=2，S3+S4=3，通過計算可得到S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．【詳解】解：如圖，∵圖中的四邊形為正方形，

∴∠ABD=90°，AB=DB，

∴∠ABC+∠DBE=90°，

∵∠ABC+∠CAB=90°，

∴∠CAB=∠DBE，

∵在△ABC和△BDE中，，

∴△ABC≌△BDE（AAS），

∴AC=BE，

∵DE2+BE2=BD2，

∴DE2+AC2=BD2，

∵S1=AC2，S2=DE2，BD2=1，

∴S1+S2=1，

同理可得S2+S3=2，S3+S4=3，

∴S1+2S2+2S3+S4=1+2+3=6．

故答案為：6．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對應(yīng)邊相等．也考查了勾股定理和正方形的性質(zhì)．三、解答題5．（2020·河南鄭州市第十九初級中學九年級月考）（1）如圖1，正方形ABCD中，點P為線段BC上一個動點，若線段MN垂直AP于點E，交線段AB于點M，交線段CD于點N，證明：AP＝MN；（2）如圖2，正方形ABCD中，點P為線段BC上一動點，若線段MN垂直平分線段AP，分別交AB，AP，BD，DC于點M，E，F(xiàn)，N．求證：EF＝ME+FN；（3）若正方形ABCD的邊長為2，求線段EF的最大值與最小值．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF最大值：，EF最小值：1【分析】（1）過B點作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，根據(jù)平行四邊形和正方形的性質(zhì)求證△ABP≌△BCH（ASA），然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)即可證明；（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求得FP＝FC，然后根據(jù)等邊對等角和等量代換求得∠AFP＝90°，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到FE＝AP，結(jié)合（1）問結(jié)論即可求證；（3）根據(jù)（2）問結(jié)論得到EF＝MN，當點P和點B重合時，EF有最小值；當點P和C重合時，EF有最大值，根據(jù)正方形的對角線即可求解．【詳解】（1）如圖1，過B點作BH∥MN交CD于H，則AP⊥BH，∵BM∥NH，∴四邊形MBHN為平行四邊形，∴MN＝BH，∵四邊形ABCD是正方形．∴AB＝BC，∠ABP＝90°＝∠C，∴∠CBH+∠ABH＝∠BAP+∠ABH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH，∴△ABP≌△BCH（ASA），∴BH＝AP，∴MN＝AP；（2）如圖2，連接FA，F(xiàn)P，F(xiàn)C∵正方形ABCD是軸對稱圖形，F(xiàn)為對角線BD上一點，∴FA＝FC，又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP，∴FP＝FC，∴∠FPC＝∠FCP，∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC，∴∠FAB+∠FPB＝180°，∴∠ABC+∠AFP＝180°，∴∠AFP＝90°，∴FE＝AP，由（1）知，AP＝MN，∴MN＝ME+EF+FN＝AP＝2EF，∴EF＝ME+FN；（3）由（2）有，EF＝ME+FN，∵MN＝EF+ME+NF，∴EF＝MN，∵AC，BD是正方形的對角線，∴BD＝2，當點P和點B重合時，EF最小值＝MN＝AB＝1，當點P和C重合時，EF最大值＝MN＝BD＝．【點睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，本題考查較為綜合，題目較難，熟練掌握各部分定理和性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．6．（2020·江西吉安市·九年級期中）如圖1，已知正方形和正方形，點在同一直線上，連接，，與相交于點．

（1）求證：．（2）如圖2，是邊上的一點，連接交于點，且．①求證：；②若，直接寫出的值．【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出BC=CD，CE=CF，∠BCE=∠DCF=90°，由SAS證明△BCE≌△DCF，得出對應(yīng)邊相等BE=FD；（2）①由正方形的性質(zhì)得出CD